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专题02 数列（解答题12 种考法）
考法一 数列通项和求和常见方法
【例1-1】（河北省沧州市联考2024 届高三上学期10 月月考数学试题）已知数列
的前n 项和为
，
且满足
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
，
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意，
，
所以
，则
，
所以
，所以
是等差数列．
（2）由
，则
是以首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
，所以
，
所以
，
所以
．
【例1-2】（2023 秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【解析】（1）因为
，
令
，则
，解得
，则
，
且
，
可得数列
是以首项为1，公比为
的等比数列，
所以
，即
.
（2）由（1）可知：
，
则
，
所以
.
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数
列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】（1）∵
，∴
,∴
,
又∵
是公差为
的等差数列，
∴
,∴
,
∴当
时，
，
∴
,
整理得：
,
即
,
∴
，
显然对于
也成立，
∴
的通项公式
；
（2）
∴
【变式】
1．（2023 秋·广东广州·高三统考阶段练习）记
为等差数列
的前n 项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前23 项的和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列公差为d，则
，
解得
，
，
所以
.
（2）由（1）可得：
，则
，
可得
，所以
.
2．（2023·全国·统考高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为
，
由题意可得
，即
，解得
，
所以
，
（2）因为
，
令
，解得
，且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
综上所述：
.
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列
，
满足：
，
，
．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
，
；
(2)
【解析】（1）由
，得
，
又
，所以当
时，
，
所以
，又
，符合上式，
，所以
，
又
，所以
．
（2）由（1）知
，所以
，
，
两式相减得
，
所以
．
4．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，两边同时除以
，
所以
，所以
，
所以
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，所以
，
当
时，
，
当
时，
也满足上式，
所以
.
（2）由（1）可得，
，
则
.
考法二 裂项相消常见形式
【例2-1】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列
中，已知
，
，记
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)记______，数列
的前n 项和为
，求
．
在①
；②
；③
三个条件中选择一个补充在第
（2）问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【解析】（1）由
，得
，则
，而
，
因此
，显然
，
所以数列
为以2 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）选择①：由（1）得，
，
则
所以
．
选择②：由（1）得，
，
则
，
所以
.
选择③：由（1）得，
，
则
，
所以
.
【例2-2】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记
为数列
的前
项和，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，可得
，
两式相减得
，
整理得
，可知数列
是3 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
．
（2）由（1）可得：
，
则
，
所以
．
【例2-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）设等比数列
的前
项和为
，数列
为等差数列，且
公差
，
.
(1)求数列
的通项公式以及前
项和
；
(2)数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设
的公比为
，由题意，可得
，解得
，
所以
，所以
；
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，得证.
【变式】
1．（2023 秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考阶段练习）已知数列
是公比
的等比数列，前三项
和为39，且
成等差数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得
，
即得
，则
，
即
，可得
，由于
，故得
，
则
，故
；
（2）由（1）结论可得
，
故
的前
项和
.
2.（2022·湖北·模拟预测）设正项数列
的前
项和为
且
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解：因为
，当
，且
时，
，所以
，
则
是首项为1，公差为2 的等差数列，所以
，
即
，所以
，
所以
；
(2)解：由（1）可得
，
所以
．
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）解：因为
，
，①
所以当
时，解得
，
当
时，
，即
②，
由①-②可得
，即
，
所以数列
是等比数列，首项为，公比
，
所以数列
的通项公式为：
；
（2）解：由（1）
，
所以
，
4.（2022·浙江·三模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，数列
满足
，
，其中
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】(1)由
得，
，
当
时，
，
当
时，
，作差得
，
即
，则
，
因此
，所以
，又
满足
．
所以，对任意的
，
，
所以
，则
，
所以，当
时，
，
也满足
，
所以，对任意的
，
.
(2)由（1）知
，
所以
.
5.（2022·天津南开）已知数列
是公比
的等比数列，前三项和为13，且
，
，
恰好分别是
等差数列
的第一项，第三项，第五项．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
（
）；
（
）
(2)
（
）
【解析】（1）
或
，
又
，则
，∴
（
）．
设等差数列
的公差为
，由题意得，
，
，
即
，所以
（
）．
（2）由（1）知
，则
∴
故
（
）.
考法三 分段函数
【例3-1】（2023 秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前2n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
当
时，
，因为
也符合上式．
所以
．
（2）由（1）可知
，
所以
．
【例3-2】（2023·广东深圳·校考二模）已知
是等差数列，
，
，且
，
，
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记
，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
是等差数列，
，
，且
，
，
成等比数列，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
所以
．
（2）由题意
知，
，
所以
．
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
．
综上
．
【变式】
1．（江苏省南京市六校联合体2023-2024 学年高三上学期10 月联合调研数学试题）已知等差数列
的
前
项和为
，且满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）（1）设数列等差数列
的公差为d，
因为
，所以
，则
，
因为
，即
，所以
，
所以
，
，
所以
，即
.
（2）因为
，所以
，
所以
．
2．（2023·海南·统考模拟预测）在①
成等比数列，且
；②
，数列
是公差为1 的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列
的前
项和为
，且__________．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选择条件①：
根据题意，由
，得
当
时，
．
两式相减得，
，
化简得
或
（舍），
所以当
时，数列
是公差为2 的等差数列，
则
．
又由
，得
，解得
，
所以
．
当
时，
，解得
，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知
，
则当
时，
．
，
由
，得
，
解得
，
故当
时，
，
当
时，
也满足上式，
故
．
（2）
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
故
3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知
是单调递增的等差数列，其前
项和
为
.
是公比为
的等比数列.
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
由题意可得：
，解得
或
（舍去），
所以
.
（2）由（1）可得
，
当
为奇数时，则
，
设
，
则
，
两式相减得
，
所以
；
当
为偶数时，则
，
设
，
所以
；
综上所述：
，
当
为奇数时，则
；
当
为偶数时，则
；
综上所述：
.
考法四 插项数列
【例4-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列
的首项
，
，
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)在
与
（其中
）之间插入
个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列
.记
为数列
的前n 项和，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
，
所以
，取倒得
，
所以
，即
，即
，
因为
，所以
是
，
的等比数列，
所以
.
（2）在
之间有2 个3，
之间有
个3，
之间有
个3，
之间有
个3，
合计
个3，
所以
.
【例4-2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列
的前2n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
①，
所以
时，
②，
①
②得：
，即
，
又
时，
，所以
也满足上式，
故
的通项公式为
.
（2）设数列
满足
．
记
的前
项和为
，
的前
项和为
，则
．
由等比数列的求和公式得：
，
．
所以
．
即新数列
的前
项和
．
【变式】
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）
为数列
的前
项和，已知
，
且
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)数列
依次为：
，规律是在
和
中间插入
项，
所有插入的项构成以3 为首项，3 为公比的等比数列，求数列
的前100 项的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，解得
（
舍去），
由
得
时，
，
两式相减得
，
因为
，所以
，
所以
是等差数列，首项为4，公差为3，
所以
；
（2）由于
，
因此数列
的前100 项中含有
的前13 项，含有
中的前87 项，
所求和为
.
2．（2023 秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在数和之间插入
个实数，使得这
个数构成
递增的等比数列，将这
个数的乘积记作
，令
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：在数和之间插入
个实数，使得这
个数构成递增的等比数列，
设插入的这
个数分别为
、
、
、
，
由等比数列的性质可得
，
所以，
，所以，
，
易知
，所以，
，则
.
（2）解：
，
所以，
.
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列
的首项为
，公比为
（
为正整
数），且满足
是
与
的等差中项；数列
满足
（
，
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列
为等差数列；
(3)当
为等差数列时，对每个正整数
，在
与
之间插入
个2，得到一个新数列
.设
是数列
的前
项和，试求
.
【答案】(1)
(2)
(3)2226
【解析】（1）由题意，可得
，所以
，
解得
或
（舍），则
，
又
，所以
.
（2）由
，得
，
所以
，
，
，
因为数列
为等差数列，所以
，解得
，
所以当
时，
，由
（常数）知此时数列
为等差数列.
（3）因为
，所以
与
之间插入
个2，
，所以
与
之间插入
个2，
，所以
与
之间插入个2，
……
则
的前
项，由
个
，
构成，
所以
.
考法五 数列中的存在性问题
【例5】23．（2023·广东·校联考模拟预测）记
为数列
的前
项和，已知
的等差中项为
.
(1)求证
为等比数列；
(2)数列
的前
项和为
，是否存在整数
满足
？若存在求
，否则说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）因为
的等差中项为
，所以
，
因为
时，
，则
，所以
，
由
得
，
又
，两式相减得
，即
，
所以有
，所以
，
所以
是等比数列，其首项为
，公比为2.
（2）由（1）知
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
又
，
所以
，所以
.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列
的首项
，公差
．记
的前n 项和为
．
(1)若
，求
；
(2)若对于每个
，存在实数
，使
成等比数列，求d 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，
所以
，
（2）因为
，
，
成等比数列，
所以
，
，
，
由已知方程
的判别式大于等于0，
所以
，
所以
对于任意的
恒成立，
所以
对于任意的
恒成立，
当
时，
，
当
时，由
，可得
当
时，
，
又
所以
2．（2023·山东日照·三模）已知数列
满足：
.
(1)当
时，求数列
中的第10 项；
(2)是否存在正数
，使得数列
是等比数列，若存在求出
值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
，证明见解析
【解析】（1）由已知
，所以
，相除得
；
又
，所以
，所以
.
（2）假设存在正数
，使得数列
是等比数列，由
得
，由
，得
，
因为
是等比数列，
，即
，
下面证明
时数列
是等比数列，
由（1）知数列
和
都是公比是
的等比数列，
所以
，
；
所以
为奇数时，
，
为偶数时，
，
所以对一切正整数
，都有
，所以
，所以存在正数
使得数列
是等比数列.
3．（2023·上海嘉定·校考三模）已知数列
的前
项和为
，对任意的正整数
，点
均
在函数
图象上.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)问
中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）证明：对任意的正整数
，点
均在函数
图象上，
可得
，即
，
又因为
，可得
，
所以数列
表示首项为
，公比为
的等比数列.
（2）解：不存在.
理由：由（1）得
，
当
时，可得
，
又因为
，所以
，
反证法：因为
，且从第二项起数列
严格单调递增，
假设存在
使得
成等差数列，
可得
，即
，
两边同除以
，可得
因为
是偶数，
是奇数，所以
，
所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.
考法六 数列与三角函数综合运用
【例6-1】（2020 秋·宁夏中卫·高三海原县第一中学校考期中）已知
的三个内角
、
、
的对边分
别为
、
、，内角
、
、
成等差数列，
，数列
是等比数列，且首项、公比均为
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）因为内角
、
、
成等差数列，
，
所以
，
，
因为
，所以
，
，
故数列
是首项、公比均为
的等比数列，
.
（2）
，
，
，
则
，
故数列
的前
项和
.
【例6-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
当
时，
，两式子作差可得
，
又
，所以
，
可得数列
为公差为2 的等差数列，
当
时，
，
所以，数列
的通项公式为
.
（2）
，
，
所以，数列
的前
项和
.
【变式】
1.（2022·安徽）已知函数
的最小正周期为6．
(1)已知△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，若
，
，求
的值；
(2)若
，求数列
的前2022 项和
．
【答案】(1)2；(2)
.
【解析】(1)
，
因为
的最小正周期为6，故可得
，
，解得
，故
，
因为
，，故可得
，又
，则
，
；
因为
，故可得
，又
，则
或
，
或
，
因为
，则
，当
时，
，满足题意；当
时，
，不满足题意，舍去；
由正弦定理可得：
.
(2)
根据（1）中所求可得：
，
故
.
即数列
的前2022 项和
.
2.（2022·河南）已知数列{
}满足
(1)求数列{
}的通项公式；
(2)设
，求数列{
}的前n 项和
，并求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
，最大值
【解析】(1)由
得
，又
，所以
，由
得
从而
，因此数列
和数列
都是等差数列，它们的公差都等于
.
所以
即当n 为奇数时，
；
即当n 为偶数时，
综上，数列{
}的通项公式为
(2)由（1）可得
所以
当n 为奇数时，
当n 为偶数时，
，且随着n 的增大，
在减小，
所以当
时，
取得最大值
.
3.（2022·安徽）已知函数
，
(1)求
的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若
在区间
上的根按从小到大的顺序依次记为
求数列
的通项公式及其前n
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由题意得，
，
则
，
，解得
Z)，
即函数
的单调增区间为
Z，
(2)由
，得
，
有
或
Z，
解得
或
，
Z，
得方程
的根从小到大排列依次为
，
所以
则数列
的通项公式为
，
故数列
的偶数项是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
奇数项是以
为首项，1 为公差的等差数列.
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
，
综上，
考法七 数列与统计概率综合
【例7】（2024 秋·广东广州·高三统考阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出
“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10 轮，若在10 轮游戏中，参与者获胜5 次就送
2000 元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10 轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是
，若上
一次获胜则下一次获胜的概率也是
，若上一次失败则下一次成功的概率是
．记消费者甲第
次获胜的
概率为
，数列
的前
项和
，且
的实际意义为前
次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2 次获胜的概率
；
(2)证明：
为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
【答案】(1)
(2)详见解析
【解析】（1）
（2）
,
,
,
为等比数列, 且公比为
；
.
,
因为
单调递增，
当n 为奇数时，
，所以得获
奖至少要玩9 轮.
当n 为偶数时，
，得奖至
少要玩10 轮，所以平均至少要玩9 轮才可能获奖.
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健
身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100 名市民进行调研，得到如下数据：
每周健身次
数
1 次
2 次
3 次
4 次
5 次
6 次及6 次以上
男
4
6
5
3
4
28
女
7
5
8
7
6
17
附：
，
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(1)如果认为每周健身4 次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成
列联表，根据小概率值
的独
立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房
健身的概率为
，去健身房
健身的概率为
，从第二次起，若
前一次去健身房
，则此次不去
的概率为
；若前一次去健身房
，则此次仍不去
的概率为
.记第
次去健身房
健身的概率为
，则第10 次去哪一个健身房健身的概率更大？
【答案】(1)
列联表见解析，“喜欢健身”与“性别”无关
(2)第10 次去
健身房健身的概率更大
【解析】（1）依题意，
列联表如下：
喜欢健
身
不喜欢健身
合计
男
女
合计
，
所以“喜欢健身”与“性别”无关.
（2）依题意，
，当
时，
，
则
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，
所以
，
所以第10 次去
健身房健身的概率更大.
2．（2023·湖南永州·统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品
，其中
能通
过行业标准检测的概率分别为
，且
是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品
通过行业标准检测的品种数为
，求
的分布列；
(2)已知新品
中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品
中任意抽取一件进
行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过
．
如果抽取次数的期望值不超过5，求
的最大值．
参考数据：
【答案】(1)分布列见解析
(2)5
【解析】（1）由题意
的所有可能取值为：0，1，2，3.
,
,
,
;
所以
的分布列如下表：
0
1
2
3
（2）不妨设抽取第
次时取到优质产品，此时对应的概率为
，
而第
次抽到优质产品的概率为
，因此由题意抽取次数的期望值为
，
，
两式相减得
，
所以
，
又由题意可得
，
所以
，即
，
注意到当
时，有
，
且当
时，有
；
综上所述：
的最大值为5.
3．（2023 秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾
客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为
；
从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为
，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概
率为
．记该顾客第n 次摸球抽中奖品的概率为
．
(1)求
的值，并探究数列
的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】(1)
，
(2)第二次，证明见解析
【解析】（1）记该顾客第
次摸球抽中奖品为事件A，依题意，
，
．
因为
，
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，则
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
故
．
（2）证明：当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，则
随着n 的增大而减小，所以，
．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
考法八 数列中的最值
【例8】（2022·全国·统考高考真题）记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【解析】（1）因为
，即
①，
当
时，
②，
①
②得，
，
即
，
即
，所以
，
且
，
所以
是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
所以
，所以
，
所以，当
或
时，
．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
所以
，即有
.
则当
或
时，
．
【变式】
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
，
，
为数列
的前
项和.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求使
成立的
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
当
时，
，
，
综上所述，
；
（2）由（1）得
，
当
时，
.
故
，
要使
，即
，解得
，
又
，故
取最大值为.
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列
的前n 项和
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)议
，当
取得最小值时，求n 的取值．
【答案】(1)
(2)1，2，3．
【解析】（1）因为
，
当
时，
，
所以
，
又
时，
不满足上式，
故数列
的通项公式为
.
（2）当n 为奇数时，
，
当
，
时，
因为
单调递增，∴
，
综上，当n 为奇数时，
；
当n 为偶数时，
，
因为
单调递增，∴
．
综上所述，当
取得最小值时，n 的取值为1，2，3．
3．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列
是公差为2 的等差数列，且
是
和
的等比中项．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求使得
成立的最大正整数
的值．
【答案】(1)
；
(2)7.
【解析】（1）因为
是
和
的等比中项，
所以
，
又因为数列
是公差为2 的等差数列，
所以
，
故数列
的通项公式为
．
（2）因为
，
所以数列
的前
项和为
，
又因为
，
所以
，
设
，
因为
，
所以
单调递增，又
，
所以
，
所以使得
成立的最大正整数
的值为7.
考法九 数列中求参问题
【例9】（2023·全国·统考高考真题）设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别
为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，解得
，
，
又
，
，
即
，解得
或
（舍去），
.
（2）
为等差数列，
，即
，
，即
，解得
或
，
，
，
又
，由等差数列性质知，
，即
，
，即
，解得
或
（舍去）
当
时，
，解得
，与
矛盾，无解；
当
时，
，解得
.
综上，
.
【变式】
1．（2023 秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知正项数列
，对任意
，都有
为数列
的前
项和．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，若数列
是递增数列，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，故
，
故
，整理得到
，
因为
，故
，故
，
故
为等差数列，而
，故
（舍）或
，
故
.
（2）由（1）可得
，
因为
是递增数列，故
，故
，
整理得到：
，故
，
当
为正奇数时，故
恒成立，故
；
当
为正偶数时，故
恒成立，故
；
故
.
2．（2024 秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列
满足
，
(1)记
，求证：
为等比数列；
(2)设数列
满足：
，
，若不等式
恒成立，
求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
为等比数列；
（2）由（1）可知：
是2 为公比的等比数列，
，因此
，
即
，
而
，
所以
，
当
时，
，
令
，
所以
，
两式相减，得
，
所以
，
所以
，当
时，也满足
，
由
设
，
由
，
由
，
当
，所以有
，
，所以
，
所以
，因此实数
的取值范围为
.
3．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）在数列
中，
，
的前
项为
．
(1)求证：
为等差数列，并求
的通项公式；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
；
(2)
.
【解析】（1）由
，
，得
，
，
则
，因此数列
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
于是
，所以
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
，
因此当
时，
恒成立，即
对
恒成立，
而对勾函数
在
上单调递增，于是当
时，
，则
，
所以
的取值范围是
.
考法十 数列与函数导数综合
【例10-1】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知数列
，
满足
，
是等比数列，且
的前
项和
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设数列
，
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
；
当
且
时，
，
；
经检验：
满足
，
；
当
时，
，
；
当
且
时，
，
，
；
经检验：
满足
，
.
（2）由（1）知：
，
；
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
；
又
，
.
【例10-2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和为
，设
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
所以当
时，
，所以
；
当
时，
，
所以
，
所以
，
又
满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，
当
时，
；
当
时，
；
所以
，
当
时，
递减，所以
；
当
时，
，
设
，
则
，令
得
，此时
单调递增，
令
得
，此时
单调递减，
所以
在
时递减，在
时递增，
而
，
，且
，
所以
；
综上，
的最小值为
.
【变式】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列
中，
，当
时，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说
明理由.
【答案】(1)
；
(2)最大项
，最小项
.
【解析】（1）因为当
时，
，所以
，
令
，则
，
，又
，所以
，
，
所以数列
为等比数列，公比为2，首项为2，
所以
，所以
.
（2）由（1）知
，得
，
，
当
时，
，
，即
；
当
时，
，
，即
，
所以数列
是先增后减，最大项为
，
因为当
时，
且数列
是单调递增；当
时
，
所以数列
的最小项为
．
2．（2023·陕西西安·校考三模）已知数列
是等差数列，
，且
、
、
成等比数列．给定
，记集合
的元素个数为
．
(1)求
、
、
的值；
(2)设数列
的前
项和为
，判断数列
的单调性，并证明.
【答案】(1)
，
，
(2)单调递增数列，证明见解析
【解析】（1）解：设数列
的公差为
，由
、
、
成等比数列，得
，
，整理可得
，解得
，
所以
，
时，集合
中元素个数为
，
时，集合
中元素个数为
，
时，集合
中元素个数为
.
（2）解：由（1）知
，
，
对于
恒成立，
为递增数列，即
，即
，
，
，故数列
是单调递增数列.
3．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列
，满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，试比较
与9 的大小，并加以证明．
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【解析】（1）因为
，
所以
，
因为
的各项均为正，所以
，故
，即
，
所以
是以2 为公比的等比数列，
因为
，又公比为2，
所以
，所以
.
（2）
，证明如下：
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
所以
，则
，即
，
设
，所以
，
所以
，
记
，则
，
所以
，
即
，则
，所以
，所以
.
考法十一 新概念数列
【例11】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列
是首项为1 的等差数列，数列
是公比为2 的
等比数列，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
表示不超过
的最大整数（如：
），求集合
中元素的个数．
【答案】(1)
(2)36
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
由题意可知
，
因为
，
所以
，
解得
，所以
，
，故
．
（2）因为
，所以
，所以
．
因为
，
所以当
时，
，则
，又
，故
；
当
时，
，则
，故
；
当
时，
，则
，故
；
当
时，
，则
，故
，
依次类推，当
时，
，则
，故
，
由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，
所以集合
中元素的个数为
个．
【变式】
1．（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列
的前
项积为
，且
.
(1)证明：
是等差数列；
(2)设
，数列
的前
项和为
，定义
为不超过
的最大整数，例如
，
，求
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：已知数列
的前
项积为
得
（
），
故有
，从而
，且
，则
，所以
.
从而
是首项为3，公差为2 的等差数列.
（2）由（1）知，
，
.
所以
.
当
时，
，
.
当
时，
，
.
当
时，
.
这时
.
所以
时，
，
综上，
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)定义
，记
，求数列
的前20 项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）因为
，当
时，
，解得
；
当
时，
，所以
，即
，
所以
，即
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，
，则
．
（2）因为
，即数列
为递增数列，
，即数列
单调递减．
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
所以
．
考法十二 数列与其他知识的综合
【例12】（2023·江苏无锡·校联考三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，求
除以3 的余数.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）因为
，
，
所以
是首项为1，公差为
的等差数列，
所以
，
即
①，
所以
②，
由②－①可得
，
即
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
则
，
所以
，
所以
所以
除以3 的余数为2.
【变式】
1．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
在区间
中的项的个数，求数列
前100 项的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设公比为
，由
，得
，
即
，得
，
解得
或
（舍去），得
，又
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
故数列
的通项公式为
.
（2）由
为数列
在区间
中的项的个数，
可知
，
，
.
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
.
∴
.
∴数列
前100 项的和为
.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)集合
，将集合
的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为
，求
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，则
，且
；
当
时，
，
，两式相减得
，
∴
（
），
∴当
时，
，即
，
则
，∴
．
综上，
对任意
都成立．
（2）
，集合
的非空子集有
个，
其中最小元素为1 的集合中，含1 个元素的集合有1 个，含2 个元素的集合有
个，
含3 个元素的集合有
个，……，含
个元素的集合有
个，
所以最小元素为1 的子集个数为
个，
同理，最小元素为2 的子集个数为
个，
……，最小元素为
的子集个数为1 个，
∴
，
，
∴
，则
．
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列
的前
项和为
，满足
.等差数
列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)将数列
满足__________（在①②中任选一个条件）的第
项
取出，并按原顺序组成一个新的数
列
，求
的前20 项和
.①
，②
，其中
.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）因为数列
满足
①，
当
时，
，解得
；
当
时，
，②
②-①得
，即
因
，所以
，从而
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
所以
.
因为等差数列
满足
.所以
.
设
公差为
，则
，解得
.
所以
.
所以数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
；
（2）若选①
，则有
.
所以
取出的项就是原数列的偶数项，
所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
；
若选②
，则有
，
因为
所以当
时，对应的
，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时
为整数，满足题意；
当
时，对应的
，
由二项展开式可知
所以
除以3 的余数是1，不能整除，即此时
不是整数，不满足题意；
所以
取出的项就是原数列的偶数项，
所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
.
