文档文本内容
专题03 一网打尽指对幂等函数值比较大小问题
目 录
01 直接利用单调性...............................................................................................................................1
02 引入媒介值......................................................................................................................................2
03 含变量问题......................................................................................................................................4
04 构造函数..........................................................................................................................................7
05 数形结合........................................................................................................................................15
06 特殊值法、估算法.........................................................................................................................21
07 放缩法、同构法.............................................................................................................................23
08 不定方程........................................................................................................................................34
09 泰勒展开........................................................................................................................................38
01 直接利用单调性
1．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则a、b、c 的大小顺序为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，又
，因为
，
单调递增，所以
.
故选：C
2．（2023·甘肃·模拟预测）三个数
，
，
的大小顺序是（ ）
A．
>
>
B．
>
>
C．
>
>
D．
>
>
【答案】C
【解析】由函数
在
上单调递增，则
又由于
在
上单调递减，则
故
故选：C
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则a、b、c 的大小顺序为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，故
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，即
故选：D
02 引入媒介值
4．（2023·高三新疆石河子一中校考阶段练习）设
，则a，b，c 的大小顺序是（
）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
【答案】B
【解析】
，
，
；
.
故选：B.
5．（2023·辽宁·高三东北育才学校校联考期末）已知
，
，
，则
，
，的大
小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，所以
．
故选：A
6．（2023·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知
，
，
试比较a，b，c 的大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，
，
，
∴
.
故选：B.
7．（2023·天津红桥·天津三中校考一模）设
，
，
，则三者的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，
所以
，
故选：B.
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知
，
，
.则a，b，c 的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又
，
，
所以
.
故选：D
9．（2023·浙江嘉兴·高一统考期中）
这三个数的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，
所以
，
故选：C.
10．（2023·新疆阿勒泰·高三阶段练习）a=0.40.6,b=log0.44,c=40.4这三个数的大小顺序是 （ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．c>a>b
D．b>a>c
【答案】C
【解析】
，选C.
03 含变量问题
11．（2023·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）已知正数
，满足
，则下列说法
不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
∴
对A：
，A 正确；
对B：由题意可得：
，同理可得：
∵
∴
，则
，B 错误；
对C：∵
∴
，C 正确；
对D：
∴
，D 正确；
故选：B.
12．（2023·广西·统考模拟预测）已知正数
满足
且
成等比数列，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
当
时，
，
单调递增，所以
，所以
，故
，
因为正数
成等比数列，所以
即
，故
，
所以
，故
，
综上所述，
，
故选：D
13．（2023·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数
，满足
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
均为正数，
因为
，所以
，设
，
则
，
令
，则
，当
时
，
单调递增，当
时
，
单调递减，所以
，
即
，所以
，可得
，
又
得
，综上，
.
故选：D.
14．（2023·湖北·高三校联考开学考试）已知
均为不等于1 的正实数，且
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
且
、
、均为不等于的正实数，
则
与
同号，
与
同号，从而
、
、
同号.
①若
、
、
，则
、
、
均为负数，
，可得
，
，可得
，此时
；
②若
、
、
，则
、
、
均为正数，
，可得
，
，可得
，此时
.
综上所述，
.
故选：D.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c 满足
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知
，由
，得
，
设
，则
，
当
时，
单调递增，因
，
当且仅当
时取等号，故
，
又
，所以
，故
，
∴
，则
，即有
，故
.
故选:C．
04 构造函数
16．（2023·福建莆田·高二统考期末）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
令
，则
，
由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
因为
，所以
，
所以
，
故选：D
17．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
.
设
，
则
，
设
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
即
，即
，
所以
，
则函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
即
，即
；
设
，
则
，
所以函数
在
上单调递减，
则
，即
，
即
，即
，
所以
，
又
，
所以
，即
，
所以
.
故选：B.
18．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
．
设
，则
，
故当
时，
，f(x)单调递增；
当
时，
，f(x)单调递减．
所以f(x)在
处取得极大值，也是最大值，
即
，即
，
所以
，所以
（当且仅当
时取等号），
所以
，即
．
设
，则当
时，
，所以g(x)单调递增，
所以
，故
，
所以
，即
，所以
．
故选：C.
19．（2023·北京·高三校考开学考试）已知
，
，
，比较a，b，c 的大小：
（用“<”连接）
【答案】
【解析】令
，
恒成立，当且仅当
取等号，所
是
增函数，
当
时，
，即
，所以
，
又
，又因为
，所以
，故由
的单调性知，
，所以
，从而
，
又易知
，又由函数
的单调性知，
，所以
.
故答案为：
20．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知
，则下
列有关
的大小关系比较正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
时，
，
当
时，
，则函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
则当
时，函数
有极小值，即最小值为，
所以
时，
，即
，
，
则
，而
，所以
，
又
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，则函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
所以当
时，
有极小值，即最小值为
，
所以
，即
，则
，所以
.
故选：C
21．（2023·江苏无锡·统考模拟预测）已知
，则
，
，
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，当
时，求导得：
，
则函数
在
上单调递减，又
，
，
，
显然
，则有
，所以
.
故选：C
22．（2023·湖北·鄂南高中校联考模拟预测）下列大小比较中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项D,构造函数
，所以
，
所以当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减.
所以
.（当且仅当
时取等）
则令
，则
，化简得
，故
，
故
，故
，所以选项D 错误；
对于选项A，
，
在
中，令
，则
，化简得
，故
，
所以
. 所以
，所以选项A 正确；
对于选项B,在
中，令
，则
，所以
，所以选项B 正确；
对于选项C,
所以
，所以选项C 正确.
故选：D
23．（2023·云南大理·高二统考期末）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，则
在
上为增函数，故
，即
.
又
在
上为增函数，且
，则有
，即
，故
.
设
，则
，故
为减函数，
，即
，故
，即
.
综合可得：
．
故选：A
24．（2023·安徽阜阳·高二统考期末）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
在
上恒成立，
所以
.
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上恒成立，
所以
.
函数
在
上单调递增，所以
，即
.
从而有
，
故选：C.
25．（2023·福建龙岩·高二统考期末）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，令
且
，
则
，故
上
，此时
单调递增，故
，
所以
，
令
且
，则
，即此时
单调递增，
所以
，则
，
令
得：
，故
，则
，
综上
．
故选：B
26．（2023·海南·高二统考期末）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于
，令
，
，
所以
，即
在
上递增，
故
，即
在
上恒成立，所以
；
由
，
，则
，
令
，且
，
所以
，即
在
上递增，
所以
，即
.
综上，
.
故选：D
27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）已知实数
满足：
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，
故
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
故
，即
，
，
所以
，
，
令
，
，
则
在
上恒成立，
故
，所以
，
设
，则
，
故
，所以
，
即
，由于
，
，
故
，取
得：
.
所以
.
故选：A
05 数形结合
28．（2023·河南·校联考模拟预测）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，即
，
，
下面比较
与
的大小，构造函数
与
，
由指数函数
与幂函数
的图像与单调性可知，
当
时，
；当
时，
由
，故
，故
，即
，
所以
，
故选：A
29．（2023·全国·高三专题练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造斜率函数
，即
上点与
所成直线的斜率，
由题设，构造的斜率都是正数，
由图象知：倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，
可得：
，即
.
故选：B
30．（2023·福建龙岩·高三统考期中）以
依次表示方程
的根，则
的大小顺序为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因方程
的解
,故在同一平面直角坐标系
中画出函数
及函数
的图象,结合图象可以看出
,故应选答案C.
31．（2023·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）设正实数
，
，分别满足
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
得
，
，
，
分别作函数
，
，
图像，如图所示，
它们与函数
图像交点的横坐标分别为
，
，，
有图像可得
，
故选：C.
32．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知
，
，
满足
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内作出
的图像
过点
；
过点
；
过点
；
过点
，
则
与
图像交点横坐标依次增大，
又
与
图像
交点横坐标分别为
，则
.
故选：C
33．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知函数
，
，且
，则
（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，解得
，
画出
的图象如下图所示，
由于
，且
，
由图可知：
，
，
的值可正可负也可为，所以AB 选项错误.
当
时，
，
满足
，
，所以C 选项错误.
，
，所以
，D 选项正确.
故选：D
34．（2023·江苏南通·高三统考期中）已知正实数
，
，满足
，
，
，则a，b，c 的大小关系为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
故令
，则
，
．
易知
和
均为
上的增函数，故
在
为增函数．
∵
，故由题可知，
，即
，则
．
易知
，
，
作出函数
与函数
的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在
内，即
，
，
．
故选：B．
35．（2023·河南·统考一模）已知
，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
由
，解得
，由
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
因为
，
所以
，即
，
所以
，所以
，
又
递增，
所以
，即
；
，
在同一坐标系中作出
与
的图象，如图：
由图象可知在
中恒有
，
又
，所以
，
又
在
上单调递增，且
所以
，即
；
综上可知：
，
故选：A
06 特殊值法、估算法
36．若都不为零的实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
，满足
，但
，A 错误；
当
，满足
，但
，B 错误；
因为
，所以
，所以
，C 正确；
当
或
时，
无意义，故D 错误．
故选：C
37．已知
，
，
，若
，则a、b、c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
，则
，
，
，所以
．
故选：B．
38．（2023·全国·高三专题练习）已知
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，函数
在
上单调递增，而
，于是得
，即
，
函数
在
单调递增，并且有
，
则
，
于是得
，即
，则
，
又函数
在
单调递增，且
，则有
，
所以
．
故选：C
39．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，可知
，
又由
，从而
，可得
，
因为
，所以
；
因为
，从而
，即
，
由对数函数单调性可知，
，
综上所述，
．
故选：B．
07 放缩法、同构法
40．（2023·全国·高三专题练习）设
，
，
，则a、b、c 的大小是
．
【答案】
【解析】令函数
即有
当
时，
；当
时，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增
故，
∴
令函数
，即有
当
时，
，当
时，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减
故，
∴
综上，知：
故答案为：
41．（2023·贵州安顺·高二统考期末）已知
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】显然
，则
，因此
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，即有
，于是
，
有
，则
，即
，
所以
.
故选：D
42．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知实数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，
，
因为
，所以
，
令
，则
，
所以
，又因为
，所以
，可得
，
所以
，
对于A，因为
，所以
，由
得
，
所以
，可得
，故A 错误；
对于B，即证
，因为
，所以
，由
得
，所以
，故B 错误；
对于C，即证
，因为
，所以
，由
得
，所以
，故C 错误；
对于D，
，因为
，所以
，由
得
，所以
，
即
，故D 正确.
故选：D.
43．（2023·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知
，
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，
，
可得
，
，
，
由
，得
，即
，
，
，
因为
，
，
所以
，所以
，
所以
.
故选：A.
44．（2023·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）设
，
，
，则a，
b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，所以
；
因为
，
，
即
，所以
；
设
，则
，
所以当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立，
同理
，即
，所以
当且仅当
时等号成立，
故
，所以
，从而
，
综上．
．
故选：B.
45．（2023·江西·高三临川一中校联考阶段练习）若
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以
，排除BC，
因为
，所以
，
所以
，排除D，
故选：A
46．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，
，
，即可得
；
由
可得
，即
；
易知
，即
，所以
，即
；
又
，即
，又
，可得
；
所以
，可得
；
可得
，所以
显然
，即
.
故选：B
47．（2023·河南平顶山·高三校联考阶段练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
由
．得
，
由
，得
．
设函数
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
又因为
，
所以
，
又因为
，
，
，
所以
，
又因为
，
，
，
所以a，b，c 均大于
，
又因为
在
上单调递增，
所以
．
故选：A.
48．（2023·甘肃·统考二模）若
，则以下不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】显然
，
函数
，求导得
，
即函数
在
上单调递减，于是
，即
，
由
得
，A 正确；由
得
，B 错误；
由
得
，C 错误；由
得
，D 错误．
故选：A
49．（2023·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知
，
，
（其中
是自然对数的底数），则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
，
，
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
则
，从而
，即
，故
，即
，
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
则
，即
，即
，
从而
，即
，故
，即
，
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
则
，即
，从而
，
即
，故
，即
.
故选：B.
50．（2023·贵州毕节·统考二模）已知
，
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】B
【解析】
，又
，则
，
设
，显然
为增函数，因为
，所以
又
，
，则
令
，设
，则
，当
时
单调递增，
则
在
上单调递增，故
，解得
.
故选：B
51．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
令
，解得：
；令
，解得：
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，则
，
，
，
，∴
，排除D．
，则
，
，
，∴
，排除B．
比较
与
大小，先比较
与
大小，
,
，
因为
，所以
所以
在
上单调递增，
，
所以
，所以
，
∴
，综上
.
故选：A．
52．（2023·浙江金华·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
由于
，
，取等条件应为
，即
，而
，故
，
，取等条件为
，即
，
而
，故
，所以
.
故选：A.
53．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对
，
因为
，即
，
所以
，即
；
对
，又
，令
，则
，所以当
时，
，当
时，
，所以
，即
，当且仅当
时取等号，
所以
，令
，则
，
所以当
时
，所以
在
上单调递增，显然
，又
，即
，即
，所以
，即
.
故选：C
54．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知
，且满足
，
则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，可得
，
所以
，或
，
∴
(舍去)，或
，即
，故A 错误；
又
，故
，
∴
，对于函数
，
则
，函数
单调递增，
∴
，故D 错误；
∵
，
，
∴
，
令
，则
，
∴函数
单调递增，
∴
，即
，
∴
，即
，故B 正确；
∵
，
∴函数
单调递增，故函数
单调递增，
∴
，即
，故C 错误.
故选：B.
55．（多选题）（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学
家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学
中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三
角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A 选项，令
，其中
，
则
，所以，函数
在
上单调递增，
所以，
，即
，A 对；
对于B 选项，令
，其中
，
则
，令
，则
，
所以，函数
在
上为增函数，
则
，故函数
在
上为增函数，
所以，
，即
，B 对；
对于C 选项，因为
，则
，
所以，
，C 错；
对于D 选项，令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，
所以，
，
令
，其中
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以，函数
在
上单调递增，
又因为
，所以，
，即
，
所以，
，即
，故
，D 对.
故选：ABD.
56．（多选题）（2023·江苏泰州·高二姜堰中学校考阶段练习）下面比较大小正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】根据题意可构造函数
，则
，
由于函数
在
上单调递增，且
，
从而，当
时，
，则函数
在
上单调递增，
当
时，
，则函数
在
上单调递减，
又，
，
所以，
，
，
即
，
，
，
，
故
，选项A 错；
，选项B 正确；
，选项C 正确；
，选项D 错.
故选：BC.
08 不定方程
57．（2023·江苏·统考一模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
，
，所以
，所以
，若
，
则
，设
在
上单调递增，所以
，即
，不合
题意.
故选：A.
58．（2023·四川德阳·统考一模）已知a、b、c 是正实数，且
，则a、b、c 的大小关系
不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，a、b、c 是正实数，
所以
，
因为
，所以
，
对于A，若
，则
，满足题意；
对于B，若
，则
，满足题意；
对于C，若
，则
，满足题意；
对于D，若
，则
，不满足题意.
故选：D.
59．（2023·吉林·统考二模）已知a，b，c 满足
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】由题意得
，即
，则
，则
，
令
，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在
上单调递减，
当
时，可得
，
，两边同取以5 为底的对数得
，对
通过移项得
，
两边同取以3 为底的对数得
，
所以
，所以
，所以
，且
，
故此时，
，故C,D 选项错误，
时，
，
，且
，故A 错误,
下面严格证明当
时，
，
，
根据函数
在
上单调递增，且
，
则当
时，有
，
，
，
下面证明：
，
要证：
，
即证：
，等价于证明
，
即证：
，此式开头已证明，
对
，左边同除分子分母同除
，右边分子分母同除
得
，
则
故当
时，
，则
当
时，可得
，
，两边同取以5 为底的对数得
，对
通过移项得
，
两边同取以3 为底的对数得
，
所以
，所以
，所以
，且
，
故
，故此时，
，
下面严格证明当
时，
，
当
时，根据函数
，且其在
上单调递减，可知
，则
，则
，
根据函数函数
在
上单调递增，且
，
则当
时，
，
下面证明：
，
要证：
即证：
，等价于证
，
即证：
，此式已证明，
对
，左边同除分子分母同除
，右边分子分母同除
得
，
则
，
故
时，
，则
当
时，
，则
，
，
综上
，
，
故选：B.
09 泰勒展开
60．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
故选
61．
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，故选B
