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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题06 基本初等函数第二缉
1．【2019 年重庆预赛】函数f (x)=(❑√1+ x + ❑√1- x -3)(❑√1- x
2+1)的最小值为m，最大值为M，则M
m =
________.
【答案】 3- ❑√2
2
【解析】设t = ❑√1+ x + ❑√1- x,则t ≥0且t
2=2+2
❑√1- x
2，∴t ∈[❑√2,2].
f (x)=(t -3)· t
2
2
，令g(t )= 1
2 t
2(t -3)，t ∈[❑√2,2].
令g
' (t )=0得t =2，g(❑√2)= ❑√2-3，g(2)=-2，
∴M = g(t )max= ❑√2-3，m= g(t )min=-2，∴M
m = 3- ❑√2
2
.
2 ．【2019 年重庆预赛】设f ( x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，对任意x>0有f ( x)>- 4
x
，
f (f ( x)+ 4
x )=3，则f (8)= .
【答案】7
2
【解析】由题意存在x0>0使f ( x0)=3。又因f ( x)是(0,+∞)上的单调函数，这样的x0>0是唯一的，再由
f (f ( x0)+ 4
x0
)=3得x0= f ( x0)+ 4
x0
=3+ 4
x0
解得x0= 4或x0=-1（舍）。所以f ( x)= 4 - 4
x
，f (8)= 4 - 4
8 = 7
2
。
3．【2019 年北京预赛】函数f (x)满足f (1)=1,且f (n)= f (n-1)+
1
n(n-1),其中n≥2,n∈N +,那么f (2019)
=
.
【答案】4037
2019
.
【解析】因为f (n)- f (n-1)=
1
n(n-1) =
1
n-1 - 1
n,所以
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f (2)- f (1)=1- 1
2
,
f (3)- f (2)= 1
2 - 1
3
,
f (4)- f (3)= 1
3 - 1
4
,
⋯⋯
f (2018)- f (2017)=
1
2017 -
1
2018
,
f (2019)- f (2018)=
1
2018 -
1
2019
,
将以上各式等号两边分别相加得f (2019)- f (1)=1-
1
2019
,进而有
f (2019)=2-
1
2019 =1 2018
2019
.
4．【2019 年福建预赛】函数f ( x)=
❑√2 x - x
2+ x的值域为
.
【答案】[0,❑√2+1]
【解析】解法一:f ( x)=
❑√1-( x -1)
2+ x.
设x -1=sin α (- π
2 ≤α ≤π
2)
，则f ( x)=cosα +(1+sin α )= ❑√2sin(α + π
4)+1.
由- π
2 ≤α ≤π
2
，得- π
4 ≤α + π
4 ≤3 π
4 , -
❑√2
2 ≤sin(α + π
4)≤1.
∴f(x)值域为[0,❑√2+1].
解法二:f
'( x)=
2-2 x
2
❑√2 x - x
2 +1=
1- x
❑√2 x - x
2 +1 (0< x<2).
∵0< x<1+
❑√2
2
时，f
'( x)>0;1+
❑√2
2 < x<2时，f
'( x)<0.
∴f(x)在区间[0,1+
❑√2
2 ]
上为增函数，在区间[1+
❑√2
2 ,2]
上为减函数.
∴f(x)值域为[0,❑√2+1].
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5．【2019 年福建预赛】已知f ( x)= x
3+a x
2+bx +2的图象关于点(2，0)对称，则f(1)=
.
【答案】4
【解析】解法一:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知：
f ( x +2)=( x +2)
3+a( x +2)
2+b( x +2)+2= x
3+(a+6)x
2+(b+ 4 a+12)x + 4 a+2b+10为奇函数.
∴¿
∴f (1)=1+a+b+2=1-6+7+2= 4.
解法二:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知
对任意x∈R，f(2+x)+f(2-x)=0
于是，对任意x∈R，(2+ x)
3+a(2+ x)
2+b(2+ x)+2+(2- x)
3+a(2- x)
2+b(2- x)+2=0.
即(2a+12)x
2+(8a+2b+20)=0恒成立.
∴¿.
∴f (1)=1+a+b+2=1-6+7+2= 4.
解法三:依题意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2).
利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5.
于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f(1)=-1-(-5)=4.
6．【2019 年福建预赛】已知f ( x)= x
5-10 x
3+a x
2+bx +c，若方程f(x)=0 的根均为实数，m 为这5 个实
根中最大的根，则m 的最大值为
.
【答案】4
【解析】设f(x)=0 的5 个实根为x1≤x2≤x3≤x4≤m，则由韦达定理，得m+ x1+ x2+ x3+ x4=0.
m(x1+ x2+ x3+ x4)+(x1 x2+ x1 x3+ x1 x4+ x2 x3+ x2 x4+ x3 x4)=-10.
于是，x1 x2+ x1 x3+ x1 x4+ x2 x3+ x2 x4+ x3 x4=-10+m
2.
∴x1
2+ x2
2+ x3
2+ x4
2 =(x1+ x2+ x3+ x4)
2-2(x1 x2+ x1 x3+ x1 x4+ x2 x3+ x2 x4+ x3 x4)
=m
2-2(-10+m
2)=20-m
2.
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另一方面，由柯西不等式，知(x1+ x2+ x3+ x4)
2≤4(x1
2+ x2
2+ x3
2+ x4
2)
于是，m
2≤4(20-m
2),m
2≤16,m≤4.
又对f ( x)=( x - 4)( x +1)
4= x
5-10 x
3-20 x
2-15 x - 4，方程f(x)=0 的根均为实数，且5 个实根中最大的
根m=4.
∴m 的最大值为4.
7．【2019 年广西预赛】已知xyz+y+z=12,则log4 x + log2 y + log2 z的最大值为
.
【答案】3
【解析】log4 x + log2 y + log2 z
= log2 x
2
+ log2 y + log2 z = log2( xyz⋅y ⋅z)
2
⩽
log2(
xyz + y + z
3
)
3
2
=3
.
当xyz=y=z=4 取到等号.
8．【2019 年贵州预赛】已知方程x
5- x
2+5=0的五个根分别为x1, x2, x3, x4, x5
,f(x)=x2+1.则∏
i=1
s
❑f (xi)=
.
【答案】37
【解析】设g( x)= x
5- x
2+5,则g( x)=∏
k =1
5
(x - xk)
,又f(x)=x2+1=(x-i)(x+i),
所以∏
i=1
5
❑f (xk)=∏
i=1
5
(xk -i)⋅∏
i=1
5
(xk +i)= g(i)⋅g(-i)
=(i
5-i
2+5)⋅[(-i)
5-(-i)
2+5]=(6+i)(6-i)=37.
9．【2019 年吉林预赛】已知函数f(x)=-x2+x+m+2,若关于x 的不等式f ( x)≥| x|的解集中有且仅有1 个整
数,则实数m 的取值范围为
.
【答案】[-2,-1)
【解析】f ( x)≥| x|⇔2-| x|≥x
2- x -m.
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令g( x)=2-| x |,h( x)= x
2- x -m.
在同一直角坐标系内作出两个函数的图象,
由图象可知,整数解为x=0,故¿.
解得-2≤m<-1.
10．【2019 年吉林预赛】已知函数f ( x)=a+ x -b
x的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z ),其中常数a、b 满足条件
2019
a=2020, 2020
b=2019,则n 的值为
.
【答案】-1
【解析】因为2019
°=2020,2020
b=2019,所以1<a<2,0<b<1,故函数f(x)在R 上为増函数,又
f (0)=a-1>0, f (-1)=a-1- 1
b <a-1-1<0,故由零点定理可知,函数f(x)在区间(1,0)有唯ー的零点,则n
的值是-1.
11．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】已知正实数a 满足a
a=(9a)
8a，则loga(3a)的值为
.
【答案】9
16
【解析】由条件知9a=a
1
8，故3a= ❑√9a⋅a=a
9
16，所以loga(3a)= 9
16
.
12．【2018 年山西预赛】函数y =
❑√1- x
2
2+ x
的值域为________.
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【答案】[0,
❑√3
3 ]
【解析】
由条件知x∈[-1,1].
令x =cosα (α ∈[0,π ]).则
y =
sin α
2+cosα
( y ≥0)，
⇒2 y =sin α - y cosα =
❑√1+ y
2sin (α +θ)≤
❑√1+ y
2，
⇒1+ y
2≥4 y
2⇒y
2≤1
3
，
因为y ≥0，所以，y ∈[0,
❑√3
3 ]
.
13．【2018 年福建预赛】函数f ( x)=[log3(
1
3
❑√x)]⋅[log❑√3(3 x
2)]的最小值为________.
【答案】- 25
8
【解析】
设log3x=t，则log3(
1
3
❑√x)=-1+ 1
2 t ，log❑√3(3 x
2)= log3(3 x
2)
log3
❑√3 =2(1+2t ).
∴f ( x)= g(t )=(-1+ 1
2 t)⋅2(1+2t )=2t
2-3t -2=2(t - 3
4)
2
- 25
8
.
∴当t = 3
4 ，log3 x = 3
4 ，x =3
3
4时，f(x)取最小值- 25
8
.
14．【2018 年福建预赛】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4 在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a
的取值范围为________.
【答案】[1，2]
【解析】
∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在区间[a－2，a2]上的值域为[－4，0]，f(x)的图
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像为开口向上的拋物线.
∴¿，解得－1≤a≤0 或1≤a≤2.结合a>0，得1≤a≤2.
∴a 的取值范围为[1，2].
15．【2018 年江苏预赛】设g(n)=∑
k =1
n
(k ,n)，期中n∈N
*，(k ,n)表示k 与n的最大公约数，则
g(100)的值为________.
【答案】520
【解析】
如果(m,n)=1，则g(mn)= g(m)g(n)，所以g(100)= g(4)g(25).
又g(4)=1+2+1+ 4 =8. g(25)=5×4 +25+(25-5)=65，
所以g(100)=8×65=520.
故答案为：520
16．【2018 年贵州预赛】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以
下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳
选手是_______．
【答案】牛得亨先生的女儿
【解析】
由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最
佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年
龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得
亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．
因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同
胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿．
故答案为：牛得亨先生的女儿
17．【2018 年贵州预赛】函数 z =
❑√2 x
2-2 x +1+
❑√2 x
2-10 x +13
的最小值是______．
【答案】❑√10
【解析】
因为z =
❑√2 x
2-2 x +1+
❑√2 x
2-10 x +13=
❑√( x -0)
2+( x -1)
2+
❑√( x -2)
2+( x -3)
2
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此即为直线y=x 上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z 的最小值应为
点（1，0）到点（2，3）的距离❑√10．
故答案为：❑√10
18．【2018 年贵州预赛】若方程ax>x（a>0，a≠1）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_______．
【答案】1<a<e
1
e
【解析】
由ax>x 知x>0 ，故x⋅ln a- ln x =0⇒ln a= ln x
x ，令f ( x)= ln x
x （x>0 ），则f
'( x)= 1- ln x
x
2
．当
x∈(0，e)时，f
'( x)>0；当x∈(e，+ ∞)时，f
'( x)<0．所以f ( x)在(0，e)上递增，在(e，+∞)上递减．
故0<ln a<f (e)= 1
e
，即1<a<e
1
e．
故答案为：1<a<e
1
e
19．【2018 年浙江预赛】已知a 为正实数，且f ( x)= 1
a -
1
a
x+1
是奇函数，则f ( x)的值域为________.
【答案】(- 1
2 ，1
2)
【解析】
由f ( x)为奇函数可知1
a -
1
a
x+1
=- 1
a +
1
a
- x+1
，解得a= 2，即f ( x)= 1
2 -
1
2
x+1
，
由此得f ( x)的值域为(- 1
2 ，1
2)
.
20．【2018 年北京预赛】已知实数a,b,c ,d满足5
a= 4 ,4
b=3,3
c =2,2
d =5
，则(abcd)
2018=________.
【答案】1
【解析】
化5
a= 4 ,4
b=3,3
c =2,2
d =5为
对
数
，
有
a= log54 = ln 4
ln5 ,b= ln3
ln 4 ,c = ln 2
ln3 ,d = ln5
ln 2
，
所
以
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(abcd)
2018=(
ln 4
ln5 × ln3
ln 4 × ln 2
ln3 × ln5
ln 2)
2018
=1
2018=1.
21．【2018 年北京预赛】已知函数f (x)满足f(x + 1
x)= x
2+ 1
x
2
，那么f (x)的值域为_______.
【答案】[2,+∞)
【解析】
设函数y = f (x)满足f(t + 1
t)=t
2+ 1
t
2 ，¿，
y =t
2+ 1
t
2 =(t + 1
t)
2
-2= x
2-2. 所以所求函数是f (x)= x
2-2(|x|≥2)，其图像如图，易知
f (x)= x
2-2(|x|≥2)的值域是[2,+ ∞).
22．【2018 年湖南预赛】函数f ( x)=
❑√4 - x
2+ ln(2 x -1)的定义城为_________.
【答案】[-2, 1
2 )
【解析】
由¿ 得-2≤x< 1
2
，所以函数f ( x)=
❑√4 - x
2+ ln(2 x -1)的定义城为[-2, 1
2 ).
故答案为[-2, 1
2 )
23．【2018 年湖南预赛】已知函数f ( x)对任意的实数满足：f ( x +6)= f ( x)，且当-3≤x<-1时，
f ( x)=-( x +2)
2，当-1≤x<3时，f ( x)= x，则y = f ( x)象与y =lg|
1
x|
的图象的交点个数为___________。
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【答案】10
【解析】
由题意知，f（x）=¿且周期是6，y =lg|
1
x|=¿，且此函数是偶函数，
在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：
由图可得，两个函数图象的交点个数是10 个．
24 ．【2018 年陕西预赛】已知函数f (x)= x + 4
x -1，若存在x1, x2,…，xn∈[
1
4 ,4]
，使得
f (x1)+ f (x2)+…+ f (xn-1)= f (xn)，则正整数n的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得f (x)= x + 4
x -1∈[3,15 1
4]
.故n尽可能大时的情形为3+3+3+3+3 1
4 =15 1
4
，此时n=6.
25 ．【2018 年陕西预赛】已知函数f (x)= x + 4
x -1，若存在x1, x2,…，xn∈[
1
4 ,4]
，使得
f (x1)+ f (x2)+…+ f (xn-1)= f (xn)，则正整数n的最大值是________.
【答案】6
【解析】
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由题意得f (x)= x + 4
x -1∈[3,15 1
4]
.故n尽可能大时的情形为3+3+3+3+3 1
4 =15 1
4
，此时n=6.
26 ．【2018 年陕西预赛】已知函数f (x)= x + 4
x -1，若存在x1, x2,…，xn∈[
1
4 ,4]
，使得
f (x1)+ f (x2)+…+ f (xn-1)= f (xn)，则正整数n的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得f (x)= x + 4
x -1∈[3,15 1
4]
.故n尽可能大时的情形为3+3+3+3+3 1
4 =15 1
4
，此时n=6.
27．【2018 年广东预赛】函数f (x)= 1+ae
- x
1+e
- x (a≠1)的值域为_____________.
【答案】当a>1时，f (x)的值域为（1,a）；当a<1时，f (x)的值域为（a,1）.
【解析】
f (x)=1+ a-1
e
x+1
，因为0<
1
e
x+1
<1，所以当a>1时，1<1+ a-1
e
x+1
<a，f (x)的值域为（1,a）；当a<1时，
a<1+ a-1
e
x+1
<1，f (x)的值域为（a,1）.
故答案为：当a>1时，f (x)的值域为（1,a）；当a<1时，f (x)的值域为（a,1）.
28．【2018 年广东预赛】已知方程x e
-2 x+ k =0在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k 的取值范围是
__________.
【答案】(- 1
2e ,- 2
e
4)
【解析】
记f (x)= x e
-2 x+ k，令f ' (x)=(1-2 x)e
-2 x =0，得x = 1
2
.
当x< 1
2
时，f ' (x)>0，f (x)在（-∞, 1
2
）上为增函数.当x> 1
2
时，f ' (x)<0，f (x)在（1
2 ,+∞）上为减函
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数.所以f (x)在点x = 1
2
处取得最大值f(
1
2)= 1
2e +k，
当且仅当f(
1
2)= 1
2e +k >0，f (-2)=-2e
4+k <0，f (2)=2e
- 4+ k <0时，x e
-2 x+ k =0在区间（-2，2）
内恰有两个实根，故k 的取值范围是(- 1
2e ,- 2
e
4)
.
故答案为：(- 1
2e ,- 2
e
4)
29．【2018 年贵州预赛】方程组¿的实数解为___________.
【答案】¿
【解析】
因为¿，所以(x + y)
3= x
3+ y
3+3 xy (x + y)=26-18=8，
即x + y =2，代入xy (x + y)=-6，得xy =-3.
由¿.
30．【2018 年贵州预赛】若方程a
x= x (a>0,a≠1)有两个不等实根，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】1<a<e
1
e
【解析】
由a
x = x知x＞0，故x⋅ln a- ln x =0⇒ln a= ln x
x
.
令f (x)= ln x
x
(x>0)，则f ' (x)= 1- ln x
x
2
.
当x∈(0,e)时，f ' (x)>0；当x∈(e ,+∞)时，f ' (x)<0.
所以f (x)在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减.
故0<ln a<f (e)= 1
e
，即1<a<e
1
e.
31．【2018 年安徽预赛】设点P、Q 分别在函数y =2
x和y = log2 x的图象上，则|PQ|的最小值
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=_________.
【答案】1+ ln (ln 2)
ln 2
❑√2
【解析】
设P（a,2
a），Q（b,log2b）使|PQ|最小.由y =2
x与y = log2 x互为反函数，知点P、Q 处的切线斜率都
是1，直线PQ 的斜率都是-1.故2
a=b= 1
ln 2 ，|PQ|=|a-b|❑√2= 1+ ln (ln 2)
ln 2
❑√2.
故答案为：1+ ln (ln 2)
ln 2
❑√2
32．【2018 年山东预赛】对任意的实数a、b，max {|a+b|,|a-b|,|1-b|}的最小值为______．
【答案】1
2
【解析】
设x =max {|a+b|,|a-b|,|1-b|}≥0，
则¿
①＋②＋③得- 4 x ≤2≤4 x．解得x ≥1
2
．
又当a+b= 1
2 ，b-a= 1
2 ，1-b= 1
2
时，有解a=0，b= 1
2
．
故当a=0，b= 1
2
时，x取到最小值1
2
．
33．【2018 年山东预赛】已知a，b∈Z，且a+b为方程x
2+ax +b=0的一个根，则b的最大可能值为
______．
【答案】9
【解析】
由题设(a+b)
2+a(a+b)+b=0，则2a
2+3ab+b
2+b=0．
因为a，b∈Z，则Δ=9b
2-8(b
2+b)=b
2-8b必为完全平方数．
设b
2-8b=m
2(m∈N )，则(b- 4)
2-m
2=16，(b- 4+m)(b- 4 -m)=16．
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所以¿．
解得b=9，8，-1,0．所以b的最大可能值为9.
34．【2018 年山东预赛】设f (n)为最接近4√n的整数，则∑
k =1
2018
1
f (k ) =______．
【答案】2823
7
【解析】
设f (k )=m，则|
4√k -m|< 1
2
，即(m- 1
2)
4
<k <(m+ 1
2)
4．
而(m+ 1
2)
4
-(m- 1
2)
4
= 4 m
3+m，因此满足f (k )=m 的k 有m(4 m
2+1)个．
注意到6
4<2018<7
4，从而f (2018)=6或7．
由于∑
m=1
6
m(4 m
2+1)=1785，所以f (1786)= f (1787)=⋯= f (2018)=7．
因此∑
k =1
2018
1
f (k ) =∑
m=1
6
(4 m
2+1)+ 2018-1785
7
= 2823
7
．
35．【2018 年湖北预赛】设f (x)是定义在(0,+ ∞)上的单调函数，若对任意的x∈(0,+∞)，都有
f [f (x)-2log2 x]= 4，则不等式f (x)<6的解集为______.
【答案】¿
【解析】
由题设，存在正常数c，使得f (c)= 4，且对任意的x∈(0,+∞)，有f (x)-2log2 x =c.
当x =c时，有f (c)=2log2c +c = 4，由单调性知此方程只有唯一解c =2.所以f (x)=2log2 x +2.不等式
f (x)<6，即2log2 x +2<6，解得0< x<4.故不等式的解集为¿.
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