文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（广州卷）
数学·全解全析
第一部分 选择题
(共30分)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.）
1．足球是全球最具影响力的单项体育运动，它的质量有严格标准，若将超过标准的克数记为正数，不足
的克数记为负数，下面四个足球的质量最接近标准的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先确定各数的绝对值，即可得出答案．
【解答】解：|﹣0.5|＝0.5，|+0.8|＝0.8，|﹣1.2|＝1.2，|+1.4|＝1.4，
∵0.5＜0.8＜1.2＜1.4，
∴|﹣0.5|＜|+0.8|＜|﹣1.2|＜|+1.4|，
∴足球质量最接近标准的是﹣0.5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正负数和绝对值，理解题意是解题的关键．
2．以下软件的图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项B、C、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以
不是中心对称图形；
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图
重合．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a7 B．a12÷a4＝a3 C．a4•a3＝a7 D．a3+a3＝2a6
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项的运算法则，逐一判断即可．
【解答】解：A．（a3）4＝a12，故本选项不符合题意；
B．a12÷a4＝a8，故本选项不符合题意；
C．a4•a3＝a7，故本选项符合题意；
D．a3+a3＝2a3，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项，熟记以上知识点是解题
的关键．
4．若单项式5x2ym+1与xny4的和仍为单项式，则（﹣n）m的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，m+1＝4，
解得m＝3，n＝2，
∴（﹣n）m＝（﹣2）3＝﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫
同类项．5．如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决
五项能力的分项得分，分别按3：2：1：2：2进行综合评价，他的综合得分为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
10×3+8×2+6×1+6×2+8×2
【解答】解： = 8，
3+2+1+2+2
故选：C．
【点评】本题考查了其它统计图加权平均数，解答的关键是明确加权平均数的计算方法．
6．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四
梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多
12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
x x x−12 x
A． −12= B． =
4 6 4 6
C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x
【分析】根据孩童人数不变列方程即可．
x−12 6
【解答】解：设梨有x个，则人数可表示为 或 ，
4 x
x−12 x
由题意可列方程 = ．
4 6
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．
7．如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接
FG
CF并延长与AB的延长线交于点G．则 的值为（ ）
CE3√2 3√3
A．√2 B．√3 C． D．
2 2
【分析】过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，证明△ADE和△EHF全等，得到∠FCH＝45°，再根
据等腰直角三角形三边关系，求出比值．
【解答】解：过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，
∴∠H＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC，
∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠HEF，
在△ADE和△EHF中，
{
∠D=∠H
∠DAE=∠HEF，
AE=EF
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD＝EH，DE＝HF，
∴EH＝DC，
∴DE＝CH＝HF，
∴∠HCF＝45°，
∴∠G＝45°，
设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y，
则CE＝y﹣x，CF=√2x，CG=√2y，
∴FG＝CG﹣CF=√2y−√2x，
FG
∴ =√2，
CE
故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，掌握全等三角形的性质与
判定方法是解题的关键．
8．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点，则关于x的不等式
ax2+bx+c＞kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＞2 C．x＜2 D．﹣2＜x＜2
【分析】依据题意，由关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集就是函数y＝ax2+bx+c的图象在函数y＝
kx+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围，进而结合图象即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为函数y＝ax2+bx+c的图象在函数y＝
kx+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围，
又一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点的横坐标分别为﹣2，2，
∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为x＜﹣2或x＞2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）的关系，解题时要能根据函数图象找出相应自变量的
取值是关键．
1
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tanB= ，如果以点C为圆心，半径为R的 C与线段AB有两
2
⊙
个交点，那么 C的半径R的取值范围是（ ）
⊙
A．2＜R≤√5 B．2≤R≤√5 C．√5≤R≤2√5 D．0＜R≤√5【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，
即可得出答案．
1
【解答】解：∵∠C＝90°，tanB= ，
2
AC 1
∴ = ，
BC 2
设AC＝x，BC＝2x，
∴AB=√AC2+BC2=√5x＝5，
∴x=√5，
∴AC=√5，BC＝2√5，
过点C作CD⊥AB于点D，
AC⋅BC
∴CD= =2，
AB
∵ C与线段AB有两个交点，
∴⊙2＜R≤√5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八
尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部
的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ）80 160
A． 平方尺 B． 平方尺
π π
128
C． 平方尺 D．45 平方尺
π
π
16
【分析】设米堆底部的扇形半径为r，根据米堆底部的弧长为8尺，求出底面半径为r= ，所以这个
π
米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r尺，
1
由米堆底部的弧长为8尺，可得 ×2 r＝8，
4
π
16
解得 r= ，
π
1 16 80
∴2× × ×5= （平方尺），
2 π π
80
∴这个米堆遮挡的墙面面积为 平方尺．
π
故选：A．
【点评】考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．
第二部分 非选择题
(共90分)
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
11．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，
光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则
∠CGF的度数是 58 ° ．
【分析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得
到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故答案为：58°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°．
12．若 、 是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则 2+2 ﹣ ＝ 8 ．
【分α析】β根据 、 是方程x2+3x﹣5＝0的两个实α数根α，可β以得到 + ＝﹣3， 2+3 ﹣5＝0，然后将所求
式子变形，即可α求β出相应的数值． α β α α
【解答】解：∵ 、 是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，
∴ + ＝﹣3， 2α+3 β﹣5＝0，
∴α2+β3 ＝5，α α
∴α2+2α﹣
＝α2+3α﹣β﹣
＝α（ 2+α3 α）﹣β（ + ）
＝5﹣α（﹣α3） α β
＝5+3
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
13．已知菱形ABCD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形EFGH的面积为2，
则菱形ABCD的面积为 4 ．
【分析】根据三角形中位线定理得EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，BD＝2EF，AC＝2EH，证明四边形
1
EFGH是矩形，面积是EF×EH，进而得菱形ABCD的面积= ×AC•BD＝2EF•EH．
2
【解答】解：连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，BD＝2EF，AC＝2EH，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵∠AEH＝∠ABO，∠BEF＝∠EAO，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵四边形EFGH的面积为2，
∴EF•EH＝2，
1 1
∴菱形ABCD的面积= ×AC•BD= ×2EF•2EH＝2EF•EH＝4．
2 2
故答案为：4．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．
14．一个正数的两个平方根为2a+1和a﹣7，则这个正数为 2 5 ．
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2a+1+a﹣7＝0，
∴a＝2，
∴2a+1＝5，
∴这个正数是25，
故答案为：25．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．
15．新定义：对于任意实数x，都有g（x）＝mx2+nx，若g（1）＝10，g（2）＝22，则将g（x2﹣6x）因式
分解的结果为 x （ x ﹣ 6 ）（ x ﹣ 3 ） 2 ．
【分析】先根据已知条件中的新定义，列出关于m，n的方程，解方程求出m，n，再次利用新定义把所
求式子写成整式形式，然后分解因式即可．
【解答】解：∵g（x）＝mx2+nx，g（1）＝10，g（2）＝22，∴m+n＝10，4m+2n＝22，
{m+n=10①
∴ ，
2m+n=11②
②﹣①得：m＝1，
把m＝1代入①得：n＝9，
∴g（x）＝x2+9x，
∴g（x2﹣6x）
＝（x2﹣6x）2+9（x2﹣6x）
＝（x2﹣6x）（x2﹣6x+9）
＝x（x﹣6）（x﹣3）2，
故答案为：x（x﹣6）（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是根据已知条件中的新定义，求出m，n的值．
16．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，
作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：
①AE＝BC；
②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2√5；
③EF＝AE+DH；
④当F是AD的中点时，S四边形ABCD ：S四边形CEFG ＝6：5．
其中正确的结论是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①根据矩形的性质证明△ADE是等腰直角三角形，进而可以判断；
②首先证明△GCH∽△BCE，证明△AEF≌△BCE（AAS），可得EF＝EC，可得四边形CEFG是正方
形，所以CG＝CE，进而可以判断；
③根据勾股定理可得DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，根据EF＝2√5，AE＝4，即可判断；
④设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a，可得AB＝AE+BE＝3a，所以S四边形ABCD ＝2a•3a＝6a2，根据
勾股定理可得EF=√5a，所以得S四边形EFGC ＝EF2＝5a2，进而可以判断．
【解答】解：①在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC；故①正确；
②∵∠GCH+∠HCE＝90°，∠ECB+∠HCE＝90°，
∴∠GCH＝∠ECB，
∵∠G＝∠B＝90°，
∴△GCH∽△BCE，
CH CG
∴ = ，
CE CB
∵∠AEF+∠CEB＝90°，∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE，
在△AEF和△BCE中，
{∠A=∠B=90°
∠AEF=∠BCE，
AE=BC
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴EF＝EC，
∵四边形CEFG是矩形，
∴四边形CEFG是正方形，
∴CG＝CE，
CH CG
∵ = ，
CE CB
∴CE2＝CH•CB＝5×4＝20，
∴CE＝2√5；故②正确；
③若BC＝AE＝4，CE＝2√5，
∴BE=√CE2−BC2=√20−16=2，
∴CD＝AB＝AE+BE＝4+2＝6，
∴DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，
∵EF＝2√5，AE＝4，
∴EF≠AE+DH；故③错误；④当F是AD的中点时，
设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a，
∵BE＝AF＝a，
∴AB＝AE+BE＝3a，
∴S四边形ABCD ＝2a•3a＝6a2，
∵EF=√AE2+AF2=√(2a) 2+a2=√5a，
∴S四边形EFGC ＝EF2＝5a2，
∴S四边形ABCD ：S四边形CEFG ＝6a2：5a2＝6：5．故④正确．
综上所述：①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等
三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△GCH∽△BCE．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字、证明过程与演算步骤.）
1−x 1
17.（本小题满分4分）解分式方程： +2= ．
x−2 2−x
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求
解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得
1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1，
解得：x＝2．
检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0，即x＝2不是原分式方程的解．
故原方程无解．
【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定
要验根．
18.（本小题满分4分）已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝
∠C．求证：AF＝DE．【分析】由 GE＝GF，得∠AFB＝∠DEC，而∠B＝∠C，AB＝DC，即可根据“AAS”证明
△ABF≌△DCE，则AF＝DE．
【解答】证明：∵GE＝GF，
∴∠AFB＝∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
{∠AFB=∠DEC
∠B=∠C ，
AB=DC
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF＝DE．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠AFB＝∠DEC，
进而证明△ABF≌△DCE是解题的关键．
19.（本小题满分6分）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线．
（1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状．
【分析】（1）作BD的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质、翻折性质及线段垂直平分线的性质即可证明．
【解答】解：（1）所作的图形如图：
；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．理由如下：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
由翻折知，BE＝BF，
由作图知，BE＝DE，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定等知识，掌握这些知识是解题
的关键．
b b2+2ab
20.（本小题满分6分）已知A=(1+ )÷(a+ )．
a a
（1）化简A；
（2）若a、b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，求A的值．
【分析】（1）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分
即可；
（2）先根据根与系数的关系得到a+b＝1，然后利用整体代入的方法计算．
a+b a2+b2+2ab
【解答】解：（1）A= ÷
a a
a+b a
= •
a (a+b) 2
1
= ；
a+b
（2）根据根与系数的关系得a+b＝1，
1
所以原式= = 1．
1
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
b c
=− ，x x = ．也考查了分式的混合运算．
a 1 2 a
21.（本小题满分8分）我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部
分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．
志愿服务时间（小时） 频数A 0＜x≤50 a
B 50＜x≤100 10
C 100＜x≤150 16
D 150＜x≤200 20
请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
（1）表中a＝ 4 ；扇形统计图中“C”部分所占百分比为 32% ，若我市共有3000名教职工参与
志愿服务，那么志愿服务时间多于100小时的教职工人数大约为 216 0 人；
（2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．
他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在
同一路口的概率．
【分析】（1）先根据“B”部分的人数与占比求得总人数，进而求得a的值，根据“C”的人数除以总
人数求得占比，进而根据样本估计总体求得志愿服务时间多于100小时的教职工人数；
（2）设三个路口分别为1，2，3，画树状图法求概率，即可求解．
【解答】解：（1）10÷20%＝50人，
∴a＝4，
16
扇形统计图中“C”部分所占百分比为 ×100%=32%，
50
若我市共有 3000 名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于 100 小时的教职工人数大约为
16+20
×3000=2160，
50
故答案为：4；32%，2160．
（2）设三个路口分别为1，2，3，画树状图如下：
共有9种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有3种．3 1
所以，P= = ．
9 3
【点评】本题考查了频数分布表与扇形统计图，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是关键．
22.（本小题满分10分）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸柱AB，EF，折叠栏BC，CD构成，折
叠栏BC绕点B转动从而带动折叠栏CD平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，
EF⊥AE垂足分别为A，E，CD∥AE．已知BC＝1.8米，CD＝2.7米，AB＝EF＝1.2米，AE＝4.5米，请
完成以下计算（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）
（1）若∠ABC＝135°，求点C距离地面的高度．（结果精确到0.1米）
（2）若∠ABC＝150°，请问一辆宽为3米，高为2.5米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明．
【分析】（1）过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，在Rt△BCN中，根据三角函数求
出CN，再根据CM＝CN+MN，即可作答；
（2）当∠ABC＝150°，在Rt△BCN中，根据三角函数求出CN和BN，再根据CM＝CN+MN，比较高度
和宽度即可作答；
【解答】解：（1）过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，
∴四边形ABNM为矩形，
∴AB＝MN，∠ABN＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBN＝45°，
在Rt△BCN中，
√2
CN= BC≈1.3（米），
2
∴CM＝CN+MN＝1.3+1.2＝2.5（米），∴点C距离地面的高度为2.5米；
（2）根据题意四边形ABNM为矩形，
∴AB＝HG，∠ABN＝90°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBN＝60°，
在Rt△BCN中，
√3 1
CN= BC≈1.5（米），BN= BC＝0.9（米），
2 2
∴CM＝CN+MN＝1.5+1.2＝2.7（米），
2.7＞2.5，
BN＝AM＝0.9米，
ME＝AE﹣AM＝4.5﹣0.9＝3.6（米），
3.6＞3，
∴一辆宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线．
23.（本小题满分10分）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药
后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每
毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系．如
表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．
t 0 1 2 3 4 6 8 10 …
y 0.00 2.00 4.00 2.83 2.00 1.00 0.50 0.25 …
（1）在所给的平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值对应的点（t，y），并补全该函数的图
象；
（2）结合函数图象，解决下列问题：
①某成年人患者第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为 1.4 1 微克（精确到0.1）；
②若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持
续约 7.7 5 小时；
③若某成年人患者第一次服药后8小时进行第二次服药，且第二次服药对血液中含药量的影响与第一
次服药相同，则第二次服药后至少 2 小时，每毫升血液中的含药量首次达到 4微克（精确到
0.1）．【分析】（1）利用描点法画图；
（2）①第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量由图象可得，答案不唯一；
②根据含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，看图象得边界点的t值，相减可得结论；
③两次含药量相加即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）①由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；
故答案为：1.41；
1
②当y＝0.5时，t= 或8，
4
1
8− =7.75，
4
∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；
故答案为：7.75；
③∵第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，
∴第二次服药2小时含药量为4微克；
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，利用函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据
坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息．
24.（本小题满分12分）锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC ＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且
MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为
y（y＞0）
（1）△ABC中边BC上高AD＝ 4 ；（2）当x＝ 2. 4 时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为
何值时y最大，最大值是多少？
【分析】（1）本题利用矩形的性质和相似三角形的性质，根据MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出
△ABC中边BC上高AD的长度．
（2）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于
相似比，得出等量关系，代入解析式，
（3）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式．
【解答】解：（1）由BC＝6，S△ABC ＝12，得AD＝4；
（2）当PQ恰好落在边BC上时，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
MN AG
∴ = ，
BC AD
x 4−x 12
即 = ，x＝2.4（或 ）；
6 4 5
（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．
设ME＝NF＝h，AD交MN于G（如图2）GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
MN AG x 4−ℎ
∴ = ，即 = ，
BC AD 6 4
2
∴ℎ =− x+4．
3
2 2
∴y＝MN•NF＝x（− x+4）=− x2+4x（2.4＜x＜6），
3 32
配方得：y=− （x﹣3）2+6．
3
∴当x＝3时，y有最大值，最大值是6．
【点评】本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终
抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度．
25.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B
（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
PD
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当 的值最大时，求点P
DB
PD
的坐标及 的最大值；
DB
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点
M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求
得抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则 E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得 PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由 PE∥x 轴，得
PD PE −t2−3t 1 3 9
△EPD∽△ABD，进而得出 = = =− （t+ ）2+ ，再运用二次函数的性质即可求得
DB AB 4 4 2 16
答案；
（3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即
可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C
（0，3），
{9a−3b+c=0
∴ a+b+c=0 ，
c=3
{a=−1
解得： b=−2，
c=3
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
{−3k+n=0
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则 ，
n=3
{k=1
解得： ，
n=3
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标为﹣t2﹣2t+3，则﹣t2﹣2t+3＝x+3，
∴x＝﹣t2﹣2t，
∴E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
PD PE
∴ = ，
DB AB
PD −t2−3t 1 3 9
∴ = =− （t + ）2+ ，
DB 4 4 2 16
1
∵− ＜0，
4
3 PD 9 3 15
∴当t=− 时， 的值最大，最大值为 ，此时点P的坐标为（− ， ）；
2 DB 16 2 4
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM=√m2+m2=√2|m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m|=√2|m|，
当m2+3m=√2m时，
解得：m ＝0（舍去），m =√2−3，
1 2
此时点M（√2−3，√2）；
当m2+3m=−√2m时，
解得：m ＝0（舍去），m =−√2−3，
1 2
此时点M（−√2−3，−√2）；
综上，点M的坐标为（√2−3，√2）或（−√2−3，−√2）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与
二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解题关键．
