文档文本内容
专题01 集合和常用逻辑用语
目 录
01 集合的基本概念
1
02 集合间的基本关系
3
03 集合的运算
7
04 以集合为载体的创新题
10
05 充分条件与必要条件
13
06 全称量词与存在量词
17
01 集合的基本概念
1．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）小于2 的自然数集用列举法可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，小于2 的自然数有
，
所以，列举法表示集合为
.
故选：C
2．（2023·河南南阳·高三校考阶段练习）集合
中的元素个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】因为
，即
，所以
的可能取值为
，
分别代入可得
，所以集合中共有8 个元素.
故选：D
3．（2023·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，可得
，又
，
所以集合
.
故选：C
4．（2023·上海静安·高三上海市市西中学校考开学考试）已知集合A，
，若A 不是
的子集，则下列命
题中正确的是（ ）
A．对任意的
，都有
B．对任意的
，都有
C．存在
，满足
，且
D．存在
，满足
，且
【答案】C
【解析】对于选项A、B：例如
，满足A 不是
的子集，
但
，故A 错误；
，故B 错误；
对于选项C：对任意的
，都有
，则
，
若A 不是
的子集，则存在
，满足
，且
，故C 正确；
对于选项D：例如
，满足A 不是
的子集，
但不存在
，满足
，且
，故D 错误；
故选：C.
5．（2023·广东惠州·高三统考阶段练习）集合
，若
且
，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
且
，所以
且
，解得
.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，且
，则实数
为（ ）
A．2
B．3
C．0 或3
D．
【答案】B
【解析】因为
且
，
所以
或
，
①若
，此时
，不满足互异性；
②若
，解得
或3，
当
时不满足互异性，当
时，
符合题意.
综上所述，
.
故选：B
02 集合间的基本关系
7．（2021•上海）已知集合
，
，
，
，则下列关系中，正确的
是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】已知集合
，
，
，
，
解得
或
，
，
，
，
；
则
，
，
故选：
．
8．（2022•乙卷）设全集
，2，3，4，
，集合
满足
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】因为全集
，2，3，4，
，
，
，
所以
，4，
，
所以
，
，
，
．
故选：
．
9．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知集合
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，
，
与
之间没有包含关系.
故选：C.
10．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知集合
，
，则
的真子集的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．15
【答案】B
【解析】因为
，
又
，
所以
，所以
的真子集有
个.
故选：B
11．（2023·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）已知集合
，
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵已知
，又因为
，
∴
，即
，
①当
时，满足
，此时
，解得
；
②当
时，由
，得
，解得
；
综上所述，
.
故选：C.
12．（2023·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若集合
，
，则
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合
，
，且
，所以
，
故选：D.
13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】C
【解析】因为合
，
且
，
所以
或
，
解得
或
或
，
当
时
，集合
不满足元素的互异性，故
，
当
时
，
符合题意.
故选：C
14．（2023·山东济宁·高三校考阶段练习）已知集合
，则满足条件
的集合
的个数为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由
，又
，
故
可以为
，
共4 种.
故选：D
15．（2023·全国·高三对口高考）已知集合
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
由
，
为整数，
为奇数，故集合M､N 的关系为
.
故选：C
16．（2023·山西大同·高三校联考阶段练习）已知集合
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，有
，
若
，有
，即实数
的取值范围为
.
故选：C．
03 集合的运算
17．（2023·浙江·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】由题意
或
，
，
所以
或
，
故选：D．
18．（2022•北京）已知全集
，集合
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】因为全集
，集合
，
所以
或
，
．
故选：
．
19．（2021•新高考Ⅰ）设集合
，
，3，4，
，则
A．
，3，
B．
，
C．
，
D．
【答案】
【解析】
集合
，
，3，4，
，
，
．
故选：
．
20．（2021•乙卷）已知集合
，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】当
是偶数时，设
，则
，
当
是奇数时，设
，则
，
，
则
，
则
，
故选：
．
21．（2021•甲卷）设集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】集合
，
，则
，
故选：
．
22．（2021•乙卷）已知全集
，2，3，4，
，集合
，
，
，
，则
A．
B．
，
C．
，
D．
，2，3，
【答案】
【解析】
全集
，2，3，4，
，集合
，
，
，
，
，2，3，
，
．
故选：
．
23．（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可得
又
，所以
，
故选：A
24．（2023·甘肃定西·高三陇西县第一中学校考阶段练习）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
故
是
的真子集，
故
，
，
，
，
故A，B，D 均错误，C 正确.
故选：C.
25．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
故
.
故选：C．
26．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史
两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对
历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％
B．56％
C．40％
D．30％
【答案】C
【解析】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x，
所以56％＋74％－x＝90％，
解得
％，
故选：C.
27．（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合
叫做有限集，用
表示有限集合
中元素的个数.例如，
，则
.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有
三类，
那么，
.某
校初一四班学生46 人，寒假参加体育训练，其中足球队25 人，排球队22 人，游泳队24 人，足球排球都
参加的有12 人，足球游泳都参加的有9 人，排球游泳都参加的有8 人，问：三项都参加的有多少人？（教
材阅读与思考改编）（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】设集合
{参加足球队的学生}，
集合
{参加排球队的学生}，
集合
{参加游泳队的学生}，
则
，
设三项都参加的有
人，即
，
，
所以由
即
，
解得
，
三项都参加的有4 人，
故选：C.
04 以集合为载体的创新题
28．（2023·全国·高三专题练习）非空集合
关于运算
满足：（1）对任意的
，
，都有
；
（2）存在
，都有
，则称
关于运算
为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①
{非负整数}，
为整数的加法；
②
{偶数}，
为整数的乘法；
③
{平面向量}，
为平面向量的加法；④
{二次三项式}，
为多项式的加法．
其中
关于运算
为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）
【答案】①③
【解析】对于①，
{非负整数}，
为整数的加法；
当
，
都为非负整数时，
，
通过加法运算还是非负整数，满足条件（1），
且存在一整数
有
，满足条件（2），
所以①为“融洽集”；
对于② ，
{偶数}，
为整数的乘法，
由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），
但不存在偶数,使得一个偶数与的积仍是此偶数，故不满足条件（2），
故不满足“融洽集”的定义；
对于③，
{平面向量}，
为平面向量的加法，
若
，
为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，满足条件（1），
且存在零向量通过向量加法，满足条件（2），
所以③为“融洽集”；
对于④，
{二次三项式}，
为多项式的加法，
由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如
与
的和为
，不满足条件
（1），
故不满足“融洽集”的定义；
故答案为：①③
29．（2023·全国·高三对口高考）设P 和Q 是两个集合，定义集合
，如果
，
，那么
等于 ．
【答案】
【解析】不等式
解得
，则
，
由
，解得
，则
，
所以
.
故答案为：
30．（2023·全国·高三对口高考）已知集合
，定义
，
则集合
的所有非空子集的个数为 ．
【答案】31
【解析】集合
，
，定义
，
则
，元素个数为5，
故集合
的所有非空子集的个数为
故答案为：31
31．（2023·上海徐汇·统考三模）对任意数集
，满足表达式为
且值域为
的
函数个数为
.记所有可能的
的值组成集合
，则集合
中元素之和为 .
【答案】643
【解析】
，当
或
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，函数
取得极大值0，当
时，该函数取得极小值
，图象如图：
观察图象知，当
与图像有一个公共点时，相应的
有1 种取法；
当
与图像有两个公共点时，相应的
有
种取法；
当
与图像有三个公共点时，相应的
有
种取法，
直线
与函数图象的交点个数可能的取值如下：
，
对应的函数个数为
，
.
所以集合
中元素之和为643.
故答案为：643
32．（2023·全国·高三专题练习）如图所示A，B 是非空集合，定义集合A@B 为阴影部分所示的集合．若
x，y∈
，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A@B＝ ．
【答案】
【解析】由题得
，所以
.
由题得A@B＝
.
故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）若集合
至少含有两个元素（实数），且
中任意两个元素之差的绝对
值都大于2，则称
为“成功集合”，已知集合
，则的子集中共有 个“成功
集合”．
【答案】49
【解析】设集合
的子集中有
个成功集合，则
，
．对于
时，可将满足
要求的子集分为两类：一类是含有
的子集，去掉
后剩下小于
的单元素子集或
满足要
求的子集，前者有
个，后者有
个；
另一类是不含
的子集，即
满足要求的子集，有
个．
于是，
．从而根据递推关系得：
，
，
，
，
，
．
故答案为：
05 充分条件与必要条件
34．（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知
，命题
，
命题
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
为真命题，则
，故
，
由于
，所以
是
的必要不充分条件，
故选：B
35．（2022•浙江）设
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】
，
①当
时，则
，
充分性成立，
②当
时，则
，
必要性不成立，
是
的充分不必要条件，
故选：
．
36．（2022•天津）“
为整数”是“
为整数”的 条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】
【解析】
为整数时，
也是整数，充分性成立；
为整数时，
不一定是整数，如
时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：
．
37．（2022•北京）设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】因为数列
是公差不为0 的无穷等差数列，当
为递增数列时，公差
，
令
，解得
，
表示取整函数，
所以存在正整数
，当
时，
，充分性成立；
当
时，
，
，则
，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：
．
38．（2021•甲卷）等比数列
的公比为
，前
项和为
．设甲：
，乙：
是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若
，
，则
，则
是递减数列，不满足充分性；
，
则
，
，
若
是递增数列，
，
则
，
，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：
．
39．（2021•全国）设
，
是两个平面，直线与
垂直的一个充分条件是
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】
【解析】
，当
且
时，则
或
或
，
错误，
，当
且
时，则
或
，
错误，
，当
且
时，则
或
或
或与
相交不垂直，
错误，
，当
且
时，则
，
正确，
故选：
．
40．（2023·天津北辰·高三校考阶段练习）已知
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为“
”
“
”，“
”
“
”，
所以，
是
的充分不必要条件.
故选：A.
41．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，
得
，即
或3，（经检验均为原分式方程的解），
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
42．（2023·山东泰安·高三泰安一中校考阶段练习）“
”的一个必要不充分条件为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】显然A 项是充要条件，不符合题意；
由“
”可推出“
”，即B 项是充分条件，不符合题意；
“
”不能推出“
”，反之“
”也推不出“
”，即C 项为既不充分也不必要条件，
不符合题意；
易知
真包含于
，所以“
”的一个必要不充分条件为“
”，
故选：D．
43．（2023·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习）设
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，又
是
的必要不充分条件，
所以
，解得
，经检验满足题意.
故选：D.
44．（2023·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知条件p：
；条件
q：
，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由q：
，得
，
由p：
，得
或
，
因为q 是p 的充分不必要条件，
所以
或
，
解得
.
故选：B
06 全称量词与存在量词
33．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知命题
，则
的否
定为 ．
【答案】
【解析】因为命题
，
所以
.
故答案为：
34．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知命题“存在
，
”为假
命题，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为“存在
，
”为假命题，
所以“任意
，
”为真命题，
当
时，
，满足题意.
当
时，
，
综上：
.
故答案为：
35．（2023·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）若命题“
，
”为假命题，
则实数a 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】因为命题“
，
”为假命题，
故“
，
”为真命题，即
在
恒成立，须
；
故实数a 的最小值为2；
故答案为：2．
36．（2023·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考阶段练习）若命题“
，
”是真命题，
则a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
，得
.当
时，
.
当
时，
，则
.
因为“
，
”是真命题，所以
.
因为
,当
单调递减，
时取最小值7，
所以
.
故答案为：
.
37．（2023·天津河西·高三天津市第四十二中学校考阶段练习）已知
，命题
，
命题
，若命题
均为真命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
或
.
【解析】由命题
为真命题，即为不等式
在
上恒成立，
因为
时，
，所以
；
又由命题
，即方程
在
上有解，
则满足
，解得
或
，
若命题
均为真命题，则
或
，所以实数
的取值范围是
或
.
故答案为：
或
.
38．（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）命题“
，
”的否定是 .
【答案】
，
【解析】命题“
，
”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“
，
”的否定是：
，
.
故答案为：
，
39．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知“
”为假命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题可知：
是真命题，
当
时，
，成立；
当
时，则
，
综上所述：
.
故答案为：
.
