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资料来源：微信公众号 智慧学库
专题04 恒成立与存在性求参（选填题6 种考法）
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考法一 一元二次不等式在R
【例1-1】（2023·青海西宁·统考二模）已知命题
：
，
，若p 为假命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为命题
：
，
，所以
：
，
，
又因为
为假命题，所以
为真命题，即
，
恒成立，
所以
，即
，解得
，故选：D．
【例1-2】（2023·四川·校联考模拟预测）“
”是“
，
是假命题”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，命题“
，
是假命题”
可得命题“
，
是真命题”
当
时，即
时，不等式
恒成立；
当
时，即
时，则满足
，解得
，
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综上可得，实数
，
即命题“
，
是假命题”时，实数
的取值范围是
，
又由“
”是“
”的必要不充分条件，
所以“
”是“
，
是假命题”的必要不充分条件，
故选：B.
【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知命题
，使得“
成立”为真命题，则实
数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为命题
，使得“
成立”为真命题，
当
时，
，则
，故成立；
当
时，
，解得：
；
当
时，总存在
；
综上所述：实数a 的取值范围为
.
故答案为：
【变式】
1．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“
，使
”是假命
题，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：命题：
，
.是真命题，
①当
时，结论显然成立；
②当
时，则
，解得
；
故答案为：
.
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2．（2023 秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式
对任意实数
均成立，则
实数
的取值范围是
【答案】
【解析】因为不等式
对任意实数
均成立，
即不等式
对任意实数
均成立，
当
，即
时，有
恒成立，满足题意；
当
，即
时，则有
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
.故选：B.
3．（2023·广东潮州）若命题：“
，使
”是真命题，则实数m 的取值范
围为 ．
【答案】
【解析】当
时，易得m=1 时命题成立；
当
时，
当
时，则命题等价于
，
故答案为：
考法二 一元二次不等式在某区间
【例2-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“
，
”为
真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为命题“
，
”为真命题，
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所以，命题“
，
”为真命题，
所以，
时，
，
因为，
，
所以，当
时，
，当且仅当
时取得等号.
所以，
时，
，即实数
的取值范围是
故选：C
【例2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“
，使
成
立”的否定是真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若“
，使
成立”的否定是：
“
，使
”为真命题，即
；令
，
由
，得
，所以
，所以
，故选：C.
【例2-3】（2023·辽宁大连）（多选）已知p：
，
，则使p 为真命题的一个必要不
充分条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
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【解析】令
，则
的图象开口向上，
若
，
，则
，解得
，
对于A，当
时，
成立，而
时，
不一定成立，
所以
是p 为真命题的一个必要不充分条件，所以A 正确，
对于B，
是p 为真命题的充要条件，所以B 错误，
对于C，当
时，
成立，当
时，
不一定成立，
所以
是p 为真命题的一个必要不充分条件，所以C 正确，
对于D，当
时，
不一定成立，当
时，
成立，
所以
是p 为真命题的一个充分不必要条件，所以D 错误，
故选：AC
【例2-4】（2023 秋·湖北宜昌）若
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为不等式
（
），
所以
或
（
），
①当
时，
，
所以不等式
的解集为
，
所以原不等式不可能对一切
恒成立，故
不符合题意；
②当
时，
，
所以不等式
的解集为
或
，
又因为原不等式对一切
恒成立，
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所以
，解得
，
③当
时，
，
所以不等式
的解集为
或
，
又因为原不等式对一切
恒成立，
所以
，解得
，
综述，
.
故选：B.
【变式】
1．（2023 春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“
”是假命题，则
实数
的最大值为______．
【答案】
【解析】由题知命题的否定“
”是真命题．令
，则
解得
，故实数
的最大值为
故答案为：
3．（2022 秋·北京·高三统考阶段练习）若存在
，有
成立，则实数a 的取值范
围是__________.
【答案】
【解析】将原不等式参数分离可得
，设
，
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已知存在
，有
成立，则
，
令
，则
，
，
由对勾函数知
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
所以
，即
，
故答案为：
.
2．（2022 秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若
时，
恒
成立，则a 的取值范围为______.
【答案】
【解析】解法1：
时，
恒成立，
即
恒成立，即
恒成立.
令
（
），则
，
，
当且仅当
，即
，等号成立，
故
，即a 的取值范围为
.
解法2：令
，
则由题意知，
，在
时恒成立，即
时，
.
①当
，即
时，
在
单调递增，
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此时，
成立，
所以，
恒成立；
②当
，即
时，
在
上单调递减，
在
单调递增，所以
，
此时只需，
即可，即
解得，
，∴
，
综上所述，a 的取值范围为
.
故答案为：
.
3．（2023·全国·高三对口高考）
对于
总有
成立，则实数a 的最小值为
．
【答案】4
【解析】由题意可得
，
当
时，
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，则
，不合题意；
当
时，
，
由于
，故
在
上恒成立，
仅当
时，等号成立，
则
在
上单调递减，则
，不合题意；
当
时，
，
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由于
，故
在
上单调递增，
在
上单调递减，
故令
，解得
，
故实数a 的最小值为4，故答案为：4
4．（2023 秋·安徽铜陵·高三统考阶段练习）若命题“
，使得
”是假命题，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意原命题的否定“
，使得
”是真命题，
不妨设
，其开口向上，对称轴方程为
，
则只需
在
上的最大值
即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当
即
时，
在
上单调递增，
此时有
，解得
，
故此时满足题意的实数
不存在；
情形二：当
即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时有
，只需
，
解不等式组得
，
故此时满足题意的实数
的范围为
；
情形三：当
即
时，
在
上单调递减，
此时有
，解得
，故此时满足题意的实数
不存在；
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综上所述：
的取值范围是
.故答案为：
.
考法三 单变量的恒成立或能成立
【例3-1】（2023·全国·高三对口高考）若存在负实数使得方程
成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得：
，
令
，因为
，
在
上均为增函数，
所以
在
为增函数，且
，
，
，
所以
，所以实数a 的取值范围是
.
故选：C.
【例3-2】（2023·江苏南通·三模）若“
”为假命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意知命题“
”为假命题，
则“
”为真命题，
所以
，则
，
解得
，所以
的取值范围为
.故选：A
【例3-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知命题
.若
为假命题，
则
的取值范围为 .
【答案】
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【解析】
为假命题
为真命题，故
，
令
，则
，
令
解得
，令
解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，所以
.
故答案为：
.
【例3-4】（2023 秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若不等式
对任意
成立，则实数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
对任意
成立，
不等式可变形为:
，即
，
即
对任意
成立，
记
，则
，所以
在
上单调递增，
则
可写为
，
根据
单调性可知，只需
对任意
成立即可，
即
成立，记
，即只需
，
因为
，故在
上，
，
单调递增，
在
上，
，
单调递减，所以
，
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所以只需
即可，解得
.故答案为:
【变式】
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）命题“
，使得
”为假命题，则a 的
取值范围为 .
【答案】
【解析】若“
，使得
”为假命题，
可得当
时，
恒成立，只需
.
又函数
在
上单调递增，所以
.
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则
；若对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】
,
对任意
，都有
成立，即
|，
画出函数
的图象，如图所示
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观察
的图象可知，当
时，函数
，
所以
，解得
或
，
∴实数k 的取值范围为
.答案：
；
.
3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“
，使得
成立．”为假命题，则实数
的最大
值为?
【答案】
【解析】由题意得知命题“
，
成立”.
（1）当
时，不等式
成立；
（2）当
时，由
，则
，
不等式两边取自然对数得
，可得
，
构造函数
，其中
，则
，
令
，得
，当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递减，则
，
所以
，因此实数
的最大值为
.
考法四 双变量的恒成立或能成立
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【例4-1】（2023·辽宁大连）已知
，若存在
，使对任意的
，
有
成立，则实数m 的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时,
.当
时,
.
若存在
，使对任意的
，有
成立,
等价于
,可得
，所以
.
故答案为：
【例4-2】（2023 秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）已知为自然对数的底数，若对任意的
，
总存在唯一的
，使得
成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
，得
，
令
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，函数值从
减小到0，
当
时，
，函数
在
上单调递增，函数值从0 增大到，
令
，显然函数
在
上单调递减，函数
的值域为
，
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由对任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，得
，
因此
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
【变式】
1．（2023 秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）已知
，
，
，使
成立.则a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设
，使
成立，
所以
在
上成立，
对于
，有
，
对于
，有
，
所以
，即
，可得
.故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知
，且对
都有
成立，则
实数
的范围为
【答案】
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【解析】由题意，函数
，
要使得
，即
，即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以函数
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，即
，即
，当且仅当
时，等号成立，
设
，则
在
上为增函数，
而
，
，故
在
上存在零点
，
故
，当且仅当
时等号成立，
即
，所以
，
即实数
的取值范围是
.
3（2023 秋·重庆·高三统考阶段练习）已知
，
，若对
，
使
成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】令
，则
，即
，
所以
（
为辅助角，
），
故
，即
，解得
.
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由题可知，
，
，即对
，
.
令
，令
，则
，
当
时，
的最小值为
，即
，
则
，即
，
故答案为：
考法五 等式恒成立或能成立
【例5-1】（2023 秋·福建三明·高三统考期末）已知函数
，
，设
为实数，若存在实数
，使得
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
．
令
，由于
且
，所以
或
，所以
的取值范围是
；
当
时，
，
的取值范围是
，
；
综上可得
的取值范围是
，
；
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要存在实数
，使得
成立，则函数
，
即
，即
，解得：
．故选：D
【例5-2】（2023 秋·江苏盐城·高三江苏省建湖高级中学校考阶段练习）已知函数
，
．若
，
，使得
成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设函数
在
上的值域为
，函数
在
上的值域为
，
因为若
，
，使得
成立，所以
，
因为
，
，所以
在
上的值域为
，
因为
，
当
时，
在
上单调递减，所以
在
上的值域为
，
因为
，所以
，解得
，又
，所以此时不符合题意，
当
时，
图像是将
下方的图像翻折到
轴上方，
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令
得
，即
，
①当
时，即
时，
在
，
上单调递减，
，
，所以
的值域
，
又
，所以
，解得
，
②当
时，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
或
，
所以
的值域
或
，又
，所以
或
，
当
时，解得
或
，又
，所以
，
当
时，解得
或
，又
，所以
，所以
的取值范围
．
③当
时，
时，
在
上单调递增，
所以
，
，所以
在
上的值域
，
又
，所以
，解得
，综上所述，
的取值范围为
.
故选：C
【变式】
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1．（2023 秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试）已知函数
的表达式为
，若对于任意
，都存在
，使得
成立，则实数
的取
值范围是 .
【答案】
【解析】
在
上单调递增，
当
时，
，
，
，
，即
，
故
是
值域的子集，故
，解得
.
故答案为：
.
2（2023 秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数
，若
，
，使得
成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设
在
上的值域为
，在
上的值域为
，
若
，
，使得
成立，则
.
1.当
时，则
，
可知
开口向下，对称轴为
，
则
在
上单调递增，可得
，
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所以
在
上的值域为
，所以
；
2.当
时，则
，
（1）若
，则
在
内单调递减，
且当x 趋近于0 时，
趋近于
，当x 趋近于
时，
趋近于
，
所以
，符合题意；
（2）若
，则
，即
，不合题意；
（3）若
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，可得
，
且当x 趋近于0 或
时，
均趋近于
，所以
，
又因为
，则
，
注意到
，即
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
考法六 更换主元
【例6】（2024 秋·吉林通化·高三校考阶段练习）若
，使得
成立，则实数
取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，使得
成立，
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则
，即
，
当
时，
成立，
当
时，令
，
在
上单调递增，
即
，则
，解得：
，
因为
，所以
，
当
时，令
，
在
上单调递减，
即
，则
，解得：
，
因为
，所以
，综上：实数
取值范围是
.故选：B.
【变式】
1．（2023 秋·广东珠海）若
，
为真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，
，
恒成立，
设函数
，
即
，
恒成立.
则
，即
，
解得
，或
.
故选：C.
2．（2023·北京）已知关于
的不等式
.若不等式对于
恒成立，求实数x 的取值
范围
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【答案】
【解析】由题知，
设
，
当
时，
恒成立.
当且仅当
，即
，
解得
且
，
或
且
，
则
.
所以
的取值范围是
.
一．单选题
7．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“
”为假命题，则命题成立的
充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为命题“
”为假命题，所以，对
，
恒成立，
当
时，
在
上恒成立，所以
满足条件，
当
时，令
，对称轴
，且
，所以，当
时，
恒成立，
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当
时，显然有
不恒成立，
故对
，
恒成立时，
，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
2（2023·重庆·统考模拟预测）命题“
”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若命题“
”是真命题，则
，
可知当
时，
取到最大值
，解得
，
所以命题“
”是真命题等价于“
”.
因为
，故“
”是“
”的必要不充分条件，故A 正确；
因为
，故“
”是“
”的充要条件，故B 错误；
因为
，故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 错误；
因为
与
不存在包含关系，故“
”是“
”的即不充分也不必要条件，故D 错
误；
故选：A.
3．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知
．若p 为假命题，
则a 的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】因为p 为假命题，所以
，
为真命题，
故当
时，
恒成立．
因为当
时，
的最小值为
，
所以
，即a 的取值范围为
．
故选：A.
4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）若“
，使
成立”是假命题，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若“
，使
成立”是假命题，则“
，使
成立”是真
命题，即
，
；
令
，则
，则
在
上单增，
，
则
.
故选：C.
5．（2023 秋·广西河池·高三校考开学考试）若命题“
，使得
成立”是假命题，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】命题“
，使得
成立”的否定为：
，
，
依题意，命题“
，
”为真命题，
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当
时，
，而
，
当且仅当
，即
时取等号，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
6．（2022 秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数
，若存在
，使得
有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若存在
，使得
有解，
由函数
，即
，即
在
有解，
设
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，函数
取得极大值，也为最大值
，即
，
所以
，即实数a 的取值范围是
.
故选：C.
7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量
、
满足
，
与
的夹角为
，若存在实数
，
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有解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对不等式
两边同时平方，
得
，即
，
因为
,
所以
，
整理得
有解，
所以
得
，
解得
，又因为
，所以
，
故选:C.
8．（2023·全国·模拟预测）已知
.若存在
，使不等式
有解，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
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，
若存在
，使不等式
有解，
则问题转化为在
上
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
解得：
或
即实数m 的取值范围为：
，
故选：B.
9．（2020·黑龙江绥化·统考模拟预测）已知函数
，存在
，使得不等式
有解，则实数m 的最小值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】
.
由
，得
，设
，则
，
当
时，
；当
时，
，从而
在
上递增，在
上递减，∴
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，
当
时，
，即
，
在
上，
，
.
递减；在
上，
，
，
递增，
，设
，
∴
，
，∴
在
上递减，
，∴m
的最小值为0.
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数
（其中为自然对数的底数），若存在
实数a 使得
恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
由
，得
，所以
，
令
，
由题意知，函数
和函数
的图象，一个在直线
上方，一个在直
下方，等价于一
个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由
，得
，
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所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
，
没有最小值，
由
，得
，
当
时，在
上
单调递增，
在
上
单调递减，
所以
有最大值，无最小值，不合题意，
当
时，在
上
单调递减，
在
上
单调递增，
所以
，
所以
即
，
所以
，即m 的取值范围为
．
故选：A．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若存在
，使得
)恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
存在
，使得
恒成立，
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是函数
的最小值点，
若
，当
时，
；当
时，
，此时不存在
，使得
，不合题意；
若
，
的对称轴为
，函数
在
，
上单调递增，
；
在
上，
，则
没有最小值，不符合题意；
若
，
的对称轴为
，函数
在
，
上
；
函数
在
上，
，要使存在
，使得
恒成立，
则
，即
，解得
或
，
又
，
，即实数
的取值范围是
，
．
故选：A．
12．（2023·安徽滁州）若存在实数
，对任意实数
，使不等式
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．m＜1
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，
时，不等式不可能对
恒成立，∴
．
作函数
和
的图象，如图，
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时，不等式对
不可能恒成立，
在
不全为0 时，对
，
的图象是一条线段，这条线段只能是
或在其下方（其中
），线段
的方程是
，
要使得原命题成立，只要函数
的图象在线段
下方即可，即
，
，
当
时，
，∴
．故选：D．
二、多选题
13．（2023·重庆九龙坡）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．则下列结
论正确的是（ ）
A．当
时，
B．函数
有四个零点
C．若关于
的方程
有解，则实数
的取值范围是
D．对
，
恒成立
【答案】AD
【解析】对于A 选项：当x＞0 时，﹣x＜0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x（﹣x+2）＝e﹣x（x﹣2），故A 正确；
对于B 选项：当x＜0 时，f（x）＝ex（x+2），令f（x）＝0⇒x＝﹣2，即小于0 的零点只有1 个，根据奇
函数对称性可知大于0 的零点也只有一个，
又因为f（x）是定义在R 上的奇函数，故0 也是函数f（x）的零点，于是函数f（x）的零点共有3 个，故B
不正确；
对于C 选项：当x＜0 时，f′（x）＝ex（x+3），
∴x＜﹣3 时，f′（x）＜0，﹣3＜x＜0 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，0）上单调递增，
∴x＝﹣3 时，f（x）取最小值﹣e﹣3，且x＜﹣3 时，f（x）＜0，
﹣3＜x＜0 时，f（x）＜2，即﹣e﹣3≤f（x）＜2；
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当x＞0 时，f′（x）＝e﹣x（3﹣x），
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
x＝3 时，f（x）取最大值e﹣3，且x＞3 时，f（x）＞0，
0＜x＜3 时，f（x）＞﹣2，∴﹣2＜f（x）≤e﹣3，且f（0）＝0，
∴﹣2＜f（x）＜2，∴f（x）的值域为（﹣2，2），故C 不正确；
对于D 选项：结合C 的结论可知∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜4，故D 正确．
故选：AD．
14．（2023·湖北武汉 ）定义在
上的函数
满足：
，
，则关于不等式
的表述正确的为（ ）
A．解集为
B．解集为
C．在
上有解
D．在
上恒成立
【答案】AC
【解析】令
，
，则
，
∵
，
∴
恒成立，即
在
上单调递增.
∵
，
∴
.
不等式
可化为
，等价于
，
∴
，即不等式式
的解集为
，
则在
上有解，故选项AC 正确.
故选：AC.
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15．（2023·广东惠州）函数
为定义在R 上的奇函数，当
时，
，下列结论正确的
有（ ）
A．当
时，
B．函数
有且仅有2 个零点
C．若
，则方程
在
上有解
D．
，
恒成立
【答案】AD
【解析】A．函数
为定义在R 上的奇函数，当
时，
，
，
A 正确；
B．当
时，
，解得
，
时，
，解得
，又
，
所以
有
和0 三个零点，B 错误；
C．当
时，
，
，当
时，
，
递减，
时，
，
递增，
∴
时，
极小值＝
，
时，
，
，
，
由
是奇函数，∴
时，
极大值＝
，
，
的值域是
，若
时，方程
在
时无解，C 错误；
D．由C 的讨论知
，因此对任意的实数
有
，
，∴
，即
．D 正确．
故选：AD．
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16．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若函数
，则存在
（其中
，且
），使下列式子对任意的
恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
，当
时，
，则
在
上单调递增，又
，
∴
，∴A 正确；此时，
，则
，
∴
，∴B 正确；
由
，则
当
时C 式子成立，∴C 正确；
若任意
满足
，则函数
关于点
对称，但是
的唯一对称中心为
，
∴D 错误，
故选：ABC
17．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知函数
，
，若存
在
，使得对任意
，
恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意
，
B．存在
，使得
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C．存在
，使得
在
上有且仅有1 个零点
D．存在
，使得
在
上单调递减
【答案】AD
【解析】
，其中
，
，
为锐角，
恒成立，则
是
的最大值，
是其函数图象的一条对称轴，因此
，A 正确；
的周期是
，因此
是最小值点，B 错；
，则
时，
，
时，
，
所以
时，
，
，
在
上恒为0，有无数个零点，C 错；
由
的定义知其在
上递减，在
上递增，
所以当
时，
，D 正确．
故选：AD．
三、填空题
18．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“
使
”为假命题，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【解析】因为“
使
”为假命题，
所以“
，
”为真命题，
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其等价于
在
上恒成立，
又因为对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【解析】“
，
”是假命题，
则它的否定命题：“
，
”是真命题；
所以
,
，
恒成立，所以
，
即实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
20．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】命题“
”的否定为：“
，
”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当
时显然不成立；当
时，
恒成立；当
时，只需
，解得：
.综上有
故答案为：
.
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21．（2022 秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若存在
，使得不等式
有解，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设
，
则
，
当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
又
，所以
，显然存在.
所以，
最小值
为9.
要使不等式
有解，只需要
即可，即
，去绝对值可得
或
，所以
或
.
故答案为：
.
22．（2022 秋·上海虹口·高三统考阶段练习）设
，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组
有解，则a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，
，由不等式
有解知，
，而
，因此
，
因存在唯一的m 使得关于x 的不等式组
有解，
则当且仅当
时，不等式组
有解，且当
时不等式组
无解，
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由
有解得
有解，于是得
，解得
，
由
无解得
无解，于是得
，解得
，因此
，
所以a 的取值范围是
.故答案为：
23．（2022 秋·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知
，若存在常数
，
使
恒成立，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】使
恒成立，则
，
化简整理得
，
由于存在常数
，使
恒成立，
可知
，
因此
，解得
.
故答案为：
24．（2022 秋·河南·高三校联考开学考试）已知数列
的首项
，且满足
.若
对于任意的正整数
，存在
，使得
恒成立，则
的最小值是 .
【答案】3
【解析】
数列
满足
，且
，即
，
当
时，
，
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当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
以上各式相加，得
又
，
，
，
，
若对于任意的正整数
，存在
，使得
恒成立，则有
，
的最小值是3.
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x 的不等式
对于一切实数x 恒成立，又存
在实数
，使得
成立，则
最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
对于一切实数
恒成立，
所以
，且
，所以
；
再由
，使
成立，
可得
，所以
，
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所以
，
因为
，即
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
，
故答案为：
26．（2022 秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知
，函数
若存在实数
，使得
恒成立，则
的最大值是 ．
【答案】
/0.625
【解析】由题意得：
，①当
，即
时，
；
②当
，即
时，
，
当
即
时，
；
当
即
时，
，
当
即时，
；
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③当
时，
，此时
.
则当
时，
；
当
时，
，画出
在
的图象，
令
，解得
，此时
相切，可得
；
当
时，
；则
，
即当
时，
，又
，则
；
当
时，
，又
，则
；
资料来源：微信公众号 智慧学库
当
时，
，又
，则
；
综上可得
，即
的最大值是
.
故答案为：
.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若对任意
，
存在
使得
恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据题意可得只需
即可，由题可知a 为对数底数且
或
.当
时，此时
在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知
在
上单
调递减，
在
上单调递减，所以
，
，所以
，即
，可得
；当
时，由复合函数单调
性可知
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
，
，所以
，即
，可得
.综上：
.
故答案为：
.
28．（2023 秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知
，若存在
，
使不等式
，对于
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
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【答案】
【解析】
时，不等式
可化为
，
因为存在
使不等式恒成立，
所以只需
，
设
，
，
则
，
，
所以
在
上为增函数，
所以
，所以
，
，
所以
整理可得
，
设
，
所以
，令
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，则
在
上单调递增，
所以
，
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所以
，即实数
的取值范围是
293．（2022 春·安徽淮南·高三寿县第一中学校考阶段练习）对
，存在实数
使得不等式
恒成立，则
的取值范围为
【答案】
【解析】由题意可知，对
，存在实数
使得不等式
恒成立，转化为
在
恒成立，
即
，
即可.
设
，则
.
令
，即
，解得
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增；
当
时，
取得极大值，也为函数
的最大值，
.
设
，则
.
令
，即
，解得
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增；
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当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
取得极小值，也为函数
的最小值，
.
即
，解得
所以
的取值范围为
.
故答案为：
30．（2022·全国·高三专题练习）已知任意
，若存在实数b 使不等式
对任意的
恒成立，则b 的最小值为 .
【答案】6
【解析】由题意
，
设
，
，其图象为开口向上，对称轴为
的抛物线的一部分，
当
，即
时，
，
；
当
，即
时，
，
；
若要
对于任意
，
均成立，则
即
，所以b 的最小值为6.
故答案为：6
31．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数
，若存在实数x 使不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
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【解析】因为存在实数x 使不等式
对任意
恒成立，
所以
，
而
，则
，
令
，则
，所以
在
上单调递增，且
，
所以
时，
，即
，故
单调递减；
时，
，即
，故
单调递增；所以
在
处取得极小值也是最小值，故
，
因为不等式
对任意
恒成立，
时，不等式
恒成立；
时，不等式
等价于
；令
，则
，故
在
上单调递增，故
，所以
，因此实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知
，存在实数
，
，使得
恒成立，则
的最
大值与
的最小值的积为 ．
【答案】
【解析】如图
过点
时，
最大，即
与
相切时，
最小，即
故
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故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式
，对任意的实数
，总存在实
数
使不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】
，即
，即
恒成立.
即
，设
，则
.
当
时，函数单调递增，当
时，函数单调递减，故
，
故
.
故答案为：
.
34．（2022·全国·高三专题练习）存在
使
对任意的
恒成立，则
的最小值
为 .
【答案】
【解析】存在
使
对任意的
恒成立，
则等价于等价于存在
，
，
在
的上方.
直线
过定点
，即定点在直线
上，
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设直线
与
相切于点
，
，所以
，
由
得
，
化简得
，故
.
构造函数
，
则
，
所以当
时，
，函数
递减，
当
时，
，函数
递增，
所以
.所以
的最小值为.
故答案为：
35．（2023·全国·高三专题练习）设数列
满足
，若存在常数
，使得
恒
成立，则
的最小值是 .
【答案】-2
【解析】由题意
即可，
,
若
,则
且
,即该数列单增，且
,
此时若存在常数
,使得
恒成立，则必有
.
若
,则
,该数列为常数列,即
.
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当
时，显然有
综上所述,
.
故答案为：
