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三年专题03 导数及其应用(选择题、填空题)
（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
由c
b = 4 tan 1
4 结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f ( x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+∞)，利用导数可
得b>a，即可得解.
【详解】
因为c
b = 4 tan 1
4 ,因为当x∈(0, π
2 ),sin x< x<tan x
所以tan 1
4 > 1
4 ,即c
b >1,所以c>b；
设f ( x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+∞)，
f
'( x)=−sin x + x >0，所以f ( x)在(0,+∞)单调递增，
则f(
1
4)>f (0)=0,所以cos 1
4 −31
32 >0，
所以b>a,所以c>b>a，
故选：A
2．【2022 年新高考1 卷】设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数f ( x)= ln(1+ x)−x， 导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【详解】
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设f ( x)= ln(1+ x)−x( x>−1)，因为f
'( x)=
1
1+ x −1=−
x
1+ x ，
当x∈(−1,0)时，f
'( x)>0，当x∈(0,+∞)时f
'( x)<0，
所以函数f ( x)= ln(1+ x)−x在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
所以f ( 1
9 )<f (0)=0，所以ln 10
9 −1
9 <0，故1
9 >ln 10
9 =−ln 0.9，即b>c，
所以f (−1
10 )<f (0)=0，所以ln 9
10 + 1
10 <0，故9
10 <e
−1
10，所以1
10 e
1
10 < 1
9
，
故a<b，
设g( x)= x e
x+ ln(1−x)(0< x <1)，则g
'( x)=(x +1)e
x+
1
x−1 = (x
2−1)e
x+1
x−1
,
令ℎ( x)=e
x( x
2−1)+1，ℎ
'( x)=e
x( x
2+2 x−1)，
当0< x<√2−1时，ℎ
'( x)<0，函数ℎ( x)=e
x( x
2−1)+1单调递减，
当√2−1< x<1时，ℎ
'( x)>0，函数ℎ( x)=e
x( x
2−1)+1单调递增，
又ℎ(0)=0，
所以当0< x<√2−1时，ℎ( x)<0，
所以当0< x<√2−1时，g
'( x)>0，函数g( x)= x e
x+ ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e
0.1>−ln 0.9，所以a>c
故选：C.
3．【2021 年新高考1 卷】若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
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解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
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解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知
.
故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，
解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
4．【2020 年新课标1 卷理科】函数
的图像在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得函数
的导数
，计算出
和
的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故选：B.
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【点睛】
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
5．【2020 年新课标3 卷理科】若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
，
（舍），
则直线的方程为
，即
.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
6．【2022 年新高考1 卷】已知函数f ( x)= x
3−x +1，则（ ）
A．f ( x)有两个极值点
B．f ( x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y = f ( x)的对称中心
D．直线y =2 x是曲线y = f ( x)的切线
【答案】AC
【解析】
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【分析】
利用极值点的定义可判断A，结合f ( x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意
义判断D.
【详解】
由题，f
' (x)=3 x
2−1，令f
' (x)>0得x> √3
3 或x<−√3
3 ，
令f
'( x)<0得−√3
3 < x< √3
3 ，
所以f ( x)在(−√3
3 , √3
3 )上单调递减，在(−∞,−√3
3 )，( √3
3 ,+ ∞)上单调递增，
所以x =± √3
3 是极值点，故A 正确；
因f (−√3
3 )=1+ 2√3
9
>0，f ( √3
3 )=1−2√3
9
>0，f (−2)=−5<0，
所以，函数f (x)在(−∞,−√3
3 )上有一个零点，
当x ≥√3
3 时，f (x)≥f(
√3
3 )>0，即函数f (x)在(
√3
3 ,+∞)上无零点，
综上所述，函数f ( x)有一个零点，故B 错误；
令ℎ( x)= x
3−x，该函数的定义域为R，ℎ(−x)=(−x)
3−(−x)=−x
3+ x =−ℎ(x)，
则ℎ( x)是奇函数，(0,0)是ℎ( x)的对称中心，
将ℎ( x)的图象向上移动一个单位得到f ( x)的图象，
所以点(0,1)是曲线y = f ( x)的对称中心，故C 正确；
令f
' (x)=3 x
2−1=2，可得x =±1，又f (1)= f (−1)=1，
当切点为(1,1)时，切线方程为y =2 x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y =2 x +3，
故D 错误.
故选：AC.
7．【2022 年全国乙卷】已知x = x1和x = x2分别是函数f ( x)=2a
x−e x
2（a>0且a≠1）的极小值点和极大
值点．若x1< x2，则a 的取值范围是____________．
【答案】(
1
e ,1)
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【解析】
【分析】
由x1, x2分别是函数f (x)=2a
x−e x
2的极小值点和极大值点，可得x∈(−∞, x1)∪(x2,+∞)时，f
' (x)<0，
x∈(x1, x2)时，f
' (x)>0，再分a>1和0<a<1两种情况讨论，方程2ln a⋅a
x−2e x =0的两个根为x1, x2，
即函数y = ln a⋅a
x与函数y =e x的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)= ln a⋅a
x，利用指数函数的图
象和图象变换得到g( x)的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解：f
' (x)=2ln a⋅a
x−2e x，
因为x1, x2分别是函数f (x)=2a
x−e x
2的极小值点和极大值点，
所以函数f (x)在(−∞, x1)和(x2,+∞)上递减，在(x1, x2)上递增，
所以当x∈(−∞, x1)∪(x2,+∞)时，f
' (x)<0，当x∈(x1, x2)时，f
' (x)>0，
若a>1时，当x<0时，2ln a⋅a
x>0,2e x<0，则此时f
' (x)>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若0<a<1时，则方程2ln a⋅a
x−2e x =0的两个根为x1, x2，
即方程ln a⋅a
x =e x的两个根为x1, x2，
即函数y = ln a⋅a
x与函数y =e x的图象有两个不同的交点，
∵0<a<1,∴函数y =a
x的图象是单调递减的指数函数，
又∵ln a<0,∴y = ln a⋅a
x的图象由指数函数y =a
x向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横
坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|ln a|倍得到，如图所示：
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设过原点且与函数y = g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,ln a⋅a
x0)，
则切线的斜率为g
'(x0)= ln
2a⋅a
x0，
故切线方程为y −ln a⋅a
x0= ln
2a⋅a
x0(x −x0)，
则有−ln a⋅a
x0=−x0ln
2a⋅a
x0，解得x0= 1
ln a，
则切线的斜率为ln
2a⋅a
1
ln a =e ln
2a，
因为函数y = ln a⋅a
x与函数y =e x的图象有两个不同的交点，
所以e ln
2a<e，解得1
e <a<e，
又0<a<1，所以1
e <a<1，
综上所述，a的范围为(
1
e ,1).
【点睛】
本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
8．【2022 年新高考1 卷】若曲线y =( x +a)e
x有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
【答案】(−∞,−4)∪(0,+ ∞)
【解析】
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【分析】
设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方
程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【详解】
∵y =( x +a)e
x，∴y
' =( x +1+a)e
x，
设切点为( x0, y0),则y0=(x0+a)e
x0,切线斜率k =(x0+1+a)e
x0,
切线方程为：y −(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0( x−x0),
∵切线过原点，∴−(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0(−x0),
整理得：x0
2+a x0−a=0,
∵切线有两条，∴∆=a
2+ 4 a>0,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+ ∞),
故答案为：(−∞,−4)∪(0,+ ∞)
9．【2022 年新高考2 卷】曲线y = ln| x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】 y = 1
e x y =−1
e x
【解析】
【分析】
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x0,ln x0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
【详解】
解： 因为y = ln|x|，
当x>0时y = ln x，设切点为(x0,ln x0)，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x0= 1
x0
，所以切线方程为
y −ln x0= 1
x0
(x−x0)，
又切线过坐标原点，所以−ln x0= 1
x0
(−x0)，解得x0=e，所以切线方程为y −1= 1
e
(x−e)，即y = 1
e x；
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当x<0时y = ln (−x)，设切点为(x1,ln(−x1))，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x1= 1
x1
，所以切线方程为
y −ln(−x1)= 1
x1
(x−x1)，
又切线过坐标原点，所以−ln(−x1)= 1
x1
(−x1)，解得x1=−e，所以切线方程为y −1= 1
−e
(x +e)，即
y =−1
e x；
故答案为：y = 1
e x；y =−1
e x
10．【2021 年甲卷理科】曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为
．
故答案为：
．
11．【2021 年新高考2 卷】已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
结合导数的几何意义可得
，结合直线方程及两点间距离公式可得
，
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，化简即可得解.
【详解】
由题意，
，则
，
所以点
和点
，
,
所以
，
所以
，
所以
，
同理
,
所以
.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件
，消去一个变量后，运算即可得解.
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