文档内容
专题 03 一网打尽指对幂等函数值比较大小问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................8
考点一：直接利用单调性........................................................................................................................................8
考点二：引入媒介值..............................................................................................................................................10
考点三：含变量问题..............................................................................................................................................11
考点四：构造函数.................................................................................................................................................14
考点五：数形结合.................................................................................................................................................18
考点六：特殊值法、估算法..................................................................................................................................21
考点七：放缩法、同构法......................................................................................................................................22
考点八：不定方程.................................................................................................................................................26
考点九：泰勒展开.................................................................................................................................................29
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以
选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．考点要求 考题统计 考情分析
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题
形式出现，应该会以压轴小
2022年新高考I卷第7题，5分
题形式考查．具体估计为：
2022年天津卷第5题，5分
（1）以选择题或填空题形式
指对幂比较大小 2022年甲卷第12题，5分
出现，考查学生的综合推理
2021年II卷第7题，5分
能力．
2021年天津卷第5题，5分
（2）热点是灵活构造函数比
较大小．
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②③
④
⑤
⑥
1．（2022•新高考Ⅰ）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】构造函数 ， ，
则 ， ，
当 时， ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
在 处取最小值 （1） ，
， 且 ，
， ， ；
， ，
， ；
设 ，
则 ，
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，， 当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
， ， ，
．
故选： ．
2．（2022•天津）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 是定义域 上的单调增函数，所以 ，即 ；
因为 是定义域 上的单调减函数，所以 ，且 ，所以 ；
因为 是定义域 上的单调增函数，所以 ，即 ；
所以 ．
故选： ．
3．（2022•甲卷）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，
，
， ，
构造函数 ，
，
， ， ，
在 单调递增，
（8），又因为 ，
故 ，
故选： ．
4．（2021•全国）已知 ，则以下四个数中最大的是A． B． C． D．
【答案】
【解析】令 ， ，
则 ，
，
，
，
故最大的是 ，
故选： ．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，
．
故选： ．
6．（2021•天津）设 ， ， ，则三者大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，
， ，
， ，
，
故选： ．
7．（2020•新课标Ⅲ）设 ， ， ，则
A． B． C． D． ，
，，
．
故选： ．
8．（2020•新课标Ⅰ）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ；
因为 ，
所以 ，
令 ，由指对数函数的单调性可得 在 内单调递增；
且 （a） ；
故选： ．
9．（2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解法一：由 ，
，而
，
即 ；
， ， ， ；
， ， ， ，
综上， ．
解法二： ， ， ，
，
，
， ， ，， ， ，
．
故选： ．
10．（2020•天津）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，
则 ，
，
，
故选： ．
考点一：直接利用单调性
利用指对幂函数的单调性判断
例1．（2023·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）设 ， ， ，则a，b，c的大
小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，综上： .
故选：D.
例2．（2023·北京顺义·高三校考阶段练习）已知 ， ， ，比较a，b，c的大小为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在 上单调递增，所以 ，
又 ，所以 ；
又因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
综上， .
故选：C
例3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）设 ，则a，b，c的大小
顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】指数函数 ， 为 减函数，
∴ ，
∵幂函数 为 增函数，
∴ ，
∴ ，
∵对数函数 为 减函数，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：A.
考点二：引入媒介值寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
例4．（2023·天津河东·一模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
，
所以 .
故选：C.
例5．（2023·湖南郴州·统考一模）有三个数： ，大小顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
，
所以 .
故选：A
例6．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）设MN ， ， ，则a，b，c的大小顺序为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，又 ，
，即 .
故选：D.
例7．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）下列各式大小比较中，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，∴ ，即 ，选
项A错误；
，则 ，得 ，故选项B错误；
，选项C错误；
， ，∴ ，选项D正确.
故选：D
考点三：含变量问题
对变量取特殊值代入或者构造函数
例8．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，令 ，则 ，即证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，即 ，故A正确；
对于B，当 时 显然不成立，故B错误；
对于C，当 是第三象限角时，则 ，所以 ，
可得 ，故C错误；对于D，当 时， 为单调递增函数，
若 ，则 ，
这与 矛盾，故D错误.
故选：A.
例9．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足
，则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，则 ， ， .
选项A， ， ， ，则 ，故A正确；
选项B， ， ， ，
下面比较 的大小关系，
因为 ， ， ，所以 ，即 ，又 ，
所以 ，即 ，故B不正确；
选项C， ， ， ，
因为 ，又 ，所以 ，即 ，故C正确；
选项D， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故D正确；
故选：B.
例10．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比较 ， ， 中的 大小，
等价于比较 ， ， 中的 大小，
∵ ，由定义域可知 ，
故 ，
∵ 在定义域上单调递减，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 ，则 ，
，
，由定义域可知： ，
又∵ ，
∴ ，则 ，
，故 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
.
故选：A.
考点四：构造函数
例11．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校联考期中）已知 ，则 的
大小为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ， ，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
例12．（2023·河南许昌·高三统考阶段练习）设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， 构造函数 ，
则 ， ， ， ，
在 上递增，在 上递减.则有 最大，即 ， .
若 有两个解，则 ，
所以 所以
即 ,
令 ，则 ，故 在 上单增,所以 ，
即在 上， .
若 ，则有 ，即 .
故 ，所以 .
当 时，有 ，故
所以 .
综上所述： .
故选：A
例13．（2023·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，
则 ，
设 ， ，
设 ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
，所以 ，即 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 .
故选：C.
例14．（2023·湖北武汉·统考三模）已知 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
，
又 ，则 ，
，所以 ，
对于 ，令 ，则 ，
此时 ，
所以 .
故选：A.
例15．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）设 ， ， ，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】D
【解析】由 ， ， ，
得 ， ， ，
构造函数 ，则 ，
当 时，x＝1，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
在x＝1处取最小值 ，
时 ， ，即 ，取 ，得 ，
， ，即 ；
设 ，
则 ，
令 ， ，
因为当 时，令 ，
， 单调递减，
又 时， ，则 ，即 ，
所以 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
所以当 时，函数 单调递增，
所以 ，即 ，
，即 ，
.
故选：D
例16．（2023·湖南·模拟预测）设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，故构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以 ， ．
因为 ，又 ，
所以 ，即 ，故 ，
故选：A．
考点五：数形结合
转化为两函数图象交点的横坐标
例17．（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知正数 ，满足
，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，
，可得 ，
，可得 ，且考虑 和 的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 与 的图象如下：
根据图象可知 .
故选：B.
例18．（2023·广东汕头·统考三模）已知 ， ， ，则a，b，c大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
画出函数的图象如下图所示，
由图象可知， .
故选：D.
例19．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习） 均为正实数，且 ， ， ，
则 的大小顺序为
A． B． C． D．【答案】D
【解析】作出函数 ， ， ， 的图象如下图所示：
则 、 、 视为函数 与函数 、函数 与函数 ，函数 与函数
的交点的横坐标，由图象可知 .
故选：D.
考点六：特殊值法、估算法
例20．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若 ，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【答案】A
【解析】令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
，即 ，
∴ ，
又 ， ，
∵ ， ，
，故 ，
∴ ．
故选：A．
例21．（2023·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
， ；
故只需比较 与 ；也即比较 与 ；
也即比较 与 ，
而 ， ，
所以 ，所以 .
综上所述， .
故选：B
例22．（2023·湖南·校联考模拟预测）若 ，（ ）试比较 的大
小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由 得 ，故 ，又 ，故
，
由常用数据得 ，下面说明 ，令 ，
，
当 时， ， 单增，当 时， ， 单减，则 ，
则 ，则 ，，
令 ，则 ， ，
，则 ，综上， .
故选：D.
考点七：放缩法、同构法
例23．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知正数 满足 （ 为自然对数的底数），
则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，
令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
故 ，
所以 ，B正确，
，A正确，
，D正确，
C选项， ，
，
又 在 上单调递增， ，
故 ，所以 ，
故 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，故 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，
则 ，所以 ，
又 ，故 ，C错误.
故选：C
例24．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）已知 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时， 大小不确定
【答案】B
【解析】由 可知， ，
移项可得 ，
即 ，
当 时， ，此时 ，即 ，故A错，B对，
当 时， ，此时 ，即 ，故A错，B对，
当 时， ，此时 ，即 ，故C，D错，
故选：B.
例25．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知 ， ， ，比较a，b，c的大小为
（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【答案】D【解析】 ，因函数 在 上单调递增，
则 ， .
，因 ，则
.
故 ，综上有 .
故选：D
例26．（2023·浙江·模拟预测）已知正数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 解得 ，
构造函数 ， ，显然 ，
故 是减函数，结合 ，故 时， ，
故 ， ，
再令 ， ， ，当 时， ，
故 在 单调递增，结合 ，
故 ， ，
则 ，
，
所以 ， ， ，
故 ，
由 ， ， 都是正数，故 ．
故选：D．
例27．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】分别对 ， ， 两边取对数，得 ， ， ．
．
由基本不等式，得:
，
所以 ，
即 ，所以 ．
又 ，所以 .
故选：D．
例28．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）
间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ，
所以 ，则 ，即 ，故 ；
因为 ，
所以其展开通项公式为 ，
故 ， ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 ，故 ，即 ；
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
易知 ，所以 ，则 ，即 ；
综上可得 .
故选：B
考点八：不定方程
例29．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知实数 满足： ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，即 ，所以 ，
设 ，
，
设 是单调递增函数，所以 ，所以 ，即 ，
又 是单调递减函数，且 ，所以 ，
设设 是单调递增函数，所以 ，所以 ，即
又 是单调递减函数，且 ， ，
所以 ，
同理，由 得 ，
又 是单调递减函数，且 ， ，
所以 ，
由 ，
所以 且 是单调递减函数，所以 .
综上可得
故选：A
例30．（2023·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知对任意正数a、b、c，当 时，都有
成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，得 ， ，于是 ，
，令 ，
函数 在 上递减，在 上递增，显然 ，
因此 ，令函数 ， ，
令 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，即 ，于是 ，
因为对任意正数a、b、c，当 时，都有 成立，则 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：C
例31．（2023·全国·长郡中学校联考二模）设实数 ， 满足 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】C
【解析】假设 ，则 ， ，
由 得 ，
因函数 在 上单调递减，又 ，则 ，所
以 ；
由 得 ，
因函数 在 上单调递减，又 ，则 ，所
以 ；
即有 与假设 矛盾，所以 ，
故选：C
考点九：泰勒展开
例32．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习） ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，
因为 ，所以 ，
由泰勒展开得
，
，
所以，
故 ，综上所述a，b，c的大小关系是 .
故选：C
例33．已知 ，则（ ）
【答案】A
【解析】设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A．
例34．设 ，则 的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】 ，由函数切线放缩 得 ，因此
．
故答案为：
