文档内容
专题 03 一网打尽指对幂等函数值比较大小问题
【目录】
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...........................................................................................................................................3
...........................................................................................................................................4
...........................................................................................................................................8
考点一：直接利用单调性.....................................................................................................................................8
考点二：引入媒介值...........................................................................................................................................10
考点三：含变量问题...........................................................................................................................................11
考点四：构造函数...............................................................................................................................................14
考点五：数形结合...............................................................................................................................................18
考点六：特殊值法、估算法................................................................................................................................21
考点七：放缩法、同构法....................................................................................................................................22
考点八：不定方程...............................................................................................................................................26
考点九：泰勒展开...............................................................................................................................................29
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以
选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．考点要求 考题统计 考情分析
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题
形式出现，应该会以压轴小
2022年新高考I卷第7题，5分
题形式考查．具体估计为：
2022年天津卷第5题，5分
（1）以选择题或填空题形式
指对幂比较大小 2022年甲卷第12题，5分
出现，考查学生的综合推理
2021年II卷第7题，5分
能力．
2021年天津卷第5题，5分
（2）热点是灵活构造函数比
较大小．（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
1．（2022•新高考Ⅰ）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
2．（2022•天津）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
3．（2022•甲卷）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．（2021•全国）已知 ，则以下四个数中最大的是
A． B． C． D．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
6．（2021•天津）设 ， ， ，则三者大小关系为
A． B． C． D．
7．（2020•新课标Ⅲ）设 ， ， ，则A． B． C． D． ，
，
，
．
故选： ．
8．（2020•新课标Ⅰ）若 ，则
A． B． C． D．
9．（2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
10．（2020•天津）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
考点一：直接利用单调性
利用指对幂函数的单调性判断
例1．（2023·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）设 ， ， ，则a，b，c的大
小顺序是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·北京顺义·高三校考阶段练习）已知 ， ， ，比较a，b，c的大小为
（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）设 ，则a，b，c的大小
顺序为（ ）
A． B． C． D．考点二：引入媒介值
寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
例4．（2023·天津河东·一模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·湖南郴州·统考一模）有三个数： ，大小顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）设MN， ， ，则a，b，c的大小顺序为
（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）下列各式大小比较中，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点三：含变量问题
对变量取特殊值代入或者构造函数
例8．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足
，则不正确的是（ ）A． B．
C． D．
例10．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
考点四：构造函数
例11．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校联考期中）已知 ，则 的
大小为（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023·河南许昌·高三统考阶段练习）设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序
为（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2023·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·湖北武汉·统考三模）已知 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）设 ， ， ，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
例16．（2023·湖南·模拟预测）设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．考点五：数形结合
转化为两函数图象交点的横坐标
例17．（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知正数 ，满足
，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例18．（2023·广东汕头·统考三模）已知 ， ， ，则a，b，c大小为（ ）
A． B．
C． D．
例19．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习） 均为正实数，且 ， ， ，
则 的大小顺序为
A． B． C． D．
考点六：特殊值法、估算法
例20．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若 ，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
例21．（2023·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例22．（2023·湖南·校联考模拟预测）若 ，（ ）试比较 的大
小关系（ ）
A．
B．
C．D．
考点七：放缩法、同构法
例23．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知正数 满足 （ 为自然对数的底数），
则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例24．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）已知 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时， 大小不确定
例25．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知 ， ， ，比较a，b，c的大小为
（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
例26．（2023·浙江·模拟预测）已知正数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
例27．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例28．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）
间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点八：不定方程例29．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知实数 满足： ，
则（ ）
A． B． C． D．
例30．（2023·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知对任意正数a、b、c，当 时，都有
成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
例31．（2023·全国·长郡中学校联考二模）设实数 ， 满足 ， ，
则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
考点九：泰勒展开
例32．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习） ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例33．已知 ，则（ ）
例34．设 ，则 的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
