专题03 平面向量（选填题10 种考法）
考法一 平面向量的坐标运算
【例1】（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量
，
//
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】因为
，所以
，则A 正确；
，则B 正确；
因为
//
，所以设
，因为
，
所以
，解得
，所以
或
，故C 错误；
，故D 错误．故选：AB
【变式】
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量
，则下列说法正
确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则向量
的夹角为锐角
【答案】B
【解析】对于选项A：因为
，则
，
所以
，解得
或
，故A 错误；
对于选项B：因为
//
，所以
，解得
，故B 正确；
对于选项C：因为
，所以
，解得
，故C 错误；
对于选项D：当
时，
，
由选项B 可知：
不共线，所以向量
的夹角为钝角，故D 错误.
故选：B.
2（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量是
【答案】AC
【解析】因为
，
，
所以
，
，故A 正确；
因为
，故B 错误；
，
，故C 正确；
因为
在
上的投影向量是
，故D 错误.
故选：AC．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量
，
，则下列说法正
确的是（ ）
A．若
，则
B．若
∥
，则
C．若
，则
D．若
，则向量
，
的夹角为钝角
【答案】BD
【解析】对于A，因为
，
，所以
，
，解得
或
，故A 错误；
对于B，因为
∥
，所以
，解得
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，解得
，故C 错误；
对于D，当
时，
，
，又因为此时
，
不共线，所以向量
，
的夹角为
钝角，故D 正确.故选：BD.
考法二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2023·安徽·校联考二模）如图，在
中，点D 为线段BC 的中点，点E，F 分别是线段AD
上靠近D，A 的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
①；
，则
②；
①
②两式相加，
，即
，
故选：C.
【例2-2】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点E 满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】因为
，则
，
整理得
，可得
，
所以
.
故选：A.
【变式】
1（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形
中，
､
分别在边
､
上，
，
与
相交于点
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】过点
作
平行于
，交
于点
，
因为
，则
为
的中点，所以
且
，
因为
，所以
，
由
可得：
，所以
，
因为
，
所以
，
故选：
.
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
中，设
，由
，可得
，故
．
又
是
的中点，
，所以
，所以
．
由点
三点共线，可得
，解得
，
故
．
故选：A．
3．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000 多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨
斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另
一部分与这部分之比，黄金分割比为
.如图，在矩形
中，
与
相交于点
，
，且点
为线段
的黄金分割点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，显然
，
，
同理有
，
，
所以
，故
，
因为
，
所以
.
故选：D
考法三 平面向量的数量积
【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】∵
，
又∵
9
∴
，
∴
故选：C.
【例3-2】（2023·全国·统考高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【解析】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等边三角形
的边长为2，D，E 分别是
，
上的点，且
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
∴
．
故选：D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】
【解析】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
.
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.
故答案为：
.
3．（2023·河北保定·统考二模）在
中，点
在边
上，
平分
，若
，
，则
．
【答案】1
【解析】延长
至点
，使
，连接
，
延长
交
于点
，过点
作
的平行线交
于
．
平分
，
，
为
的中点，得
，
，
，可得
，
．
，
，
，
可得
，
．
故答案为：1．
考法四 平面向量的共线定理
【例4-1】（2023·山西临汾·统考一模）已知
、
为不共线的向量，
，
，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】C
【解析】因为
、
为不共线的向量，所以
、
可以作为一组基底，
对于A：
，
，若存在实数使得
，
则
，所以
，方程组无解，所以
与
不共线，故
、
、
三点不共线，即
A 错误；
对于B：因为
，
，所以
，
同理可以说明不存在实数，使得
，即
与
不共线，故
、
、
三点不共线，即B 错误；
对于C：因为
，
，
所以
，
又
，所以
，故
、
、
三点共线，即C 正确；
对于D：
，
，
同理可以说明不存在实数，使得
，即
与
不共线，故
、
、
三点不共线，即D 错误；
故选：C
【例4-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在
中
，点
为
与
的
交点，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
为
中点，
三点共线，故可设
，即
，
整理得
，
因为
，所以
，即
，
三点共线，
可得
，
所以
，解得
，
可得
，则
，
.
故选：B
【变式】
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在
中，
是
边上一点，且
是
上一点，
若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得出
，
由
得
，
因为
三点共线，所以
，解得
.
故选：D.
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在
中，M 为线段
的中点，G 为线段
上一点，
，过点G 的直线分别交直线
，
于P，Q 两点，
，
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．3
D．9
【答案】B
【解析】因为M 为线段
的中点，所以
，又因为
，所以
，
又
，
，所以
，
又
三点共线，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）
，
是两个不共线的向量，已知
，
，
且
三点共线，则实数
.
【答案】
【解析】依题意得，
，于是
，
由
三点共线可知，存在
，使得
，即
，
由于
，
是两个不共线的向量，则
，解得
.
故答案为：
考法五 平面向量中的取值范围
【例5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2 的菱形
中，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】边长为2 的菱形
中，
，如图所示，
则
，
，
，
，
，
由于
，所以当
时，
有最小值
.
故选：B
【例5-2】（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知平面向量
、
、满足
，
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不失一般性，在平面直角坐标系
中，设
，
，
，
因为
，
，
，
所以，
，
当且仅当
时，等号成立.
因此，
的最小值为
.故选：C.
【变式】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或
绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2 的扇形
，其中
，
，
，点
在
上，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图，
，
若
为
中点，且
，则
，
则
，
要使其最小，只需
共线，
此时，由图知此时
.
故答案为：
.
2．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量
，
满足
，且
，则
的最小值是
．
【答案】
/
【解析】由
两边平方得
．
又因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是
.
故答案为：
.
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知
中，
，
，
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，结合向量加法法则知：
到
的距离为2，
又
，则
，所以
，故
为等腰直角三角形，
由
，则
，所以
共线，
又
，则
，若
为
的两个四等分点，
为
中点，如下图示，
所以
在线段
上运动，且
，
，
，
由图：若
，则
，又
，此时
，
故上述情况
，易知
，
由图知：
与
重合时，
，
综上，
的取值范围为
.
故选：D
4．（2023·全国·统考高考真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于B，
C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时或PB 为直径时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值.
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
，
，则
当
时，
有最大值
.
综上可得，
的最大值为
.
故选：A.
考法六 平面向量与四心
【例6】（2023 春·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I 在
所在的
平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若
，则O 是
的外心
B．若
，则I 是
的内心
C．若
，则P 是
的垂心
D．若
，则N 是
的重心
【答案】B
【解析】对于选项A：若
，即
到
的距离相等，
根据外心的定义可知：O 是
的外心，故A 正确；
对于选项B：若
，则
，
即I 是三边高线的交点，所以I 是
的垂心，故B 错误；
对于选项C：若
，
则
，即
，
同理可得：
，由选项B 可知：P 是
的垂心，故C 正确；
对于选项D：若
，则
（D 为AB 的中点），
即
，根据重心的性质可知：N 是重心，故D 正确；
故选：B.
【变式】
1．（2023 春·河南濮阳·高一统考期末）点
为
所在平面内的点，且有
，
，
，则点
分别为
的（ ）
A．垂心，重心，外心
B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心
D．外心，垂心，重心
【答案】A
【解析】由
，得
，
即
，
则
，
得
所以
，则
，同理可得
，
，
即
是
三边上高的交点，则
为
的垂心；
由
，得
，
设
的中点为
，则
，即
，
，
三点共线，
所以
在
的中线
上，同理可得
在
的其余两边的中线上，
即
是
三边中线的交点，故
为
的重心；
由
，得
，即
，
又
是
的中点，所以
在
的垂直平分线上，
同理可得，
在
，
的垂直平分线上，
即
是
三边垂直平分线的交点，故
是
的外心，
故选：A
2．（2023 春·广东珠海）（多选）在
所在平面内，点满足
，其中
，
m，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，直线AP 一定经过
的重心
B．当
时，直线AP 一定经过
的外心
C．当
，
时，直线AP 一经过
的垂心
D．当
，
时，直线AP 一定经过
的内心
【答案】AC
【解析】对于A，因为
，
，所以
，
设点
为
的中点，所以
，
所以
，所以直线AP 一定经过
的重心，所以A 正确，
对于B，当
时，
，
因为
为与
同方向的单位向量，
为与
同方向的单位向量，
所以
平分
，
所以直线AP 一定经过
的内心，所以B 错误，
对于C，当
，
时，
，
所以
，
所以
，所以直线AP 一经过
的垂心，所以C 正确，
对于D， 当
，
时，
，
作
于
，则
，
，
所以
，
所以直线AP 一定经过
的重心，所以D 错误，
故选：AC
3．（2023 春·湖北 ）（多选）在
所在的平面上存在一点
，
，则下列说
法错误的是（ ）
A．若
，则点
的轨迹不可能经过
的外心
B．若
，则点
的轨迹不可能经过
的垂心
C．若
，则点
的轨迹可能经过
的重心
D．若
，则点
的轨迹可能经过
的内心
【答案】ABC
【解析】若
，根据向量共线的推论知：
共线，即
在直线
上，
中，当
时，则
的中点为三角形外心，故
有可能为外心，A 错；
若
，不妨取
当
时,
此时
的轨迹经过
的垂心，B 错；
若
为
的重心，必有
，此时
，C 错；
若
，设
为等边三角形，结合
，
则
点在
的中线上，也在
的平分线上，
的轨迹可能经过
的内心，D 正确.
故选：ABC
4．（2023 春·江苏扬州 ）（多选）已知直角三角形
满足
，
，则下列结论正确
的是（ ）
A．若点
为
的重心，则
；
B．若点
为
的外心，则
；
C．若点
为
的垂心，则
；
D．若点
为
的内心，则
．
【答案】ABD
【解析】对于A ，设BC 的中点为 D ，则
,
点
为
的重心，
，A 正确，
对于B ，直角三角形
满足
,点
为
的外心，O 为 BC 的中点，
，B 正确，
对于C，直角三角形
满足 A =90°, 点
为
的垂心，
的垂心O 与 A 重合，
．C
错误;
对于D，设直角三角形
内切圆的半径为 r ,
,
如下图，
OE = OF =1,
四边形 AEOF 为正方形，
,D 正确．
故选： ABD .
考法七 平面向量巧建坐标
【例7】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC 中，
，
，
，若动点
P 满足
，则
的最大值为（ ）
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】B
【解析】如图，以B 为坐标原点，
，
的方向分别为x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则
，
，
．
设
，则
．
因为
，所以P 是圆A：
上的点．
又点P 与点
距离的最大值为
，即
，
所以
．
故
的最大值为17．
故选：B.
【变式】
1（2022·北京·统考高考真题）在
中，
．P 为
所在平面内的动点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则
，
，
，
因为
，所以
在以
为圆心，为半径的圆上运动，
设
，
，
所以
，
，
所以
，其中
，
，
因为
，所以
，即
；
故选：D
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形
中，动点
从点
出发，经过
，
，到达
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以
为坐标原点，
，
所在直线分别为
轴，
轴，建立平面直角坐标系，
设
，则
，
当点
在
上时，设
，
则
，即
，故
，
当点
在
上时，设
，
则
，即
，解得
，
故
，
当点
在
上时，设
，
则
，即
，故
综上，
的取值范围是
.
故选：B
3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）如图所示，梯形
中，
，且
，
点P 在线段
上运动，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图建立平面直角坐标系，
则
，
∴
，
设
，
，
∴
，
又
，
∴
，
解得
，
∴
，
即
的最小值为
.故选：B.
考法八 平面向量与奔驰定理
【例8-1】（2023 春·江苏盐城 ）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定
理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已
知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，则
，
是
内的一点，∠
，∠
，∠
分别是
的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，
，且
，则
C．若
，则
为
的垂心
D．若
为
的内心，且
，则
【答案】BCD
【解析】对选项A：
，则
，错误；
对选项B：
，
，
故
，
，正确；
对选项C：
，即
，故
，
同理可得
，
，故
为
的垂心，正确；
对选项D：
，故
，设内接圆半径为，
，
，
，即
，
即
，
，正确.
故选：BCD
【例8-2】（2023 春·宁夏银川 ）已知点O 是
内一点，满足
，
，则实数
m 为 ．
【答案】
【解析】如图，令
，则：
三点共线；
与
共线反向，
；
；-
解得
．
故答案为：
.
【变式】
1．（2023 秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）已知
为
的外心，
，
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
的中点为D，由
为
的外心可得，
，
，
又
，
所以
，
又
，可得
，
故
，则
的面积为
，
故选：D.
2．（2023 秋·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．设
是
内一点，
的三个内角分别为
，
，
，
，
，
的面积分别为
，
，
，若
，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．
有可能是
的重心
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得，
，
因为
，
，
不共线，所以
，故A 正确；
对于B，若
是
的重心，
，
因为
，所以
，即
共线，故B 错误．
对于C，当
为
的外心时，
，
所以
，
即
，故C 错误．
对于D，当
为
的内心时，
（为内切圆半径），
所以
，所以
，故D 正确.
故选：AD.
3．（2023 秋·江西宜春）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是
内的
一点，
，
，
的面积分别为
、
、
，则有
，设O 是锐角
内的一点，
，
，
分别是
的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若
，则O 为
的重心
B．若
，则
C．若O 为
（不为直角三角形）的垂心，则
D．若
，
，
，则
【答案】ABC
【解析】对于A，设
的中点为D，则
，
即
三点共线，则
，
设
为
的中点，同理可得
，
故O 为
的重心，A 正确；
对于B，若
，结合
，
可知
，B 正确；
对于C，
，
，
，
又O 为
（不为直角三角形）的垂心，设
延长后交
与G，则
,
同理
，则
，
即
，
同理
，
故
，同理
，
又
，
，
又O 为
（不为直角三角形）的垂心，
则
，
故
，即
，
同理
，
则
，
同理
，
故
，
又
，可得
，C 正确；
对于D，
中，
，
，则
，
又
，故
，
则
，
故
，D 错误，
故选：ABC
考法九 平面向量中的新定义
【例9】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量
与
的夹角为
，定义
.已知向量
为单位向量，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
解得
，
又
，所以
，
所以
.
故选：C
【变式】
1．（2023·辽宁·校联考模拟预测）定义：
，其中
为向量
与
的夹角．若
，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，又
，
，
.
故选：D.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）向量
的夹角为
，定义运算“
”：
，若
，则
的值为 .
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
则
，所以
.
故答案为：
.
3（2022 秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量
，
的夹角为
，定义运算
.下列叙述正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．设在
中，
，
，则
D．
（为任意非零向量）
【答案】AC
【解析】非零向量
，
的夹角为
，定义运算
，
对于A：若
，则
，即
，又
，
所以
或
，故A 正确；
对于B：当
，则
，因为
，所以
，所以
，故B 错误；
对于C：在
中，
，
，所以
，所以
，故C 正确；
对于D：
其中
为
与
的夹角，
其中
为
与
的夹角，
其中
为
与的夹角，
则
，
令
，
，
，此时
，
，
，
则
不成立，故D 错误；故选：AC
考点十 平面向量与其他知识综合
【例10-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
，
，所以
或
，
又
，所以
，所以
，所以
，故选：B.
【例10-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）复数在复平面内对应的点是A，其共轭复数
在复平面内对应的点是B，O 是坐标原点.若A 在第一象限，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，由
得：
，
因为
，所以
，故
，
故
.故选：B
【变式】
1（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点
和数列
满足
，若
分别为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】由题意可得：
，
则
，
∵
，则
，
由
，则
，
同理
，
，
即数列
均是周期为6 的数列，而
，
故选：D.
2．（2023·浙江·统考一模）（多选）已知O 为坐标原点，点
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为
，
，
，
所以
，
，
故
是正三角形，则
，故A 正确；
对于B，因为
是正三角形，
是
的外心，
所以
是
的重心，故
，即
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，因为
，则
，
所以
，故D 错误.
故选：ABC．
.
3．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，∠BAC=60°，点D 为边BC 的中点，E，F 分别为BD，DC 的
中点，若AD=1，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】设AC=b，AB=c，
则
，
∵D 为边BC 的中点，
∴
，
∴
，即：
，①
又∵
，当且仅当
时取等号. ②
∴由①②得：
.
又∵E、F 分别为BD、DC 的中点，
∴
，
，
∴
，当且仅当
时取等号.
∴
的最大值为
.故答案为：
.
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【解析】向量
满足
，
所以
.
故选：B
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【解析】
,
,即
,解得
,
故选：C
4．（2022·全国·统考高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】因为
，所以
.
故选：D
5．（2022·全国·统考高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若向量
，且
，则
（ ）
A．1
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】由向量
，可得
，
因为
，可得
，解得
，
所以
，可得
.
故选：D.
7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知向量
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
故
，化简得
.
故选：C
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
9．（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量
的夹角为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，即
，
，
.故选：A.
10．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知
是相互垂直的单位向量.若向量
，
，
则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是相互垂直的单位向量，
所以
.
又
，
，所以
，
所以
，
又
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.故选：B
11．（2023·福建龙岩·统考二模）已知向量
，
，
，
，若
，则
在上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为向量
，
，
，
，
所以
，
，向量
在向量方向上的投影向量为
.
故选：C
12．（2023·海南·海南中学校考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒
洛三角形中，已知
，P 为弧AC 上的一点，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则
，
，由
，得
，所以
，
，所以
.
故选：C.
13．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形
的边长为2，点
，
，
分别是边
，
，
的中点，点
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．48
【答案】A
【解析】如图建立平面直角坐标系，则
、
、
、
，
设
，
，（
），则
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
，
所以
，
又
，所以当
时
取得最小值为
.
故选：A
14．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量
，
，则下列命题不正确的是
（ ）
A．
B．若
，则
C．存在唯一的
使得
D．
的最大值为
【答案】D
【解析】由向量
，
，
对于A 中，由
，所以A 正确；
对于B 中，若
，可得
且
，可得
，所以B 正确；
对于C 中，若
，可得
，整理得
，
所以
，可得
，因为
，可得
，所以C 正确；
对于D 中，由
，
因为
，所以
，可得
，
所以
的最大值为
，即
的最大值为
，所以D 错误.
故选：D.
15．（2023·浙江·模拟预测）在
中，
是
上靠近
的四等分点，
与
交于点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，连接
，设
，由
三点共线，
设
，
则
，
，
可得
，解得
，所以
.
故选：A.
16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知在三角形ABC 中，
，
，
，点M，N 分别为边
AB，AC 上的动点，
，
，其中x，
，
，点P，Q 分别为MN，BC 的中点，
则
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于P，Q 分别为MN，BC 的中点，所以
,
,
所以
,
因此
，对称轴为
，故
当
时，
最小，故此时
,
故选:B
17．（2023·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为2，动点P 满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接
、
交于点E，
则
，
∴
，则点P 在以E 为球心，1 为半径的球面上，
易知点P 的运动轨迹在平面ABCD 内的射影为正方形ABCD 的内切圆及圆内部，
设AC 与该圆交于点
、
(
靠近点A)．
设
与
的夹角为
，则
，
，
，
∴
．
因此
，
即
的取值范围为
．
故选:C．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在平行四边形
中，
分别为
上的点，且
，连接
交于
点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
则
显然
得
显然
因为
所以有
即
根据向量的性质可知
解得
故选：C
19．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）在
中，点D 在边BC 上，且
，
，记
中点分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在
中，
，
因为
，所以
，
所以
，可整理得
即
，
所以
整理得
，
因为
，
中点分别为
，
所以
，
所以在
中，
，
因为
，且
即
，
所以
，
所以
，
故选：A
20．（2023·全国·统考高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
.
故选:D.
21．（2023·福建·校联考模拟预测）设向量
与单位向量满足，对任意
都有
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由
，可得
，
即
对任意
恒成立，
则满足
，即
，所以
，
设向量
与的夹角为
，可得
，所以
，
则
，
当
时，可得
.
故选：B.
22．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在
中，已知
，
，
，若
，且
，
，则
在
上的投影向量为
（
为与
同向的单位向
量），则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得
，
解得
，
因为
，由勾股定理逆定理得
⊥
，
，
则
，
因为
，
，所以
，
，
在
上的投影向量为
，故
，
令
，则
，
令
，
因为
，所以
，故当
时，
，
当
时，
，
，
故
，
故选：B
23．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD 的边长为1，
，G 是菱形ABCD 内
一点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD 的边长为1，
，
所以
，
所以
，则
为等边三角形，因为
，
所以
，设点M 为BC 的中点，则
，所以
，
所以G，A，M 三点共线，所以AM 为BC 的中线，
所以
，
同理可得点AB，AC 的中线过点G，
所以点G 为
的重心，故
，
在等边
中，M 为BC 的中点，则
，
所以
.
故选：A
24．（2023·河南郑州·校联考二模）在
中，
，
，
，
是
的外接圆上的
一点，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得
，所以
，
所以
，所以
．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A
（－1，0），C（1，0），B（－
，
），设P 的坐标为
，所以
，
，
，又
，所以
，所
以
，
，所以
，当且仅当
时，等号成立．
故选：B．
25．（2023 春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q
在△ABC 所在平面内，动点P 满足
，
，则直线AP 一定经过
的
____心，点H 满足
，则H 是
的____心，点N 满足
，则N 是
的____心，点Q 满足
，则Q 是
的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心
B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心
D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【解析】
，变形得到
，
其中
分别代表
方向上的单位向量，
故
所在直线一定为
的平分线，
故直线AP 一定经过
的内心，
，即点
到
三个顶点相等，故点
是
的外心，
因为
，所以
，
如图，取
的中点
，连接
，
则
，所以
，
故
三点共线，且
，
所以
是
的重心，
由
可得
，
故
，同理可得
，
故
为
三条高的交点，
为
的垂心.
故选：B
26．（2023·全国·高三专题练习）在
中，若
，则点
是
的（ ）
A．重心
B．内心
C．垂心
D．外心
【答案】B
【解析】过点
分别作
，
，
的垂线
，
，
，其垂足依次为
，如图所示，
由于
，
根据奔驰定理就有：
，
即
，
因此
，故点
是
的内心，B 选项正确.
故选：B
27．（2023·河南开封·统考三模）已知
、
为单位向量，
，非零向量
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，即
，
则
，∴
，
∵
，∴
，
设
，
，
，
，如图，
则
，
故点C 在以点D 为圆心，半径为1 的圆上运动，
∴
，当A、D、C 三点共线时取等号，
在
中，
，则
，
所以
的最小值为
，故选：B．
28．（2023·陕西渭南·统考一模）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．
如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径
，小圆半径
，点
在大圆上，过点
作小圆的切线，切点分别是
，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由题意可知：
，
，
因为
为切线，所以
，如图，
由勾股定理可得：
，所以
,
由
，
，
过
，
所以
，
故选：
.
29．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点
和数列
满足
，若
分别为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】由题意可得：
，
则
，
∵
，则
，
由
，则
，
同理
，
，
即数列
均是周期为6 的数列，而
，
故选：D.
30．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知定点
在边长为1 的正方形
外，且
，对正方形
上任意点
，都有
的面积
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则
，
，
，
，
因为
，所以
在线段
的垂直平分线上，又
，
即
，所以
，
则
，所以
，即
，
设
，则
，
，
所以
，解得
或
，
又定点
在边长为1 的正方形
外，所以
，
设
，则
，
，
所以
，
若
在线段
上，则
，
，
此时
，
因为
，则
，
所以
，则
，
若
在线段
上，则
，
，
此时
，
因为
，则
，
所以
，则
，
若
在线段
上，则
，
，
此时
，
因为
，则
，
所以
，则
，
若
在线段
上，则
，
，
此时
，
因为
，则
，
所以
，则
，
综上可得
，
即
，当且仅当
，即
点位于
点时取得最大值.
故选：C
二、多选题
31．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知平面向量
，
，
，则下列说法正
确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则向量
在上的投影向量为
D．若
，则向量
与的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】若
，根据平面向量共线性质可得
，即
，所以A 正确；
若
，可得
，即
，解得
，所以B 正确；
若
，
，由投影向量定义可知向量
在上的投影向量为
，即C 错误；
若
，则
，所以
；
但当
时，
，即此时向量
与的夹角为零角，所以D 错误.
故选：AB
32．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知对任意平面向量
，把
绕其起点A 沿逆时针方
向旋转
角得到向量
，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转
角得到点
P．已知平面内点
，点
，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转
后得到点
，逆时针
旋转
，
后分别得到点
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．点
的坐标为
【答案】ABD
【解析】点
，点
，
,把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转
(即按逆时
针方向旋转
) 后得到点
，
,可得
，故
D 正确；
把点B 绕点A 沿逆时针旋转
后得到点
,
,可得
，故A 正确；
把点B 绕点A 沿逆时针旋转
后得到点
,
,
即
，故
B 正确；
C.
,
，即
，故C 错误；
故选：ABD
33．（2022 秋·山东青岛·高三统考期末）（多选）已知对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针
方向旋转
角得到向量
，叫做把点
绕点A 沿逆时针方向旋转
角得到
点
.已知平面内点
，点
，
，
，点
绕点A 沿逆时针方向旋转
角
得到点
，则（ ）
A．
B．
C．
的坐标为
D．
的坐标为
【答案】ACD
【解析】由题意可知点
，点
，故
，
因为
，故
，
又
，即
，故
，
所以
，
，故B 错误，C 正确；
因为点
绕点A 沿逆时针方向旋转
角得到点
，
所以
，
则由
,可得点
坐标为
，故D 正确；
故
，则
，A 正确，
故选：ACD
34．（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直线与C 交于
A，B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得
，由
可得点
在
的垂直平分线上，则
点横坐标为
，
代入抛物线可得
，则
，则直线
的斜率为
，A 正确；
对于B，由斜率为
可得直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
设
，则
，则
，代入抛物线得
，解得
，则
，
则
，B 错误；
对于C，由抛物线定义知：
，C 正确；
对于D，
，则
为钝角，
又
，则
为钝角，
又
，则
，D 正确.
故选：ACD.
35．（2023·广东潮州·统考二模）设向量
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】由题意可知
，
，故
，A 正确；
因为
，故
不平行，B 错误；
因为
，故
，C 正确；
由于
，
，
故
在
上的投影向量为
，D 正确，
故选：ACD
36．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知向量
，
则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
为锐角，则
C．若
在
上的投影向量为
，则
D．
的最小值为1，最大值为3
【答案】AC
【解析】若
，则
，解得
，所以
，故A 正确；
若
为锐角，则
，且
与
不能同向共线，所以
，故B 错误；
若
在
上的投影向量为
，则
，
即
，解得
，所以
，故C 正确；
因为
，所以
，
因为
，则
，则
，
所以
，即
，
所以
，故D 错误.
故选：AC
37．（2023·海南·统考模拟预测）已知向量
，
，则下列说法正确的是
（ ）．
A．若
，则
B．
的取值范围为
C．满足
的
的值有2 个
D．存在
，使得
【答案】BC
【解析】对于A，由
得
，即
，故A 错误；
对于B，
，
因为
，所以
，
，
，故B 正确；
对于C，
因为
，所以
，所以
或
，
得
或
，故C 正确；
对于D，
等价于
，
的方向相反，而
，结合C 的分析可知，不存在满足
的条件，故D 错误．
故选：BC
38．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）点
，
分别是
的外心垂心，则下列选项正确的是（
､
）
A．若
且
，则
B．若
，且
，则
C．若
，
，则
的取值范围为
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】A.由
，
可知，点
共线，
又
可知，点
在
的角平分线上，
所以
为
的角平分线，
与
不一定相等，故A 错误；
B.若
，则点
是
的中点，点
又是
的外心，
所以
，
，故B 正确；
C. 因为
，所以
，如图，建立平面直角坐标系，
设
，
，
，
因为
，所以
，
得
，
，
，
，
，
，则
，故C 正确；
D.因为
，所以
，
即
，则
，
同理，
，所以
，
设
，
因为
，所以
，
即
，则
，
，即
，
则
，
，
，故D 正确.
故选：BCD
39．（2023 春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，
是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取BC 的中点D，连接MD，AM，
由
，则
，
所以
，
所以A，M，D 三点共线，且
，
设E，F 分别为AB，AC 的中点，同理可得
，
，
所以
为
的重心，故A 正确；
对于B，由
为
的内心，则可设内切圆半径为，
则有
，
，
，
所以
，
即
，故B 正确；
对于C，由
为
的外心，则可设
的外接圆半径为
，
又
，
，
则有
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，故C 错误；
对于D，如图，延长AM 交BC 于点D，延长BM 交AC 于点F，延长CM 交AB 于点E，
由
为
的垂心，
，则
，
又
，则
，
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
，
所以
，所以
，故D 正确；
故选：ABD．
40．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形
中，
为
中点，
分别为线段
的两个三等分点，点
为线段
上任意一点，若
，则
的值可
能是（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】AB
【解析】
如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设
，则
，
则
设
，则
∵
，
∴
，
∴
整理得
，
因为
，所以
故选：AB.
三、填空题
41．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形
的边
上，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以圆心为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则
,
，设
,于是
，
因为
，所以
，故
的取值范围是
.
故答案为：
．
42．（2022·全国·统考高考真题）设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
．
【答案】
【解析】
与
的夹角为
，因为
与
的夹角的余弦值为
，即
，
又
，
，所以
，
所以
．
故答案为：
．
43．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）在平行四边形
中，
为
的重心，
，则
．
【答案】
/
【解析】如图，设
与
相交于点
，又
为
的重心，
所以
为
的中点，
，
则
，
则
，故
．
故答案为：
44．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图,在平行四边形
中,点E 是CD 的中
点,点F 为线段BD 上的一个三等分点,且
,若
,则
.
【答案】
【解析】由题知点F 为线段BD 上的一个三等分点,所以
,
所以
,
因为
不共线,所以
,故
.
故答案为:
45．（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何
问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角
形的三个角均小于
时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
:当三角形有一内角大于或等于
时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为
费马点.已知
分别是
三个内角
的对边，且
，若点
为
的费马点，
则
.
【答案】
【解析】由于
，所以三角形
的三个角都小于
，
则由费马点定义可知：
，
设
，由
得：
，整理得
，
则
.
故答案为：
46．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在
中，点
是
的中点，点
在
上，
且
，
，则
.
【答案】
【解析】依题意
，又点
在
上，且
，
所以
，所以
，解得
，
即
，
所以
，
又
，所以
，
，
所以
.
故答案为：
47．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在
中，点
是边
上一点且
，
是边
的中点，直线
和直线
交于点
，若
是
的平分线，则
.
【答案】
【解析】记
，
，以
、
为邻边作平行四边形
，
因为
，则平行四边形
为菱形，所以，
平分
，
且
，
因为
平分
，则
、
共线，
则存在
，使得
，
因为
、
、
三点共线，则
、
共线，则存在
，
使得
，即
，可得
，
因为
为
的中点，所以，
，
因为
、
、
三点共线，则
、
共线，
所以，存在
，使得
，即
，
所以，
，
因为
、
不共线，则
，解得
，
故
，
又因为
，所以，
，故
.
故答案为：
.
48．（2023·上海·统考模拟预测）设向量
，
，记
，若圆
上的任意三点
，
，
，且
，则
的最大值是
.
【答案】64
【解析】设出
，
，
三点坐标，由
得出
为直径，故得到关系式
，
代入
中得到其值为
，利用圆的参数方程设出点
坐标代入
中，利
用辅助角公式求最值即可.
【详解】整理圆的方程可得
故圆心为
，半径为
设
，由
可得
为圆的直径
由此可得
则
又
在圆上
设
故
的最大值为
故答案为：64
49．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）对任意两个非零的平面向量
和
，定义
，若平面向量
、
满足
，
与
的夹角
，且
和
都在集合
中，则
【答案】
【解析】因为
，故
．
又由
，则
，
，可设
，
，令
，
，且
，
又夹角
，所以
，
对
，进行赋值即可得出
，所以
．
故答案为：
．
50．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知
是平面内的三个单位向量，若
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】
均为单位向量且
，
不妨设
，
，
且
，
，
，
，
的几何意义表示的是点
到
和
两点的距离之和的2 倍，
点
在单位圆内，点
在单位圆外，
则点
到
和
两点的距离之和的最小值即为
和
两点间距离，
所求最小值为
.
故答案为：
.
