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三年专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
1．【2022 年全国甲卷】函数y =(3
x−3
−x)cos x在区间[−π
2 , π
2]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
令f ( x)=(3
x−3
−x)cos x , x∈[−π
2 , π
2 ]，
则f (−x)=(3
−x−3
x)cos(−x)=−(3
x−3
−x)cos x =−f ( x)，
所以f ( x)为奇函数，排除BD；
又当x∈(0, π
2 )时，3
x−3
−x>0,cos x>0，所以f ( x)>0，排除C.
故选：A.
2．【2022 年全国甲卷】已知9
m=10,a=10
m−11,b=8
m−9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
【答案】A
【解析】
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【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m= log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，
log89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由9
m=10可得m= log910= lg10
lg9 >1，而lg9lg11<(
lg9+lg11
2
)
2
=(
lg99
2 )
2
<1=(lg10)
2，所以
lg10
lg9 > lg11
lg10，即m>lg11，所以a=10
m−11>10
lg11−11=0．
又lg8lg10<(
lg8+lg10
2
)
2
=(
lg80
2 )
2
<(lg9)
2，所以lg9
lg8 > lg10
lg9 ，即log89>m，
所以b=8
m−9<8
log89−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
3．【2022 年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是
（ ）
A．y = −x
3+3 x
x
2+1
B．y = x
3−x
x
2+1
C．y = 2 x cos x
x
2+1
D．y = 2sin x
x
2+1
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
设f ( x)= x
3−x
x
2+1
，则f (1)=0，故排除B;
设ℎ( x)= 2 x cos x
x
2+1
，当x∈(0, π
2 )时，0<cos x<1，
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所以ℎ( x)= 2 x cos x
x
2+1
< 2 x
x
2+1
≤1，故排除C;
设g( x)= 2sin x
x
2+1 ，则g(3)= 2sin3
10
>0，故排除D.
故选：A.
4．【2022 年全国乙卷】已知函数f ( x),g( x)的定义域均为R，且f ( x)+ g(2−x)=5, g( x)−f ( x−4)=7．
若y = g( x)的图像关于直线x =2对称，g(2)= 4，则∑
❑
❑
k =1
22
f (k )=（ ）
A．−21
B．−22
C．−23
D．−24
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到f ( x)+ f ( x−2)=−2，从而得到f (3)+ f (5)+…+ f (21)=−10，
f (4)+ f (6)+…+ f (22)=−10，然后根据条件得到f (2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得到f (1)的值即
可求解.
【详解】
因为y = g( x)的图像关于直线x =2对称，
所以g(2−x)= g(x +2)，
因为g( x)−f ( x−4)=7，所以g( x +2)−f ( x−2)=7，即g( x +2)=7+ f ( x−2)，
因为f ( x)+ g(2−x)=5，所以f ( x)+ g( x +2)=5，
代入得f ( x)+[7+ f ( x−2)]=5，即f ( x)+ f ( x−2)=−2，
所以f (3)+ f (5)+…+ f (21)=(−2)×5=−10，
f (4)+ f (6)+…+ f (22)=(−2)×5=−10.
因为f ( x)+ g(2−x)=5，所以f (0)+ g(2)=5，即f (0)=1，所以f (2)=−2−f (0)=−3.
因为g( x)−f ( x−4)=7，所以g( x + 4)−f ( x)=7，又因为f ( x)+ g(2−x)=5，
联立得，g(2−x)+ g(x + 4)=12，
所以y = g( x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g( x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f ( x)+ g( x +2)=5，所以f (1)=5−g(3)=−1.
所以
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∑
❑
❑
k =1
22
f (k )= f (1)+ f (2)+[f (3)+ f (5)+…+ f (21)]+[f (4)+ f (6)+…+ f (22)]=−1−3−10−10=−24.
故选：D
【点睛】
含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需
的一些数值或关系式从而解题.
5．【2022 年新高考2 卷】已知函数f ( x)的定义域为R，且f ( x + y)+ f ( x−y)= f ( x)f ( y),f (1)=1，则
∑
k =1
22
❑f (k )=（ ）
A．−3
B．−2
C．0
D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数f (x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)的值，即可解出．
【详解】
因为f (x + y)+ f (x−y)= f (x)f ( y)，令x =1, y =0可得，2f (1)= f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x =0可得，
f ( y)+ f (−y)=2f ( y)，即f ( y)= f (−y)，所以函数f (x)为偶函数，令y =1得，
f (x +1)+ f (x−1)= f (x)f (1)= f (x)，即有f (x +2)+ f (x)= f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x−1)，
f (x−1)=−f (x−4)，故f (x +2)= f (x−4)，即f (x)= f (x +6)，所以函数f (x)的一个周期为6．
因为f (2)= f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)= f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)= f (−2)= f (2)=−1，
f (5)= f (−1)= f (1)=1，f (6)= f (0)=2，所以
一个周期内的f (1)+ f (2)+⋯+ f (6)=0．由于22 除以6 余4，
所以∑
k =1
22
f (k )= f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)=1−1−2−1=−3．
故选：A．
6．【2021 年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，
为
上的减函数，不合题意，舍.
对于B，
为
上的减函数，不合题意，舍.
对于C，
在
为减函数，不合题意，舍.
对于D，
为
上的增函数，符合题意，
故选：D.
7．【2021 年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记
录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足
．已知某
同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据
关系，当
时，求出
，再用指数表示
，即可求解.
【详解】
由
，当
时，
，
则
.
故选：C.
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8．【2021 年甲卷文科】设
是定义域为R 的奇函数，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得
的值.
【详解】
由题意可得：
，
而
，
故
.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本
题的关键.
9．【2021 年甲卷理科】设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过
是奇函数和
是偶函数条件，可以确定出函数解析式
，进而利用定义或
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周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为
是奇函数，所以
①；
因为
是偶函数，所以
②．
令
，由①得：
，由②得：
，
因为
，所以
，
令
，由①得：
，所以
．
思路一：从定义入手．
所以
．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数
的周期
．
所以
．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
10．【2021 年乙卷文科】设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
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【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得
，
对于A，
不是奇函数；
对于B，
是奇函数；
对于C，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
11．【2021 年乙卷理科】设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，将0.01
换成x,分别构造函数
,
，利用导数分析其在0 的右
侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】
,
所以
;
下面比较与
的大小关系.
记
,则
,
，
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由于
所以当0<x<2 时，
,即
,
,
所以
在
上单调递增，
所以
,即
,即
;
令
,则
,
,
由于
，在x>0 时,
,
所以
,即函数
在[0,+∞)上单调递减，所以
,即
,即b<c;
综上，
,
故选：B.
【点睛】
本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数
研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
12．【2021 年新高考2 卷】已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对数函数的单调性可比较
、
与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
，即
.
故选：C.
13．【2021 年新高考2 卷】已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出函数
是以
为周期的周期函数，由已知条件得出
，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数
为偶函数，则
，可得
，
因为函数
为奇函数，则
，所以，
，
所以，
，即
，
故函数
是以
为周期的周期函数，
因为函数
为奇函数，则
，
故
，其它三个选项未知.
故选：B.
14．【2020 年新课标1 卷理科】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设
，利用作差法结合
的单调性即可得到答案.
【详解】
设
，则
为增函数，因为
所以
，
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所以
，所以
.
，
当
时，
，此时
，有
当
时，
，此时
，有
，所以C、D 错误.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
15．【2020 年新课标1 卷文科】设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
由
可得
，所以
，
所以有
，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础
题目.
16．【2020 年新课标2 卷理科】设函数
，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在
单调递增
B．是奇函数，且在
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
【答案】D
【解析】
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【分析】
根据奇偶性的定义可判断出
为奇函数，排除AC；当
时，利用函数单调性的性质可判断出
单调递增，排除B；当
时，利用复合函数单调性可判断出
单调递减，从而得到结
果.
【详解】
由
得
定义域为
，关于坐标原点对称，
又
，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递增，排除B；
当
时，
，
在
上单调递减，
在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：
在
上单调递减，D 正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据
与
的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合
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函数“同增异减”性得到结论.
17．【2020 年新课标2 卷理科】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为
，根据
的单调性知
，以此去判断各个选项中真数与的大
小关系，进而得到结果.
【详解】
由
得：
，
令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到
的
大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
18．【2020 年新课标2 卷文科】设函数
,则
（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为
，利用定义可得出函数
为奇函数，
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再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数
定义域为
，其关于原点对称，而
，
所以函数
为奇函数．
又因为函数
在
上单调递增，在
上单调递增，
而
在
上单调递减，在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
19．【2020 年新课标3 卷理科】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
，其中
K 为最大确诊病例数．当I(
)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则
约为（ ）
（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
【答案】C
【解析】
【分析】
将
代入函数
结合
求得
即可得解.
【详解】
，所以
，则
，
所以，
，解得
.
故选：C.
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【点睛】
本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
20．【2020 年新课标3 卷理科】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（
）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得
、
、
，利用作商法以及基本不等式可得出
、
的大小关系，由
，得
，结合
可得出
，由
，得
，结合
，可得出
，综合可得出
、
、的大小关系.
【详解】
由题意可知
、
、
，
，
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
.
综上所述，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查
推理能力，属于中等题.
21．【2020 年新课标3 卷文科】设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
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分别将
,
改写为
，
，再利用单调性比较即可.
【详解】
因为
，
，
所以
.
故选：A.
【点晴】
本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
22．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶
段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r 与
R0，T 近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计
感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天
B．1.8 天
C．2.5 天
D．3.5 天
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得
，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为
天，
根据
，解得
即可得结果.
【详解】
因为
，
，
，所以
，所以
，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为
天，
则
，所以
，所以
，
所以
天.
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故选：B.
【点睛】
本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
23．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】若定义在
的奇函数f(x)在
单调递减，且f(2)=0，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数
在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分
类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
解得
或
，
所以满足
的
的取值范围是
，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
24．【2020 年新高考2 卷（海南卷）】已知函数
在
上单调递增，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】
【分析】
首先求出
的定义域，然后求出
的单调递增区间即可.
【详解】
由
得
或
所以
的定义域为
因为
在
上单调递增
所以
在
上单调递增
所以
故选：D
【点睛】
在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
25．【2022 年新高考1 卷】已知函数f ( x)及其导函数f
'( x)的定义域均为R，记g( x)= f
'( x)，若
f(
3
2 −2 x)，g(2+ x)均为偶函数，则（ ）
A．f (0)=0
B．g(−1
2)=0
C．f (−1)= f (4)
D．g(−1)= g(2)
【答案】BC
【解析】
【分析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为f ( 3
2 −2 x)，g(2+ x)均为偶函数，
所以f ( 3
2 −2 x)= f ( 3
2 +2 x)即f ( 3
2 −x)= f ( 3
2 + x)，g(2+ x)= g(2−x)，
所以f (3−x)= f ( x)，g(4−x)= g( x)，则f (−1)= f (4)，故C 正确；
函数f ( x)，g( x)的图象分别关于直线x = 3
2 , x =2对称，
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又g( x)= f
'( x)，且函数f ( x)可导，
所以g( 3
2 )=0,g(3−x)=−g( x)，
所以g(4−x)= g( x)=−g(3−x)，所以g( x +2)=−g( x +1)= g( x)，
所以g(−1
2 )= g( 3
2 )=0，g(−1)= g(1)=−g(2)，故B 正确，D 错误；
若函数f ( x)满足题设条件，则函数f ( x)+C（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定f ( x)的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，
准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
26．【2021 年新高考2 卷】设正整数
，其中
，记
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用
的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，
，
，
所以，
，A 选项正确；
对于B 选项，取
，
，
，
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而
，则
，即
，B 选项错误；
对于C 选项，
，
所以，
，
，
所以，
，因此，
，C 选项正确；
对于D 选项，
，故
，D 选项正确.
故选：ACD.
27．【2022 年全国乙卷】若f (x)= ln|a+
1
1−x|+b是奇函数，则a=_____，b=______．
【答案】 −1
2； ln 2．
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义即可求出．
【详解】
因为函数f (x)= ln|a+
1
1−x|+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a+
1
1−x ≠0可得，(1−x)(a+1−ax)≠0，所以x = a+1
a
=−1，解得：a=−1
2，即函数的定义域为
(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+ ∞)，再由f (0)=0可得，b= ln 2．即f (x)= ln|−1
2 +
1
1−x|+ ln 2= ln|
1+ x
1−x|，
在定义域内满足f (−x)=−f (x)，符合题意．
故答案为：−1
2；ln2．
28．【2021 年新高考1 卷】已知函数
是偶函数，则
______.
【答案】1
【解析】
【分析】
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利用偶函数的定义可求参数
的值.
【详解】
因为
，故
，
因为
为偶函数，故
，
时
，整理得到
，
故
，
故答案为：1
29．【2021 年新高考1 卷】函数
的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由解析式知
定义域为
，讨论
、
、
，并结合导数研究的单调性，即可求
最小值.
【详解】
由题设知：
定义域为
，
∴当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递增；
又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；
∴
故答案为：1.
30．【2021 年新高考2 卷】写出一个同时具有下列性质①②③的函数
_______．
①
；②当
时，
；③
是奇函数．
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【答案】
（答案不唯一，
均满足）
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质可得所求的
.
【详解】
取
，则
，满足①，
，
时有
，满足②，
的定义域为
，
又
，故
是奇函数，满足③.
故答案为：
（答案不唯一，
均满足）
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