文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（广州卷）
数学·全解全析
第一部分 选择题
(共30分)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.）
1． 的值是
A． B．2 C． D．
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式 ，
故选： ．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解： ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选： ．【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
3．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方可以判断 ；根据同底数幂的除法，可以判断 ；根据二次根式的化简和加法可以
判断 ；根据完全平方公式可以判断 ．
【解答】解： ，故选项 错误，不符合题意；
，故选项 错误，不符合题意；
，故选项 错误，不符合题意；
，故选项 正确，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．如图，直线 ，直线 ，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得 ，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到 ．
【解答】解： 直线 ， ，
，
直线 ，
．
．
故选： ．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键．
5．为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常
生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下：
天数 1 2 3 4 5 6 7
人数 3 5 8 14 9 5 2
则这组数据的众数和中位数分别为
A．4和5 B．4和4 C．14和5 D．14和4
【分析】根据众数和中位数的定义即可求解．
【解答】解：根据表格可知：天数为4天的人数最多，故众数为4，
共有 个数据，
将天数从小到大排列，处于中间的两个数为：4和4，故中位数为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义．熟记众数和中位数的定义是解题的关键．
6．某公司准备铺设一条长 的道路， 由于采用新技术， 实际每天铺路的速度比原计划
快 ，结果提前 2 天完成任务 ． 设原计划每天铺设道路 ，根据题意可列方程为
A ． B ．
C ． D ．
【分析】设原计划每天修建道路 ，则实际每天修建道路为 ，根据采用新的施
工方式， 提前 2 天完成任务， 列出方程即可 ．【解答】解： 设原计划每天修建道路 ，则实际每天修建道路为 ，
由题意得， ．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 关键是读懂题意， 设出未知数， 找出合
适的等量关系， 列出方程 ．
7．如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， 是半圆的切线， ，若 ，则
的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，则 ，由 与 相切于点 ，得 ，因为 ，
所以 ，则 ，得 ，于是得到问题
的答案．
【解答】解：连接 ，
，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
， ，
，
故选： ．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，
正确地作出辅助线是解题的关键．
8．关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，那么 的值为
A． B． C． 或1 D． 或4
【分析】根据方程的根的判别式，得出 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得 ，
，
结合 即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解： 关于 的方程 有两个实数根，
△ ，
解得： ．
关于 的方程 有两个实数根 ， ，
， ，
，即 ，
解得： 或 （舍去）．
故选： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当
△ 时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于 的一元二次方程．
9．如图，在矩形 中， ， ， 是矩形 的对角线，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使点 在线段 上， 交 于点 ， 交 于点 ，则 的值为
A． B． C． D．
【分析】将 转化为 ，再转化为 即可解决问题．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
由旋转可知，
，
，
．
又 ，
．
在 中，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查解直角三角形、矩形的性质及旋转的性质，通过同角的余角相等和对顶角相等，将
转化为 是解题的关键．
10．如图，等腰 与矩形 在同一水平线上， ， ，现将等腰 沿箭
头所指方向水平平移，平移距离 是自点 到达 之时开始计算，至 离开 为止．等腰 与
矩形 的重合部分面积记为 ，则能大致反映 与 的函数关系的图象为A． B．
C． D．
【分析】如图，作 于点 ，可知 ．分当 或 或 三种情形，分别求出
重叠部分的面积，即可得出图象．
【解答】解：如图，作 于点 ，
， 是等腰直角三角形，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰直角三角形的性质等知识，分别求出三种情形下函数解析式是解题的关键．
第二部分 非选择题
(共90分)
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
11．因式分解： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知利用提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
12．如果分式 有意义，那么实数 的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义的条件可得 ，再解即可．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
13．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识
——杠杆原理，即“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为 和 ，
则这一杠杆的动力 与动力臂 之间的函数关系式是 ．
【分析】根据阻力 阻力臂 动力 动力臂，可以写出这一杠杆的动力 与动力臂 之间的函数关系
式．【解答】解： 杠杆的阻力和阻力臂分别为 和 ，
阻力和阻力臂的乘积为： ，
阻力 阻力臂 动力 动力臂，
动力 动力臂，
这一杠杆的动力 与动力臂 之间的函数关系式是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．
14．如图，在△ 中， ， 平分 与 相交于点 ， 于点 ，若 ，
， ，则 的长为 ．
【分析】过点 作 于 ，根据角平分线的性质得到 ，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
， ， ，
， ，
，
，
解得： ，
故答案为： ．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．如图，在矩形 中，若 ， ， ，则 的长为 1 ．
【分析】由矩形的性质得出 ， ，利用勾股定理求出 ，利用相似三角形的性质，
即可求出 的长．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
， ，
△ △ ，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
16．如图，已知点 是反比例函数 图象上的动点， 轴， 轴，分别交反比例函数
的图象于点 、 ，交坐标轴于点 、 ，连接 ．现有以下四个结论：
① ；
②连接 ，则有 ；
③△ 的面积是个定值；
④不存在一点 ，使得△ △ ．
其中正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】设 ，则 ， ， ，则可计算出 ， ，所以 ，于是可
对①进行判断；再利用 点的纵坐标与 点的纵坐标相同得到 ， ，则可计算出 ，接着通过
计算得到 ，加上 ，从而可判断△ △ ，根据相似三角形的性质得到
，所以判断 ，于是可对②进行判断；利用三角形面积公式可计算出 ，则
可对③进行判断；证明 ，于是可判断 △ △ ，从而可对④进行判断．
【解答】解：设 ，则 ， ，
， ，
，所以①不符合题意；
当 时， ，
解得 ，
， ，，
， ，
， ，
，
，
△ △ ，
，
，所以②符合题意；
， ，
，所以③符合题意；
，
，
而 ，
，
△ △ ，所以④不符合题意．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组
角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字、证明过程与演算步骤.）17．解关于 的不等式组： ，把解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
该不等式组的解集为 ，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解
一元一次不等式（组 的方法．
18．如图，已知平行四边形 中，点 是对角线 上一点， ，延长 交边 于点 ．
求证： ；
【分析】证明△ △ ，得出 ，则可得出结论；【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
△ △ ，
，
，
；
【点评】本题考查菱相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四
边形的性质．
19．已知 ，其中 ．
（1）判断 与 的大小关系，并说明理由．
（2）若 为整数时，设 ，求整数 的值．
【分析】（1）利用作差法比较 与 的大小关系即可；
（2）先根据分式的加减运算法则计算，得出 ，再根据 为大于0的整数， 为整数，即可确定
的值，从而求出整数 的值．
【解答】解：（1） ，．
，
， ，
，
；
（2） ， ，
，
为大于0的整数， 为整数，
或 ，
或 或 或 ，
，
，．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．如图， ， ， ， 是圆 上的四个点， 是直径，连接 ，直线 是圆 的切线，
．
（1）求证： ；
（2）尺规作图：过点 作圆 的切线 ．
（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）由圆周角定理可得 ，可得 ．由切线的性质可得
，则 ，可得 ．由已知条件可得 ，则可得
，进而可得 ．
（2）结合切线的判定与性质，过点 作 的垂线 即可．
【解答】（1）证明： 是圆 的直径，
，
．
直线 是圆 的切线，
，
，
．
，
，
．
．
（2）解：如图，过点 作 的垂线 ，
则直线 即为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
21．打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的
书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍 ：政史类， ：文学类， ：科技类，
：艺术类， 其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数
据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数共有 10 0 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中， 类所对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）甲同学从 ， ， 三类书籍中随机选择一类，乙同学从 ， ， 三类书籍中随机选择一类，请
用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【分析】（1）用条形统计图中 的人数除以扇形统计图中 的百分比可得本次调查的学生人数；求出
类的人数，补全条形统计图即可．
（2）用 乘以 类的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式
可得出答案．【解答】解：（1）此次被调查的学生人数共有 （名 ．
类的人数为 （人 ．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：100．
（2）在扇形统计图中， 类所对应的扇形的圆心角度数是 ．
故答案为： ．
（3）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图
法是解答本题的关键．
22．手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑
了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图 1是一种常见的悬臂式
手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座 放置于水平地面上，立杆 ，支
杆 可绕点 旋转，悬臂 的长度可以调节，已知 ， ．
（1）如图2， 、 、 三点共线，先将支杆 绕点 顺时针旋转 ，再将悬臂 绕 点旋转，同时调节悬臂 的长度（如图 ，此时 ，求点 到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，点 到地面的距离为 ，求调节后悬臂 的长．
（结果精确到 ．参考数据： ，
【分析】（1）根据题意，作 ， ，结合图形，在 △ 中求得 的长，从而得到
长，即可；
（2）作 ，根据题意，得到 长，在 △ 中，求出 ，即可．
【解答】解：（1）过 点作 于点 ，过 点作 于点 ，
，
四边形 为矩形，
， ，
由旋转得 ，
，
在 △ 中， ， ， ，
，
，
答：点 到地面的距离为 ；（2）过 点作 ，交 延长线于点 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
在 △ 中， ， ，
，
答：调节后悬臂 的长约为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
23．按照国际标准，打印用的 系列纸为矩形．如图1，将 纸沿长边中点连线对折、裁开，便成 纸；
将 纸沿长边中点连线对折、裁开，便成 纸；将 纸沿长边中点连线对折、裁开，便成 纸；将
纸沿长边中点连线对折、裁开，便成 纸 并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．（1）请直接写出 系列纸的长宽比为 ；
（2）将 纸按如图2所示的方式折叠，求证： ；
（3）在图2的最后一幅图中，记 与 的交点为点 ，连接 和 ，得到图3，求证：四边形
为菱形．
【分析】（1）设 系列纸的长为 ，宽为 ，则对折后形成的矩形的长为 ，宽为 ，根据对折得到的矩
形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可；
（2）由（1）可知： 折叠推出四边形 为正方形，进而求得 ，即可得证；
（3）易得 ，得到 ，折叠得到 ， ， ，进而推出
，即可得证．
【解答】解：（1）设 系列纸的长为 ，宽为 ，则对折后形成的矩形的长为 ，宽为 ，
通过对折得到的矩形纸都是相似图形，
，
，， ，
，
，
故答案为： ；
（2）证明：设 ，由（1）可得： ，
四边形 是矩形，
，
按图2的方式折叠，
， ，
四边形 为正方形，
，
在 △ 中，
， ，
，
；
（3）由题意可得： ， ，
，
，
，
按照图中折叠，
， ， ，
，
，
，
四边形 为菱形．
【点评】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题
的关键．24．（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰 △ 中， ，点 在
边上，以 为边作正方形 ，点 在 边上，连接 ，点 为线段 的中点，连接 ，
．以点 为对称中心，画出△ 关于点 对称的图形，并直接写出 与 的位置及大小关系
， ；
（2）【类比探究】在等边△ 中， 、 分别是 、 边上一点，且 ，以 、 为邻
边作菱形 ，再将菱形 绕 点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形 如图2，连接 ，
点 为线段 的中点，连接 、 ，判断 与 的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若 ， ，菱形 在旋转过程中，当 最小时，直
接写出 的值 ．
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
可得 ， ，得出 ，再证得 ，即可得出答案；
（2）作△ 关于点 成中心对称的△ ，连接 、 ，则 ， ，
，进而可得 ，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质
即可求得答案；
（3）过点 作 于点 ，连接 、 ， 交 于点 ，利用三角形中位线定理可得
，又点 是定点，得出点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，可求得 的最小
值，再利用三角形面积公式即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，延长 至 ，使 ，连接 ，则△ 与△ 关于点 对称，△ 即为所求作的图形．
四边形 是正方形，
，
，
点 为线段 的中点，
，
，
，
，点 为线段 的中点，
，
， ，
，
△ 是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）结论： ， ；证明如下：
如图2，作△ 关于点 成中心对称的△ ，连接 、 ，则 ， ， ，
△ △ ，
， ，
，
四边形 是菱形， ，
， ，
，
，
，即 ，
△ 是等边三角形，
， ，
，
，
△ △ ，
， ，
，
△ 是等边三角形，，
，
，
在 △ 中， ；
（3）如图3，过点 作 于点 ，连接 、 ， 交 于点 ，
由旋转得 ， ，
四边形 是菱形， ，
，
△ 是等边三角形， ， ，
是 的中点， ，
又 点 为线段 的中点，
是△ 的中位线，
，
点 是定点，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 交 于点 ，当点 与点 重合时， 为最小值，
此时， ，故答案为： ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形性质，旋转变
换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
25．已知抛物线 ， 是常数， 的顶点为 ，与 轴相交于点 和点 ，与
轴相交于点 ，抛物线的对称轴与 轴相交于点 ．
若 ，
①求点 的坐标；
②点 是线段 上一点，当 时，求点 的坐标；
（Ⅱ）若 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．当 取最
大值时，点 恰好落在抛物线上，求 的值．
【分析】 ①将点 的坐标 和 代入抛物线的解析式中，配方后即可解答；
②根据对称性可得点 的坐标为 ，利用待定系数示可得 的解析式，设点 的坐标为 ，
根据 即可解答；
利用代入法可得 ，利用配方法可得 ，则点 的坐标为 ，
，如图 2，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ， ，证明△ △ ，
，则 当 ， ， 三点共线时， 的值最大，如图3，过点
作 轴于 ，即可解答．
【解答】解： ①当 时， ，
把 代入 中得： ，
，
，
顶点 的坐标为 ；②如图1， ， ，
，
设 的解析式为： ，
，
解得： ，
的解析式为： ，
设点 的坐标为 ，
， ， ，
，
解得： ，
；
把 代入 中得：
，，
，
，
，
点 的坐标为 ， ，
如图2，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ， ，
由旋转得： ， ， ，
，△ 是等腰直角三角形，
△ △ ， ，
，
，
当 ， ， 三点共线时， 的值最大，如图3，过点 作 轴于 ，△ 是等腰直角三角形，
，
，
， ，
将点 的坐标代入 中得：
，
，
， （舍 ，
．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数抛物线上点的坐标的特征，全等三角形的性质和判
定，等腰直角三角形的性质和判定，线段最值问题等知识，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形解
决问题．
