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专题03 空间几何（解答题10 种考法）
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥
中，
，
，
，
，
与
交于点
，过点
作平行于平面
的平面
.
(1)若平面
分别交
，
于点
，
，求
的周长；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的正弦值.
【答案】(1)4
(2)
.
【解析】（1）由题意可知，四边形
是直角梯形，
∴
与
相似，又
，
∴
，
，
因为过点
作平行于平面
的面
分别交
，
于点
，
，
即平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
由面面平行的性质定理得
，
，
，
所以
与
相似，相似比为
，即
，
因为
的周长为6，所以
的周长为
.
（2）∵平面
平面
，∴平面
与平面
的夹角与平面
与平面
的夹角相等，
∵
，
，
，∴
，
∴
，又
，
，
平面
，∴
平面
，
平面
，∴平面
平面
，
取
的中点
，因为
为等边三角形，∴
，平面
平面
，
平面
，∴
平面
，
以
点为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，过点
与
平行的直线为轴，建立如图所
示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，即
，
取
，则
，
∵
平面
，∴
是平面
的一个法向量，
设平面
与平面
夹角为
，则
，所以
，
所以平面
与平面
夹角的正弦值为
.
2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形
中，
，
，
，
，将
沿
翻折至
的位置，使得
，
为
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)
为线段
上一点（端点除外），若二面角
的余弦值为
，求线段
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）易知
，
，
，
平面
，
平面
，
又
平面
，所以
由直角梯形
，
，
，
，
可得
，又
，得
；
又
，
平面
，所以
平面
又
平面
，可得平面
平面
（2）取
的中点
，连接
，
，
，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
为
的中点，
为
的中点，可得
，又
，
故以
所在的直线分别为
轴，建立如图空间直角坐标
系，则
，
，
，
，
，
设
，则
设平面
的一个法向量为
，
，
，
所以
，令
，得
，
，
即
平面
的一个法向量为
可得
，解得
或
(舍)
即
为
的中点，易知
，
故线段
的长为
.
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体
中，底面
为直角梯形，
，
，侧面
为菱形，平面
平面
，M 为棱
的中点．
(1)若点N 为
的中点，求证：
平面
；
(2)若
，
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【解析】（1）证明：连接
，
，
因为M，N 分别为
，
的中点，所以
为
的中位线，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）解：取
的中点O，连接
，
因为侧面
为菱形，且
，
所以在
中，
，解得
，
所以
'，即
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
过O 作
的垂线，交
于H 并延长，
分别以
，
，
所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系
，
如图所示，设
，则
，
故
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
取
，可得
，
设平面
的法向量为
，
，即
，
令
，则
，所以
，
则
，故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体
中，
，
，劣弧
的长为
，AB 为圆O 的
直径．
(1)在弧
上是否存在点C（C，
在平面
同侧），使
，若存在，确定其位置，若不存在，
说明理由；
(2)求二面角
的余弦值．
【答案】(1)存在，
为圆柱
的母线
(2)
【解析】（1）存在，当
为圆柱
的母线时，
．证明如下：
连接BC，AC，
，因为
为圆柱
的母线，所以
平面ABC，
又因为
平面ABC，所以
．
因为AB 为圆O 的直径，所以
．
又
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
（2）以
为原点，OA，
分别为y，z 轴，垂直于y，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
因为劣弧
的长为
，所以
，
，
则
，
．
设平面
的法向量
，
则
，
令
，解得
，
，所以
．
因为x 轴垂直平面
，所以平面
的一个法向量
．
所以
，
又二面角
的平面角为锐角，
故二面角
的余弦值为
．
5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱
的底面边长为1，高为
，
为
线段
上的动点.
(1)求证：
平面
；
(2)设直线
与平面
所成的角为
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接
，
.
在正六棱柱
中，
因为底面为正六边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，所以平面
平面
，
因为
为线段
上的动点，所以
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中点为Q，连接
，
.
因为底面边长为1，所以
，
因为
，所以
，所以
.
易得
，
，
，所以
平面
，所以
，
因为
，所以
平面
，
即
为平面
的一个法向量.
连接
，以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间坐标系
，
则
，
，
，
，
，
所以
，所以
，
，
.
设
（
），
所以
，
则
，
因为
，所以
，所以
的取值范围是
.
6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体
中，四边形
是菱形，
，
平面
，
，
为
的中点，
平面
．
(1)求
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
四边形
是菱形，
，
又
平面
，
平面
，
平面
，
同理可得：
平面
．
，
平面
，
平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
，
同理可得：
，
四边形
是平行四边形；
连接
交于点
，连接
交于点
，连接
，
设
，
，则
，
延长
交于点
，连接
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
，
又
，
四边形
为平行四边形，则
，
为
的中点，
．
，
，即
，解得：
，
.
（2）由（1）知，
两两垂直，故以
为坐标原点，
正方向分别为
轴的正方
向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
；
设平面
的法向量为
，
则
，令
，解得：
，
，
，
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，侧面
底面
，侧面
底面
，点F 是PB 的中点，动点E 在边BC 上移动，且
.
(1)证明：
垂直于底面
.
(2)当点E 在BC 边上移动，使二面角
为
时，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为侧面
底面
，侧面
底面
，
而底面
是矩形，故
,
底面
，
故
平面
，而
平面
，故
;
同理侧面
底面
，侧面
底面
，
而底面
是矩形，故
,
底面
，
故
平面
，而
平面
，故
，
又
底面
，
故
垂直于底面
（2）由（1）知
底面
，
底面
，
故
，点F 是PB 的中点，且
，
故
，
；
又
平面
，
,故
平面
，
平面
，故
，而
平面
，
故
平面
，故
即为二面角
的平面角，
即
；而
,
以A 为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，即
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，即
，
故
，
由原图可知二面角
为锐角，
故二面角
的余弦值为
.
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，
四点共面，其中
，
，点
在平面
的同侧，且
平面
，
平面
.
(1)若直线
平面
，求证：
平面
；
(2)若
，
，平面
平面
，求锐二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
平面
；
，
四点共面，
，
平面
，
平面
，
平面
；
，
平面
，
平面
平面
，
又
平面
，
平面
.
（2）以
为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
则
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
，令
，解得：
，
，
；
平面
轴，平面
平面
，
平面
轴，
平面
的一个法向量
，
，即锐二面角
的余弦值为
.
9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台
中，
为
中点，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，平面
与平面
所成二面角大小为
，求三棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在三棱台
中，
为
中点，则
，
又
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
又
，
，
，
，
，
，
平面
，
平面
.
（2）
，
，
，
又
，
，
平面
，
平面
，
连接
，
，
，
为
中点，
；
以
为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，解得：
，
，
；
又平面
的一个法向量
，
，解得：
，即
，
平面
，平面
平面
，
平面
，
.
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台
的体积为
，其中
.
(1)求侧棱
与底面
所成的角；
(2)在线段
上是否存在一点P，使得
？若存在请确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）依题意，在正四棱台
中，
，
所以上底面积
，下底面积
，
设正四棱台的高为，则
.
连接
，则
，
所以
，
设侧棱
与底面
所成的角为
，则
，
由于线面角
的取值范围是
，所以
.
（2）连接
，设正四棱台上下底面的中心分别为
，
以
为原点，
分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
设线段
上存在一点
，满足
，
，
，
则
，
，
若
，则
，
即
，
解得
，舍去，
所以在线段
上不存在一点
，使得
.
11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为
2 的正方形，
，
，且
.
(1)记线段
的中点为
，在平面
内过点
作一条直线与平面
平行，要求保留作图痕迹，但不
要求证明；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）延长
，设其交点为
，连接
，
则
为平面
与平面
的交线，
取线段CD 的中点M，连接KM，直线KM 即为所求．
证明如下：延长
，设其交点为
，连接
，
则
为平面
与平面
的交线，
因为
，所以
，又
，
所以
，
所以
，又
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
取
的中点
，连接
，
∵
分别为
的中点，
∴
，∴
．
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
．
（2）以点
为原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知
可得
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
得
，
取
得，
，
平面
的一个法向量
.
设直线
与平面
所成的角为
，
则
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和
个圆柱拼接而成.
在同
一平面内，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接
，因为该几何体是由等高的半个圆柱和
个圆柱拼接而成，
，所以
，所以
，所以
.
因为
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
.
因为
平面
，
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系，设
，
，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
即
令
，则
，
记直线
与平面
所成的角为
，
则
，
解得
（负值舍去），即
.
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
即
令
，则
.
所以
.
因此平面
与平面
所成角的余弦值为
.
13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体
中，E 是棱
上的点（点E 与点
C，
不重合）．
(1)在图中作出平面
与平面ABCD 的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面
与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为
，求线段CE 的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）
如图1，分别延长
，交于
点，连接
，则
即为所求交线.
因为
，
平面
，
平面
，
所以，
平面
，
平面
.
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以，平面
平面
.
（2）
如图2，以点
为坐标原点，分别以
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，设
，
.
则
，
，
，
，
所以，
，
，
.
根据正方体的性质可知，
平面
，
所以
即为平面
的一个法向量.
设
是平面
的一个法向量，
所以，
，即
，
令
，则
，
，
所以，
是平面
的一个法向量.
由已知可得，
，
即
，即
，
整理可得，
，解得
或
（舍去），
所以，
，即
.
14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱
中，
，
为
的
中点，点
在
上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)若二面角
大小为
，求以
为顶点的四面体体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）∵三棱柱
为直三棱柱，∴
平面
，
平面
，
∴
.
又
，
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，
∴
，又
平面
，
平面
，∴
，
，
平面
，
∴
平面
.
（2）因为
，
为
的中点，
，所以
，
∴
为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面
的一个法向量
，
设
，∵
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，取
，
由
，解得
或
（舍去），
∵
，点
到平面
距离为，
∴以
为顶点的四面体体积为
.
15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形
中，
，
，
，四边形
为矩形， 平面
平面
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值；
(3)若点
在线段
上运动，设平面
与平面
所成二面角的平面角为
，试求
的范
围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
，
.
【解析】（1）证明：在梯形
中，
，
，
，
，
，
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平
面
，
平面
.
（2）解：取
中点
，连接
，
，
，
，
，
，
，
为二面角的平面角.
，
，
，
，
.
（3）由（2）知：
①当
与
重合时，
；
②当
与
重合时，过
作
，且使
，连接
，
，则平面
平面
，
，
，
平面ABC，
平面ABC，
，
平面
，
平面
，
，
，
；
③当
与
，
都不重合时，令
，
，延长
交
的延长线于
，连接
，
在
平面
与平面
的交线上，
在平面
与平面
的交线上，
平面
平面
，
过
作
交
于
，连接
，
由（1）知，
，又
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
.
又
，
平面ACH，
，
平面
，
，
.
在
中，
，从而在
中，
，
，
，
.
，
.
综上所述，
，
.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱
中，侧面
为
正方形，
，E，F 分别为AC 和
的中点，D 为棱
上的动点.
.
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点D 的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为
，点
为靠近
的
的四等分点
【解析】（1）因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面
，
又
底面
，所以
，
，
又因为
，
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，即
两两垂直，
以
为原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，设
，
所以
，
，
因为
，
所以
，即
.
（2）设平面
的法向量为
，
因为
，
，
所以
，令
，则
，
平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面DEF 所成的二面角为
，
则
，
当
时，
取最小值为
，此时
取得最大值
，
所以
，
所以平面
与平面DEF 所成的二面角正弦值的最小值为
，此时点
为靠近
的
的四等分点.
17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知
是平行六面体
中线段
上
一点，且
．
(1)证明：
平面
；
(2)已知四边形
是菱形，
，并且
为锐角，
，
求二面角
的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图：
记
与
交于点
，延长
交
于
，连接
，
∵四边形
是平行四边形，
，即
是
的中点，
又
是
的中点，
，
又
平面
平面
，
所以
平面
．
（2）如图：
过点
作
于
，
由于四边形
是菱形，
，
又由于
是
的中点，
，
由于菱形中
平面
平面
，
所以
平面
．
以
为坐标原点，
方向分别为
轴，
轴，轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设菱形
的边长为2，
则
，
，设
，
由于
，
由于
，
设平面
的法向量为
，
则
令
，得
，
又平面
的法向量为
，
．
记二面角
的大小
，
则
，
故二面角
的正切值为
．
18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，点
分别是棱
的中点，
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)过点
作
的平行线交
的延长线于点
，
，点
是线段
上的动点，问：
点
在何处时，平面
与平面
夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由
可知
，又
，故
（三线合一），
又
平面
，
平面
，故
，
又
，
平面
，故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
（2）
在平面
中，过
作
，垂足为
，不妨设
，由于
，
则
，
以
所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系
.
则
，
设
，则
，
，
，
.
设平面
的法向量
，由
，即
，
则
是其中一条法向量；
设平面
的法向量
，由
，即
，
则
是其中一条法向量.
设平面
与平面
夹角为
，则
，
当
时，
取到最大值
，此时正弦值取到最小值为
.
19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，四边形
是圆
的内接四边形，
为底面圆的直径，
在母线
上，且
，
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)设点
为线段
上动点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【解析】（1）如图，设
交
于点
，连接
，
由已知可得
，又
，
所以四边形
为菱形，所以
，
∵
，
，
，
∴
，∴
，
∴
，又
，所以
，
因为
为
的中点，∴
，
．
由余弦定理可得
，
∴
，所以
，即
，
又
平面
，
，∴
平面
．
又
平面
，∴平面
平面
．
（2）由已知
平面
，
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，∴
．
由（1）知
，
，
平面
，
所以
平面
，
∴
，又点
为
的中点，
所以
．
以点
为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
∴
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
所以
为平面
的一个法向量．
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
构建
，
则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
∴
时，
取到最大值4．
此时，
取到最大值1.
另解：由
，
知，
当
时，
，此时
平面
，
设直线
与平面
所成的角为
，因为
，
当
时，
取到最大值1．
20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台
中，
，
，
为线段
上靠近
的三等分点.
(1)线段
上是否存在点
，使得
平面
，若不存在，请说明理由；若存在，请求出
的值；
(2)若
，
，点
到平面
的距离为，且点
在底面
的射影落在
内部，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)存在，
(2)
【解析】（1）取
的靠近点
的三等分点
，连接
、
、
，
则
，
又因为
，所以，四边形
为平行四边形，则
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
，
因为
，所以，
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
，
因为
，
、
平面
，所以，平面
平面
，
因为
平面
，故
平面
，
因此，线段
上是否存在点
，且当
时，
平面
.
（2）过点
在平面
内作
，垂足为点
，连接
，
由
，
，
，所以，
，
所以，
，所以，
，
过点
在平面
内作
，垂足为点
，
因为
，
，
，
、
平面
，
所以，
平面
，
因为
平面
，则
，
又因为
，
，
、
平面
，所以，
平面
，
因为点
到平面
的距离为，即
，
且
，
所以，
，
由图可知，
为锐角，所以，
，
以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则
、
、
、
、
、
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
取
，则
，
，
所以，
，
因为
，
因此，
与平面
所成角的正弦值为
.
21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，侧面
是等边
三角形，平面
平面
，
，
．
(1)证明：
；
(2)点Q 在侧棱
上，
，过B，Q 两点作平面
，设平面
与
，
分别交于点E，F，当直
线
时，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0
【解析】（1）证明：在
中，设
，因为
，
由余弦定理可知：
，
解得
，所以
，所以
．
又因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，所以
平面
．
由
平面
，所以
.
（2）连
交
于点M，连接
，
，设
交
于点H．
在
中，过P 作
的平行线交
的延长线于N，
由
，有
，则
，
所以点H 为线段
中点．
在
中，因为直线
平面
，平面
平面
，
所以直线
直线
，且直线
过点H，所以点E 为线段
中点．
以点A 为坐标原点，
分别为
轴，
轴，过点A 垂直于平面
的直线为轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，设
．
则
，
，
,
，
．
因为点E 为线段
中点，所以
，
设平面
（平面
）的法向量为
，
因为
，
，
由
，得
，
令
，则
．
设平面
（平面
）的法向量为
，
因为
，
，
由
，得
．
令
，则
．
所以
，所以二面角
的余弦值为0.
22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形
是圆柱
的轴截面，点
是母线
的中点，圆柱底面半径
.
(1)求证：
平面
；
(2)当三棱锥
的体积最大时，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）证明：连接
，
，则
，且
，
，
连接
，
，由圆柱的性质可得
，
所以四边形
是平行四边形，
，所以
为
中点，
所以易知
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）设
，则
，
，当且仅当
时取等，
如图所示，建立空间直角坐标系
，
，
，设平面
的法向量为
，
所以
，令
，
，所以
，
取平面
的法向量为
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体
中，
，
，
，
，
且平面
平面
.
(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明
平面
；
(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
，
∵在
中
，∴
.
∴由平面
平面
，且交线为
，
平面
，得
平面
.
∵
，
分别为
，
的中点，∴
，且
.
又
，
，∴
，且
.
∴四边形
为平行四边形.∴
，
∴
平面
.
（2）∵
平面
，
平面，所以
，
又因为
，所以
三者两两互相垂直，
∴以
为原点，
所在直线为
轴，过点
与
平行的直线为
轴，
所在直线为轴，建立空间直
角坐标系.
则
，
，
.
∵
平面
，∴直线
与平面
所成的角为
.
∴
.∴
.
可取平面
的法向量
，
设平面
的法向量
，
，
，
则
，取
，则
，
.∴
，
∴
，
∴二面角
的余弦值为
.
24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形
中，
，
，点
是边
靠近点
的三等分点，将△
沿
翻折到△
，连接
，
，得到图②
的四棱锥
.
(1)求四棱锥
的体积的最大值；
(2)设
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)平面
和平面
夹角余弦值的最小值为
【解析】（1）解：取
的中点
，连接
，
因为
，则
，
当平面
平面
时，
点到平面
的距离最大，四棱锥
的体积取得最大值，
此时
平面
，且
，
底面
为梯形，面积为
，
则四棱锥
的体积最大值为
；
（2）解：连接
，
因为
，所以
，
所以
为
的平面角，即
，
过点
作
平面
，以
为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
轴，
轴，轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
过
作
于点
，由题意得
平面
，
设
,
,
，
所以
，
所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，
设平面
的法向量为
，
因为
，
则
，
令
，可得：
，
设两平面夹角为
，
则
，
令
，所以
，则
所以
，所以当
时，
有最小值
，
所以平面
和平面
夹角余弦值的最小值为
.
25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
为正
三角形，且
分别为
的中点，
在线段
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图所示：
取
中点
，连接
，
分别为
的中点，且底面
为矩形，
所以
，且
，
又因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，且
平面
，
又因为
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
所以由面面平行的性质可知
平面
（2）如图所示：
注意到侧面
为正三角形以及
为
的中点，所以由等边三角形三线合一得
，
又因为
，且
面
，
面
，
，
所以
面
，又因为
面
，所以
，
又因为底面
为矩形，所以
，
因为
，
面
，
面
，
所以
面
，因为
面
，
所以
，又
，
所以
，又由三线合一
，又
，
所以建立上图所示的空间直角坐标系；
因为
，
所以
，
又因为
为
的中点，
，
所以
，
所以
，
，
，
不妨设平面
与平面
的法向量分别为
，
所以有
以及
，
即分别有
以及
，
分别令
，并解得
，
不妨设平面
与平面
的夹角为
，
所以
；
综上所述：平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，底面
是
矩形，
分别是
的中点，平面
经过点
与棱
交于点
．
(1)试用所学知识确定
在棱
上的位置；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)靠近
的三等分点处
(2)
【解析】（1）过
作直线与
平行，延长
与交于点
，
连接
与
的交点即为点
．
因为底面
是矩形，
是
的中点，
所以
，且
．
又
，所以
，
因为
是
的中点，可得
，
则
，所以
．
故
在棱
的靠近
的三等分点处．
（2）因为
是
的中点，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
．
取
中点
，连接
，易知
两两相互垂直，
如图，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
．
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，所以
．
．
设
与平面
所成角为
，
则
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
．
27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
且
，
，
，
，
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）过
作
于点
，则
，
，
由于
平面
，
平面
，所以
，
以
为原点，
所在的直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
所以平面
的法向量为
，
因为
，所以
，
又因为
平面
，所以
平面
（2）由（1）知，
，平面
的法向量为
，
设平面
的法向量为
，则
，
故可设
，
所以
，
故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
28．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形
中，
，
，
将
沿
向上折起，使得平面
与平面
所成的锐二面角的平面角最大．
(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若
，垂足为
，点
是
上一点，证明：平面
平面
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，以
为坐标原点，
为
轴，平面
为
平面，
建立空间直角坐标系，
则
，
设
，显然，当
时，平面
与平面
共面，此时的锐二面角一定不是最大
的，所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
．
又平面
的一个法向量为
，
则
，
又
，所以
，
所以
，
当
时，等号成立，由
得
，
所以
，即点
在
面上．
所以平面
平面
，
所以
，
所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为
．
（2）由（1）知
平面
，
所以
．
又
，且
，
平面
，
所以
平面
．
又
平面
，
所以
．
由
，且
平面
，
所以
平面
．
又
平面
，所以平面
平面
．
29．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱
的底面
是正三角形，侧面
是
菱形，平面
平面
，
分别是棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
取
的中点
，连接
，因为
分别是棱
的中点，
则
，
，∴四边形
为平行四边形，
所以
，∵
平面
，
平面
，
平面
；
（2）在平面
中过点
作
于
，连接
，
∵平面
平面
，平面
平面
，∴
平面
，
由菱形
，
，得
，
，
因为点
为
的中点，∴
，故以
为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间
直角坐标系：
则
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则有
，解得
，令
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
综上，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
30．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．
(1)证明：
平面MAC；
(2)画出平面PAB 与平面PCD 的交线l，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若平面
平面ABCD，
，
，
，求l 与平面
MAC 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）连接
交
于点
，连接
，
因为
，
，
所以
，
又因M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点，
所以
，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）延长
，交于点
，
所以
时平面
与平面
的公共点，
所以直线
就是平面
与平面
的交线；
（3）因为平面
平面ABCD，
，
平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
如图，以点
为原点建立空间直角坐标系，
因为
，
，
所以
，所以
，
则
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则有
，可取
，
则
，
即l 与平面MAC 所成角的正弦值为
．
