文档文本内容
第15 讲 三角函数的图象和性质
易错分析
易错点一 忽略ω 的正负对三角函数性质的影响
题型方法
题型一 三角函数的图象变换
题型二 根据三角函数的部分图象求解析式
题型三 判断三角函数的单调性与最值
题型四 求三角函数的最小正周期
题型五 三角函数图象的对称性
题型六 极值、零点问题
题型七 ω 的求解
知识点01 用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π
，
0)
，，(2π，0)．
题型梳理
知识清单
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π
，－
1)
，，(2π，1)．
知识点02 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{ x | x ≠
kπ＋}
值域
[ －
1,1]
[ －
1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调递增区间
[2
k π －
π ，
2 k π]
单调递减区间
[2
k π ，
2 k π ＋
π]
对称中心
( k π ，
0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x ＝
k π
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是
个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【易错点一】忽略ω 的正负对三角函数性质的影响
【例1】（2023·河南·模拟预测）已知函数
，
，则
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【举一反三】【变式1】（2021·陕西咸阳·一模）设函数
，则
在
上的单调递减区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
，则函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·宁夏·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一】三角函数的图象变换
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数
（
）向左正移
个单位后在区间
上单调
易错分析
题型方法
递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
(1)由y＝sin ωx 的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ 个
单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω 为负时应
先变成正值
【举一反三】【变式1】（2024·福建厦门·三模）将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再
将图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
.
【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若函数
，求函数
的最大值.
【题型二】根据三角函数的部分图象求解析式
【例2】（2022·全国·模拟预测）已知函数
的部分图像如图，则
的
解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2020·宁夏银川·三模）已知函数
的部分图像如图，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·广东江门·模拟预测）已知函数
部分图像如图所示，则函数
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·江西九江·三模）若将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
．
【题型三】判断三角函数的单调性与最值
【例3】（2022·北京·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
解题技巧
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，
通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω 化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
【举一反三】【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递
增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
边上的高为.若
，则
的最大值为 .
【变式3】（2023·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)求
在
上的值域．
【题型四】求三角函数的最小正周期
【例4】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx 或y＝Atan ωx 的形式，而偶函数一般
可化为y＝Acos ωx 的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx
＋φ)(ω>0)的周期为求解．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·陕西汉中·一模）若函数
（
）的最小正周期为
，则
【变式3】（2022·四川绵阳·模拟预测）已知向量
，设函数
(1)求
的最小正周期.
(2)求函数
的单调递减区间.
(3)求
在
上的最大值和最小值.
【题型五】三角函数图象的对称性
【例5】（2023·天津·高考真题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为4，则
的解
析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数
的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2023·全国·模拟预测）函数
的图象的对称中心为
【变式3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的对称中心及对称轴方程；
(2)当
时，求函数
的最大值和最小值．
【题型六】极值、零点问题
【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）设函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
的图象关于原点对称，且在
上单调，在
处取得极值，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数
，则函数
在
上恰有1 个零点，
则实数
的取值范围为 .
【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知向量
，向量
，
.
(1)求
的最小正周期；
(2)求
在
上零点和极值点的个数.
【题型七】ω 的求解
【例7】（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上
存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【举一反三】【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若
，
在
内有极小值，无极大值，则
可能的取值个数（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式2】（2020·安徽池州·三模）已知函数
满足
，
，且
在区间
上单调，则
取值的个数有 个．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调递增区间；
(2)若函数
在
上有且仅有两个零点，求
的取值范围．
一、单选题
1．（2025·重庆·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃白银·三模）函数
的最小值和最小正周期分别为（ ）
好题必刷
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，则
在
上的最
大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
4．（2025·辽宁·二模）将函数
的图像先向右平移
个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不
变，横坐标都变为原来的
倍，得到函数
的图像．已知函数
在
上有两个零点，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河北·模拟预测）已知函数
在区间
单调递减，且
和
是
两个
对称中心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·内蒙古包头·二模）已知
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是
的周期
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．若
在
上恰有
个零点，则
8．（2025·山东临沂·三模）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
是
的一条对称轴
C．函数
在
上单调递增
D．函数
图象与直线
有3 个交点
三、填空题
9．（2025·天津河北·模拟预测）函数
的最大值为 ．
10．（2025·甘肃白银·三模）若函数
的最小正周期是
，则
.
11．（2024·全国·模拟预测）若函数
在
内恰好存在两个极值点，且直线
与曲线
在
内恰有两个交点，则
的取值范围是 ．
12．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
在
上有且仅有一个零点，则
的
取值范围是 ．
13．（2024·上海·三模）设
，
．若存在公比
的无穷等比数列
，使得
对任
意正整数
都成立，则
的取值范围是 ．
14．（2025·四川巴中·二模）已知函数
在区间
上的最小值为
，则
的取值范围为 .
15．（2024·全国·模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，
若函数
和
在
上都恰好存在两个零点，则
的取值范围是 ．
四、解答题
16．（2025·北京海淀·三模）已知函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
在一个周期内的部分取值如下表，
：
x
0
m
求
的解析式及单调增区间．
17．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的最小正周期和值域；
(2)设
，若函数
为奇函数，求
的最大值.
18．（2024·上海嘉定·一模）已知
，其中
.
(1)若
，求函数
的值域；
(2)若
，且函数
在
内有极小值，但无极大值，求
的值.
19．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
．
(1)若
的最小正周期为
，求当
时
的值域；
(2)若
在区间
内无零点，求
的取值范围．
20．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量
(1)求函数
的单调递增区间和对称中心；
(2)在锐角
中，内角
的对边分别为
，若
，求
的取值范围．
