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三年专题05 立体几何（选择题、填空题）
（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多
面体的体积为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
【详解】
由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积V = 2+ 4
2
×2×2=12.
故选：B.
2．【2022 年全国甲卷】在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，已知B1 D与平面ABCD和平面A A1B1B所成
的角均为30°，则（ ）
A．AB =2 AD
B．AB 与平面A B1C1 D所成的角为30°
C．AC =C B1
D．B1 D与平面B B1C1C所成的角为45°
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【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】
如图所示：
不妨设AB =a, AD =b, A A1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1 D与平面ABCD所成角为∠B1 DB，
B1 D与平面A A1B1B所成角为∠D B1 A，所以sin30
∘=
c
B1 D =
b
B1 D ，即b=c，B1 D =2c =√a
2+b
2+c
2，
解得a=√2c．
对于A，AB =a，AD =b，AB =√2 AD，A 错误；
对于B，过B作BE⊥A B1于E，易知BE⊥平面A B1C1 D，所以AB与平面A B1C1 D所成角为∠BAE，
因为tan ∠BAE = c
a = √2
2 ，所以∠BAE≠30
∘，B 错误；
对于C，AC =√a
2+b
2=√3c，C B1=√b
2+c
2=√2c，AC ≠C B1，C 错误；
对于D，B1 D与平面B B1C1C所成角为∠D B1C，sin ∠D B1C = CD
B1 D = a
2c = √2
2 ，而0<∠D B1C <90
∘，
所以∠D B1C = 45
∘．D 正确．
故选：D．
3．【2022 年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为
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S甲和S乙，体积分别为V 甲和V 乙．若
S甲
S乙
=2，则
V 甲
V 乙
=（ ）
A．√5
B．2√2
C．√10
D．5√10
4
【答案】C
【解析】
【分析】
设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合
圆心角之和可将r1,r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得
解.
【详解】
解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则
S甲
S乙
= π r1l
π r2l = r1
r2
=2，
所以r1=2r2，
又2π r1
l
+ 2π r2
l
=2π，
则r1+r2
l
=1，
所以r1= 2
3 l ,r2= 1
3 l，
所以甲圆锥的高ℎ1=√l
2−4
9 l
2= √5
3 l，
乙圆锥的高ℎ2=√l
2−1
9 l
2= 2√2
3
l，
所以
V 甲
V 乙
=
1
3 π r1❑
2ℎ1
1
3 π r2❑
2ℎ2
=
4
9 l
2× √5
3 l
1
9 l
2× 2√2
3
l
=√10.
故选：C.
4．【2022 年全国乙卷】在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F 分别为AB ,BC的中点，则
（ ）
A．平面B1 EF ⊥平面BD D1
B．平面B1 EF ⊥平面A1BD
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C．平面B1 EF //平面A1 AC
D．平面B1 EF //平面A1C1 D
【答案】A
【解析】
【分析】
证明EF ⊥平面BD D1，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB =2，分别求出
平面B1 EF，A1BD，A1C1 D的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】
解：在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，
AC ⊥BD且D D1⊥平面ABCD，
又EF ⊂平面ABCD，所以EF ⊥D D1，
因为E , F分别为AB ,BC的中点，
所以EF ∥AC，所以EF ⊥BD，
又BD∩D D1= D，
所以EF ⊥平面BD D1，
又EF ⊂平面B1 EF，
所以平面B1 EF ⊥平面BD D1，故A 正确；
对于选项B，如图所示，设
，
，则
为平面
与平面
的交线，
在
内，作
于点
，在
内，作
，交
于点
，连结
，
则
或其补角为平面
与平面
所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：
，
，
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底面正方形
中，
为中点，则
，
由勾股定理可得
，
从而有：
，
据此可得
，即
，
据此可得平面
平面
不成立，选项B 错误；
对于选项C，取
的中点
，则
，
由于
与平面
相交，故平面
平面
不成立，选项C 错误；
对于选项D，取
的中点
，很明显四边形
为平行四边形，则
，
由于
与平面
相交，故平面
平面
不成立，选项D 错误；
故选：A.
5．【2022 年全国乙卷】已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O 的球面上，
则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
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A．1
3
B．1
2
C．√3
3
D．√2
2
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为2r
2，进而得到四
棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD 所在小圆半径为r，
设四边形ABCD 对角线夹角为α，
则S ABCD= 1
2 ⋅AC ⋅BD⋅sin α ≤1
2 ⋅AC ⋅BD≤1
2 ⋅2r ⋅2r =2r
2
（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为2r
2
又r
2+ℎ
2=1
则V O−ABCD= 1
3 ⋅2r
2⋅ℎ= √2
3 √r
2⋅r
2⋅2ℎ
2≤√2
3 √(
r
2+r
2+2ℎ
2
3
)
3
= 4√3
27
当且仅当r
2=2ℎ
2即ℎ= √3
3 时等号成立，
故选：C
6．【2021 年甲卷文科】在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱
锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
【详解】
由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
7．【2021 年乙卷文科】在正方体
中，P 为
的中点，则直线
与
所成的角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
平移直线
至
，将直线
与
所成的角转化为
与
所成的角，解三角形即可.
【详解】
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如图，连接
，因为
∥
，
所以
或其补角为直线
与
所成的角，
因为
平面
A1B1C1D1，所以
，又
，
，
所以
平面
，所以
，
设正方体棱长为2，则
，
，所以
.
故选：D
8．【2021 年甲卷文科】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
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∴
∴
.
故答案为：
.
9．【2021 年乙卷文科】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三
棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
【答案】③④（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】
选择侧视图为③，俯视图为④，
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如图所示，长方体
中，
，
分别为棱
的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥
.
故答案为：③④.
【点睛】
三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.
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