文档文本内容
专题04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称
性解决函数性质问题
目 录
01 函数单调性的综合应用...................................................................................................................1
02 函数的奇偶性的综合应用................................................................................................................5
03 已知f(x)=奇函数+M........................................................................................................................8
04 利用轴对称解决函数问题..............................................................................................................12
05 利用中心对称解决函数问题..........................................................................................................15
06 利用周期性和对称性解决函数问题...............................................................................................18
07 类周期函数....................................................................................................................................22
08 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性............................................................................26
09 函数性质的综合.............................................................................................................................28
01 函数单调性的综合应用
1．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据定义域为
且
可知
，
又
，所以对
，
恒成立；
即可知函数
在
上单调递减；
又
，可得
，
不等式
可化为
，解得
，
可得不等式
的解集为
.
故选：B
2．（2023·云南大理·高三云南省下关第一中学校考期中）已知函数
，满足对任意的
实数
，都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
满足对任意的实数
，都有
成立，
不妨设
，则
，则
，即
，
则函数
在
上为减函数，则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
，
故选：D．
3．（2023·四川泸州·高三泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知函数
是
上的增函数，且
，其中
是锐角，并且使得
在
上单调
递减．则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
，由函数单调性可知
，
此时显然
，符合题意；
若
，由函数的单调性知
，
则
不符合题意.
故
，可排除C、D 选项，
又
，
此时
在
上单调递减，
则
，
综上可知
.
故选：A
4．（2023·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）实数
分别满足
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，则
.
因为
,所以
.
令
，则
，
当
时
，则
在
上单调增；
当
时
，则
在
上单调减.
所以
，即
.
所以
且
，
则可得
.
因为
,所以
令
,则
,
当
时,
,所以
在
单调减,
所以可得
,即
,
又
,所以
,
所以
.
故选:B.
5．（2023·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）若对任意的
，且当
时，都有
，则实数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．
【答案】C
【解析】由题设知：
且
，
，
令
且
，即
在
上递增，
所以
在
上恒成立，而
递减，
所以
，故实数
的最小值是5.
故选：C
02 函数的奇偶性的综合应用
6．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则不等式
的解集为（其中e 为自然对数的底数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为当
时，
，
所以
，
所以
在
上单调递增，且
,
又因为
是定义在
上的奇函数，
所以
在
上单调递增，且
,
又因为
为偶函数，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
，
所以
，
解得
.
故选：B.
7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以函数
为偶函数，
当
时，有
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，所以
，即
恒成立，
所以函数
在区间
上单调递增，又函数
为偶函数，
所以函数
在区间
上单调递减，
所以关于
的不等式
可转化为
，解得
.
关于x 的不等式
的解集为
，
故选：B.
8．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知
是定义在
上的增函数，函数
的图象关于点
对称，若不等式
的解集为区间
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】∵函数
的图象关于点
对称，
∴函数
的图象关于点
对称，又
是定义在
上的增函数，
∴函数
是定义在
上的奇函数且在
上的增函数，
由
，可得
，
∴
的解集为区间
，且
，
作出函数
与
的图象，
函数
表示圆心在原点，半径为4 的圆的上半部分，
表示过定点
的
直线，
由图象结合条件可知
，又
，
∴
，即直线与半圆的交点
的横坐标为2，故
，
∴
.
故选：B.
9．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】显然，函数
是定义域为
的偶函数.
当
时，
，所以
是减函数，且
；
所以当
时，
是增函数，且
.
因此，当
或
时，
；当
时，
.
所以，
或
或
或
.
故
的解集为
.
故选：A.
10．（2023·河南·高三开封高中校联考期中）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知函数
的定义域为
，
∵
，
∴
是偶函数，
∴由
可得
，即
.
当
时，
，∵
和
在
上都是单调递增的，
∴
在
上单调递增，又因
是偶函数，
∴
在
上单调递减.
又∵
，由函数
的定义域知
有
，
∴由
可得
，解得：
；
由
可得
，解得：
.
综上，不等式的解集为
.
故选：D.
03 已知f(x)=奇函数+M
11．（2023·全国·高三专题练习）函数
在
上的最大值为
，
最小值为N，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
则
，为奇函数.
，
即
故选
12．（2023·全国·高三专题练习）函数
（e 为自然对数的底数）在区间[
1
﹣，1]上的最
大值和最小值之和等于___.
【答案】2
【解析】
，
设h（x）＝f（x）﹣1，x∈[
1
﹣，1]，
则
，所以h（x）为奇函数，
h′（x）＝f′（x）
cosx＞0，
因此函数h（x）在x∈[
1
﹣，1]上单调递增.
∴h（x）的最大值和最小值之和＝h（1）+h（﹣1）＝0，
故f（x）在区间[
1
﹣，1]上的最大值和最小值之和为2.
故答案为：2.
13．（2023·全国·高三专题练习）设函数
,
的最大
值为
,最小值为
,那么
___________.
【答案】4040
【解析】令
，
，
因为
，
，
故
，所以
为
上的奇函数，
故
.
又
，
，
故
.
故答案为：
.
14．（2023·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知函数
，则
在
上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】
；
令
，当
时，
，
；
令
，
，
，
为定义在
上的奇函数，
，
，即
，
在
上的最大值和最小值之和为
.
故答案为：
.
15．（2023·广西桂林·统考一模）
是定义在R 上的函数，
为奇函数，则
（ ）
A．－1
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】
是定义在R 上的函数，
为奇函数，则
.
∴
.
故选：A
16．（2023 春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于
的函数
在
上的最大值为M，最小值N，且
，则实数t 的
值是（ ）
A．674
B．1011
C．2022
D．4044
【答案】B
【解析】
，
，
∴令
，
，则
，
定义域关于原点对称，且
，
所以
为奇函数，
∴
（奇函数的性质），
∴
，
∴
，即
.
故选：B
17．（2023·全国·高三专题练习）设函数
,
的最大
值为
,最小值为
,那么
___________.
【答案】4040
【解析】令
，
，
因为
，
，
故
，所以
为
上的奇函数，
故
.
又
，
，
故
.
故答案为：
.
18．（2023·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知函数
，则
在
上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】
；
令
，当
时，
，
；
令
，
，
，
为定义在
上的奇函数，
，
，即
，
在
上的最大值和最小值之和为
.
故答案为：
.
04 利用轴对称解决函数问题
19．（2023·四川成都·高三统考期中）已知
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
显然
，则函数
的图象关于直线
对称，
当
时，
，显然
，
，于是
，即函数
在
上递
增，
则不等式
等价于
，即
，整理得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B
20．（2023·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知定义在
上的奇函数
满足：
的图象是连续不断的且
为偶函数.若
有
，则下面结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
为偶函数，
∴
且
的图象关于
对称，
∵
为奇函数，∴
的图象关于
对称，
∴
为周期函数，
，
∵
有
，∴
在
上单调性递减，
∴由
的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：
∵
，
，
，
∴
，
故选：D.
21．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数
的图像关于
对称，且对任意
，
∈
，都有
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的图像关于
对称，且对任意
，
∈
，都有
，
则函数在
上单调递减，在
上单调递增
又
，且
所以
，即
.
故选：B.
22．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数
和
的图象与直线
交点的横坐标分别
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】作出函数
和
的图象以及直线
的图象，如图，
由函数
和
的图象与直线
交点
的横坐标分别为
，
，
由题意知
，也即
,
由于函数
和
互为反函数，
二者图像关于直线
对称，
而
为
和
的图象与直线
的交点,
故
关于
对称，
故
.
故选：B.
23．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知定义在R 上的函数
在
上单调递
增，且
是偶函数，则满足
的x 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
是偶函数，所以函数
的图象关于直线
对称，
又
在
上单调递增，
由
，得
，即
，
平方并化简，得
，解得
，即x 的取值范围为
.
故选：C
05 利用中心对称解决函数问题
24．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数
，正项等比数列
满足
， 则
（ ）
A．2023
B．
C．2022
D．4046
【答案】A
【解析】用倒序相加法：令
①，
则也有
②，
由
知函数
关于
对称，
而
，
即
，
所以
，
则
.
故选：A
25．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数
满足
，则说
的
图象关于点
对称，则函数
的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数定义域为
，
定义域的对称中心为
，所以可猜
，
则
，
，
故
所以
的对称中心为
，
故选：C．
26．（2023·全国·校联考模拟预测）对于三次函数
给出定义：设
是函
数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称
中心，且拐点就是对称中心，若
，请你根据这一发现计算：
（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
【答案】C
【解析】由题意可知
，所以
，令
，则
，
所以
，由题意可知函数
的对称中心为
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
27．（2023·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）已知函数
，数列
为等比数
列，
，且
，利用课本中推导等差数列前
项和的公式的方法，则
（ ）
A．
B．2017
C．4034
D．8068
【答案】C
【解析】用倒序相加法：令
①
则也有
②
由
，
，即有
，
可得：
，
于是由①②两式相加得
，所以
．
故选：C
28．（2023·四川宜宾·高一统考阶段练习）若函数
，则
的值为（ ）
A．2022
B．4042
C．4044
D．8084
【答案】D
【解析】由题意函数
，定义域为
，
则
，
故
，
即函数
的图象关于点
成中心对称，
故
，
故
，
故选：D
06 利用周期性和对称性解决函数问题
29．（2023·浙江绍兴·高二统考期末）已知函数
的定义域为R，且
，
为奇函数，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】由
，则
，
所以，
，
周期为4，所以
.
由
，令
，则有
，所以，
.
因为
为奇函数，所以
，
所以，
，所以函数
关于点
对称，
所以，
.
令
，则
.
令
可得，
，所以
，所以
，
所以，有
，即有
.
令
，则有
；
令
，则
.
综上，
，
，
，
.
所以，
，
所以，
.
故选：B.
30．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知函数
，
的定义域均为
，且满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
，即
，
由
，则
，即
，
又
，则
，
，则
，
又
，
所以
，
即
，
即
，
所以
，故
，
综上
，则
，故
关于
对称，
且有
，
令
，则
，即
的周期为
，
由
知
关于
对称且
，
所以
，即
，则
，
由
，可得
，则
，
所以
则
；
则
，
依次类推可得
，
，……，
，则
，
所以
.
故选：B
31．（2023·陕西西安·高三长安一中校考期中）设函数
的定义域为
为奇函数，
为
偶函数，当
时，
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．5
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，由
为奇函数，得
，即
，
则
，由
为偶函数，得
，即
，
显然
，又当
时，
，
，
因此
，解得
，当
时，
，
又
，即
，则有
，
所以函数
是周期为4 的周期函数，
.
故选：D
32．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）已知函数
是定义域为
的偶函数，
是奇函数，
则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是以4 为周期的函数
D．
的图象关于
对称
【答案】B
【解析】因为函数
是定义域为
的偶函数，所以
，
因为
是奇函数，所以
，
将
换成
，则有
，
A：令
，所以
，因此本选项正确；
B：因为
，所以函数
关于点
对称，
由
，可得
，
的值不确定，
因此不能确定
的值，所以本选项不正确；
C：因为
，
所以
，
所以
，因此
是以4 为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为
，
所以
，
因此有
，
所以函数
的图象关于
对称，
由上可知
是以4 为周期的函数，
所以
的图象也关于
对称，因此本选项正确，
故选：B.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的定义域为
不恒为
，
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
函数
为偶函数，
，
为奇函数，
，
用
替换上式中
，得
，
，
，即
，
故函数
是以4 为周期的周期函数，
为奇函数，
，即
，
用
替换上式中
，可得，
，
关于
对称，
又
，
(1)
．
故选：B．
07 类周期函数
34．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R 的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
的取值范围是
；
当
时，
的取值范围是
，
所以当
时，
的取值范围是
,
因为函数
满足
，所以
，
又当
时,
,
故
的取值范围是
，
所以
时，
，
故
，解得
，
所以实数的取值范围是
，
故选：D.
35．（2023·浙江·高三期末）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
.
因为
，所以
，即
.
在直角坐标系内，画出
时，
的图象（如图所示）.
由于
时，
的最小值为
，所以
时，当
时，
的最小值为
，
因此，为使
时，
恒成立，
需
，即
，解得
或
，故选C
36．（2023·全国·高三专题练习）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若当
时，函数
恒成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，
此时有
，
当
时，
，此时函数单调递增，
故
，故函数
在
时的最小值为，
又
，因此当
时，函数
，
从而
，
故选：C.
37．（2023·河北邢台·高二阶段练习）定义域为
的函数
满足
当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
时，函数最小值为
，
时，函数最小值为
，
故在区间
上，函数最小值为
.
当
时，最小值为
，
同理，当
时，最小值为
，
所以
，化简可得：
，即：
解得
.
故选：C
38．（2023·全国·高三专题练习）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
因为
时，
，
所以
,
因为函数
满足
，
所以
，
所以
，
，
又因为
，
恒成立，
故
，
解不等式可得
或
.
08 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
39．（多选题）（2023·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）已知函数
是奇函数，
且
，
是
的导函数，则（ ）
A．
B．
的一个周期是
C．
是偶函数
D．
【答案】BC
【解析】对于A，
为定义在
上的奇函数，
，
，
，
，
是周期为
的周期函数，
，A 错误；
对于B，
，
，
的一个周期为
，B 正确；
对于C，由
得：
，
，
是偶函数，C 正确；
对于D，由
得：
，
令
，则
，由C 知：
，
，
，D 错误.
故选：BC.
40．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）
是定义在
上的连续可导函数，
为其导
函数，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
为偶函数，则
为奇函数
C．若
是周期为
的函数，则
也是周期为
的函数
D．已知
且
，则
【答案】AD
【解析】对于A，等式两边对
进行求导，则
，所以
，选项A 正确，
对于B，列举反例，若
，所以
，此时
为偶函数，但
，
并不是
奇函数，所以选项B 错误，
对于C，若
，则
，此时
是以为
周期的函数，但
并不是周期函数，
所以选项C 错误，
对于D，因为
，等式两边对
进行求导，即
，
令
则
，所以
，
又因为
，等式两边对
进行求导，则
，
令
则
，所以
，所以
，所以选项D 正确.
故选：AD
41．（多选题）（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，若
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，
若
为奇函数，则
，则
的图象关于点
对称，且
，故A 错误；
因为
为偶函数，所以
，即
，
则
，又
，所以
，
所以
，即
，所以
，
故
的周期为8，所以
，
，在
中，令
，得
，所以
，故B 正确；
对
两边同时求导，得
，
所以导函数
的周期为8，所以
，故C 正确；
由
周期
，得
，
，对
两边同时求导，得
，令
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
42．（多选题）（2023·湖南郴州·统考一模）定义在R 上的函数
满足
为奇函数，函数
满足
，若
与
恰有2023 个交点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为
的对称轴
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，则函数
图象关于直线
对称，B 正确；
是奇函数，即
，
，则
的图象关于点
对称，
，
，C 正确；
所以
，从而
，所以
是周期函数，4
是它的一个周期，
，A 错；
又
，
图象关于点
对称，因此
与
的图象的交点关于点
对称，点
是它们的一个公共点，
，D 正确．
故选：BCD．
09 函数性质的综合
43．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）已知函数
，其中
e 是自然对数的底数，则下列说法中正确的有（ ）
A．
为周期函数
B．
的图像关于点
对称
C．
在区间
上是减函数
D．关于x 的方程
有实数解
【答案】ABC
【解析】选项A：
，是周期函数，故A 正确；
选项B：
，所以函数
关于点
中心对称，故B 正
确；
选项C：
时，
，
所以函数
在区间
上为减函数，故C 正确；
选项D：
，
，当且仅当
，
时方程有解，即
，
同时
成立时方程有解，
但
和
无法同时满足，所以方程没有实数解，故D 错误．
故选：ABC.
44．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数
，若对任意的
，
恒成立，则a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题易知，
的定义域为R，因为
，
所以
为奇函数.
又
，
函数
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减.
若对任意的
，
恒成立，
即
，又
为奇函数，得
，
因为
在
上单调递减，所以
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立.
当
时，
不恒成立，不符合题意；
当
时，有
，解得
.
综上，a 的取值范围为
.
故答案为：
45．（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数
对于任意x，
，总有
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】令
得
，
令
，得
，则
为奇函数，
设
，则
，
因为当
时，
，所以
，则
，
所以
在R 上单调递增．
由
，得
，
所以
．
可化为
，所以
，
解得
．
故答案为：
46．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
．
①
的定义域为
，值域为
；②
的图象关于坐标原点对称；③
在
上单调递减．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由题意联想到函数
，其定义域为
，值域为
，在
上单调
递增，
故可构造函数
，其定义域为
，值域为
，
又因为
的值域为
，所以可取
，
易知
满足性质①②，
再验证是否满足性质③．求导得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，满足性质③.
故答案为：
（答案不唯一）.
47．（2023·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）已知函数
（
为常数）为奇函数，则满
足
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数
（
为常数）为奇函数，则
，即
，
解得
，检验符合，
所以
，且
，即函数
在
上单调递增，
则
，即
，
解得
，所以不等式的解集为
.
故答案为：
48．（2023·江苏泰州·高三统考期中）已知正数x，y 满足
，
，则
的值
为 .
【答案】9
【解析】由
可得
，
由于函数
均为
上的单调递增函数，且恒为正，
所以
为
上的单调增函数，
由于
，所以
，故
，
故答案：9
