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专题02 复数（选填题10 种考法）
考法一 复数的实部与虚部
【例1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若复数满足
，则复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，故复数的虚部是
.故选：C
【例1-2】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知
，若的虚部等于实部的两倍，则实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
又的虚部等于实部的两倍，所以
，解得
.故选：D
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若复数满足
，则的虚部为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
所以的虚部为3．
故选：B．
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若i 是虚数单位，则复数
的虚部等于（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
复数的虚部等于
．
故选：B．
3（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数
，则
的实部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】：因为
，所以
，
所以
，所以
的实部为
.故选：A.
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）设
，若复数
的虚部为3（其中为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】复数
，
因为其虚部为3，所以
，可得
.故选：A.
考法二 共轭复数
【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，所以复数
的共轭复数为
.故选：C
【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数满足
，则的共轭复
数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，所以
.故选：B
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
则
.
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】因为
，所以
，即
．
故选：A．
3．（2022·全国·统考高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
考法三 相等复数
【例3-1】（2023·新疆·统考三模）已知
，其中
，为虚数单位，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】
，则
，
则
，解得
，故选：D.
【例3-2】（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数满足
，其中为虚数
单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设复数
，则
，
则
，则
，
，
所以
．
故选：C.
【变式】
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设
，其中
，
为实数，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】
，∴
，
，
.
故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）设
，则
（ ）
A．-1
B．0 ·
C．1
D．2
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，解得：
．故选：C.
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知
（为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，而
为实数，故
，
故选：B.
考法四 复数的模长
【例4-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z 满足
，则
（ ）
A．1
B．5
C．7
D．25
【答案】B
【解析】由题意有
，故
．
故选：B．
【例4-2】．（2023·全国·统考高考真题）
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
【答案】C
【解析】由题意可得
，则
.故选：C.
【变式】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】
，则
，有
，
∴
.
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知
，则
（ ）.
A．
B．
C．2
D．1
【答案】C
【解析】由
，得
，
则
，所以
.
故选：C.
3（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若复数
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】
，
故选：A
考法五 在复平面对应的象限
【例5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】由
，可得
，
所以
，故z 在复平面内对应的点
位于第一象限.
故选：A.
【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）复数
在复平面内对应的点位于第二象限，则实
数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
复数在复平面内对应的点位于第二象限，则
，解得
，故选：C．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】因为
，
则所求复数对应的点为
，位于第一象限.
故选：A.
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知
在复平面内对应的点位于第四象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将
整理化简可得
，
所以复数在复平面内对应的点坐标为
，
由点位于第四象限可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A
3．（2023·河南开封·统考三模）“
”是“复数
（为虚数单位）在复平面上对应的点在第
四象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为
，
又复数z 在复平面内所对应的点在第四象限，
所以
，解得
，
因此
是
必要不充分条件，
故选：B
考法六 复数的分类
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数
为纯虚数（
），则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
，
在
中，
z
∵为纯虚数，
∴
，解得：
，
∴
，
，
故选：C．
【例6-2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知
，复数
，
是实数，则
（ ）
A．5
B．10
C．
D．
【答案】C
【解析】
，故
，解
得
，故
.
故选：C
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）复数
为纯虚数，则实数
的值是（ ）
A．-1
B．1
C．0 或-1
D．0 或1
【答案】A
【解析】因为复数
为纯虚数，
所以
，解得：
.
故选：A.
2．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知为虚数单位，若
为实数，则实数
（ ）
A．
B．4
C．2
D．
【答案】B
【解析】
，
要使
为实数，需满足
，所以
.
故选：B.
3．（2023·河南·统考三模）复数
纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．1
【答案】C
【解析】
为纯虚数，
所以
，故
.故选：C
考法七 在复数的范围内解方程
【例7-1】（2023·山东济南·统考三模）已知复数
是关于
的方程
的两根，则
的值为
（ ）
A．-3
B．-2
C．2
D．3
【答案】D
【解析】解法一：由
，得
，
，
所以
；
解法二：方程
，由韦达定理可得
.
故选：D
【例7-2】（2023·河南·统考模拟预测）已知
，
为实数，
（i 为虚数单位）是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【解析】由
是关于
的方程
的一个根，
则
是关于
的方程
的一个根，
则
，
，
即
，
，则
，故选：D.
【变式】
1．（2023·重庆·统考三模）设
，
是方程
在复数范围内的两个解，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由方程
得
，由求根公式得根为
，
不妨设
，
.
，A 错误；
，B 错误；
，C 错误；
令
，得
或
，
所以
，
也是方程
的两个根，所以D 正确.
故选：D.
2．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测）已知
（是虚数单位）是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．9
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】已知
（是虚数单位）是关于
的方程
的一个根，
则
，即
，即
，
解得
，故
.
故选：
．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程
有实根
b，且
，则复数z 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由b 是方程
）的根可得
，
整理可得：
，所以
，解得
，
所以
．故选：A
考法八 与复数相关的轨迹
【例8】．（2023·河北沧州·校考三模）设复数满足
，在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】复数满足
，则
，∴
，故选：D
【变式】
1．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数
为虚数单位
为纯虚数，则在复平面内，
对应的点
的轨迹为（ ）
A．圆
B．一条线段
C．两条直线
D．不含端点的4 条射线
【答案】D
【解析】由题意可知，复数
在复平面内对应的点
，
所以
，
因为
为纯虚数，所以
，解得
或
，
故在复平面内，对应的点
的轨迹为不含端点的4 条射线.故选：D.
2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知复数满足
在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，可知复数在复平面内对应的点为
到点
的距离为3，
则
，即
.
故选：C.
3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）复数
（
为虚数单位）在复平面内对应点
，则
下列为真命题的是（ ）．
A．若
，则点
在圆上
B．若
，则点
在椭圆上
C．若
，则点
在双曲线上
D．若
，则点
在抛物线上
【答案】D
【解析】
表示点
与
之间的距离，
表示点
与
之间的距离，记
，
，
对于A，
，表示点
到
、
距离相等，则点
在线段
的中垂线上，故A 错误；
或由
，整理得
，所以点
在
，故A 错误；
对于B，由
得
，这不符合椭圆定义，故B 错误；
对于C，若
，
，这不符合双曲线定义，故C 错误；
对于D，若
，则
，整理得
，为抛物线，故D 正确.
故选：D.
考法九 最值
【例9-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知
，且
，若
，则
的最大值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【解析】设
，
因为
，故
，
因为
，所以
，
故
，
当
时，
有最大值为2．故选：D．
【变式】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】复数满足
，
则复数z 对应的点的轨迹为以
为焦点，长轴长
的椭圆，
则椭圆短半轴长为
，椭圆方程为
，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时，
取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时，
取值小值
；
故
的取值范围为
，
故选：D
2．（2023 秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知复数z 满足
，则
的最小值
为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】A
【解析】设复数在复平面内对应的点为
，
因为复数满足
，
所以由复数的几何意义可知，点
到点
和
的距离相等，
所以在复平面内点
的轨迹为
，
又
表示点
到点
的距离，
所以问题转化为
上的动点
到定点
距离的最小值，
当
为
时，到定点
的距离最小，最小值为1，
所以
的最小值为1，故选：A．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设
且
，满足
，则
的取值范围为_____．
【答案】
【解析】设
，
，则
，
所以
，
，所以
，
即
对应点
在以
为圆心，半径为的圆
上.
，
对应点为
，
与
关于
对称，
所以点
在以
为圆心，半径为的圆
上，
表示
与
两点间的距离，
圆
与圆
相交，圆心距为
，如图所示，
所以
的最小值为，最大值为
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
考法十 复数的综合运用
【例10】（2023 秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）（多选）设复数
，且
,其中
为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若
，则
是实数
B．若
，则存在唯一实数对
使得
C．若
，则
在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】对于A 中，若
，因为
，则
，可得
，
设
，则
，所以A 正确；
对于B 中，由A 得
，设
，若
，
则
，
只要
或
，选项B 就不正确；
例如：
，此时
，
可表示为
或
，
所以表示方法不唯一，所以B 错误.
对于C 中，若
，则
，可得
，
则
，所以
且
，
设
，则
，其中
，
则复数
对应的向量与复数
对应的向量方向共线，且长度是
倍，
故
在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与
方向共线），所以C 正确.
对于D 中，若
，可得
，同理
，
由
，即
，可得
，
即
，
即
，即
，
即
，
因为
，所以
成立，
所以
成立，所以D 正确.
故选：ACD.
【变式】
1．（2023 秋·辽宁抚顺）（多选）若复数在复平面内对应的点为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
在第二象限
B．若为纯虚数，则
在虚轴上
C．若
，则点
的集合所构成的图形的面积为
D．若
，
互为共轭复数，则
是实数
【答案】BD
【解析】对于A 项，因为
，则
，
所以
在坐标轴上，故A 项错误；
对于B 项，若为纯虚数，则
（
），则
（
）在虚轴上，故B 项正确；
对于C 项，设
（
），因为
，所以
，即
，
则点
的集合所构成的图形是圆心为
，半径为3 的圆及其内部，
所以点
的集合所构成的图形面积为
，故C 项错误；
对于D 项，设
，则
，所以
，故D 项正确．
故选：BD.
2．（2023 春·河北石家庄）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若复数
满足
，则
C．若
，则复数一定为实数
D．若复数满足
，则
最大值为
【答案】ACD
【解析】A 选项，由于
，
根据复数相等的知识可知
，A 选项正确.
B 选项，若
，则
，但
，B 选项错误.
C 选项，设
，
由
得
，
则
，解得
，所以
为实数，C 选项正确.
D 选项，由于
，所以对应点的轨迹是以
为圆心，
半径为
的圆，而
表示圆上的点到原点的距离，
所以
最大值为
，D 选项正确.
故选：ACD
3．（2023 秋·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）（多选）已知复数z，
，
，
是z 的共轭
复数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．若
，则
的最小值为1
【答案】ACD
【解析】对于A，设
，则
，故A 正确；
对于B，令
，满足
，故B 错误；
对于C，设
，
，则
，所以
，故C 正确；
对于D，设
，则
，
即
，表示以
为圆心，半径为1 的圆，
表示圆上的点到
的距离，故
的最小值为
，故D 正确.
故选：ACD
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是
，则的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在复平面对应的点是
，根据复数的几何意义，
，
由共轭复数的定义可知，
.故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故选：D.
4．（2022·全国·统考高考真题）设
，其中
为实数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
R，
，所以
，解得：
．
故选：A.
5．（2022·全国·统考高考真题）若
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
．
故选：D.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知
，且
，其中a，b 为实数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由
,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得
,即
故选:
7．（2022·全国·统考高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】由题设有
，故
，故
，
故选：D
8．（2021·全国·统考高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，则
，
所以，
，解得
，因此，
.
故选：C.
9．（2021·全国·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
.
故选：B.
10．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，
，
，
若
，则z 的虚部为（ ）
A．-3
B．3
C．-4
D．4
【答案】A
【解析】由题意得
，
所以
，解得
或
，
因为复数z 在复平面内对应的点在第三象限，所以
舍去，
故
，虛部为-3．
故选：A.
11．（2023·海南·统考模拟预测）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数是最小的纯虚数
B．在复数范围内，模为1 的复数共有
和
四个
C．与
是一对共轭复数
D．虚轴上的点都表示纯虚数
【答案】C
【解析】虚数不能比大小，故A 错误；
对于复数
，但凡满足
，其模均为1，显然不仅四个，比如
时，
，故B 错误；由共轭复数的定义可知C 正确；
原点
也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D 错误.故选：C
12．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）欧拉公式
由瑞士数学家欧拉发现，其将自
然对数的底数，虚数单位与三角函数
，
联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数
，
则z 的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
因为
，所以z 的虚部为
.
故选：D.
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知是虚数单位，复数满足
，则
（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为1
C．
D．在复平面对应的点在第二象限
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
所以复数的实部为，虚部为，故A、B 错误；
复数在复平面对应的点为
，位于第一象限，故D 错误；
，故C 正确.
故选：C
14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知
（a，
，i 为虚数单位），则复数
（ ）
A．2
B．
C．
D．6
【答案】B
【解析】∵
，
∴
，
∴
，解得
，
所以
．
故选:B．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知
是关于方程
的一
个根，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是关于方程
的一个根，
所以
，即
，
所以
，解得
.
故选：B
16．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知
，其中a，b 为实数，则在复平面内复数
对应
的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】由
，可得
，
则
，解之得
，则
，
其在复平面内对应点的坐标为
，该点位于第四象限.
故选：D
17．（2023·河南·模拟预测）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．1 或
【答案】A
【解析】设
，
，
，
，
，
，
.
故选：A
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：由已知得
，
．
法二：由已知得
，故
，即
．
.
故选：B．
19．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知复数
（其中为虚数单位）在复
平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
由题意可知
,解得：
．
故选：D．
20．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知复数
，
，且z 在复平面上对应
的点位于第二象限，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，解得
，
又z 在复平面上对应的点位于第二象限，所以
．
故选：B.
21（2023·湖北武汉·统考三模）设复数满足
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
则
，
依题意得
，即
，
则
.
故选：A
22．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．2022
B．2023
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
则
，
由题意可得：
可得关于
的方程
的根为
，
故
，
整理得
，
即
，
令
，可得
，
且2022 为偶数，所以
.
故选：B.
23（2023·重庆·校联考三模）已知方程
在复数范围内有一根为
，其中i 为虚数
单位，则复数
在复平面上对应的点在（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】：因为方程
在复数范围内有一根为
，
所以
，整理得
，
所以
，
则复数
在复平面上对应的点在第二象限．
故选：B．
24．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知
是关于
的方程
的一个根，
则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】因为
是关于
的方程
的一个根，
所以方程的另外一个根为
，
则
，
所以
，
所以
在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
25．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在复数范围内解得方程
的两根为
，则
（ ）
A．4
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题意，在
中，解得：
，∴
，
故选：C.
26．（2023 春·云南）已知复数
，
和满足
，若
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．3
C．
D．1
【答案】B
【解析】根据题意，得
，
当
，
，
时，
，此时
，
所以
.故选：B.
27．（2023 春·河北石家庄 ）复数满足
（为虚数单位），则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
，∴
，对应的点在以原点为圆心1 为半径的圆上，
表示复数对应点和
对应的点间距离，
又
，
所以
的最小值是
，
故选：B．
28．（2023·山东）设
，则满足
的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点），
所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积
.故选：C
29．（2023 春·宁夏银川 ）设复数
，
满足
，
，复数
在复平面内所
对应的点分别为A，B，C，则三角形
的面积为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】设
，
，
则
，
所以
，
，
，
，
所以
，
即
，
所以
，
又
，
，
在
中，过
作
，垂足为
，
则
为
中点，即
，
所以
，
所以
.
故选：D.
30．（2023 秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知复数z 满足
，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】A
【解析】设复数在复平面内对应的点为
，
因为复数满足
，
所以由复数的几何意义可知，点
到点
和
的距离相等，
所以在复平面内点
的轨迹为
，
又
表示点
到点
的距离，
所以问题转化为
上的动点
到定点
距离的最小值，
当
为
时，到定点
的距离最小，最小值为1，
所以
的最小值为1，故选：A．
二、多选题
31．（2023·山西吕梁·统考二模）已知为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A．
B．复数
的虚部为
C．若
，
互为共轭复数，则
D．若复数
为纯虚数，则
【答案】ACD
【解析】对A，因为
，A 正确；
对B，复数
的虚部为1，B 不正确；
对C，令
，
，
，
，所以
，故C 正确；
对D，若复数
为纯虚数，则
，且
，即
，故D 正确．
故选：ACD
32．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是虚数单位，复数
，
，则（ ）
A．任意
，均有
B．任意
，均有
C．存在
，使得
D．存在
，使得
【答案】AD
【解析】根据复数的概念可知
不能与实数比大小，故B 错误；
由复数的模长公式可得
，
易知
，且不能同时取得等号，故
，即A 正确；
即动点E
到动点F
的距离，显然E 在抛物线
上，F 在单位圆
上，如图所示，
当
时，
，故D 正确；
若存在
，使得
，则
，
由上知
，即上述方程组无解，故C 错误；
故选：AD
33．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知
，
为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
或
【答案】AC
【解析】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；
B：取
，
，满足
，但
，故本选项错误；
C：设
，
，
，由
，得
，即
，
，所以
，即
，故本选项正确；
D：取
，
，则
，
，此时
且
，故D 不正确．
故选：AC
34．（2023·海南·海南中学校考三模）已知复数
，复数满足
，则（ ）
A．
B．
C．复数
在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数在复平面内所对应的点为
，则
【答案】AB
【解析】由已知
，其对应点坐标为
，C 错；
，A 正确；
由
知对应的点在以
对应点为圆心，2 为半径的圆上，
，
因此
，B 正确；
对应点坐标为
，因此
,故D 错误，
故选：AB.
35．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设z，
，
是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】若
，设
，所以
，
则
不一定为，故A 错误；
若
，设
，所以
，
则
不一定为
，故B 正确；
若
，设
，
，
则
，
，故C 正确；
若
，设
，
，
，
，所以
，
即
，
不一定为，故D 错误；
故选：BC.
36．（2023·浙江宁波·镇海中学校考二模）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数满足
，则
B．若复数满足
，则
C．若复数
，
满足
，则
D．若复数
，则
【答案】AD
【解析】A 选项，设
，
，则
，故
，
则
，故A 为真命题；
B 选项，复数
满足
，但
，故命题B 为假命题；
C 选项，若复数
，
满足
，但
，故命题C 为假命题；
D 选项，若复数
，则
，故D 为真命题.
故选：AD
37．（2023 春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知为虚数单位，以下四种说法中正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，且
，则
C．若
，则复平面内
对应的点位于第三象限
D．已知复数满足
，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】BCD
【解析】若
，满足
，但
不成立，故A 错误；
若
，则
，又
，则
，故B 正确；
若
，则
，
则复平面内
对应的点为
，位于第三象限，故C 正确；
若复数满足
，设
，
则
，所以
，
所以
在复平面内对应的点的轨迹为直线
，故D 正确．
故选：BCD．
38．（2023 秋·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）若复数
，则下列命题中
正确的是（ ）
A．为纯虚数的充要条件是
且
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，为纯虚数的充要条件是
且
，A 正确；
对于B，取
，则
，而
，所以
，B 错误；
对于C，
，所以
，C 正确；
对于D，
表示对应的点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，
表示对应的点
与原点
的
距离，故
，D 正确.
故选：ACD.
39．（2023·全国·高一专题练习）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数
（i 为虚数单位），则
B．若复数z 满足
，则
C．若复数
，则z 为纯虚数的充要条件是
且
D．若复数z 满足
，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1 为半径的圆
【答案】ACD
【解析】对于A，复数
， A 正确；
对于B，令
，满足
，而
，B 错误；
对于C，复数
，则z 为纯虚数的充要条件是
且
，C 正确；
对于D，令复数
，由
，得
，
因此复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1 为半径的圆，D 正确．
故选：ACD
40．（2023 秋·辽宁 ）设复数z 满足
（其中是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．若
，则
【答案】BC
【解析】由已有
，
∴的虚部是
，A 错误；
对应点坐标是
，在第四象限，B 正确；
，C 正确；
，故
对应点在以
为圆心，2 为半径的圆上（含内部）
又
，所以
的最大值是
，D 错．
故选：BC．
三、填空题
41．（2023·天津·统考高考真题）已知是虚数单位，化简
的结果为 ．
【答案】
/
【解析】由题意可得
.
故答案为：
.
42．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：
．据此公式，复数
的虚部为 ．
【答案】
【解析】依题意，
，
故所求复数的虚部为
．
故答案为：
.
43．（2023·四川成都·校联考二模）若复数满足
，则复数的虚部为 ．
【答案】1
【解析】设
，则
，
由
，得
，
所以
，所以
，得
，
所以复数的虚部为1．
故答案为：1.
44．（2023·四川·校联考模拟预测）已知
，是虚数单位，复数
，
，若
为纯虚数，
则复数
的虚部为 .
【答案】
【解析】由复数的运算法则，可得
，因为复数
是纯虚数，则
且
，解得
，
所以复数
的虚部为.
故答案为：.
45．（2023·江西景德镇·统考三模）已知为虚数单位，且
，则
的最大值是 .
【答案】
【解析】设
，
由
的几何意义知：对应的点
的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，即
，
的几何意义为点
到坐标原点
的距离，
.
故答案为：.
46．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）复数满足
，则
.
【答案】
【解析】设
，则
，
所以
则
，
所以
，解得：
，所以
，
故
.
故答案为：
47．（2023·全国·高三专题练习）若
，则
.
【答案】
【解析】令
，则
，
令
，则
，
两式相加可得
，
两式相减得
，
将以上两式相加即得：
，
故答案为：
48．（2023 春·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知复数z 在复平面内对应的点为Z，且满足
，
O 为原点，
，求
的取值范围 .
【答案】
【解析】设
，复平面中一点
，则有
即
在以
为圆心，1 为半径的圆周上或圆内，
设直线AB 与圆交于E、F 两点，则
，
而
为
在
上的投影，
由图可知
，则
，
，
所以
，
故答案为：
49（2023·全国·高三专题练习）设复数
满足
的实部与虚部之比为
，其中是虚数单位，
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】】由于
，
于是
，
又
的实部与虚部之比为
，因此
，即
，
于是复数所对应的点
在圆
上，圆心
的坐标为
.
令点
的坐标为
，如图所示，
于是就有
（转化为斜率，代数问题几何化），因此当直线
与圆相切时
最小，
其最小值为
，因此
的最小值为
.
故答案为：
.
50．（2023·全国·高三专题练习）已知三个复数
，并且
，
所对应的向量
，
满足
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
，得
，
以向量
，
的方向分别为复平面内
轴的正方向建立直角坐标系，如图，
由
，得
，则
，令复数
对应的点为
，有
，
由
，得复数
对应的点
的轨迹是以原点
圆心，1 为半径的圆，
因此
，当且仅当
反向共线时取等号，
，当且仅当
同向共线时取等号，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
