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专题05 函数性质的综合运用（选填题7 种考法）
考法一 函数的单调性
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知
，且
，函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上单调，
由函数解析式可得函数在R 上单调递增不满足题意，
故
在R 上单调递减，
所以
，解得：
.故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，函数图象的对称轴为
，函数在
上单调递减，在
上单调递增，故A 错
误；
对于B，当
时，
，所以函数在
上单调递增，故B 正确；
对于C，
，函数在
上单调递增，在
上单调递减，故C 错误；
对于D，当
时，
是常数函数，D 错误，
故选：B.
2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间
上
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 选项：当
时，
的导函数为
，
所以
在
时单调递减，故A 选项不符合题意；
对于B 选项：当
时，
的导函数为
，
所以
在
时单调递减，故B 选项不符合题意；
对于C 选项：当
时，
的导函数为
，
所以
在
时单调递减，故C 选项不符合题意；
对于D 选项：当
时，
的导函数为
，
所以
在
时单调递增，
又函数
的定义域为
，且
，故D 选项符合题意.
故选：D.
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A 选项，
在R 上单调递减，不合题意；
B 选项，
，
，当
时，
，
单调递减，不合题意；
C 选项，
，定义域为R，
，函数为奇函数，
由函数
和
都是R 上的增函数，所以
为R 上的增函数，C 选项正确；
D 选项，
，
当
时，结合二次函数性质可知，函数
单调递减，则
单调递减，不合题意.
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数
在R 上单调递增，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，则（ ）
A．函数
在R 上单调递增
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在
上单调递减
D．函数
在
上单调递减
【答案】AB
【解析】因为
在R 上单调递增，所以
在R 上单调递增，故A 正确；
因为
在R 上单调递增，
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，故B 正确；
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，因为
的值域是否在
上无法判
断，
所以
在
上的单调性无法判断，故C 错误；
因为
在R 上单调递减，
在
上单调递减，因
的值域是否在
上无法判断，所以
在
上的单调性无法判断，故D 错误.
故选：AB.
考法二 函数的奇偶性
【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数
在其定义域
上是奇函数，则
的值为
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．不能确定
【答案】B
【解析】函数
在其定义域
上是奇函数，
由于奇函数定义域关于原点对称，所以
，
即
，解得
或
，
由区间定义可知
，当
时，
，不合题意；
当
时，
，符合题意；
可得
.
故选：B．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数
为奇函数，则
的值是
（ ）
A．0
B．
C．12
D．10
【答案】D
【解析】因为函数
为奇函数，
所以
，即
，即
或
，
显然函数
的定义域为
关于原点对称，
且当
时，有
，从而有
，
当
时，有
，但
，
所以
，即
，
所以
.
故选：D.
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
的定义域为
不关于原点对称，所以
不是偶函数，
故A 选项不符合题意；
对于B，因为
，所以
的定义域为
关于原点对
称，
但
，所以
是奇函数不是偶函
数，
故B 选项不符合题意；
对于C，因为
的定义域为
关于原点对称，且
，
所以
是偶函数，
又
，注意到当
时，有
，
所以此时
，所以
在
上单调递增，
故C 选项符合题意；
对于D，因为
的定义域为
关于原点对称，但
，
所以
是奇函数不是偶函数，
故D 选项不符合题意.
故选：C.
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数
，则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数
的定义域为
.
又因为
恒成立，
所以
在
上单调递减.
则由
可得
，解得
，
即原不等式的解集为
.
故选：C.
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数
则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】假设
，
所以
，所以
，
所以
为奇函数，
而
，
则其图象是
的图象向右平移1 个单位长度，向上平移4 个单位长度得到的，
所以
的对称中心为
，所以
，
因为
，所以
，
易得
，当且仅当
时等号成立，
而
，则
，
所以
恒成立，即
在
上单调递增，
所以
在R 上单调递增，
因为
得
，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在
上的函数
满足：对
，
且
都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意：当
时，
，
当
时,
可得函数
在
单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出
与
图象.
得
，则不等式的解集为
，
故选：B.
2．（2023·河南·统考模拟预测）函数
是定义在
上的奇函数，且
在区间
上单调递增，
若关于实数t 的不等式
恒成立，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，所以
，
所以函数
是偶函数，
又
，
则
，即为
，
即
，
又因
在区间
上单调递增，
所以
，解得
或
，
所以t 的取值范围是
.
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若定义在
上的函数
同时满足：①
为奇函数；
②对任意的
，且
，都有
，则称函数
具有性质
．已知函数
具有性质
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为对任意的
，且
，都有
，
即对任意两个不相等的正实数
不妨设
，都有
，
所以有
，
所以函数
是
上的减函数，
又因为
为奇函数，即有
，有
，
所以有
，
所以
为偶函数，
所以
在
上单调递增．
当
，即
时，有
,由
，得
，
所以
，解得
，此时无解；
当
，即
时，由
，得
，
所以
，解得
或
．
综上所述，不等式
的解集为
．
故选：C.
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数
，且
，则实数a 的取值
范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，定义域为R，
，
所以
为奇函数，
又
.
当
时，令
，
则有
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
在
上单调递增，
又因为
为奇函数，所以
在R 上单调递增，
所以
，可转化为
，
，
所以
，所以
，即
，解得
即实数a 的取值范围是
.故选：C.
5．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数
，若对于一切的实数
，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】易知函数
的定义域为
，
则
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，即
恒成立，
故函数
是
上的单调递增函数，
因为
，所以
，即
，
当
时，左边
成立，故
符合题意；
当
时，有
，解得：
，
综上所述：
的取值范围为：
.
故选：D.
考法四 函数性质的综合运用
【例4-1】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
成中心对称
【答案】D
【解析】对AB，由
，易知选项A，B 不正确；
对C，易得
，
，故
，故选项C 不正确；
对D，
，故
，
故
的图象关于点
中心对称.
故选：D.
【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在
上的偶函数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的一个周期为2
C．
D．函数
的图象关于直线
对称
【答案】C
【解析】
函数
关于点
中心对称，因此选项D 不正确；
又因为函数
为偶函数，所以
，
由
，
所以函数
的周期为
，所以选项B 不正确；
因为函数
是周期为
的偶函数，
所以
，因此选项A 不正确；
在
中，令
，得
，
因为函数
的周期为
，因此选项C 正确，
故选：C
【例4-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数
是
上的偶函数，且
的图象关于点
对称，当
时，
，则
的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
【答案】D
【解析】因为函数
是
上的偶函数，所以
，
因为
的图象关于点
对称，所以
，即
，
所以
，所以
，所以函数
是
上周期为4 的函数，
当
时，
，所以
，
，
又
，
，所以
，
所以
.故选：D.
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
所以
，
.
因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
.
所以
.
故选：D
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数
及其导函数
定义域均为
，记
，
且
，
为偶函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】因为
为偶函数，
，
所以
，
对
两边同时求导，得
，所以有
所以函数
的周
期为，
在
中，令
，所以
，
因此
，
因为
为偶函数，
所以有
，
，
由
可得：
，
所以
，
故选：C
3．（2023·陕西西安·校考三模）已知
是定义域为
的奇函数，若
的最小正周期为
1，则下列说法中正确的个数是（ ）
①
②
③
的一个对称中心为
④
的一条对称轴为
A．个
B．
个
C．个
D．
个
【答案】B
【解析】因为
的最小正周期为1，所以
；
即
，所以2 是
的周期；
因为
为奇函数，所以
，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为
，所以
的一个对称中心为
，③正确；
通过题目条件无法得出
的一条对称轴为
，④不正确；
故选：B
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）已知函数
是定义域为
的奇函数，
，
若
，
，
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是周期为4 的周期函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由
，
，得
，
当
时，可得
；
当
时，
，也满足
；
综上所述：
，对任意实数都成立，
因此函数
的图象关于点
对称，A 正确；
又
是定义域为
的奇函数，则
，因此
是周期为4 的周期函数，B 正
确；
显然
，C 错误；
由
是定义域为
的奇函数，得
，
，
又
，
于是
，
，因此
，
所以
，D 正确．
故选：ABD
考法五 函数的图像
【例5-1】（2022·天津·统考高考真题）函数
的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
且
，
函数
为奇函数，A 选项错误；
又当
时，
，C 选项错误；
当
时，
函数单调递增，故B 选项错误；
故选：D.
【例5-2】（2023·天津·统考高考真题）函数
的图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
故选：A.
3．（2023·河南·统考模拟预测）函数
的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，
由
，得
为奇函数，故B,D 错误；
由
，故A 正确，C 错误，故选：A．
考法六 抽象函数
【例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可
得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以函数
的一个周期为．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
解得
，取
，
所以
，则
，所以
符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
【变式】
1（2023·河南·模拟预测）已知不恒等于零的函数
的定义域为
，满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于原点对称
C．
D．
的最小正周期是6
【答案】D
【解析】由
，
令
，
，有
，可得
, 故A 错；
因为
，令
，则
，则
，
函数
是偶函数，故B 错误，
令
，则
，故C 错误，
令
，则
,
所以
，
则
，
，
所以
，
则
周期为6，D 正确．
故选：D
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数
对任意x，
总有
，当
时，
，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是R 上的减函数
C．
在
上的最小值为
D．若
，则实数x 的取值范围为
【答案】C
【解析】取
，
，则
，解得
，
，
则
．即
，函数
是奇函数，所以选项A 错误；
令
，
，且
，则
，因为当
时，
，所以
．
则
．即
，
函数
是R 上的增函数，所以选项B 错误；
因为函数
是R 上的增函数，所以函数
在
上的最小值为
，
，
，
．
故
，
在
的最小值为-2，所以选项C 正确；
，即
，
因为函数
是R 上的增函数，所以
，所以
，
所以实数x 的取值范围为
，所以选项D 不正确．
故选：C．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值，故D 错误.故选：
.
考法七 函数角度解三角函数
【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知
，则下列
结论错误的是（ ）
A．
是周期函数
B．
在区间
上是增函数
C．
的值域为
D．
关于
对称
【答案】D
【解析】由题知，
，
，
是函数
的一个周期，故A 正确；
在区间
上是增函数，其值域为
在区间
上是增函数，根据复合函
数同增异减法则知，
在区间
上是增函数，故B 正确；
的值域为
在区间
上是增函数，
的值域为
，故C 正确；
不关于
对称，故
错误，
故选：D.
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）（多选）下列函数中，以
为最小正周期的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，
，最小正周期为
，故A 正确；
对于B，令
，
，故B
错误；
对于C，令
，
，故C 正确；
对于D，令
，
，
故
的最小正周期为
，故D 错误.
故选：AC.
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
在区间
上单调递增
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的值域为
D．方程
最多有8 个根，且这些根之和为
【答案】BCD
【解析】
，
，
则
是偶函数，图象关于
轴对称.
，
是周期函数，周期
.
又
且
，
，即
图象关于
轴对称，
故直线
都是
的对称轴.
当
时，
，
则
，
令
，则
可看成由
与
复合而成的函数，
单调递增，
当
，则
，
单调递增，则
单调递增；
当
，则
，
单调递减，则
单调递减；
且
.
结合以上性质，作出函数
的大致图象.
选项A，函数
在区间
上单调递减，故A 项错误；
选项B，直线
是函数
图象的一条对称轴，故B 项正确；
选项C，当
时，函数
的值域为
，由函数周期
，函数
的值域为
，故C 项
正确；
选项D，如图可知，方程
最多有8 个根，设为
，不妨设
，
当
时，函数
的图象关于
对称，
则
，
即这些根之和为
，故D 项正确.
故选：BCD.
3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）已知函数
，则
（ ）
A．
是
的周期
B．
的图象有对称中心，没有对称轴
C．当
时，
D．对任意
，
在
上单调
【答案】ACD
【解析】对于A 选项：因为
，
则
是
的周期，所以A 选项正确；
对于B 选项：因为
，
且
，
所以
，
，
则
的图象关于点
成中心对称，关于直线
成轴对称，所以B 选项错误；
对于C 选项：当
时，易知
，
，
且
，即
，
则
，
所以
，
则
，所以C 选项正确；
对于D 选项：由A 选项知：
是
的周期，所以只需考虑
，
即可，
当
时，
，所以
和
均单调递增，所以
单调递增；
当
时，
，所以
和
均单调递减，所以
单调递减，所以D 选项正确.
故选：ACD．
一、单选题
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）定义在R 上的奇函数
满足
是偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】C
【解析】根据题意，函数
是定义在
上的奇函数，则
，且
，
又函数
是偶函数，则
，变形可得
，
则有
，进而可得
，
所以函数
是周期为4 的周期函数，
则
.
故选：C.
2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若
为奇函数，则
（ ）
A．－1
B．0
C．
D．1
【答案】D
【解析】
的定义域为R，
若
为奇函数，
则
恒成立，
整理得
恒成立，
所以
，即
.
故选：D
3．（2023·湖南永州·统考一模）“函数
在
上单调递减”是“函数
是偶
函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，
在
中，
当函数在
上单调递减时，
，
在
中，函数是偶函数，
∴
，解得：
，
∴“函数
在
上单调递减”是“函数
是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知定义在
上的奇函数
满足
，
当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上为奇函数，所以
，
又因为
，所以
①，
所以
②，
所以由①②得
，即
的一个周期为4，
所以
.
又因为当
时，
，所以
，
所以
.
故选：D.
5．（2023·云南·校联考模拟预测）若函数
为偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．0
【答案】D
【解析】若函数
为偶函数，则
，都有
，
又因为
，
所以
，有
，
所以当
时，有
，解得
.
故选：D.
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数
是定义域为
上的奇函数，满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】因为函数
是定义域为
上的奇函数，则
，即
，
由
，得
，因此
，即
，
则
，于是函数
是以4 为周期的周期函数，
由
，得
，由
，得
，
，
从而
，
所以
.
故选：A
7．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数
的大致图象，其解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
与图象不符，故A 项错误；
对于B，当
时，
的振幅不会再变化，故B 项错误；
对于D，
，所以函数为奇函数，与图
象不符，故D 项错误．
故选：C．
8．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若
为奇函数，则
的单调递增区间
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
为奇函数，
的定义域为
，
由
，∴
，
函数
的定义域为
，
函数
在定义域内单调递增，
当
时，
的单调递增区间为
，
所以
的单调递增区间为
.
故选：D．
9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知
的定义域为
为奇函数，
为偶函数，
若当
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．e
【答案】C
【解析】
为奇函数，即
，
所以
关于
中心对称，则
，
为偶函数，即
，
所以
，
故
，即
是周期为8 的周期函数，
所以
，
故选：C
10．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数
和
的定义域均为
，且
为偶函数，
为奇函数，对
，均有
，则
（ ）
A．615
B．616
C．1176
D．2058
【答案】B
【解析】由函数
为偶函数，则
，即函数
关于直线
对称，故
；
由函数
为奇函数，则
，
整理可得
，即函数
关于
对称，故
；
由
，可得
，
所以
，故
，
解得
，
所以
，
所以
.
故选：B.
11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数
满足
，
，
，且
在区间
上单调，若函数
在区间
内有
4 个零点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
的图象关于
中心对称，
又因为
，所以
的图象关于
中心对称，
所以
，即
，
所以
，所以
，
所以
的周期为，又因为
，
所以令
中
，则
，
所以
，又因为
在区间
上单调，
所以
，
又因为
在区间
内有四个零点，
令
，即
，即
与
的图象在区间
有四个交点，
又因为直线
过定点
，斜率为
，
如图所示：
为临界状态，
当处于时，此时直线的斜率为
，
当处于
时，此时直线的斜率为
，
因为满足，
不满足.
所以由图可知，a 的取值范围是
.
故选：C
12．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数
的定义域为
，且对任意非零实数
，
都有
.则函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】令
，则
，所以
.
令
，则
，所以
.
令
，
，则
，
所以
为偶函数，故排除D 选项；
由题意可知，函数
满足定义域为
，
且对任意非零实数
，
都有
，
符合题意，但
不为奇函数，故排除AC.
故选：B.
13．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数
，若
，不等式
恒成立，则正实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，其中
，则
，且
不恒为零，
所以，函数
在
上为增函数，
又因为
，故函数
为奇函数，
由
可得
，
所以，
，所以，
，
令
，因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以，
.
故选：B.
14．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数
，若
成立，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
因为
，
所以
为偶函数，
所以
的图象关于直线
对称，
所以
的图象关于直线
对称，
设
，则
，
令
，则
，得
，
所以
在
上递增，
因为函数
在定义域上单调递增，
所以
在
单调递增，
所以
在
单调递增，
因为
，
所以
，
所以
，化简得
，解得
．
所以实数a 的取值范围为
，
故选：B
15．（2023·广东·校联考模拟预测）设函数
为奇函数且在
上为减函数，则关于
的值表述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
为
上的奇函数，且递减，
所以
且
，
即
，
所以
，解得
，经检验符合题意，
故
，
因为函数
在
上为减函数，
所以
，所以
.
故选：C.
16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数
的定义域为
，
的图象关于点
对称，
，且对任意的
，
，满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的图象关于点
对称，
的图象关于点
对称，
是定义在
上的奇函
数，
对任意的
，
，
，满足
，
在
上单调递减，所以
在
上也单调递减，
又
所以
，且
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以由
可得
或
或
，
解得
或
，即不等式
的解集为
．
故选：C.
17．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R 上的函数
在
上单调递增，
是奇函数，
的图像关于直线
对称，则
（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递增
C．在
上单调递减
D．在
上单调递增
【答案】C
【解析】
是奇函数，
，即
的图象关于点
对称，
又
在
上单调递增，
在
上单调递增，即
在
上单调递增.
由
，可得
，
由
图像关于直线
对称可知
为偶函数，
∴
在
上单调递减，
，
，
是周期函数，最小正周期为4，
∵
，
，
∴
在
上的单调性和在
上的单调性相同，
在
上单调递减.
故选：C.
二、多选题
18．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于
，因为
为偶函数，所以
即
①，所以
，所以
关于
对称，则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，所以
关于
对称，由①求
导，和
，得
，所
以
，所以
关于
对称，因为其定义域为R，所以
，结合
关于
对称，从而周期
，所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知
周期为2，关于
对称，故可设
，则
，显然A，D 错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为
，
均为偶函数，
所以
即
，
，
所以
，
，则
，故C 正确；
函数
，
的图象分别关于直线
对称，
又
，且函数
可导，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，若
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，
若
为奇函数，则
，则
的图象关于点
对称，且
，故A 错误；
因为
为偶函数，所以
，即
，
则
，又
，所以
，
所以
，即
，所以
，
故
的周期为8，所以
，
，在
中，令
，得
，所以
，故B 正确；
对
两边同时求导，得
，
所以导函数
的周期为8，所以
，故C 正确；
由
周期
，得
，
，对
两边同时求导，得
，令
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
20．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知
，下列说法正确的是（ ）
A．
时，
B．若方程
有两个根，则
C．若直线
与
有两个交点，则
或
D．函数
有3 个零点
【答案】ABD
【解析】对A：当
时，
，得
满足题意；
当
时，
，得
不满足题意，故A 正确.
对B：作出
的图象，方程
有两个根可以看作
的图象与直线
有两个不同交点，
由图知
，故B 正确.
对C：直线
可化为
，故直线是以
为斜率且恒过
的直线，
如图，为过
与
两点的直线，其斜率为
，
当位于时，直线与
有两个交点，
为过
且与
平行的直线， 其斜率为，
当位于
时，直线与
只有一个交点，
为过
的水平直线，其斜率为，
当位于
时，直线与
只有一个交点，
为过
的竖直直线，其斜率不存在，
当位于
时，直线与
只有一个交点，
由图可知，要使直线
与
有两个交点，
则位于
之间或位于
之间，故
，所以
，故C 错误.
对D：
，即
，所以
或
由
得
，
由
得
进而得
或
，
所以函数
有3 个零点，故D 正确.
故选：ABD
21．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知定义域为
的偶函数
，使
，则下列函数中符
合上述条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，
，定义域为
，所以
为偶函数，又
，故A 正确；
对于B，
恒成立，故B 错误；
对于C，
，定义域为
，
，所以
为偶函数，又
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
恒成立，故D 错误．
故选：AC．
22．（2023·浙江·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
且
，
则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为周期函数
【答案】ACD
【解析】依题意，
，
，
取
，得
，又
，则
，A 正确；
取
，得
，则
，B 错误；
取
，得
，而
，即
，
于是
，有
，则
为偶函数，C 正确；
即
，得
，即
，
有
，于是
，即有
，
因此
，所以
为周期函数，D 正确.
故选：ACD
23．（2023·湖南永州·统考一模）已知函数
与
的定义域均为
，
，且
，
为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．4 为
的一个周期
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由于
为偶函数，图象关于
轴对称，
所以
图象关于
对称，
所以
，
所以
①，
而
②，
两式相加得
，则
③，
所以
，
所以
是
的一个周期，A 选项正确.
由③令
得
，
由①令
得
，
由②令
得
，则
，
所以
，
所以
，C 选项正确.
由①令
得
，
由
，
得
，
两式相减得
，即
，
且
关于
对称，
，
所以
④，
所以
，
所以
是周期为
的周期函数，所以
，所以B 选项错误.
由④令
得
，所以
，
由于
，所以
所以
，所以D 选项正确.
故选：ACD
24（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设函数
的定义域为
，其图象关于直线
对称，且
.当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递减
【答案】AC
【解析】因为函数
的定义域为
，且
，
所以
，
所以函数
是以
为周期的周期函数，
又因函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即
，
又
，所以
，
所以
，
所以
为偶函数，故A 正确；
当
时，
，
，故B 错误；
因为
为偶函数且
的图象关于直线
对称，
所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
因为当
时，
，
而函数
在
都是减函数，
所以函数
在
是减函数，
又因
为偶函数，
所以
在区间
上单调递增，故D 错误.
故选：AC.
25．（2023·浙江·模拟预测）设
是定义在
上的函数，对
，有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A：在
中，
令
，则有
，
在
中，
令
，则有
，
因此本选项正确；
B：若
成立，即有
，
在
中，
令
，则有
，
这与
相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确；
C：在
中，
以
代
，得
，
以
代
，得
，
上面两个等式相加，得
，或
，
当
时，则有
，显然与
矛盾，
因此
，于是有
，
因此函数
的周期为，
由
，
由
，
在
中，
令
，得
，
令
，得
，
由
，
于是有
，
因为
，所以由
，
于是
，
因此
，
，
因此本选项正确；
D：在
中，
令
，所以有
，因此有：
因为
，
，
，
函数
的周期为，
所以
，因此本选项正确，
故选：ACD.
26．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数
，
的定义域为
，
是
的导函数，且
，
，若
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，令
，则
①，
，令
，则
②，
联立①②可得
，故A 正确；
由题可知
，又因为
是偶函数，所以
是奇函数，
由
可得
，
所以
的周期为4，
又∵
，故
，
，故
，故B 正确；
因为
，由
得
，
故
，又
，
，
若
，则
，
可得
，即
，而
不一定等于0，故C 错误；
因为
，得
，
在
中，令
，可得
，又
，
故
，又
的周期为4，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
27．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知
为定义在R 上的偶函数，当
时，有
，且当
时，
，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数
在定义域上是周期为2 的函数
C．函数
的值域为
D．直线
与函数
的图象有2 个交点
【答案】AC
【解析】由题意知，当
时，有
，所以
，
因为当
时，
，
当
时，可得
，可得
，
又因为
，
所以
，
又由函数
为定义在
上的偶函数，所以可作出函数
的图象如下：
对于A 中，由
，所以A 正确；
对于B 中，由图象可知函数不是周期函数，所以B 是错误的；
对于C 中，由图象可知函数的值域为
，所以C 正确．
对于D 中，由图象可知直线
与函数
的图象只有1 个交点，所以D 错误.
故选：AC.
28．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数
的定义域
，满足
，且
当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是定义在
上的偶函数
B．
在
上单调递增
C．若
，则
D．当
是钝角
的两个锐角时，
【答案】BC
【解析】对于A，令
得
，即得
，
在定义域范围内令
得
，即
是奇函数，故A 错误；
对于B，令
，且
，所以
，
又
，且
，所以
，
所以
，所以
是单调增函数，故B 正确；
对于C，由
，可得
，即
，即
，所以
是等比数列，
又
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
是钝角
的两个锐角，则
，
所以
，故D 错误.
故选：BC.
29．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R 上的偶函数
满足
，且
在
上是增函数，则（ ）
A．
关于
对称
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
为偶函数，
所以
，所以
，
所以
关于点
对称，A 错误；
又
，所以
，B 正确；
因为
在
上是增函数，
所以
，故C 正确；
因为
，
所以
，而
的值不确定，故D 错误.
故选:BC．
30．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
时，
在区间
单调递增
D．
时，
在区间
既有极大值点也有极小值点
【答案】BC
【解析】对于A，
，
不是
的周期，A 错误；
对于B，
，
的图象关于直线
对称，B 正确；
对于C，
；
当
时，
，
，
，
令
，则
，
；
与
在
上均单调递减，
在
上单调递减，
又
在
上单调递减，
由复合函数单调性可知：
在
上单调递增，C 正确；
对于D，由C 知：
；
当
时，
，
，
；
令
，则
，
；
，
当
时，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，
由复合函数单调性可知：
在
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
在
上有极大值点
，无极小值点，D 错误.
故选：BC.
31．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数
定义域为
，
是奇函
数，
，函数
在
上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．函数
在
上递减
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为
是奇函数，所以
，故A 错误；
因为
是奇函数，所以
的图象关于点
对称，即有
，
所以
，所以
的图象关于直线
对称，
函数
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，故B 正确；
因为
，所以
，即
，故C 正确；
因为
，且
，由函数
的图象关于直线
对称，得
，解得
，故C 正确.
故选：BCD.
32．（2023·浙江·校联考模拟预测）若定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）．
A．若
，
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
的图像关于点
对称
D．若
，则
【答案】BC
【解析】令
，则
，
∴
为奇函数，把y 用
代替，得到
，
设
，
，∴
．
又∵当
时，
，∴
，
∴
在
上单调递减．
∵
，
，
当
时，
，则当
时，则
，
，
当
时，则
，
．
综上，
，∴A 错误．
令
，得
，∴
，
令
，得
，∴
，∴B 正确．
由
，得
，得
，
又∵
，
为奇函数，∴
，
则
，则
的图像关于点
对称，∴C 正确．
，
假设
，可得
，即
，
当
时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．
故选：BC.
33．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数
是定义在
上的偶函数，满足
，当
时，
，设函数
，则下列结论成立的是（ ）
A．函数
的图象关于
对称
B．
C．当实数
时，函数
在区间
上单调递减
D．在区间
内，若函数
有4 个零点，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】因为函数
是定义在
上的偶函数，所以
，所以函数
的图象
关于
对称，可知A 正确；
由
，可得
，知函数
的周期
，
由周期和奇偶性得
，故B 不正确；
当
时，则
，
，所以
，
由函数为偶函数且周期为2 可得
，
，
由函数
在区间
上为单调递减函数，所以
，即
.得C 正确；
函数
在区间
有4 个零点，
有4 个解，
即
与直线
在
有4 个交点，利用周期
和偶函数，结合
在
的解析式，
可画出函数
和函数
在
上的图像.如图：
由图可得
，即
，实数
的取值范围是
,D 正确.
故选：ACD.
34．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
时，
，
，则（ ）
A．
B．函数
在区间
单调递增
C．函数
是奇函数
D．函数
的一个解析式为
【答案】ABD
【解析】A 项：因为
，
当
时，
，令
，
则
，解得
，A 正确；
B 项：任取：
，
则
，
因为当
时，
，
所以
，
，
所以
，即
，
所以函数
在区间
单调递增，B 正确；
C 项：令
，则
，
解得
或
，当
，且
时，令
，
则
，
若
为奇函数，则
，即
，
解得
，与题意矛盾；
当
时
不为奇函数．
综上所述，函数
不是奇函数，C 错误；
D 项：当
，
则
，
，
所以
，易得
在
上单调递增，
所以
时，
，
，
故函数
的一个解析式为
，D 正确．
故选 :ABD
35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，且
．当
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
为增函数
D．当
，且
，
时，
【答案】ACD
【解析】因为
定义在
上，且满足
恒成立，
令
，即
，解得
，故A 正确；
再令
，则
，故
，故
是奇函数，又
，
所以函数
一定不是偶函数，故B 错误；
任取
，且
，则
．
因为
，所以
，
所以
，由于
，所以
，
，
所以
．
因为
，
，所以
，
，
即
在区间
上单调递增．故C 正确；
对于D，因为
，
，
因为
，当且仅当
时，即
时等号成立；
所以
，所以
，又
，所以
．
令
，则
．
令
，则
，所以
．
因为
，所以
是首项为1，公比为2 的等比数列，所以
，
故D 正确．
故选：ACD．
三、填空题
36．（2023·全国·统考高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【解析】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
37．（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）已知
分别是定义域为
的偶函数和奇函数，
且
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的最大值是
．
【答案】
/
【解析】因为
分别是定义域为
的偶函数和奇函数，且
①，
所以
，即
②，
联立①②解得，
，
因为
在
上都为增函数，
所以
在
上单调递增，
，
故不等式
令
，因为当
时，
，
单调递增，
所以
，
又
，
所以
，
因为
在
上都为增函数，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
，即实数
的最大值是
.
故答案为:
38．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数
的图象关于
轴对称，
则
．
【答案】
/
【解析】函数
的定义域为R，
，
依题意，函数
是偶函数，
于是
，
，
即
而
不恒为0，整理得
，即
，
因此
，解得
，
所以
.
故答案为：
39．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，若对任意
，
且
，都有
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】函数
是定义在
上的奇函数，则
，
所以
，则
，
所以
的图像关于直线
对称，
因为对任意
，
且
，都有
，
所以
在区间
内单调递减，则
在区间
内单调递增，
因为
，
，所以
，所以
，
解得
，
故不等式
的解集为
．
故答案为：
.
40．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数
，若不等式
恒成立，则a 的最小值为 .
【答案】
/
【解析】依题意，
，
，
在R 上单调递增，
且
，
为奇函数，
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
当
时，有
，于是
，当
时，显然
成立，
因此
，即
，令
，求导得
，
当
时，
，函数
单调递减，当
时，
，函数
单调递增，
因此当
时，
，则
，而
，有
，
所以a 的最小值为
.
故答案为：
41．（2023·河南郑州·三模）已知函数
，
，对于下述四个结论：
①函数
的零点有三个；
②函数
关于
对称；
③函数
的最大值为2；
④函数
在
上单调递增．
其中所有正确结论的序号为： ．
【答案】②③④
【解析】
，
令
，解得
或
，
∵
，∴
或
或
或
，故①错误；
∵
，
∴函数
关于
对称，故②正确；
，
∵
，∴
，
∴当
时，函数
取最大值2，故③正确；
，
令
，当
时，
单调递减，
∵
，∴
，∴
单调递减，
∴函数
在
上单调递增，故④正确．
故答案为：②③④.
42．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数
，若对定义域
内两任意的
（
），都有
成立，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
因为对
，都有
成立，
设
，则
，于是
，都有
成立，
因此函数
在
上单调递增，求导得
，
则有
成立，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，必有
，函数
的图象过点
，对称轴
，从而
，解
得
，
而当
时，
，当且仅当
时取等号，符合题意，
所以a 的取值范围是
.
故答案为：
43．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数
则
；若当
时，
，则
的最大值是 ．
【答案】
/
【解析】由已知
，
，
所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
等价于
，所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
，
.
44．（2022·全国·统考高考真题）若
是奇函数，则
，
．
【答案】
；
．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由
可得，
，所以
，解得：
，即函数的定义域为
，再由
可得，
．即
，在定义域
内满足
，符合题意．
故答案为：
；
．
45．（2022·北京·统考高考真题）设函数
若
存在最小值，则a 的一个取值为
；a 的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若
时，
，∴
；
若
时，当
时，
单调递增，当
时，
，故
没有最小值，不符合题
目要求；
若
时，
当
时，
单调递减，
，
当
时，
∴
或
，解得
，综上可得
；
故答案为：0（答案不唯一），1
