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压轴专题01 函数的基本性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
压轴分析
高考数学函数综合题中，单调性、奇偶性、周期性和对称性极少被孤立考查。真正的压轴难点在于
它们交织成网、彼此转化。命题人常通过形如 f(ax+b) 的“嵌套条件”设置障碍，其核心是检验学
生能否剥离代数形式，洞察背后的几何本质（即对称轴或对称中心）。破题的关键在于建立“性质
推理链”：往往从两个对称性条件推导出周期性，再利用周期性化繁为简，最后借助单调性进行比
较或求解。掌握“翻译条件→串联推导→数形结合”的思维路径，方能从复杂条件中精准破局。
知识总结
1. 奇偶性的运算
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)−g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确
定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确
定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f ( x)=ax+a−x
，（
，且
）为偶函数，
，（
，且
）为奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
为偶函数
3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（
且
）为奇函数，
，（
且
）为奇函数
4. 函数的周期性
①若
，则
的周期为：
②若
，则
的周期为：
③若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
④若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
⑤
，周期为
，
，周期为
⑥
，周期为
，周期为
；
，周期为
；
，周期为
⑦复合函数：
的周期为
，则
的周期也为
⑧若
的周期为
，则
、
的周期均为
5. 函数的对称性
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
6. 函数的性质综合
（1）周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
（2）奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
二级结论
1. 在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，则最大值
，最小值
有
，即
倍常数
2. 在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，有
即
倍常数
典例精讲
【典例1】
（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．1 或-1
会一题通一类
（2025·广东广州·模拟预测）若函数
是奇函数，则实数
.
【典例2】
（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上单
调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
，且
，则实
数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，且对于
、
，当
时都有
，则不等式
的解集为 ．
3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数
的导函数为
，若对任意
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数
，若不等式
在
上有解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·天津和平·三模）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】
（25-26 高三上·江苏苏州·月考）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函
数.若
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
会一题通一类
1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，对任意的
，恒有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
2．（2025·江西·二模）已知函数
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函
数，当
时，
，则
.
4．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为奇
函数，
，
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．1013
D．1012
【典例4】
（2025·广东清远·一模）（多选）已知函数
满足：
都有
，且
的图象关于直线
对称，若
．则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为
的函数
，
满足
，
，
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于y 轴对称
B．
为
的一个周期
C．
D．
2．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）（多选）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，已知当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递减
C．
D．
3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）（多选）定义在
上的奇函数
满足
，
在区间
上单调递增，且
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
关于直线
对称
D．
【典例5】
（2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是奇函数，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．
存在最小值
D．当
时，
会一题通一类
1．（2025·海南·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，当
时，
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
是定义在
上的奇函数，且
的一个周期为2，则（ ）
A．2 为
的周期
B．
C．
D．
3．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若
，
，且
为奇函数，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
为偶函数
D．
【典例6】
（2025·江苏·模拟预测）若函数
的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数
，函数
在
上有最值，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
，若实数
，
满足
，
则
的最大值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
53．（2025·广东惠州·模拟预测）已知
，若
有三个零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
热点预测
1．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，
函数
为偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025·湖南·一模）已知
均为定义在
上的函数，
，若
的图象关于直线
对称，且
，则
的值是（ ）
A．463
B．464
C．465
D．466
3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对
，定义函数
如下：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶函数，
也是偶函数，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2025·山东聊城·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意的
，不等
式
恒成立，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足：
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
的图象关于直线
对称
8．（多选）（2025·广东深圳·模拟预测）已知连续函数
满足
，则（ ）
A．
B．
最小值为1
C．
D．
9．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围为 ．
10．（2025·福建·模拟预测）已知函数
的定义域为
为
的导数，
，当
时，
，若
，则关于
的不等式
在区间
上的解集为 .
模拟训练
一、单选题
1．（2025·江苏·模拟预测）已知
和
都是定义在
上的奇函数，设
，
则（ ）
A．
不可能是增函数
B．
不可能是偶函数
C．
D．
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
及其导数
的定义域均为
在
上单调递增，
为奇函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，又当
时，
恒成立，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数
的定义域
关于原点对称，
且
满足：
（1）当
时，
；
（2）
且
.则下列关于
的判断错误的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
是
的一个周期
D．
在
上单调递减
5．（2025·陕西西安·模拟预测）设
与其导函数
的定义域均为
，若
，
的图象关于直线
对称，
在区间
上单调递减，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
D．
的极小值为
6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
，若函数
恰有4 个
零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·全国·模拟预测）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任
意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
的定义域为
C．若
在
上单调递增
D．若
，则
10．（2025·甘肃白银·三模）已知对于
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
11．（2025·江苏盐城·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
的定义域为
，将
的图象绕原点旋转
后所得图象
与原图象关于
轴对称，且
，
，
，则
（ ）
A．2024
B．
C．2025
D．
13．（2025·河北保定·三模）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
，若
，
，都有
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·山东济南·三模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且满足
．若
在
单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
15．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．
若
，
为偶函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·四川成都·一模）已知
是定义在
的偶函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
是
的极小值点
D．存在实数
，使得直线
与
的图象恰有1 个公共点
17．（2025·广东·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数.
若
，则（ ）
A．
B．
可能为2
C．
D．
可能为0
18．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数
定义域为
，当
时，
，且对任意实数
，
均有
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
是单调函数
19．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
为
上的奇函数，当
时，
，且
的图象关于点
中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
有三个零点
C．
是周期为4 的周期函数
D．线段
，
与
，
的图象有6 个交点
20．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为非常数函数，
，
为奇函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
定义域为
，其导函数为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
一个对称中心为
B．
的一个周期为2
C．
的图象关于
对称
D．
22．（2025·湖南·模拟预测）已知非常值函数
的定义域为
，对任意
都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（25-26 高三上·重庆·月考）设函数
的定义域为R，且满足
，
为奇
函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
关于
对称
C．
D．
的导函数
的周期为
24．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
三、填空题
25．（2026·江苏镇江·模拟预测）设函数
和
的定义域为D，若存在非零实数
，使得
，则称函数
和
在D 上具有性质P.现有下列三组函数：
①
，
；②
，
；③
，
．
其中具有性质P 的是 .（填序号）
26．（25-26 高一上·云南楚雄·月考）已知函数
满足
，若函数
与
的图象有6 个交点，交点横坐标为
，则
．
27．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
关于直线
对
称，则函数
的所有零点之和为 ，
的最小值为 .
28．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数
和
的定义域均为
，且
，若
是偶函数，
，则
.
