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专题验收评价
专题4 数列及求和
内容概览
A·常考题不丢分
题型一 等差数列及性质
题型二 等比数列及性质
题型三 数列求和
题型四 数列情境题
C·挑战真题争满分
1．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列
满足
且
是前
项和，且
，则
（ ）
A．2024
B．2023
C．1012
D．1011
【答案】C
【分析】根据题意和等差数列的定义和前n 项求和公式,
，可得出
也为等差数列,从而得出答案.
【详解】由题意，
，
，
等差数列及性质
题型一
则数列
为等差数列，设公差为
，
，即
，则
，则
，
则
所以
，
（常数），则
也为等差数列.
则数列
的公差为
.
所以
所以
.
故选：C
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等差数列前
项和公式和通项公式即可求解.
【详解】由题意得
，解得
，
，
故选：C.
3．（2023·河南·统考模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．15
B．30
C．45
D．60
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质求出
，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.
【详解】由题意得
，所以
，
所以
.
故选：C.
4．（2023 下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设
，
分别是两个等差数列
，
的前n 项和．若对
一切正整数n，
恒成立，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知和等差数列的性质，可得
.
【详解】由等差数列的性质，可得
.
故选：B
5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）等差数列
的公差为
，前
项为
，若数列
的
最大项是第20 项和第21 项，则
（ ）
A．18
B．20
C．22
D．24
【答案】C
【分析】直接利用等差数列的性质，求得
，进而求得结果.
【详解】由数列
的最大项是第20 项和第21 项，可得
，
即
，解得
，即
，
因为等差数列
的公差为
，
所以
，解得
.
故选：C.
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知
为等比数列，
是它的前
项和．若
，且
与
的等差中项为
，则
等于（ ）
A．37
B．35
C．31
D．29
【答案】C
【分析】根据等差中项及等比数列的通项公式求出公比，利用等比数列求和公式得解.
【详解】
，
，
解得
，
与
的等差中项为
，解得
，
设等比数列
的公比为
，
则
，解得
，
，
，
故选：C．
1．（2023 上·江苏无锡·高三锡东高中校考阶段练习）各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，且
成等差数列，若
，则
（ ）
A．
或15
B．
或
C．15
D．
【答案】C
【分析】根据条件先求解出
的值，然后根据等比数列前
项和公式求解出结果.
【详解】设等比数列的公比为
，由题意可知
，
等比数列及性质
题型二
因为
成等差数列且
，
所以
，
所以
，解得
或
（舍），
所以
，
故选：C.
2．（2023 上·河南南阳·高三统考期中）已知正项数列
的前
项和为
，且
满足
，若
，
，则
（ ）
A．3
B．4
C．9
D．16
【答案】C
【分析】由题设易知数列
为等比数列，设公比，应用等比数列前n 项和公式求公比，进而求目标式的
值.
【详解】因为
，所以数列
为等比数列，设公比为
，
则
，得
，解得
（
舍去），
所以
．
故想：C
3．（2023 上·四川雅安·高三校联考期中）已知等比数列
满足
，则
（ ）
A．1
B．3
C．4
D．15
【答案】B
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.
【详解】设
的公比为
，
因为
，解得
，
所以
.
故选：B.
4．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．29
B．31
C．33
D．36
【答案】B
【分析】根据
，
可求出首项
，公比
，然后利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】因为数列
是等比数列，
，
所以
，即
，则
.
又因为
，故有
.
所以
，则
，
所有
，所有
，故B 项正确.
故选：B.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）设
为数列
的前n 项积，若
，
，且
，
当
取得最大值时，
（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】先求出等比数列的通项公式
，然后求出积
，整理后，结合指数函数性质、二次函数性质分析
得出结论.
【详解】由题易知，
，∵
，∴
，故
是公比为
的等比数列，
∵
，∴
，故
.∴
，
∴
，
要使
取得最大值，则
为偶数，且
取最小值，
由二次函数知识知，当
或9 时，
取最小值，只有
，使得
为偶数符合要求.
故选：B.
二、填空题
6．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列
的前
项和为
，若
成等比数列，
则
的最小值为 ．
【答案】
/12.5
【分析】根据给定的条件，利用等差数列性质求出
，再表示出
，并借助基本不等式求解即得.
【详解】由
成等比数列，得
，即
，则
，
而
，因此
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
取得最小值
.
故答案为：
1．（2023 上·天津·高三联考）已知
为数列
的前
项和，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，设数列
的前项和为
，若
，求
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)10
【分析】（1）根据数列递推式利用
之间的关系推出
，结合等比数列定义以及等比数列通项
公式即可求得答案；
（2）由（1）结果可得
的表达式，利用裂项法即可求得
表达式，解不等式即得答案.
【详解】（1）当
时，
，解得
，
又
，所以
所以
，即
，
又因为
，所以
，所以
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
；
（2）由（1）可得
，
数列求和
题型三
所以
，
因为
，即
，
所以
，因为
，所以
，
所以
的最小值为10.
2．（2023·河南新乡·统考一模）已知
是数列
的前
项和，
．
(1)若数列
为等差数列，求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用
可得出
，再利用相减法得
，
结合等差数列的条件可得其公差，从而求得
后得出通项公式；
（2）利用（1）中方法求得
，然后用裂项相消法求和．
【详解】（1）当
时，
，即
．
因为
，当
时，
，
两式相减得
，
所以
，两式相减得
．
因为数列
为等差数列，所以数列
的公差
，
又
，所以
，
则
，即数列
的通项公式为
．
（2）因为
，所以
，
由（1）可知
，所以
，
，
．
3．（2023 上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用
关系，构造数列
及等比数列定义写出
的通项公式；
（2）由（1）得
，讨论
、
求前n 项和
．
【详解】（1）当
，则
；
当
，则
，
所以
，而
，则
是首项、公比为2 的等比数列，
所以
，且
也满足，
综上，
.
（2）由（1）得
，
当
时，
，
当
时，
.
所以
.
4．（2023 上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知数列
是公差为1 的等差数列，且
，
数列
是等比数列，且
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据等差等比数列的公式法求得通项；
（2）先求解
，根据并项求和法得出结果.
【详解】（1）由题可知数列
是公差为1 的等差数列，且
，
则
，解得
，
所以
，
设等比数列
的公比为
，且
，
则
解得
，
所以
，
所以
和
的通项公式为
.
（2）由（1）得为
，则
，
所以数列
的前
项和
.
5．（2023 上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列
的前
项和是
，且
.
(1)证明：
是等比数列.
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）先对
进行化简构造出
，并结合等比数列定义可求解；
（2）根据（1）求出
，然后构造关于
的方程组并利用错位相减法可求解.
【详解】（1）证明：当
时，
，得：
；
当
时，得：
，
将两式相减得：
，得：
，
所以得：当
时，
是等比数列，通项公式为：
，
当
，
也符合，
故可证：数列
为等比数列.
（2）由（1）得：
，则得：
，
则：
①
②
-
①②得：
，
化简得：
.
所以：数列
的前
项和：
.
6．（2023 上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设
是数列
的前
项和，已知
(1)求
，并证明：
是等比数列；
(2)求满足
的所有正整数
.
【答案】(1)
，证明见解析
(2)1，2
【分析】（1）利用
代入计算即可求得
，由等比数列定义可求得
，即可得
出证明；
（2）利用数列分组求和可得出
，再利用二次函数及指数函数单调性即可求
得结果.
【详解】（1）由
可得
，
所以
，
可得
；
由已知得
，
所以
，
其中
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）知
，
所以
，
所以
，
所以
，
由二次函数及指数函数性质可知当
时，
单调递减，
其中
，
所以满足
的所有正整数
为1，2.
1．（2024·四川自贡·统考一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些
新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差
或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，
其前项分别为
，则该数列的第项（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据“高阶等差数列”的定义求得第项.
【详解】
，
数列情境题
题型四
设
，
，
设
，
所以
，所以
是首项为
，公差为
的等差数列，
所以
，即
，
所以
.
故选：D
2．（2023 下·湖南·高二校联考期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，
即一个数列
本身不是等差数列，但从
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列
为一阶等差数列），或者
仍旧不是等差数列，但从
数列中的第二项开始，每
一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列
为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数
列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列
：1，1，3，27，729…是一阶等比
数列，则
的值为（参考公式：
）（ ）
A．60
B．120
C．240
D．480
【答案】B
【分析】设
，则由题意可知
为等比数列，其中
，
，从而可求出
，利用累
乘法可求出
，从而可求出
，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为
，且为一阶等比数列，
设
，所以
为等比数列，其中
，
，公比为
，所以
，
则
，
，
所以
，
，
因为
，
，也适合上式，所以
，
所以
.
故选：B.
3．（2023 上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17 到19 世纪间，数学家们研究了用连分式求解代
数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程
改写成
①，将
再代入等式右边得到
，继续利用①式将
再代入等式右边得到
……反复进行，取
时，由此得到数列，
，
，
，
，记作
，则当
足够大
时，
逼近实数
．数列
的前2024 项中，满足
的
的个数为（参考数据：
）
A．1007
B．1009
C．2014
D．2018
【答案】D
【分析】作差讨论
的符号与
的关系，结合
可得
，
，然后
讨论奇数项和偶数项的单调性，再验证前8 项哪些满足题意，结合单调性即可解答.
【详解】由题，
，
且前8 项为1，2，
，
，
，
，
，
，
，
所以当
时，
；
当
时，
．
又
，所以
，
.
因为
，
其中
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
，
又因为
，
所以不满足
的分别为
，
，
，
，
，
，
.
故选：D．
【点睛】本题难点在于作差讨论
的符号与
的关系，从而得到
，
，这
对学生的思维能力有很高的要求，不易想到，但结合本题目标分析，似乎又是理所当然.
4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、
《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，
还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n 项和为
，且
，
的
等比数列
为例，先画出直线OQ：
，并确定x 轴上一点
，过点
作y 轴的平行线，交直
线OQ 于点
，则
．再过点
作平行于x 轴，长度等于
的线段
，……，不断重复上述步
骤，可以得到点列
，
和
．下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．点
的坐标为
D．
【答案】D
【分析】根据题设描述，确定题图中相关线段的数量关系，结合直线斜率定义、等比数列前n 项和判断各
项的正误即可.
【详解】选项A，由题设及图象知：
，故正确；
选项B，因为
表示直线OQ:
斜率，即为q，故正确；
选项C，点
的横坐标为
，故正确；
选项D，由
，
而
，
，则
，
又△
为等腰直角三角形，即
，
综上，
，故错误．
故选：D
5．（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产
保护项目，至今已有500 多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，
好看又壮观.小明同学在研究数列
时，发现其递推公式
就可以利用“叠罗汉”的
思想来处理，即
，如果该数列
的前两项分别为
，其前
项和
记为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，得
，将
中每一项逐一拆解，即可求解.
【详解】解：由
得，
所以
，
.故选：D.
一、单选题
1．（2023·全国·Ⅰ卷）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
2．（2022·全国·统考高考乙卷）已知等比数列
的前3 项和为168，
，则
（ ）
A．14
B．12
C．6
D．3
【答案】D
【分析】设等比数列
的公比为
，易得
，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通
项即可得解.
【详解】解：设等比数列
的公比为
，
若
，则
，与题意矛盾，
所以
，
则
，解得
，
所以
.
故选：D.
3．（2021·全国·高考甲卷）记
为等比数列
的前n 项和.若
，
，则
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得
，
，
成等比数列，从而求出
，进一步求出答案.
【详解】∵
为等比数列
的前n 项和，
∴
，
，
成等比数列
∴
，
∴
，
∴
.
故选：A.
4．（2021·全国·统考高考甲卷）等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递增
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当
时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当
是递增数列时，必有
成立即可说
明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为
时，满足
，
但是
不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
二、填空题
5．（2022·全国·统考高考乙卷）记
为等差数列
的前n 项和．若
，则公差
．
【答案】2
【分析】转化条件为
，即可得解.
【详解】由
可得
，化简得
，
即
，解得
.
故答案为：2.
三、问解答
6．（2023·全国·统考高考Ⅰ卷）设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数
列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
，解得
，
，
又
，
，
即
，解得
或
（舍去），
.
（2）
为等差数列，
，即
，
，即
，解得
或
，
，
，
又
，由等差数列性质知，
，即
，
，即
，解得
或
（舍去）
当
时，
，解得
，与
矛盾，无解；
当
时，
，解得
.
综上，
.
7．（2023·全国·统考高考乙卷）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解
，进而可得结果；
（2）先求
，讨论
的符号去绝对值，结合
运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，
由题意可得
，即
，解得
，
所以
，
（2）因为
，
令
，解得
，且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
综上所述：
.
8．（2023·全国·统考高考甲卷）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
（2）因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
9．（2021·全国·统考高考Ⅰ卷）已知数列
满足
，
（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20 项和.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列
的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前
项和公式即可求得数列的前20 项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然
为偶数，则
，
所以
，即
，且
，
所以
是以2 为首项，3 为公差的等差数列，
于是
．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知
，所以
．
由
（
为奇数）及
（
为偶数）可知，
数列从第一项起，
若
为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若
为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以
，则
．
[方法三]：累加法
由题意知数列
满足
．
所以
，
，
则
．
所以
，数列
的通项公式
．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列
满足
，
所以
．
所以数列
的奇数项是以1 为首项，3 为公差的等差数列；
同理，由
知数列
的偶数项是以2 为首项，3 为公差的等差数列．
从而数列
的前20 项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论
的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列
的通项公式，然后累加求数列
的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前
项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前
项和公式和分组的方法进行求和是一
种不错的选择.
10．（2021·全国·统考高考真题）记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值．
【答案】(1)
；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得
的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：
，则：
，
设等差数列的公差为
，从而有：
，
，
从而：
，由于公差不为零，故：
，
数列的通项公式为：
.
(2)由数列的通项公式可得：
，则：
，
则不等式
即：
，整理可得：
，
解得：
或
，又
为正整数，故
的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
11．（2021·全国·Ⅱ卷）记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【分析】（1）依题意可得
，根据
，作差即可得到
，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出
，即可得到
的通项公式与前
项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为
，即
①，
当
时，
②，
①
②得，
，
即
，
即
，所以
，
且
，
所以
是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
所以
，所以
，
所以，当
或
时，
．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
所以
，即有
.
则当
或
时，
．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出
的最小值，适用于可以求出
的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
12．（2021·全国·统考高考乙卷）设
是首项为1 的等比数列，数列
满足
．已知
，
，
成等差数列．
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n 项和．证明：
．
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及
得到
，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出
，再作差比较即可.
【详解】（1）因为
是首项为1 的等比数列且
，
，
成等差数列，
所以
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设
， ⑧
则
． ⑨
由⑧-⑨得
．
所以
．
因此
．
故
．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得
，
，①
，②
①
②得
，
所以
，
所以
，
所以
.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知
，令
，且
，即
，
通过等式左右两边系数比对易得
，所以
．
则
，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设
，
由于
，
则
．
又
，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得
,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造
，使
，求得
的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
13．（2021·全国·统考高考乙卷）记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
（1）证明：数列
是等差数列;
（2）求
的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【分析】（1）由已知
得
,且
，取
,得
,由题意得
,消积得到项的递推关系
,进而证明数列
是等差数列;
（2）由（1）可得
的表达式,由此得到
的表达式,然后利用和与项的关系求得
.
【详解】（1）[方法一]：
由已知
得
,且
，
,
取
,由
得
,
由于
为数列
的前n 项积，
所以
,
所以
，
所以
,
由于
所以
，即
,其中
所以数列
是以
为首项，以
为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知
①
于是
． ②
由①②得
． ③
又
， ④
由③④得
．
令
，由
，得
．
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．
[方法三]：
由
，得
，且
，
，
．
又因为
，所以
，所以
．
在
中，当
时，
．
故数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知
，得
，
，
，
，猜想数列
是以
为首项，
为公差的等
差数列，且
．
下面用数学归纳法证明．
当
时显然成立．
假设当
时成立，即
．
那么当
时，
．
综上，猜想对任意的
都成立．
即数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，
,
,
当n=1 时，
,
当n≥2 时,
,显然对于n=1 不成立,
∴
.
【整体点评】（1）方法一从
得
，然后利用
的定义，得到数列
的递推关系，进
而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从
的定义，替换相除得到
，再结合
得到
，从而证得结论，为最优
解；
方法三由
，得
，由
的定义得
，进而作差证得结论；方法四利用
归纳猜想得到数列
，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到
，求得
的表达式,然后利用和与项的关系求得
的通项公式；
14．（2021·全国·统考高考甲卷）已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，从下面①②③
中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出
，结合
的关系求出
，利用
是等差数列可证
；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证
明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出
，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出
，结合
的关系求出
，根据
可求
，然后可证
是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+
与
关系式
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，
，故
.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列
的公差为d，等差数列
的公差为
，
则
，将
代入
，
化简得
对于
恒成立．
则有
，解得
．所以
．
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
因为
，
所以
是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差数列；
当
时，
，
不合题意，舍去.
综上可知
为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为
，所以
，
，因为
也为等差数列，所以公差
，所以
，故
，当
时，
，当
时，满足上式，故
的通项公式为
，所
以
，
，符合题意.
