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§8.13 圆锥曲线中探索性与综合性问题
题型一 探索性问题
例1 (2023·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设Q 为双曲线C 右支第一象限上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴
上是否存在定点M 使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明
理由．
解 (1)依题意结合c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以双曲线C 的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．
由(1)知双曲线C 的右焦点为F(2,0)．
设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C 右支上一点．
当x0＝2 时，
因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝3，
所以t＝－1.即M(－1,0)．
当x0≠2 时，tan∠QFM＝－kQF＝－，
tan∠QMF＝kQM＝.
因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将y＝3x－3 代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3，
所以
解得t＝－1.即M(－1,0)．
综上，满足条件的点M 存在，其坐标为(－1,0)．
思维升华 存在性问题的解题策略
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存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不
存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1 (2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线
C 上，且|MF|＝2.
(1)求实数m 的值及抛物线C 的标准方程；
(2)不过点M 的直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，若直线MA，MB 的斜率之积为－2，试
判断直线l 能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80 相切？若能，求此时直线l 的方程；若不能，请说
明理由．
解 (1)由题意得，
因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，
由抛物线的定义，得m＋＝2，
则解得
所以抛物线C 的标准方程为x2＝4y.
(2)由(1)得M(2,1)，
设点A，B，
则kMA＝，kMB＝，
所以kMAkMB＝×＝－2，
得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；
设直线AB 方程为y＝kx＋b，
由得x2－4kx－4b＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，
所以直线AB 的方程为y＝kx＋2k＋9，
即直线AB 恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，
又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80 正好经过点N(－2,9)，
当且仅当直线AB 与半径MN 垂直时直线AB 与圆M 相切，
此时k＝－＝，
所以直线AB 的方程为y＝x＋10.
题型二 圆锥曲线的综合问题
例2 (2023·福州模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＋
＝1(a>b>0)的右焦点，A 为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝.
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(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；
(2)过A 点作直线l 交C1于C，D 两点，射线OC，OD 分别交C2于E，F 两点，记△OEF 和
△OCD 的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l
的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意知，a＝4，＝，
所以c＝2，所以b＝＝2，p＝4.
所以抛物线C1的方程为y2＝8x，
椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)由题设知直线l 的斜率不为0，
设直线l 的方程为x＝my＋4.
则联立
得y2－8my－32＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.
所以＝
＝＝＝，
因为直线OC 的斜率为＝＝，
所以直线OC 的方程为y＝x.
由得y2＝1，
则y＝1，
同理可得y＝1，
所以y·y＝1，
所以y·y＝，
要使S1∶S2＝3∶13，
只需＝2，
解得m＝±1，
所以存在直线l：x±y－4＝0 符合条件．
思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键
是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d 满足r2＝h2＋d2；圆的
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弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有PA·PB＝0.
跟踪训练2 如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F 的直线l 交抛物线于点A，B，|AB|的最
小值为4，直线x＝－4 分别交直线AO，BO 于点C，D(O 为原点)．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)圆M 过点C，D，交x 轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t 为定值时，m 也为定值．并求t
＝－8 时，△ABH 面积S 的最小值．
解 (1)当直线AB 的斜率不存在时，此时A，B，∴|AB|＝2p，
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y＝k，联立抛物线方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋
＝0，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝＝＋p，此时|AB|＝x1＋x2＋p
＝＋2p>2p，显然当直线AB 的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物
线E：y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，则直线OA 的方程：y＝x，直线OB 的
方程：y＝x，
由(1)知，x1x2＝，
∴y1y2＝－2p＝－4，
∴y3＝，y4＝＝＝4y1，
设圆心M(x0，y0)，则y0＝＝2y1－.
若G(t,0)(t 为定值)，H(m,0)，则x0＝.
由|MD|＝|MG|，得(x0＋4)2＋(y0－y4)2＝(x0－t)2＋y，
∴4t＋4m＋80＝－tm，
由于t≠－4，∴m＝也为定值．
∴H 也为定点．
若t＝－8，则m＝12，S＝|FH||y1－y2|＝|y1－y2|＝≥×4＝22，
当且仅当y1＝±2 时取到最小值．
故△ABH 的面积的最小值为22.
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课时精练
1．(2023·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F 分别为其下顶点和右焦
点，坐标原点为O，且△EOF 的面积为.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在直线l，使得l 与椭圆C 相交于A，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，
求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知
解得
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l 存在，
由E(0，－2)，F(，0)，
得kEF＝，
因为点F 为△EAB 的垂心，
所以AB⊥EF，
所以kAB＝－，
设直线l 的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－<t<.
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由AF⊥BE 得·＝－1，
所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0，
将y1＝－x1＋t，y2＝－x2＋t 代入上式，
得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，
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所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0，
所以5t2＋t－18＝0，解得t＝ (t＝－2 舍去)，
满足Δ>0，
所以直线l 的方程为y＝－x＋.
2．(2022·苏州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为.设点M(m,0)(m≠0，
m≠±a)是x 轴上的定点，直线l：x＝，设过点M 的直线与椭圆相交于A，B 两点，A，B 在
直线l 上的射影分别为A′，B′.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解 (1)由题意可知b＝1，＝，
又a2－b2＝c2，
∴a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆C 的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB 的斜率为0 时，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为，
则|AA′|·|BB′|＝·＝＝＝，
当直线AB 的斜率不为0 时，设直线AB 的方程为x＝ky＋m，
联立方程组
消去y 得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ>0 时，x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝.
综上，|AA′|·|BB′|为定值.
3．(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F 且倾斜角为的直线交抛
物线于M，N 两点，|MN|＝8.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)在抛物线E 上任取与原点不重合的点A，过A 作抛物线E 的切线交x 轴于点B，点A 在直
线x＝－1 上的射影为点C，试判断四边形ACBF 的形状，并说明理由．
解 (1)设过点F 且倾斜角为的直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋＝0，若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，
即抛物线E 的方程为y2＝4x.
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(2)设A(x0，y0)，则过A 作抛物线E 的切线为y－y0＝k(x－x0)，即x＝＋x0，
代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y0－ky＝0，
因为此直线与抛物线相切，所以Δ＝4(4－4ky0＋k2y)＝0，即(ky0－2)2＝0，解得k＝，
所以过A 的切线为y－y0＝(x－x0)，
令y＝0 得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
又AC∥BF，所以四边形ACBF 有一组对边平行且相等，且邻边也相等，
所以四边形ACBF 为菱形．
4.如图，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于B，D 两点，准线l 与y 轴交于点S.
(1)若∠BFD＝90°，△ABD 的面积为4，求p 的值及圆F 的方程；
(2)若直线y＝kx＋b 与抛物线C 交于P，Q 两点，且OP⊥OQ，若点S 关于直线PQ 的对称点
为T，求|FT|的取值范围．
解 (1)由∠BFD＝90°知，|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，
设A(xA，yA)，
则yA＋＝|FA|＝|FD|＝p，
S△ABD＝·|BD|·＝×2p×p＝4，
解得p＝2(负值舍去)．F(0,1)，
所以圆F 的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)由题意得，直线PQ 的斜率一定存在，
其中S，
设S 关于直线PQ 的对称点为T(m，n)，
则解得
联立y＝kx＋b 与x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pb，
则y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，
则x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
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＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2＝－2pb＋b2＝0，
解得b＝0(此时O 与P 或Q 重合，舍去)或b＝2p，
所以|FT|＝
＝p∈(p,4p]．
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