十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数（填空题）
目录
题型一：函数及其表示................................................1
题型二：函数的基本性质..............................................6
题型三：基本初等函数...............................................14
题型四：函数与方程.................................................20
题型五：函数模型及其综合应用.......................................26
题型一：函数及其表示
1．(2023 年北京卷·第15 题)设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
解析：依题意，
，
当
时，
，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图像是，圆心为
，半径为的圆在轴上方的图像
(即半圆)；
当
时，
，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取
，则
的图像如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
当
时，
；
当
时，
显然取得最大值；
当
时，
，
综上：
取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在
，
且接近于
处，
的距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，
此时，
，故③正确；
对于④，取
，则
的图像如下，
因为
，
结合图像可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，
同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径，
此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
显然
在
上，满足
取得最小值，
即
也满足
存在最小值，故的取值范围不仅仅是
，故④错误．
故答案为：②③．
2．(2023 年北京卷·第11 题)已知函数
，则
____________．
【答案】1
解析：函数
，所以
．
故答案
：1
3．(2022 高考北京卷·第11 题)函数
定义域是_________．
【答案】
解析:因为
，所以
，解得
且
，
故函数的定义域为
；故答案为,
4．(2020 北京高考·第11 题)函数
的定义域是____________．
【答案】
【解析】由题意得
，
故答案为：
5．(2019·江苏·第4 题)函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】由
，解得
，即函数
的定义域为
．
6．(2014 高考数学浙江理科·第15 题)设函数f (x)=x
3
+3|x−a|(a∈R).
若f ( x ) ，则实数[−1,1]的取值范围
是______
【答案】
解析：∵函数
，它的图象如图所示：
由
，可得
由
可得
，即
，
故当
时，则实数a 的取值范围是
，
故答案为：
]．
7．(2014 高考数学四川理科·第12 题)设
是定义在
上的周期为2 的函数，当
时，
，则
【答案】
解析：
8．(2014 高考数学上海理科·第4 题)设
若
，则
的取值范围为
_________________．
【答案】
解析:由
，可得
，所以
得
．
9．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15 题)设函数
1
0
( )
2
0
x
x
x
f x
x
，
，
，则满足
1
( )
1
2
f x
f
x
的x 的取值范围是 ．
【答案】
1 ,
4
【解析】法一：因为
1
( )
2
F x
f x
f
x
1
2
1
2
2
,
2
1
1
2
, 0
2
2
3
2
,
0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
当
1
2
x
时，
1
0
2
2
2
1
2
1
F x
；
当
1
0
2
x
时，
3
0
1
2
F x
F
；
当
0
x
时，由
3
2
1
2
F x
x
，可解得
1
0
4
x
综上可知满足
1
( )
1
2
f x
f
x
的x 的取值范围是
1 ,
4
．
法二：
1,
0
2 ,
0
x
x
x
f x
x
≤
，
1
1
2
f x
f
x
，即
1
1
2
f
x
f x
由图象变换可画出
1
2
y
f
x
与
1
y
f x
的图象如下：
1
2
1
2
1 1
(
, )
4 4
1
(
)
2
y f x
1 ()
y fx
y
x
由图可知，满足
1
1
2
f
x
f x
的解为
1 ,
4
．
法三：当
1
0
2
x
且
0
x
时，由
1
1
2
f x
f
x
得
1
1
1
1
2
x
x
，得
1
0
4
x
，又
因为
f x 是R 上的增函数，所以当x 增大时，
1
2
f x
f
x
增大，所以满足
1
1
2
f x
f
x
的x 的取值范围是
1
4
x
．
10．(2016 高考数学江苏文理科·第11 题)设
是定义在
上且周期为2 的函数，在区间
上
其中
，若
，则
的值是
．
【答案】
．
解析：由题意得
，
由
可得
则
，则
．
11．(2016 高考数学江苏文理科·第5 题)函数
的定义域是 ．
【答案】
．
解析：
，解得
，因此定义域为
．
题型二：函数的基本性质
1．(2023 年全国甲卷理科·第13 题)若
为偶函数，则
________．
【答案】2
解析：因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
．
故答案为：2．
2．(2023 年全国乙卷理科·第16 题)设
，若函数
在
上单调递增，则
a 的取值范围是______．
【答案】
解析：由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数的取值范围是
．
故答案为：
．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第14 题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数
_______．
①
；②当
时，
；③
是奇函数．
【答案】
(答案不唯一，
均满足)
解析:取
，则
，满足①，
，
时有
，满足②，
的定义域为
，
又
，故
是奇函数，满足③．故答案为
(答案不唯一，
均满足)
4．(2021 年新高考Ⅰ卷·第15 题)函数
的最小值为______．
【答案】1
解析:由题设知：
定义域为
，
∴当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递增；
又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；
∴
,故答案为1．
5．(2021 年新高考Ⅰ卷·第13 题)已知函数
是偶函数，则
______．
【答案】1
解析:因为
，故
，
因为
为偶函数，故
，
时
，整理得到
，
故
，故答案为：1
6．(2022 高考北京卷·第14 题)设函数
若
存在最小值，则a 的一个取值为
________；a 的最大值为___________．
【答案】 ① 0(答案不唯一) ②． 1
解析:若
时，
，∴
；
若
时，当
时，
单调递增，当
时，
，故
没有最小值，
不符合题目要求；
若
时，
当
时，
单调递减，
，
当
时，
∴
或
，
解得
，
综上可得
；
故答案为：0(答案不唯一)，1
7．(2022 年浙江省高考数学试题·第14 题)已知函数
则
________；
若当
时，
，则
的最大值是_________．
【答案】 ①．
②．
##
解析:由已知
，
，
所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
等价于
，所以
，
所以
的最大值为
．
故答案为：
，
．
8．(2020 江苏高考·第7 题)已知
是奇函数，当
时，
，则
的值是____．
【答案】
【解析】
，因为
为奇函数，所以
,故答案为：
9．(2019·上海·第6 题)已知函数
周期为
，且当
，
，则
________.
【答案】1
【解析】
.
10．(2019·全国Ⅱ·理·第14 题)已知
是奇函数，且当
时，
．若
，
则
．
【答案】
.
【解析】因为
是奇函数，且当
时，
．又因为
，
，
所以
，两边取以为底的对数得
，所以
，即
．
【点评】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得
出答案．
11．(2019·北京·理·第13 题)设函数
(a 为常数)．若
为奇函数，则
a=________；若
是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．
【答案】 (1)
； (2)
．
【解析】若函数
为奇函数，则
，
对任意的恒成立，故
；
若函数
是
上的增函数，则
恒成立，
．
即实数
取值范围是
．
12．(2018 年高考数学江苏卷·第9 题)函数
满足
，且在区间
上，
则
的值为 ．
【答案】
解析：由
得函数
的周期为4，所以
，因此
．
13．(2018 年高考数学江苏卷·第5 题)函数
的定义域为 ．
【答案】[2，+∞)
解析：要使函数
有意义，则
，解得
，即函数
的定义域为[2，+∞)．
14．(2018 年高考数学北京(理)·第13 题)能说明“若
对任意的
都成立，则
在
上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】
(答案不唯一)；
解析：
在
上满足
，且在
上为增函数，在
为减函数．
函数需要满足在
上的最小值为
，并且在
上不单调，选取开口向下，对称轴在
上的二次函数均可，其余答案也正确．
15．(2014 高考数学四川理科·第15 题)以
表示值域为
的函数组成的集合，
表示具有如下性质的
函数
组成的集合：对于函数
，存在一个正数
，使得函数
的值域包含于区间
例如，当
时，
．现有如下命题：
① 设函数
的定义域为
，则“
”的充要条件是“
”；
② 函数
的充要条件是
有最大值和最小值；
③ 若函数
的定义域相同，且
，则
；
④ 若函数
有最大值，则
．
其中的真命题有 (写出所有命题的序号)
【答案】①③④
解析：若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正
确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于
[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A 时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B 时，对
于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间
外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故
③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋
(x＞－2)，当a＞0 或a＜0 时，函数f(x)都没有最大值．要使得函
数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝
(x＞－2)．
易知f(x)∈
，所以存在正数
，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．
16．(2014 高考数学课标2 理科·第15 题)已知偶函数
在
单调递减，
．若
，则的取值范围是__________．
【答案】(−1,3)
解析：因为f ( x)是偶函数，所以不等式f ( x−1)>0⇔f (|x−1|)>f (2)，因为f ( x)在[0,+∞)上
单调递减，所以|x−2|<2，解得−1<x<3
17．(2015 高考数学浙江理科·第10 题)已知函数
，则
，
的最小值是 ．
【答案】0，
．
解析：
f (f (−3))=f (1)=0 ，当x≥1时，f (x)≥2√2−3 ，当且仅当x=√2时，等
号成立，当x<1时，f ( x)≥0 ，当且仅当x=0 时，等号成立，故f ( x )最小值为2√2−3 ．
考点：分段函数
18．(2015 高考数学新课标1 理科·第13 题)若函数
为偶函数，则
【答案】1
解析：由题知
是奇函数，所以
=
，解得=1．
考点：函数的奇偶性
19．(2015 高考数学四川理科·第15 题)已知函数
，
(其中
)。对于不相
等的实数
，
，设
，
，现有如下命题：
(1)对于任意不相等的实数
，
，都有
；
(2)对于任意a的及任意不相等的实数
，
，都有
；
(3)对于任意的a，存在不相等的实数
，
，使得
；
(4)对于任意的a，存在不相等的实数
，
，使得m=−n．
其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)．
【答案】①④
解析：
设
．
对(1)，从
的图象可看出，
恒成立，故正确．
对(2)，直线CD 的斜率可为负，即
，故不正确．
对(3)，由m=n 得
，即
．
令
，则
．
由
得：
，作出
的图象知，方程
不一定
有解，所以
不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数x1, x2，使得
，即不一定存在不相等的实数x1, x2，使得m=n ．故不正确．
对(4)，由m=－n 得
，即
．
令
，则
．
由
得：
，作出
的图象知，方程
必
一定有解，所以
一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数x1, x2，使得
，即一定存在不相等的实数x1, x2，使得
．故正确．
所以(1)(4)
考点：函数与不等式的综合应用．
20．(2015 高考数学福建理科·第14 题)若函数
(
且
)的值域是
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
解析：当
，故
，要使得函数
的值域为
，只需
(
)的值域包含于
，故
，所以
，所以
，解得
，所
以实数的取值范围是
．
考点：分段函数求值域．
【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的
并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想
的运用，属于中档题．
21．(2017 年高考数学浙江文理科·第17 题)已知aR ,函数
4
( )
f x
x
a
a
x
在区间
1,4 上的最大
值是5,则a 的取值范围是
．
【答案】
4.5
a
【解析】(绝对值几何意义)
令
4 ,
1,4
t
x
x
x
,则
4,5
t
,所以
( )
f t
t
a
a
,
4,5
t
的最大值是5．
,
4,
( )
,
4.
t
a
f t
t
a
a
t
a
a a
当
4
a
时,
( )
f t
t
最大值为5,成立;
当
4
a
时, ( )
0
h a
t
a
a
a
t
a
,
4,5
t
,其几何意义为数轴上的数a 到数t 和数a 到
数0 的距离之和最大值为5,则4
4.5
a
．综上,
4.5
a
．
法二:因为
( )
f t
t
a
a
,
4,5
t
最大值为
max
(4),
(5) ,
f
f
即
(4)
4
5
(5)
5
5
f
a
a
f
a
a
或
(4)
4
5
(5)
5
5
f
a
a
f
a
a
,解得
4.5
5
a
a
或
4.5
5
a
a
,所以
4.5
a
．
【考点】绝对值,函数最值
22．(2017 年高考数学山东理科·第15 题)若函数
xe f x (
2.71828
e
是自然对数的底数)在
f x 的定义
域上单调递增,则称函数
f x 具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为__________．
①
2 x
f x
②
3 x
f x
③
3
f x
x
④
2
2
f x
x
【答案】①④
【解析】①
2
2
x
x
x
x
e
e f x
e
在R 上单调递增,故
2 x
f x
具有M 性质;
②
3
3
x
x
x
x
e
e f x
e
在R 上单调递减,故
3 x
f x
不具有M 性质;
③
3
x
x
e f x
e
x
,令
3
x
g x
e
x
,则
3
2
2
3
2
x
x
x
g
x
e
x
e
x
x e
x
,
当
2
x 时,
0
g
x
,当
2
x 时,
0
g
x
,
3
x
x
e f x
e
x
在
, 2
上单调递减,在
2,
上单调递增,故
3
f x
x
不具有M 性质;
④
2
2
x
x
e f x
e
x
,令
2
2
x
g x
e
x
,
则
2
2
2
2
1
1
0
x
x
x
g
x
e
x
e
x
e
x
,
2
2
x
x
e f x
e
x
在R 上单调
递增,故
2
2
f x
x
具有M 性质．
23．(2017 年高考数学江苏文理科·第11 题)已知函数
3
1
( )
2
e
e
x
x
f x
x
x
, 其中e 是自然对数的底数．
若
2
(
1)
(2
)
0
f a
f
a
≤
,则实数a 的取值范围是______．
【答案】
1
[ 1, ]
2
解
析
:
因
为
3
1
(
)
2
e
( )
e
x
x
f
x
x
x
f x
,
所
以
( )
f x 为
奇
函
数
,
因
为
2
2
'
3
2
3
2 2
0
x
x
x
x
f
x
x
e
e
x
e
e
+
≥
≥, 所以
( )
f x 在R 上是单调递增函数, 又
2
(
1)
(2
)
0
f a
f
a
≤
,即
2
(2
)
(1
)
f
a
f
a
≤
,所以
2
2
1
a
a
≤
,即
2
2
1
a
a
≤0,解得
1
1
2
a
≤
≤
,故实
数a 的取值范围是
1
[ 1, ]
2
．
【考点】利用函数性质解不等式
【点评】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为
( ( ))
( ( ))
f g x
f h x
的形式,然后根据函数
的单调性去掉“ f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意( )
g x 与( )
h x 的取值应在外层函数的定义域
内
24．(2016 高考数学天津理科·第13 题)已知
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增．
若实数满足
，则的取值范围是_____________．
【答案】
解析：由
是偶函数可知，
单调递增；
单调递减
又
，
可得，
即
25．(2016 高考数学四川理科·第14 题)若函数
是定义
上的周期为的奇函数，当
时，
，则
．
【答案】
【解析】由题意知
，
所以
．
题型三：基本初等函数
1 ．(2018 年高考数学上海· 第11 题) 已知常数
，函数
的图像经过点
．若
，则
．
【答案】
解析：由题意：
，所以
，所以
，
所以
2
36
a
，又因为
0
a
，所以
6
a
．
2．(2018 年高考数学上海·第7 题)已知
．若幂函数
为奇函数，且
在
上递减，则
．
【答案】
解析：由
为奇函数，所以
，又在
上递减可知
．
3．(2018 年高考数学上海·第4 题)设常数
，函数
，若
的反函数的图像经
过点
，则
．
【答案】7
解析：由题意可知
经过
，所以
．
4．(2014 高考数学重庆理科·第12 题)函数
的最小值为_________．
【答案】
解析：根据对数的运算变型
,换元法令t=log2 x ,f (t )=t2+t ,得最
小值为
5 ．(2014 高考数学上海理科· 第9 题) 若
，则满足
的
的取值范围是
___________．
【答案】
解析:首先注意定义域:
;再由
得
,作图即得结果为
6．(2014 高考数学陕西理科·第11 题)已知
则=________．
【答案】
解析:由
得
7．(2014 高考数学江苏·第10 题)已知函数f (x)=x2+mx−1,若对于任意x∈[m,m+1]，都有f ( x)<0成立
则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
解析：画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数
在
上恒小于
0 的充要条件为
开口向下的二次函数
在
上恒大于0 的充要条件为
．
8．(2015 高考数学浙江理科·第12 题)若
，则
．
【答案】
4
3 √3
．
解析：
∵a=log43，∴4a=3⇒2a=√3 ，∴
2a+2−a=√3+ 1
√3
= 4
3 √3
．
考点：对数的计算
9 ．(2015 高考数学上海理科· 第10 题) 设
为
的反函数，则
的最大值为 ．
【答案】
解析：通过分析，我们可得函数
在定义域
上是单调递增的，且值域为
，由
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，
可得
的定义域为
，值域为
，又原函数与反函数的公共定义域为
，故
．
10．(2015 高考数学上海理科·第7 题)方程
的解为 ．
【答案】
解析：由条件可得
，所以
或
，检验后只有
符合；
11．(2015 高考数学山东理科·第14 题)已知函数
的定义域和值域都是
，则
．
【答案】
解析：若
，则
在
上为增函数,所以
，此方程组无解；
若
，则
在
上为减函数, 所以
，解得
，所以
．
考点：指数函数的性质．
12．(2017 年高考数学上海(文理科)·第12 题)定义在(0,
)
上的函数
( )
y
f x
的反函数为
1( )
y
f
x
,
若
3
1,
0
( )
( ),
0
x
x
g x
f x
x
为
奇函数,则
1( )
2
f
x
的解为________．
【答案】
8
x
【解析】
( )
3
1
(2)
9 1
8
x
f x
f
,∴
1( )
2
f
x
的解为
8
x ．
13．(2016 高考数学浙江理科·第12 题)已知
．若
，则
，
．
【答案】
【命题意图】本题主要考查对数运算、指数运算等知识点，意在考查学生的运算求解能力．
解析：由于
，则
，因为
，即
，所以
或
(舍去)，所以
，即
，所以
，所以
，
，所以
(
舍去)，所以
．
14．(2016 高考数学上海理科·第5 题)已知点
在函数
的图像上，则
的反函数
．
【答案】
解析：将点
带入函数
的解析式得
，所以
，用
表示
得
，所以
．
题型四：函数与方程
1．(2023 年天津卷·第15 题)若函数
有且仅有两个零点，则的取值范围
为_________．
【答案】
解析：(1)当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
(2)当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
2．(2022 高考北京卷·第13 题)若函数
的一个零点为
，则
________；
________．
【答案】 ①． 1 ②．
解析:∵
，∴
∴
故答案为：1，
3．(2021 高考北京·第15 题)已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数，使得
恰有个1 零点；
③存在负数，使得
恰有个3 零点；
④存在正数，使得
恰有个3 零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
解析：对于①，当
时，由
，可得
或
，①正确；
对于②，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，存在
，使得
只有一个零点，②正确；
对于③，当直线
过点
时，
，解得
，
所以，当
时，直线
与曲线
有两个交点，
若函数
有三个零点，则直线
与曲线
有两个交点，
直线
与曲线
有一个交点，所以，
，此不等式无解，
因此，不存在
，使得函数
有三个零点，③错误；
对于④，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，当
时，函数
有三个零点，④正确．
故答案为：①②④．
4．(2018 年高考数学浙江卷·第15 题)已知
，函数
，当
时，不等
式
的解集是 ，若函数
恰有2 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
，
解析：当
时，
，
若
，
，
得
，于是
；
若
，
，
得
，于是
；
不等式
的解集为
；
第二空两种解法
方法一：代数法(分类讨论两段函数根的个数)
①当
时，由于
有一个零点，问题等价于当
时，
有一个零点，因为
，只需要
；
②当
，由于
无零点，问题等价于当
时，
有两个零
点，
而
，当
时，
有两零点1，3 满足条件；
综上可知，
或
．
方法二：几何法(图像观察)
当直线
从左到右的运动过程中，当
或
时，
与轴有两个交点，即
恰有2 个零点，
即
的取值范围是
或
．
5．(2018 年高考数学天津(理)·第14 题)已知
，函数
若关于的方程
恰有2 个互异的实数解，则的取值范围是 ．
【答案】
解
析
：
当
时
，
由
，
得
，
，
且
，所以
，当
时，无解；当
时，有一个解；当
时，有两个解；
当
时，由
，得
，
，且
，
所以
，所以当
时，无解；当
时，有一个解；当
时，有两个解；
综上，要使关于的方程
恰有2 个互异的实数解，则的取值范围是
．
解法二：当
时，由
，得
，即
，很明显
不是原
方程的解，则
；
当
时，由
，得
，即
，很明显
不是原方程的解，
则
；令
，
其中
，
，
作出
的图象如图所示，由图可知，要使函数
与函数
的图象
有两个不同的交点，且考虑到
，则的取值范围是
．
10
8
6
4
2
2
15
10
5
5
10
15
6．(2014 高考数学天津理科·第14 题)已知函数
,
．若方程
恰有4 个
互异的实数根,则实数的取值范围为_________．
【答案】
解析:画出函数
的大致图象,
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
O
令
,则函数
的图象与函数
的图象有且仅有4 个不同的交点,如图,显然
(
不可能)．联立
消去得
,
由
解得
或
(舍去);联立
消去
得
,由
解得
或
(舍去)．
结合图象,实数的取值范围为
．
7 ．(2014 高考数学江苏· 第13 题) 已知f ( x)是定义在R 上且周期为3 的函数，当x∈[0,3)时，
f ( x)=|x2−2 x+ 1
2|
． 若函数y=f ( x)−a在区间[−3,4]上有10 个零点(互不相同)，则实数a的取值
范围是 ．
【答案】
解析：作出函数
的图象，可知
，当
时，
，
，方程
在
上有10 个零点，即函数
的图象与直线
在
上有10 个交点，由于函数
的周期为3 ，因此直线
与函数
的图象有4 个交点，则
．
8．(2015 高考数学湖南理科·第15 题)已知
，若存在实数，使函数
有两个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】(−∞,0)∪(1,+∞)．
分析：分析题意可知，问题等价于方程x3=b(x≤a)与方程x2=b(x>a)的根的个数和为2，
若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组{b
1
3
≤a
¿
{√b>a¿¿¿¿
有解，∴
，从而a>1 ；
若方程x3=b(x≤a)无解，方程x2=b(x>a)有2 个根：则可知关于b 的不等式组{b
1
3>a¿¿¿¿有解，
从而
a<0 ，综上，实数a的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)．
9．(2015 高考数学湖北理科·第12 题)函数
的零点个数为
．
【答案】2
解析：因为
=2(1+cos x)sin x−2sin x−|ln( x+1)|
=sin2 x−|ln( x+1)|
所以函数f ( x)的零点个数为函数y=sin2 x 与y=|ln( x+1)|图象的交点的个数，
函数y=sin2 x 与y=|ln( x+1)|图象如图，由图知，两函数图象有2 个交点，
所以函数f ( x )有2 个零点．
考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．
10．(2015 高考数学北京理科·第14 题)设函数
①若
，则
的最小值为 ；
②若
恰有2 个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2)
或
．
解析：①
时，
，函数
在
上为增函数，函数值大于
1，在
为减函数，在
为增函数，当
时，
取得最小值为1；
(2)①若函数
在
时与
轴有一个交点，则
，并且当
时，
，则
，函数
与
轴有一个交点，所以
；
②若函数
与
轴有无交点，则函数
与
轴有两个交点，
当
时
与
轴有无交点，
在
与
轴有无交点，不合
题意；当
时，
，
与
轴有两个交点，
和
，由于
，两交点横坐标均满足
；综上所述的取值范围
或
．
考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题．
利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论．
11．(2015 高考数学江苏文理·第13 题)已知函数
，
，则方程
实根的个数为___．
【答案】4
解析：由题意得：求函数
与
交点个数以及函数
与
交点个
数之和，因为
，所以函数
与
有两个交点，又
，所以函数
与
有两个交点，因此共有4 个交
点
考点：函数与方程
12．(2017 年高考数学江苏文理科·第14 题)设
( )
f x 是定义在R 且周期为1 的函数,在区间[0,1) 上,
2,
,
( )
,
,
x
x
D
f x
x
x
D
其中集合
1,
*
n
D
x x
n
n
N
,则方程
( )
lg
0
f x
x
的解的个数是______．
【答案】8
解析:由于
( )
[0,1)
f x
,则需考虑1
10
x
的情况
在此范围内, x
Q
且xZ 时,设
*
, ,
,
2
q
x
p q
p
p
N
,且,p q 互质
若lg x
Q
,则由lg
(0,1)
x
,可设
*
lg
,
,
,
2
n
x
m n
m
m
N
,且
,
m n 互质
因此
10
n
m
q
p
,则
10
(
)
n
m
q
p
,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此lg x
Q
,
因此lg x 不可能与每个周期内x
D
对应的部分相等,只需考虑lg x 与每个周期x
D
的部分的交点,画
出函数图像,图中交点除(1,0) 外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x
D
的部分,且
1
x 处
1
1
(lg )'
1
ln10
ln10
x
x
＜
,则在
1
x 附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8 个．
【考点】函数与方程
【点评】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草
图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数
的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．
13．(2016 高考数学山东理科·第15 题)已知函数
其中
，若存在实数，
使得关于的方程
有三个不同的根，则
的取值范围是________________．
【答案】
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要
有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
，解得
x
y
–1
–2
–3
1
2
3
4
5
–1
–2
1
2
3
4
5
O
。
题型五：函数模型及其综合应用
1．(2019·北京·理·第14 题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、
西瓜、桃，价格依次为60
元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总
价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
① 当
时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付__________元；
② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为
________．
【答案】① 130；② 15．
【解析】①
，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付
元；
② 设顾客一次购买水果的促销前总价为
元，
当0<
时，李明得到的金额为
，符合要求；
当
时，有
恒成立，即
恒成立，故
．
所以
的最大值为
．
2．(2015 高考数学四川理科·第13 题)某食品的保鲜时间
(单位：小时)与储藏温度
(单位：
)满足
函数关系
(
为自然对数的底数，
为常数)．若该食品在
的保鲜时间是192
小时，在23
的保鲜时间是48 小时，则该食品在33
的保鲜时间是________小时．
【答案】24
解析：
由
题
意
得
：
，
所
以
时
，
．
考点：函数及其应用．
3．(2015 高考数学陕西理科·第16 题)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边
界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】
解析：建立直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是
，设抛物线的方程为
(
)，因为该抛物
线过点
，所以
，解得
，所以
，即
，所以当前最大流量
是
，故原始的
最大流量与当前最大流量的比值是
，所以答案应填：
．
【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
4．(2017 年高考数学北京理科·第14 题)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其
中点
iA 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点
iB 的横、纵坐标分别为第i
名工人下午的工作时间和加工的零件数,
1 2 3
i
, ,
．
①记
i
Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则
1
2
3
Q ,Q ,Q 中最大的是_________．
②记
ip 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则
1
2
3
p , p , p 中最大的是_________．
【答案】
1
Q ;
2.
p
【解析】作图可得
1
1
A B 中点纵坐标比
2
2
3
3
,
A B
A B 中点纵坐标大,所以第一题选
1
Q ;分别作
1
2
3
,
,
B B B 关
于原点的对称点
1
2
3
,
,
B
B
B
,比较直线
1
1
2
2
3
3
,
,
A B A B
A B
斜率,可得
2
2
A B最大,所以选
2p ．
【考点】①图象的应用;②实际应用．
【点评】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力,以及转化与化归的能力．因为第i 名工人加
工总的零件数是
i
i
A
B
,比较总的零件数的大小,即可转化为比较
2
i
i
A
B
的大小,而
2
i
i
A
B
表示
i
i
A B
中点连线的纵坐标．第二问也可转化为
i
i
A B 中点与原点连线的斜率．
5．(2014 高考数学山东理科·第15 题)已知函数
，对函数
，定义
关于
的“对称函数”为
，
满足：对任意
，两个点
，
关于点
对称，若
是
关于
的“对称函数”，且
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
解析：由题意知
，得
，
恒
成立，即
，
恒成立，当
与
相切时，
，同一直角坐标系中由
与
的图象可
知
．
6．(2014 高考数学湖北理科·第14 题)设f ( x)是定义在(0,+∞)上的函数，且f ( x)>0 ，对任意
，若经过点(a,f (a))，(b,−f (b))的直线与
轴的交点为DP=BQ=λ(0<λ<2)，则称λ=1为a 、b 关于函
数f ( x)的平均数，记为λ
，例如，当f ( x)=1( x>0)时，可得PQMN
，即
λ
为a 、b 的算术平均数．
(Ⅰ)当f ( x)= ( x>0)时，M f (a,b)为a 、b 的几何平均数；
(Ⅱ)当f ( x)= ( x>0)时，M f (a,b)为a 、b 的调和平均数
2ab
a+b ．
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
【答案】(Ι )√x ；(ΙΙ)x(或填(Ι )k1√x ；
(ΙΙ)k2x，其中k1，k2为正常数均可)
解析：过点(a,f (a))，(b,−f (b))的直线方程为
y−f (a)= f (a)+f (b)
a−b
( x−a)
，令y=0 得
c=af (b)+bf (a)
f (a)+f (b)
．
(Ι )令
几
何
平
均
数
√ab=af (b)+bf (a)
f (a)+f (b)
⇒√ab f (a)+√ab f (b)=bf (a)+af (b)
，可取f ( x)=√x( x>0)；
(ΙΙ)令调和平均数
2ab
a+b=af (b)+bf (a)
f (a)+f (b)
⇒ab +ba
a+b =af (b)+bf (a)
f (a)+f (b)
，可取f ( x)=x( x>0)．
7．(2021 年高考浙江卷·第12 题)已知
，函数
若
，则
___________．
【答案】2
解析:
，故
，故答案为 2．
8．(2019·浙江·第16 题)已知
，函数
．若存在
，使
，则实数
的最大值是 ．
【答案】
【解析】解法一：存在
，使得
，即
，
即
．设
，得
，所以
，
所以的最大值为
．
解法二：定积分的几何意义，
，则
．故只需求
的最小值．不妨设
．根据定积分的几何意义知,只需
,故
．
9．(2019·上海·第12 题)已知
，若
，
与
轴交点为
，
为曲线
，在
上任意一点
，总存在一点
(
异于
)使得
且
，则
__________.
【答案】
【解析】设点
，则
或
设
；
根据函数特征在(
上递减，在
上递增，故
必各在一个区间内)，不失一般性.
假设
；对应的
；
则设
满足
,而根据题意，
满足
其中
，
；
故
恒
成立，即
或
(舍)
【点评】本题主要考查图象的平移、翻折变换、极限思想．
10．(2019·江苏·第14 题)设
是定义在R 上的两个周期函数，
的周期为4，
的周期为
2，且
是奇函数.当
时，
，
，其中
.若在区
间
上，关于
的方程
有8 个不同的实数根，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，
等价于
(
).结合
是周期为4 的
奇函数，可作出
在
上的图象：
因为当
时，
，且
的周期为2
由图可知：当
∪
∪
∪
时，
与
的图象有2 个交点.
由已知，
与
在
上有8 个交点，
所以当
∪
∪
∪
∪
时，
与
的图象有6 个交点.
又当
时，
表示的直线恒过定点
，且斜率
，结合
的周期为
2 及
图象，可知：当
∪
时，
与
的图象无交点
所以当
∪
∪
时，
与
的图象有6 个交点.
由
与
的周期性可知：当
时，
与
的图象有2 个交点.
如图，当线段
与圆弧
(
，
)相切时有
，解得，
.
又
，所以
(此时恰有1 个交点)；
当线段
过点
时，
(此时恰有2 个交点).
结合图形分析可知：
的取值范围是
.
