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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题07 基本初等函数第三缉
1．【2018 年甘肃预赛】关于x的方程lg(ax +1)=lg(x -1)+lg(2- x)有唯一实数解，则实数a的取值范围
是______．
【答案】(-1,- 1
2]∪{3-2❑√3}
【解析】
解法一原方程化为f (x)= x
2+(a-3) x +3=0, x∈(1,2)．
（1）f (1)f (2)<0⇔(a+1)(2a+1)<0⇔a∈(-1,- 1
2)
．
（2）f (1)=0即a=-1时，f (x)= x
2- 4 x +3=0的两根分别为1、3，不符合题意．
（3）f (2)=0即a=- 1
2
时，f (x)= x
2- 7
2 x +3=0的两根分别为2，3
2 ∈(1,2)．
因此a=- 1
2
，符合题意要求．
（4）Δ=0，即a=3±2❑√3时，若a=3+2❑√3, x1= x2=- ❑√3，不符合要求；
若a=3-2❑√3, x1= x2= ❑√3∈(1,2)，因此a=3-2❑√3，符合要求．
解法二ax +1=- x
2+3 x -2，因为1< x<2，所以
a=- x
2+3 x -3
x
=3-(x + 3
x)= f (x)．
f (x)在(1,❑√3)上单调递增，在(❑√3,2)上单调递减．
又f (❑√3)=3-2❑√3,f (2)=- 1
2
，所以a的取值范围是(-1,- 1
2]∪{3-2❑√3}．
2．【2018 年吉林预赛】函数y =
1
❑√x
2-6 x +8
+ log2(
x +3
x -1 -2)
的定义域为__________.
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【答案】（1，2）∪（4，5）
【解析】
由题得¿，解之得x∈（1，2）∪（4，5）.
故答案为：（1，2）∪（4，5）
3．【2018 年天津预赛】已知函数f (x)=sin x和g(x)=
❑√π
2- x
2的定义域都是[- π ,π ]，它们的图象围成的
区域面积是_____________
【答案】π
3
2
【解析】
将y =
❑√π
2- x
2的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为π
3
2
.
故答案为：π
3
2
4．【2018 年天津预赛】若a为正实数，且f (x)= log2(ax +
❑√2 x
2+1)是奇函数，则不等式f (x)> 3
2
的解集
是_____________
【答案】(
7
8 ,+∞)
【解析】
由f (x)+ f (- x)=0可得log2(ax +
❑√2 x
2+1)+ log2(-ax +
❑√2 x
2+1)=0
即(ax +
❑√2 x
2+1)(-ax +
❑√2 x
2+1)=1
也即(2-a
2) x
2=0，所以a= ❑√2.
由于❑√2 x +
❑√2 x
2+1
在（0，+∞）上递增，所以f (x)在（0，+∞）上是增函数，结合f (x)是奇函数可知
f (x)在R 上是增函数.解不等式f (x)> 3
2
，只需找到f (x)= 3
2
的解.
方程f (x)= 3
2
等价于❑√2 x +
❑√2 x
2+1=2
3
2 =2❑√2
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也即❑√2 x
2+1= ❑√2(2- x)
两边平方，解得x = 7
8
.因此，不等式f (x)> 3
2
的解集是(
7
8 ,+∞)
.
故答案为：(
7
8 ,+∞)
5．【2018 年河南预赛】已知函数f (x)=- 1
2 x
2+ x，若f (x)的定义域为[m,n](m<n)，值域为
[km,kn](k >1)，则n的值为______．
【答案】0
【解析】
因为f (x)=- 1
2 x
2+ x =- 1
2
(x -1)
2+ 1
2 ≤1
2
，
所以有kn≤1
2
，得n≤1
2k <1，故f (x)在[m,n]上是增函数，
进而¿．解得¿（舍）或¿．
故填0．
6．【2018 年河北预赛】若x,y∈[- π
6 ，π
6]，a∈R，且满足¿那么cos( x +36)= _ _ _ _ _.
【答案】1
【解析】
把已知条件变形为¿函数f (t )=t
3+sin t 在[- π
2 , π
2 ]上为增函数且是奇函数，另x ,3 y ∈[- π
2 , π
2 ]，故
x =-3 y 即x +3 y =0，所以cos( x +3 y)=1.
7．【2018 年四川预赛】设函数f (x)= x + 9
x 在[1,4]上的最大值为M，最小值为m，那么M -m的值为
______.
【答案】4
【解析】
因为f (x)在[1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，所以f (x)的最小值为f (3)=6.
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又f (1)=10,f (4)= 25
4 ,故f (x)的最大值为f (1)=10.
故M -m=10-6= 4.
故答案为：4
8．【2018 年四川预赛】
1-2log65⋅log103⋅log152
log65⋅log103+ log103⋅log152+ log152⋅log65
的值为______.
【答案】1
【解析】
令a= log65,b= log103,c = log152，则
a=
ln5
ln 2+ ln3 ,b=
ln3
ln 2+ ln5 ,c =
ln 2
ln3+ ln5 .
从而a
a+1 +
b
b+1 +
c
c +1 =1，化简为2abc +(ab+bc +ca)=1.
所以，原式= 1-2abc
ab+bc+ca =1.
故答案为：1
9．【2018 年浙江预赛】已知a 为正实数，且f ( x)= 1
a -
1
a
x+1
是奇函数，则f ( x)的值域为________.
【答案】(- 1
2 ，1
2)
【解析】
由f ( x)为奇函数可知1
a -
1
a
x+1
=- 1
a +
1
a
- x+1
，解得a= 2，即f ( x)= 1
2 -
1
2
x+1
，
由此得f ( x)的值域为(- 1
2 ，1
2)
.
10．【2018 年浙江预赛】设f ( x)=|x +1|+|x|-|x -2|，则f (f ( x))+1=0有________个不同的解.
【答案】3
【解析】
因为f ( x)=|x +1|+|x|-|x -2|=¿
由f (f ( x))+1=0得到f ( x)=2，或f ( x)=0.
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由f ( x)=-2，得一个解x =-1；由f ( x)=0得两个解x =-3，x = 1
3
，共3 个解.
11．【2018 年浙江预赛】设x，y ∈R满足x -6 ❑√y - 4 ❑√x - y +12=0，则x 的取值范围为________.
【答案】14 -2❑√13≤x ≤14+2❑√13
【解析】
由x -6 ❑√y - 4 ❑√x - y +12=0⇒(❑√x - y -2)
2+(❑√y -3)
2=1.
令❑√x - y -2=cosθ，
❑√y -3=sinθ⇒x =(2+cosθ)
2+(3+sinθ)
2=14+ ❑√52sin(θ+φ)(sin φ =
2
❑√13 )，
所以14 -2❑√13≤x ≤14+2❑√13.
12．【2018 年江西预赛】函数y = ❑√7- x + ❑√9+ x的值域是区间______．
【答案】[4,4 ❑√2]
【解析】
显然函数定义域为x∈[-9,7]，在此区间内y >0，
由于(7- x)+(9+ x)=16，即7 - x
16 + 9+ x
16 =1，
故有角α[0,π
2 ]使得❑√
7- x
16 =sin α ，❑√
9+ x
16 =cosα．
于是y
4 = ❑√
7 - x
16 + ❑√
9+ x
16 =sin α +cosα = ❑√2sin(α +π
4 )
，
因为0≤α ≤π
2 ，则π
4 ≤α +π
4 ≤3π
4
．
在此范围内
❑√2
2 ≤sin(α +π
4 )≤1，则有1≤❑√2sin(α +π
4 )≤❑√2．
因此4≤y ≤4 ❑√2．（当x =7时，ymin= 4；当x =-1时，ymax = 4 ❑√2）
故答案为：[4,4 ❑√2]
13．【2018 年山西预赛】函数y =
❑√1- x
2
2+ x
的值域为________.
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【答案】[0,
❑√3
3 ]
【解析】
由条件知x∈[-1,1].
令x =cosα (α ∈[0,π ]).则
y =
sin α
2+cosα
( y ≥0)，
⇒2 y =sin α - y cosα =
❑√1+ y
2sin (α +θ)≤
❑√1+ y
2，
⇒1+ y
2≥4 y
2⇒y
2≤1
3
，
因为y ≥0，所以，y ∈[0,
❑√3
3 ]
.
14．【2018 年湖南预赛】如图，A 与P 分别是单位圆O 上的定点与动点，角x 的始边为射线OA，终边为
射线OP，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f ( x)，则f ( x)
=__________.
【答案】f ( x)=|sinxcosx |
【解析】
对角度x 进行简单的分类x∈[0, π
2),[
π
2 ,π),⋅⋅⋅，然后根据三角函数的定义得到
y = f ( x)=¿
利用函数的周期性得到f ( x)=|sin x cos x|.
故答案为：f ( x)=|sinxcosx |
15．【2018 年湖南预赛】如图放置的边长为1 的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，即先以A 为中心顺时针旋
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转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C 滚动时的轨迹方程为y = f ( x)，
则f ( x)在[2017,2018]上的表达式为__________.
【答案】f ( x)=
❑√1+2( x -2016)-( x -2016)
2
【解析】
y = f ( x)=¿ ①
由于f ( x)是以4 为周期的周期函数，所以当x∈[2017,2018]时
x -504⋅4 = x -2016∈[1,2],
此时由周期性及①式的结果得到
f ( x)= f ( x -504⋅4)=
❑√1+2( x -2016)-( x -2016)
2.
故答案为：f ( x)=
❑√1+2( x -2016)-( x -2016)
2
16．【2018 年湖南预赛】设a,b∈R ,a<b，函数g( x)= max
a≤t ≤b| x +t |( x∈R)（其中max表示对于x∈R，
当t ∈[a,b]时表达式| x +t |的最大值），则g( x)的最小值为_____.
【答案】b-a
2
【解析】
对于每一个x∈R，函数f (t )= x +t是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数|f (t )|的最大值与最小
值均在区间端点处达到，从而有
g( x)=max
a<t <b| x +t |=max
a·b {| x +a|,| x +b|}.
由于函数y =| x +a|, y =| x +b|图像交点的横坐标c 满足
-(c +b)=c +a⇒c =- a+b
2
，
得到g( x)=¿其图像为两条折线组成，且
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min g( x)= g(c)= b-a
2
.
故答案为：b-a
2
17．【2018 年福建预赛】已知定义在R上的奇函数f (x)，它的图象关于直线x =2对称．当0< x ≤2时，
f (x)= x +1，则f (-100)+ f (-101)=______．
【答案】2
【解析】
由f (x)为奇函数，且其图象关于直线x =2对称，
知f (- x)=- f (x)，且f (2- x)= f (2+ x)，
所以f (x + 4)= f (- x)=- f (x)，f (x +8)=- f (x + 4)= f (x)．
f (x)是以8 为周期的周期函数．
又f (3)= f (1)=2，f (4)= f (0)=0，
所以f (-100)+ f (-101)= f (4)+ f (3)=0+2=2．
18．【2018 年福建预赛】已知整系数多项式f (x)= x
5+a1 x
4+a2 x
3+a3 x
2+a4 x +a5
，若
f (❑√3+ ❑√2)=0，f (1)+ f (3)=0，则f (-1)=______．
【答案】24
【解析】
设x0= ❑√3+ ❑√2，则x0- ❑√3= ❑√2，(x0- ❑√3)
2=2，
于是x0
2-2❑√3 x0+3=2，2❑√3 x0= x0
2+1．
所以(2❑√3 x0)
2=(x0
2+1)
2，x0
4-10 x0
2+1=0．
所以x0= ❑√3+ ❑√2是多项式g(x)= x
4-10 x
2+1的一个根．
又x0= ❑√3+ ❑√2不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．
所以g(x)整除f (x)．故f (x)= g(x)(x -r)=(x
4-10 x
2+1)(x -r)，r为整数．
所以f (1)=-8(1-r)=-8+8r ，f (3)=-8(3-r)=-24 +8r．
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由f (1)+ f (3)=0，得(-8+8r)+(-24+8r)=0，r =2．
所以f (x)=(x
4-10 x
2+1)(x -2)，f (-1)=24．
19．【2018 年福建预赛】已知函数f (x)满足：对任意实数x、y，都有f (x + y)= f (x)+ f ( y)+6 xy成立，
且f (-1)⋅f (1)≥9，则f(
2
3)=______．
【答案】4
3
【解析】
在f (x + y)= f (x)+ f ( y)+6 xy中，令x = y =0，得
f (0)= f (0)+ f (0)+0，f (0)=0．
令x =-1，y =1，得f (0)= f (1)+ f (-1)+(-6)，f (1)+ f (-1)=6．
又f (-1)⋅f (1)≥9，所以[6- f (1)]⋅f (1)≥9，即
[f (1)]
2-6 f (1)+9≤0，[f (1)-3]
2≤0，f (1)=3．
又f(
2
3)= f(
1
3 + 1
3)= f(
1
3)+ f(
1
3)+6⋅1
3 ⋅1
3 =2f(
1
3)+ 2
3
，
f (1)= f(
1
3 + 2
3)= f(
1
3)+ f(
2
3)+6⋅1
3 ⋅2
3
，
所以f (1)= f(
1
3)+2f(
1
3)+ 2
3 +6⋅1
3 ⋅2
3 =3 f(
1
3)+2=3．
故f(
1
3)= 1
3 ，f(
2
3)=2f(
1
3)+ 2
3 =2⋅1
3 + 2
3 = 4
3
．
20．【2018 年全国】设f（x）是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足
f (π )=1,f (2π )=2，则不等式组¿的解集为
.
【答案】[ π -2,8-2π ]
【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2 为周
期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间.
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注意到f (π -2)= f (π )=1,f (8-2π )= f (-2π )= f (2π )=2.
所以1≤f ( x)≤2⇔f (π -2)≤f ( x)≤f (8-2π ).
而1<π -2<8-2π <2，故原不等式组成立当且仅当x∈[ π -2,8-2π ].
21．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设f(x)是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，在区间[0，1]上
严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组¿的解集为
.
【答案】[ π -2,8-2π ]
【解析】由f(x)为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f(x)在[－1，0]上严格递增，再结合f(x)以2 为周期可知，
[1，2]是f(x)的严格递增区间
注意到f (π -2)= f (π )=1,f (8-2π )= f (-2π )= f (2π )=2，
所以1⩽f ( x)⩽2⇔f (π -2)⩽f ( x)⩽f (8-2π )，
而1<π -2<8-2π <2，故原不等式组成立当且仅当x∈[ π -2,8-2π ].
22．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设f(x)是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，在区间[1，2]上
严格递减，且满足f (π )=1,f (2π )=0，则不等式组¿的解集为
.
【答案】[2π -6,4 - π ]
【解析】由f(x)为偶函数及在[1，2]上严格递减知，f(x)在[－2，－1]上严格递增，再结合f(x)以2 为周期可
知，[0，1]是f(x)的严格递增区间.
注意到f (4 - π )= f (π - 4)= f (π )=1,f (2π -6)= f (2π )=0，
所以0⩽f ( x)⩽1⇔f (2π -6)⩽f ( x)⩽f (4 - π )，
而0<2π -6<4 - π <1，故原不等式组成立且当仅当x∈[2π -6,4 - π ].
23．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x 有
f ( x +3)⋅f ( x - 4)=-1.又当0≤x<7 时，f ( x)= log2(9- x)，则f(－100)的值为
.
【答案】- 1
2
【解析】由条件知，f ( x +14)=-
1
f ( x +7) = f ( x)，
所以f (-100)= f (-100+14×7)= f (-2)=-
1
f (5) =-
1
log24 =- 1
2.
24．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】若实数x、y 满足x
2+2cos y =1，则x -cos y的取值范围是
.
【答案】[-1,❑√3+1]
【解析】由于x
2=1-2cos y ∈[-1,3]，故x∈[- ❑√3,❑√3].
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由cos y = 1- x
2
2
可知，x -cos y = x - 1- x
2
2
= 1
2 ( x +1)
2-1.
因此当x=－1 时，x－cosy 有最小值1(这时y 可以取π
2
)；
当x = ❑√3时，x－cosy 有最大值❑√3+1(这时y 可以取π).
由于1
2 ( x +1)
2-1的值域是[-1,❑√3+1]，
从而x－cosy 的取值范围是[-1,❑√3+1].
25．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设f(x)是定义在R 上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶
函数，则f(1)的值为
.
【答案】- 7
4
【解析】由条件知，f (1)+1=-[f (-1)+(-1)
2]=- f (-1)-1，f (1)+2= f (-1)+ 1
2
，
两式相加消去f(－1)，可得2f (1)+3=- 1
2
，即f (1)=- 7
4
.
26．【2017 年山西预赛】函数y =sin2 x -3
sin x +cos x -2
的值域是
.
【答案】[2- ❑√2,2+ ❑√2]
【解析】提示:y =sin2 x -3
sin x +cos x -2 = (1+sin2 x)- 4
sin x +cos x -2 = (sin x +cos x)
2- 4
sin x +cos x -2
=sin x +cos x +2
，
因为- ❑√2≤sin x +cos x ≤❑√2,所以2- ❑√2≤y ≤2+ ❑√2.
27．【2017 年吉林预赛】若∀x∈(-∞,-1),不等式(m-m
2)4
x+2
x+1>0恒成立,则实数m的取值范围是
.
【答案】[-2,3]
【解析】记a=m-m
2,t =2
x,则at
2+t +1>0
在t ∈(0, 1
2)
时成立.
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当a≥0时,显然满足条件;当a<0时,抛物线开口向下且过点(0,1),
所以必有一负根,只需t = 1
2
时取值不小于0 即可,
于是1
4 a+ 1
2 +1≥0,解得a≥-6,即m-m
2≥-6,所以-2≤m≤3.
28 ．【2017 年山东预赛】已知p(x)=a x
3+b x
2+cx +d是一个三次多项式, 满足
p(
1
2)+ p(- 1
2)=1000 p(0).设x1, x2, x3
是p(x)=0的3 个根,则1
x1 x2
+
1
x2 x3
+
1
x1 x3
的值为
.
【答案】1996
【解析】提示：由p(
1
2)+ p(- 1
2)=1000 p(0)可得1
2 b+2d =1000d,所以b
d =1996.
因为x1, x2, x3
是p(x)=a x
3+b x
2+cx +d的3 个根,
由根与系数的关系可得x1+ x2+ x3=- b
a , x1 x2 x3=- d
a ,
因此1
x1 x2
+
1
x2 x3
+
1
x1 x3
= x1+ x2+ x3
x1 x2 x3
=
- b
a
- d
a
= b
d =1996.
29．【2017 年福建预赛】已知f (x)是定义在R上的奇函数,且函数y = f (x +1)为偶函数,当-1≤x ≤0时,
f (x)= x
3,则f(
9
2)=
.
【答案】1
8
【解析】提示：由函数y = f (x +1)为偶函数,知f (- x +1)= f (x +1).
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又f (x)为奇函数,所以f (x +2)= f (- x)=- f (x),f (x + 4)=- f (x +2)= f (x).
所以f(
9
2)= f(
1
2)=- f(- 1
2)=-(- 1
2)
3
= 1
8
.
30．【2017 年福建预赛】若关于x的方程x
2+ax +b-3=0(a,b∈R)在区间[1,2]上有实根,则a
2+(b- 4)
2
的最小值为
.
【答案】2
【解析】提示：由x
2+ax +b-3=0知,b=- x
2-ax +3.
所以
a
2+(b- 4)
2=a
2+(- x
2-ax -1)
2=a
2+(x
2+1)
2+2ax(x
2+1)+a
2 x
2=(x
2+1)(x
2+1+2ax +a
2)=(x
2+1)(x +a)
2+ x
2+1
因为x∈[1,2],所以a
2+(b- 4)
2≥x
2+1≥2,
当x =1,a=-1,b=3时,等号成立.
所以a
2+(b- 4)
2的最小值为2.
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