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专题02 不等式与复数
目 录
01 基本不等式二元式...........................................................................................................................1
02 和式与积式......................................................................................................................................3
03 柯西不等式二元式...........................................................................................................................7
04 齐次化与不等式最值.....................................................................................................................10
05 复数的四则运算.............................................................................................................................13
06 复数的几何意义...............................................................................................................................15
01 基本不等式二元式
1．（2023·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）若
且
，则
的最小值为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．16
【答案】C
【解析】由题设，
，
当且仅当
，即
时等号成立．
故选：C
2．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．12
【答案】C
【解析】设
，则
，
由
，得
，即
，
则
，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故选：C．
3．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数、满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为正实数、满足
，则
，可得
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，此时，
，
故
的最小值为．
故选：B．
4．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知
，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，即
，易知
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，此时
，
所以
的最小值为
．
故选：D
5．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9
【答案】C
【解析】因为正实数x，y 满足
，所以
，
则
，
当且仅当
且
，即
，
时取等号．
故选：C．
6．（2023·广西玉林·高三博白县中学校考开学考试）若正数x，y 满足
，则
的最小值是
（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
，
当且仅当
，即
，
时取等号．
故选：C
02 和式与积式
7．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考期中）已知，为方程
的两个实根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意得：
，
，
，
；
对于A 项：
，
因为：
，所以：
，
所以得：
，当且仅当
时取等号，故A 项正确；
对于B 项：由
，所以得：
，故B 项错误；
对于C 项：
，
所以得：
，故C 项正确；
对于D 项：
当
时取等号，故D 项正确．
故选：ACD．
8．（多选题）（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
，当且仅当
，即
时取等号，
由于
，所以
，A 正确，
由于
，
，当且仅当
且
时，即
时取等号，由于
，所以
，B 正确，
由
以及
可得
，
当且仅当
，即
时取等号，由于
，所以
，故C 正确，
，当且仅当
，即
时取等号，由于
，
所以
D 错误，
故选：ABC
9．（多选题）（2023·云南迪庆·高一统考期末）设正实数
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的最小值为4
B．
的最大值为
C．
的最大值为2
D．
的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，
，
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，故A 正确；
对于B，
，
，当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最大值为，故B 正确；
对于C，因为
，
所以
的最大值为
，故C 错误；
对于D，因为
，故D 正确．
故选：ABD．
10．（多选题）（2023·全国·高三校联考阶段练习）若
，
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
有最大值
B．
有最大值2
C．
有最小值4
D．
有最小值
【答案】AC
【解析】对于A，
，
当且仅当
时取等号，
所以
有最大值，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
有最大值
，故B 错误；
对于C，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
有最小值4，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
有最小值，故D 错误．
故选：AC．
11．（多选题）（2023·江苏无锡·高三统考期中）已知
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】AD
【解析】A 选项：
，即
，解得
，当且仅当
，即
，
时等号成
立，A 选项正确；
B 选项：
，当且仅当
，即
，
时等号成立，B 选项错误；
C 选项：由
，得
，
，则
，
设函数
，
，
，
令
，解得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，C 选项错误；
D 选项：
，当且仅当
，即
，
时等号成立，
D 选项正确；
故选：AD．
03 柯西不等式二元式
12．（2023·浙江湖州·高三统考期末）已知，
，且
，则
的最小值是
．
【答案】
【解析】凑配
，进而根据
柯西不等式结合已知求解即可．根据柯西不等式得：
，
，
当且仅当
时，上述两不等式取等号，
所以
，
因为
，
所以
当且仅当
时，等号成立．
故答案为：
．
13．（2023·浙江温州·统考二模）已知实数
满足
则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】直接利用柯西不等式得到答案．根据柯西不等式：
，故
，
当
，即
，
时等号成立．
故答案为：
．
14．（2023·湖北武汉·统考一模）已知
，则M 的最大值为 ．
【答案】1．
【解析】利用柯西不等式求解．由柯西不等式得：
，
当且仅当
，即
取等号．
故M 的最大值为1
故答案为：1
15．（2023·浙江金华·高三校联考期末）已知实数
满足
，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【解析】由柯西不等式可得，
，
所以
，即
所以
．
故答案为：
16．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知实数
满足：
，则
的最小值为 ．
【答案】2
【解析】方法一：距离问题
问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点
到直线
的距离的
倍”问题
若相切，则
有唯一解
，
两平行线
与
的距离
所以
方法二：柯西不等式法
补充知识：二元柯西不等式
已知两组数
；
，则
已知两组数
；
，则
所以
，所以
．
方法三：判别式法
设
，将其代入
，下面仿照方法一即可．
方法四：整体换元
根据对称性，不妨设
，
设
，则
，且
方法五：三角换元
由对称性，不妨设
（为锐角）
所以
所以
的最小值为2
17．（2023·河北衡水·高三河北安平中学校考期末）已知
，则
取得最小值时，，
，形成的点
．
【答案】
【解析】由于
，故
．当且仅当
时等号成立，故
．
故答案为
04 齐次化与不等式最值
18．（2023·山东日照·高一校考期中）已知
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据题设条件可得
，可得
，利用基本不等式即可求解．∵
∴
且
∴
，
当且仅当
，即
时取等号．
∴
的最小值为．
故答案为：．
19．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】因
，则
，
即
，
令
，则
，
所以
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故
的最小值为
．
故答案为：
20．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）若
，则
的最小值为
．
【答案】
【解析】设
，
，所以
，所以
，其中满足
，所以
，所以
，所以
，
即
，所以
，所以
的最小值为
．
故答案为：
21．（2023·天津滨海新·校联考模拟预测）已知
，则
的最大值是 ．
【答案】
【解析】先化简原式为
，再换元设
得原式
，再换元设
得
原式可化为
，再利用函数单调性得到函数的最大值．
，设
，
所以原式=
，
令
所以原式=
．
（函数
在
上单调递增）
故答案为：
22．（2023·全国·高一专题练习）已知正数
满足
，且
，求的值．
【解析】
，
两边同时除以
得
，
设
得
，解得
或
（舍去），
，
，
两边同时除以
得
，
．
05 复数的四则运算
23．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知复数z 满足
，则复数z 的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】设
，
复数满足
，
，
化为
，
解得
，或
，
，或1，或
．
故选：D．
24．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
所以
，
故选：A．
25．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知复数满足
，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以的虚部为
．
故选：A．
26．（2023·四川成都·校联考一模）已知为复数单位，
，则
的模为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由
可得
，所以
，
所以
，则
．
故选：A．
27．（2023·湖南郴州·统考一模）已知复数
是方程
的一个根，则实数的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由复数
是方程
的一个根，
得
，
解得
，
故选：D．
06 复数的几何意义
28．（2023·江西赣州·统考二模）已知复数满足
（为虚数单位），则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】设复数在复平面中对应的点为，
由题意可得：
，表示复平面中点到定点
的距离为1，
所以点的轨迹为以
为圆心，半径
的圆，
因为
表示表示复平面中点到定点
的距离，
所以
，即
的最大值为3．
故选：C．
29．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意设
，
由
，
得
，
因为
，
所以
，
解得
，
所以
，
所以
．
故选：A．
30．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知复数
，i 为虚数单位， 则复数z
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】因为复数
，
所以复数z 在复平面内所对应的点为
， 该点位于第三象限．
故选：C．
31．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）棣莫弗公式
，（是虚数单位，
）是由法国数学家棣莫弗（
）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内的复数
对
应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】
，
对应的点位于第二象限．
故选：B
32．（2023·安徽·校联考三模）已知复数满足
（i 为虚数单位），则复数在复平面内对应的点
所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】由
得
，
∴复数z 在复平面内对应的点为
，
∴复数z 在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．
故选：D．
33．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】设
，
因为
，所以
，即z 在复平面内对应点的轨迹为圆C：
，如图，
又
，
所以
表示圆C 上的动点到定点
的距离，
所以
为
，
故选：B．
34．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在复平面内，已知复数
对应的向量为
，现将向量
绕
点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2 倍得到向量
，设
对应的复数为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】依题意，
，将向量
绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为
，
，
则有
，解得
，因此
，即
，
所以
．
故选：A
35．（2023·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）复数z 满足
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限D．
【答案】D
【解析】由
可得
，
所以
，故A 错误；
由
知
，故B 错误；
在复平面内对应的点
位于第三象限，故C 错误；
由
知
，故D 正确．
故选：D
