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专题01 集合和常用逻辑用语
【目录】
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................8
考点一：集合的基本概念........................................................................................................................................8
考点二：集合间的基本关系....................................................................................................................................9
考点三：集合的运算..............................................................................................................................................12
考点四：以集合为载体的创新题...........................................................................................................................15
考点五：充分条件与必要条件..............................................................................................................................17
考点六：全称量词与存在量词..............................................................................................................................19
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分
值5 分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能
力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求
考题统计
考情分析
集合的基本概念
2023 年上海卷第13 题，4 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题
形式出现，也有可能会将其
渗透在解答题的表达之中，
相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式
出现，考查学生的综合推理
能力．
（2）热点是集合间的基本运
算、数轴法的应用和体现集
合的语言工具作用．
集合间的基本关系
2023 年II 卷第2 题，5 分
2021 年上海卷第14 题，5 分
集合的运算
2023 年 I 卷第1 题，5 分
2022 年I 卷第1 题，5 分
2021 年I 卷第1 题，5 分
充分条件与必要条件
2023 年天津卷第2 题，5 分
2022 年天津卷第2 题，5 分
2021 年甲卷第7 题，5 分
1、集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
，
，
，
，
．
（2）并集的运算性质．
，
，
，
，
．
（3）补集的运算性质．
，
，
，
．
补充性质：
．
（4）结合律与分配律．
结合律：
．
分配律：
．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补
补的并”，“并的补
补的交”．
2、由
个元素组成的集合
的子集个数
的子集有
个，非空子集有
个，真子集有
个，非空真子集有
个．
3、容斥原理
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设
.
（1）若
，则
是
的充分条件(
)，
是
的必要条件；若
，则
是
的充分不
必要条件，
是
的必要不充分条件，即
且
；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小
大”.
（2）若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
（3）若
，则
与
互为充要条件.
1．（2023•新高考Ⅱ）设集合
，
，
，
，
，若
，则
A．2
B．1
C．
D．
【答案】
【解析】依题意，
或
，
当
时，解得
，
此时
，
，
，0，
，不符合题意；
当
时，解得
，
此时
，
，
，
，
，符合题意．
故选：
．
2．（2023•北京）已知集合
，
．则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由题意，
，
，
．
故选：
．
3．（2023•天津）已知集合
，2，3，4，
，
，
，
，2，
，则
A．
，3，
B．
，
C．
，2，
D．
，2，4，
【答案】
【解析】
，2，3，4，
，
，
，
，2，
，
则
，
，
故
，3，
．
故选：
．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知集合
，
，0，1，
，
，则
A．
，
，0，
B．
，1，
C．
D．
【答案】
【解析】
，
，
或
，
，
，
，则
．
故选：
．
5．（2023•乙卷）设集合
，集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由题意：
，又
，
．
故选：
．
6 ．（2023• 甲卷）设集合
，
，
，
，
为整数集，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
【答案】
【解析】
，
，
，
，
或
，
，又
为整数集，
，
．
故选：
．
7．（2023•上海）已知
，
，
，
，若
，
，则
A．
B．
C．
D．
，2，
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
，
．
故选：
．
8．（2023•天津）“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】
，即
，解得
或
，
，即
，解得
，
故“
”不能推出“
”，充分性不成立，
“
”能推出“
”，必要性成立，
故“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：
．
9．（2022•浙江）设
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】
，
①当
时，则
，
充分性成立，
②当
时，则
，
必要性不成立，
是
的充分不必要条件，
故选：
．
10．（2022•天津）“
为整数”是“
为整数”的 条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】
【解析】
为整数时，
也是整数，充分性成立；
为整数时，
不一定是整数，如
时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：
．
11．（2022•新高考Ⅰ）若集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由
，得
，
，
由
，得
，
，
．
故选：
．
12．（2022•新高考Ⅱ）已知集合
，1，2，
，
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】
，解得：
，
集合
，
．
故选：
．
13．（2022•甲卷）设全集
，
，0，1，2，
，集合
，
，
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，1，2，
，
又
，
，0，1，2，
，
，
．
故选：
．
14．（2022•乙卷）集合
，4，6，8，
，
，则
A．
，
B．
，4，
C．
，4，6，
D．
，4，6，8，
【答案】
【解析】
，4，6，8，
，
，
，
．
故选：
．
考点一：集合的基本概念
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合
，
，则集合
中元素的个数为（ ）
A．30
B．28
C．26
D．24
【答案】B
【解析】
，
，
因为
，
当
时，
为偶数，共有
个元素.
当
时，
为奇数，
此时
，共有
个元素.
当
时，
为奇数，
此时
，有重复数字
，去掉，共有个元素.
综上
中元素的个数为
个.
故选：B
例2．（2023 秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）若
，则
的值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以①
或②
，由①得
或
，其中
与
元素互异性矛盾，舍去，
符合题意，由②得
，符合题意，两种情况代入得
.
故选：C.
例3．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】由题意
可知，两集合元素全部相等，得到
或
，又根据集合互异性，可知
，解得
(舍)，
和
(舍)，所以
，
，则
，
故选：A
例4．（2023 秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知集合
中恰有两个元素，则a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由集合
中恰有两个元素，得
，
解得
．
故选：B．
例5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知集合
，
，则集合B 中
所有元素之和为（ ）
A．0
B．1
C．－1
D．
【答案】C
【解析】根据条件分别令
，解得
，
又
，所以
，
，
所以集合B 中所有元素之和是
，
故选：C．
考点二：集合间的基本关系
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合
的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数
满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
例6．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）设
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，因为
，
所以集合
是由所有奇数的一半组成，
而集合
是由所有整数的一半组成，故
.
故选：B
例7．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知集合
，
，
，
则
的子集共有（ ）
A．4 个
B．8 个
C．16 个
D．32 个
【答案】C
【解析】因为
，
，所以
，
所以
，则
的子集共有
个.
故选：C
例8．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据幂函数
的定义域知
，则
，
根据指数函数的值域知
，则
，
则
，且
，故BC 错误，
，则D 错误，
故选：A.
例9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）集合
的真子集个
数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】A
【解析】根据题意可知
，解得
；
即
，可知集合
中含有3 个元素，
所以其真子集个数为
个.
故选：A
例10．（2023·江苏扬州·高三仪征中学校考开学考试）设
，
．若
，则实数
组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得：
或
，
；
当
时，
，此时满足
；
当
时，由
得：
，即
，
，
或
，解得：
或
；
综上所述：实数
组成的集合为
.
故选：C.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知全集
和它的两个非空子集
，
的关系如图所示，则下列命题
正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】由图可知
，且
，
非空，
则根据子集的定义可得：
对于
，
，
不正确，
对于
，
，
正确，
对于
，
，
不正确，
对于
，
，
不正确，
故选：
．
例12．（2023·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）若集合
,则能使
成立的所有
组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时,即
,
时成立;
当
时,满足
,解得
;
综上所述:
.
故选:C.
考点三：集合的运算
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、
并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
例13．（2023·安徽滁州·高三校考开学考试）设全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】全集
，集合
，
或
，
所以
，
则
．
故选：B．
例14．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为
，集合
，
满足
，则下列运算结果
为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】全集
，集合
，
满足
，绘制Venn 图，如下：
对于A：
，A 错误；
对于B：
，B 错误；
对于C：
，C 错误；
对于D：
，D 正确.
故选：D.
例15．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，解得：
或
，故
.
故选：A
例16．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知全集
的两个非空真子集
满足
，则下列关系一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
是全集
的两个非空真子集，
，得
，
如图，当
时，
，A 错误；
观察图形
，
，BC 错误；
由
，得
，因此
，D 正确.
故选：D
例17．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1 世纪左右．该
书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合
创新，给出下面问题：现有100 人参加有奖问答，一共5 道题，其中91 人答对第一题，87 人答对第二题，
81 人答对第三题，78 人答对第四题，88 人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获
得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70
B．75
C．80
D．85
【答案】B
【解析】由题意知，一共回答了500 道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75 道．
由于答对3 道题以上（包括3 道题）的人可以获得奖品，即答错3 道题及以上的人没有奖品，
故最多会有
人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
例18．（2023·天津静海·高三校考开学考试）设集合
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知
，
，
．
故选：C．
例19．（2023·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得
；
由
可得
，即知
；
因此
.
故选：B
例20．（2023·山西·统考三模）设全集为
，集合
，
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
又因为
所以
.
故答案为：
考点四：以集合为载体的创新题
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和
方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定
理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
例21．（2023·全国·高三专题练习）若
且
,
,则称a 为集合A 的孤立元素．若集合
,集合N 为集合M 的三元子集，则集合N 中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合
的三元子集个数为
，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N 可能为
，一共35 种，
由古典概率模型公式，可得集合N 中的元素都是孤立元素的概率
．
故选：C．
例22．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：
，设
，
，则集合
的所有元素之和为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
【答案】A
【解析】由题设知
，
所有元素之和为
，
故选：A.
例23．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数
学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过
程如下：将闭区间
均分为三段，去掉中间的开区间段
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间
，
分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上
一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进
行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】第一次操作剩下：
；
第二次操作剩下：
；
第三次操作剩下：
；
即从左到右第四个区间为
.
故选：C.
例24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集
，
，定义
，
，
，若集合
，则集合
中所有元素之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据新定义，数集
，
，定义
，
，
，集合
，
，
，则可知所有元素的和为
，
故选：D.
例25．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）对于集合A，B，定义集合
且
，已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知
，又
，
所以
．
故选：A
例26．（2023·全国·高三专题练习）对于集合
，定义
，且
．若
，
，将集合
中的元素从小到大排列得到数列
，则
（ ）
A．55
B．76
C．110
D．113
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，所以
．
相当于集合
中除去
形式的数，其前
45 项包含了15 个这样的数，所以
．
则
，
故选：C.
考点五：充分条件与必要条件
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
例27．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知条件
，条件
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由
或
，不妨设
，
或
，不妨设
，
因为B 真包含于A，所以
推不出
，
能推出
，
所以
是
的必要不充分条件.
故选：C
例28．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）若向量
，则“
”是“向量
的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】向量
，由向量
的夹角为钝角，
即有
，解得
且
，
即“
”不能推出“
且
”即“向量
的夹角为钝角”；
“向量
的夹角为钝角”即“
且
”能推出“
”；
故“
”是“
且
”的必要不充分条件，
即“
”是“向量
的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
例29．（2023·江西·校联考模拟预测）已知条件
，条件
，且
是
的充分不必要条
件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由条件
，解得
或
；
因为
是
的充分不必要条件，所以
是
的充分不必要条件，
故
是
或
的真子集，
则
的取值范围是
，
故选：B．
例30．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）“
”是“
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
可得
，则
，但是当
时，
，
有可能小于零，此时不能推出
，所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
例31．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）命题“
”为真命题的一个充分不
必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，则
，即
，
∴a 的取值范围
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为
的真子集，
结合选项可知B 对应的集合为
为
的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
考点六：全称量词与存在量词
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定
结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当
的真假不易判断时，可转化为去判断
的真假.
例32．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）命题p：
，
，则命题p 的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p 的否定应该为
，
．
故选：C．
例33．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考开学考试）已知命题
：
，使得
成立为真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】命题
为真命题等价于不等式
有解．
当
时，不等式变形为
，则
，符合题意；
当
时，
，解得
；
当
时，总存在
，使得
；
综上可得实数
的取值范围为
．
故选：B
例34．（2023·全国·高三专题练习）若命题“
，使
成立”的否定是真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若“
，使
成立”的否定是：
“
，使
”为真命题，
即
；令
，
由
，得
，所以
，
所以
，
故选：C.
例35．（2023·山东·高三校联考阶段练习）给出下列命题
①
；②
；③
；④
．
其中真命题有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】①中，由不等式
恒成立，所以命题
为真命题；
②中，当
时，此时
，所以命题
为假命题；
③中，当
时，此时
成立，所以命题
为真命题；
④中，由
，可得
，所以命题
为真命题．
故选：C.
例36．（2023·甘肃酒泉·高三敦煌中学校考阶段练习）命题
的否定形式
为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为命题
的否定形式为：
，
故选：
.
