文档文本内容
4.3 三角函数的图象与性质
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................3
02 落实主干知识..................................................................................................................................4
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图....................................................................................4
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质........................................................................................4
三、正弦函数的平移和伸缩变换........................................................................................................5
常用二级结论........................................................................................................................................5
03 探究核心题型..................................................................................................................................7
题型一：五点作图法............................................................................................................................7
题型二：求解对称性与最小正周期..................................................................................................13
题型三：求解单调区间与最值..........................................................................................................16
题型四：求解三角函数解析式..........................................................................................................20
题型五：函数的奇偶性......................................................................................................................25
题型六：三角函数图像的平移伸缩..................................................................................................28
题型七：三角函数实际应用问题......................................................................................................32
题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合..........................................................36
题型九：三角函数性质的综合问题..................................................................................................40
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................46
05 数学思想方法................................................................................................................................50
①数形结合..........................................................................................................................................50
②转化与化归......................................................................................................................................53
③分类讨论..........................................................................................................................................54
06 课时精练（真题、模拟题）........................................................................................................58
基础过关篇..........................................................................................................................................58
能力拓展篇..........................................................................................................................................67
1、能画出三角函数的
象
图
.
2、了解三角函数的周期性、
性、奇偶性、最大
单调
(小)值.
3、借助
象理解正弦函数、余弦函数在
图
上的性
及正切函数在
质
上的性质.
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x| x∈R ，x≠kπ+ π
2 }
值域
[−1 ，1]
[−1 ，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ−π
2 ，2kπ+ π
2 ]
[−π+2kπ ，2kπ ]
(kπ−π
2 ，kπ+ π
2 )
递减区间
[2kπ+ π
2 ，2kπ+3π
2 ]
[2kπ ，π+2kπ ]
无
对称中心
(kπ ，0)
(kπ+ π
2 ，0)
( kπ
2 ，0)
对称轴方程
直线
x=kπ+ π
2
直线x=kπ
无
三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数
的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
y=sin x⃗图象左移ϕ y=sin(x+ϕ)⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
2、
y=sin x⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx)⃗图象左移ϕ
ω y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：
，
的图
像
定理：
则平移单位为
（注意平移方向）
常用二级结论
y=sin x
y=Asin(ωx+ϕ)
周期
2π
2π
ω
定义域
R
R
最大值
1，当
x=2kπ+ π
2 取得
A，当
x=
2kπ+ π
2 −ϕ
ω
取得
最小值
-1，当
x=2kπ+ 3 π
2 取得
-A，当
x=
2kπ+ 3 π
2 −ϕ
ω
取得
单调增区间
[2kπ−π
2 ,2kπ+ π
2]
[
2kπ−π
2 −ϕ
ω
,
2kπ+ π
2 −ϕ
ω ]
单调减区间
[2kπ+ π
2 ,2kπ+ 3 π
2 ]
[
2kπ+ π
2 −ϕ
ω
,
2kπ+3π
2 −ϕ
ω
]
对称轴
x=kπ+ π
2
x=
kπ+ π
2 −ϕ
ω
对称中心
(kπ ,0)
(
kπ−ϕ
ω
,0)
题型一：五点作图法
【典例1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）某同学用“五点作图法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数
的解析式；
(2)若
在
上有两根，求
的取值范围.
(3)若
在
上有两根
，求
【解析】（1）补充表格:
由最大值为
最小值为
可知
又
，故
再根据五点作图法，可得
，得
故
（2）令
，则
所以
=
有两个根，转化为
在
上有两个根.
即
在
上有两个根.
由
在
的图像和性质可得：
,
所以
故实数
的取值范围为
（3）函数
的对称轴为
，即
.
因为
在
上有两根
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
关于
对称，则
，即
，所以
.
已知
，则
，其中
，
则
根据诱导公式
.
又因为
，再根据两角差的正弦公式，可得：
所以
因为
，且
，所以
，
则
.
代入
可得：
,
则
.
【典例1-2】（2025·高一·甘肃武威·开学考试）已知函数
.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数
在
的图象；
x
0
y
0
2
0
(2)将
图象上所有点向右平行移动
个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
的图象，求
的解析式，并写出曲线
的一个对称中心.
【解析】（1）列表得
0
y
0
2
0
0
再描点，得图象如下，
（2）将
图象上所有点向右平行移动
个单位长度，得到
的图象，
再将其各点横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
的图象，
故
的解析式为
，
由
，解得
，故函数
图象的一个对称中心为
（答案不唯一）.
【解题总结】
（1）在正弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
【变式1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）已知函数
.
(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数
的大致图象，要求：列表，描点，连线；
(2)若方程
在
有两个不同的实数根，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，
则列表如下：
所以
的图象如图，
（2）因为
，所以
，
又
，结合（1）中图象，可知
在
上的图象如图，
因为方程
在
有两个不同的实数根，
所以
与
的图象有两个交点，故
或
.
【变式1-2】（2025·高一·辽宁·期中）已知函数
.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出
在
上的图象；
0
(2)若函数
为奇函数，求
的值及
的对称轴方程.
【解析】（1）列表如下：
0
2
0
0
2
再描点连线，得图象如下：
（2）因为
，所以
，
令
，
因为
为奇函数，所以
，
所以
，
.
又因为
，所以当
时，
，
所以
，
所以
的对称轴方程为
，
，
即
的对称轴方程为
，
.
题型二：求解对称性与最小正周期
【典例2-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
的图象关于点
中心对称，则其
图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
的图象关于点
中心对称，
所以
，有
，
不妨令
，则
，所以
，
由
，得
，
所以
的对称轴方程为
，
当
时，
的对称轴方程为
，
故选：C
【典例2-2】（2025·四川巴中·模拟预测）设函数
，对
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
都有
，可知函数
的图象的对称中心为
，
由函数
可得
，
解得
，又
，
，
.
故选：A
【解题总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数
的周期分别为
，
．
（2）函数
，
的周期均为
（3）函数
的周期均
．
【变式2-1】（2025·高三·河南新乡·开学考试）已知
是函数
的两个极值
点，且
，则
的图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】图象上两个极值点
，
满足
，
，即
，
，
，所以
，所以
，
，
，
，
当
时，
，
，
所以点
为函数
的图象的一个对称中心．
故选：D．
【变式2-2】（2025·高三·全国·专题练习）若函数
的图象的两对称中心间的最
小距离为
，则
等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】因为函数
的图象的两对称中心间的最小距离为
，
所以
，则
，
所以
，解得
．
故选：A.
【变式2-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知函数
的图象关于直线
对称，则
的
取值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】由题意，
，得
，
当
时，
，
故选：B.
【变式2-4】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数
，将
的图象
先向左平移
个单位长度，然后再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，若
图象关于
对称，则
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意有
，
由
的图象先向左平移
个单位长度，然后再向下平移1 个单位长度，
得到函数
，
故
，
所以
，
，
，由于
，所以
．
故选：A.
【变式2-5】（2025·高三·广东·开学考试）若点
是函数
的图象的一个对称中心，
则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为点
是函数
的图象的一个对称中心，
所以
，即
，
又
，故
时，
的最小值为
.
故选：A.
【变式2-6】（2025·安徽·模拟预测）若直线
是函数
图象的一条对称轴，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，解得
.
因为
，故当
时，
取得最大值
.
故选：A.
题型三：求解单调区间与最值
【典例3-1】（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知函数
，则下列选项中是
的一个
单调递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
令
，则
，
则
的单调递增区间为
，
当
时，
的一个单调递增区间是
，故B 选项正确；
当
时，
的一个单调递增区间是
，
当
时，
的一个单调递增区间是
，故A，C，D 选项错误.
故选：B
【典例3-2】（2025·高三·全国·专题练习）下列区间中，函数
不单调的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，得
，
，
当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；
由
，
，得
，
，
当
时，
的单调递减区间为
；
当
时，
的单调递减区间为
，
所以
在区间
不单调.
故选：B
【解题总结】
三角函数的单调性，需将函数
看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复
合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数
的单调区间的确定基本思想是吧
看做是一个整体，
如由
解出
的范围，所得区间即为增区间；
由
解出
的范围，所得区间即为减区间．
若函数
中
，可用诱导公式将函数变为
，则
的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数
的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式3-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数
在
上单
调，
，若将曲线
向右平移
个单位后恰好关于
轴对称，则正数
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
，
又函数
在
上单调，
所以函数
的最小正周期
，
则
，又
，所以
．
若
，则由
，
又因为
，
，所以此时
无解．
若
，则
，
因为
，所以
．又
，符合题意．
若
，则
，
又
，
，则此时
无解．
综上，
，所以函数
图像向右平移
个单位，
，
由
的图象关于
轴对称，
所以有
，
则正数
的最小值为
，
故选：D．
【变式3-2】（2025·高三·全国·专题练习）函数
的部分图象如图所示，则
的单调递
减区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】由图可知
的周期
；
故
图象的最高点和最低点的横坐标分别为
，
故
的单调递减区间为
，
.
故选：D
【变式3-3】（2025·高一·全国·课后作业）函数
的（ ）
A．单调递增区间是
B．单调递减区间是
C．单调递减区间是
D．单调递增区间是
【答案】C
【解析】由
可知，
，所以
的单调
递减区间为
．
题型四：求解三角函数解析式
【典例4-1】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数
来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
成中心对称
B．函数
的解析式可以为
C．函数
在
上的值域为
D．若把
图象上所有点向右平移
个单位，则所得函数是
【答案】B
【解析】由图可知
，所以
，
且
，所以
，
又因为
，所以只能
，所以
，
对于A，
，故A 错误；
对于B．
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，若把
图象上所有点右平移
个单位，则所得函数是
，
故D 错误．
故选：B.
【典例4-2】（2025·广东广州·模拟预测）将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2 倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得到图象对应的函数解析式为
，
再将所得图象向左平移
个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为
.
故选：C．
【解题总结】
根据函数必关于
轴对称，在三角函数中联想到
的模型，从图象、对称轴、对称中心、最
值点或单调性来求解．
【变式4-1】（2025·陕西渭南·模拟预测）函数
的图象如图所示
.将
的图象向右平移2 个单位长度，得到函数
的图象，则
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知
的周期
满足
，得
，
即
，得
，
所以
，
因为点
是
图象的一个点，
所以
，
，
则
，又
，所以
，
所以
，
将
的图象向右平移2 个单位长度，
得到函数
.
故选：D.
【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）将函数
的图象的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），
然后再向左平移
个单位长度，得到函数
的部分图象如图所示，
则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图像可得
，函数
的最小正周期为
，
所以
，将点
的坐标代入函数
的解析式，
且函数
在
附近递增，所以
.
则
，
得
.因为
，所以当
时，
，
因此
.
函数
的图象向右平移
个单位长度，然后横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，
得到函数
的解析式为
.
故选：B.
【变式4-3】（2025·四川攀枝花·二模）函数
的部分图象如图所示，
则将
的图象向右平移
个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可得
，又
，故
，
，故
，
则
，又
，故
，
，即
，
，
故
，
，又
，故
，
则
，将
的图象向右平移
个单位长度后，
可得
，
故选：A.
【变式4-4】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
的部分图象，将
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，再将所得曲线向左平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图象可知
，
则
的一个最低点为
，
的最小正周期为
，则
，
，即
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
将
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，
得
的图象，
再将所得曲线向左平移
个单位长度，
得
，
故
，
故选：D.
题型五：函数的奇偶性
【典例5-1】（2025·河北邯郸·一模）若函数
为偶函数，则
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据正弦函数的图象和性质，若
为偶函数，则
，
已知函数
为偶函数，则需满足
，所以
.
当
时，
，
；当
时，
，
，
所以
取得最小值
.
所以
.
故选：C.
【典例5-2】（2025·高三·天津红桥·开学考试）函数
， 将其图象向左平移
个单位长度
得到函数
的图象，且函数
的图象关于
轴对称，若
是使变换成立的最小正值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵将函数
的图象向左平移
个单位，可得函数
的图象，
又函数
的图象关于
轴对称，即函数
为偶函数，
由
可得
，
，解得：
，
，
因为
是使变换成立的最小正值，由
时，可得
．
故选：C．
【解题总结】
由
是奇函数和
是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若
为奇函数，则
；
（2）若
为偶函数，则
；
（3）若
为奇函数，则
；
（4）若
为偶函数，则
；
若
为奇函数，则
，该函数不可能为偶函数．
【变式5-1】（2025·高三·江西·阶段练习）已知函数
是奇函数，且
是
的一
个极值点，记
的最小正周期为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
是奇函数，
所以
，且函数图象关于原点对称，
，
有
，
且
，即
化简可得
对于任意
成立，
因为
不恒为0，所以
且
，即得
，
因为
是
的一个极值点，
，即
，
可得
，解得
，
的最小正周期为
，
所以当
或
时，
取最大值为
.
故选：C.
【变式5-2】（2025·湖南湘潭·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后
得到函数
的图象，若
为奇函数，则实数φ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数
，
所以
，
又
为奇函数，所以
，
又
，所以
.
故选：C
【变式5-3】（2025·高三·江苏镇江·开学考试）若函数
为奇函数，则下列能满
足条件的
取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设
，则
，
显然
时
，而
、
、
均不可能.
故选：C
【变式5-4】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数
的图象与直线
的两个
相邻交点之间的距离为
，且
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的图象与直线
的两个相邻交点之间的距离为
，
所以
的最小正周期
，又
，所以
，
所以
，则
，又
为奇函数且
，
所以
，所以
，
所以
的最小值为
．
故选：B．
【变式5-5】（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位，得
到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【解析】函数
的图象向左平移
个单位，
得到函数
,
由
为奇函数，则
，
因为
，所以
的最小值是，
故选：B.
题型六：三角函数图像的平移伸缩
【典例6-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
，
分别为
的图象两条
相邻对称轴上的动点，向量
，
，为得到函数
的图象，需要将
的图象（ ）
A．先向右平移
个单位长度，再向上平移3 个单位长度
B．先向右平移
个单位长度，再向上平移3 个单位长度
C．先向右平移
个单位长度，再向下平移3 个单位长度
D．先向右平移
个单位长度，再向上平移3 个单位长度
【答案】B
【解析】设
在
上的投影向量为
，则
，
因
，则
，
，
因
分别为
的图象的两条相邻对称轴上的动点，则
，
得
，
故
，
，
将
的图象按照各个选项的条件变化分别得到满足以下解析式的函数图象：
A：
B：
，
C：
，
D：
，故符合题意的只有B 选项.
故选：B
【典例6-2】（2025·高三·山东青岛·开学考试）为了得到函数
的图象，只要把函数
的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2 倍，向左平移
个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2 倍，向右平移
个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的
，向左平移
个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的
，向右平移
个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【解析】将函数
图象上所有的点横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变得到函数
的图象，
再将
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象.
故选：C
【解题总结】
函数
的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
y=sin x⃗图象左移ϕ y=sin(x+ϕ)⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
2、
y=sin x⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx)⃗图象左移ϕ
ω y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：
，
的图
像
定理：
则平移单位为
（注意平移方向）
【变式6-1】（2025·高三·福建·开学考试）为了得到函数
的图象，只需把函数
图象上所有的点（ ）
A．向右平移1 个单位长度
B．向左平移1 个单位长度
C．向上平移1 个单位长度
D．向下平移1 个单位长度
【答案】B
【解析】对于选项A，函数
图象向右平移1 个单位长度得
，A 选项错误.
对于选项B，函数
图象向左平移1 个单位长度得
，B 选项正确.
对于选项C，函数
图象向上平移1 个单位长度得
，C 选项错误.
对于选项D，函数
图象向下平移1 个单位长度得
，D 选项错误.
故选：B
【变式6-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数
，下列变换与“
变换到
”不相同的是（ ）
A．
变换到
B．
变换到
C．
变换到
D．
变换到
【答案】D
【解析】由题意可知“
变换到
”是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，
对于A，B，C 选项从
变换到
都是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，
即
；
，
对于D 项，从
变换到
是先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右移动
个单位，该
变换与题干中的变换不一致，D 错误.
故选：D
【变式6-3】（2025·高三·全国·专题练习）将
的图象按向量
平移，则平移后
所得图象的函数解析式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设，
向左平移
个单位，向下平移2 个单位，
所以平移后的解析式为
.
故选：A
【变式6-4】（2025·高一·全国·课后作业）要得到函数
的图象，只需将函数
的图
象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【解析】
，又
，
则将函数
的图象向左平移
个单位长度即可.
故选：B
题型七：三角函数实际应用问题
【典例7-1】（2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常
特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑
师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：
，这个方程中，
代表一个
给定的角度，
则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时
的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】
当
时，
时，
.
故选：B
【典例7-2】（2025·高一·四川德阳·阶段练习）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O 到水面的距离为
1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为
，
与水平正方向的夹角为
．若筒车以角速度
沿逆时针方向转动，t 为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点
所需的时间（单位：min），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设盛水桶在转动过程中到水面的距离为
，时间为.
则旋转角度为
先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为
轴正方向、竖直向上为
轴正方向.
由题意可得：
是关于的周期函数，盛水桶到水面的距离
与时间的函数关系为：
.
令
，解得：
，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足
，且
则
，
，故选项A、C 错误；
又因为
，
所以
，故选项D 正确；
又因为
所以
，故选项B 错误.
故选：D.
【解题总结】
以三角函数的图像和性质作为命题背景，解决实际生活中的数学问题，创新性比较强，体现数形结合
和建模思想.一般以三角函数的最值为常考点，也考查三角形相关的周长和面积等问题.
【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）某公园拟修建一条坡道，坡道的底端在水平面上，顶端距离水平面4
米，假设坡道（不计宽度）是直线段，其所在直线与水平面所成角为
，游客上坡时，每行走1 米的“体
力消耗”为
.若要使游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小.高一的小张、小王、小赵、小
李四位同学分别通过计算对角度
提出近似值，则四人提出的近似值中体力消耗最少的是（ ）
A．小赵：
；
B．小王：
；
C．小李：
；
D．小张：
；
【答案】B
【解析】由题意知，坡道长度为
米，设游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗为
，则
，
又
利用计算器计算得，
，
，
，
，
显然
最小，所以当
时，游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小..
故选：B.
【变式7-2】（2025·高一·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h 的海水水位
（单位：m）随时间
（单位：
）的变化近似满足关系式
，若一天中最高水位为
14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m 的时长为（ ）
A．12h
B．14h
C．16h
D．18h
【答案】C
【解析】由题知
解得
所以
．
令
，即
．因为
，所以
，
由正弦函数图象与性质可知，
，解得
，
所以该港口一天内水位不小于8m 的时长为
小时．
故选：C
【变式7-3】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心
角
的范围为
时，其所对的“古典正弦”为
（
为
的中点）．根据以上信息，当圆心
角
对应弧长
时，
的“古典正弦”值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由圆心角
对应弧长
，得圆心角
弧度数绝对值为2，则
，
所以
.
故选：D.
【变式7-4】（2025·高三·山西·期末）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10 世纪的科学家比
鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半
径的方法：先用边长带有刻度的正方形
测得一座山的高
（如图1），再于山顶T 处悬一个直
径为
且可以转动的圆环（如图2），从山顶T 处观测地平线上的一点I，测得
且
，
由此可以算得地球的半径
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知，
，故
，解得
.
故选：B.
【变式7-5】（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，摩天轮上一点
在时刻距离地面的高度满足
，已知某摩天轮的半径为
米，点
距地面的高度为
米，
摩天轮做匀速运动，每
分钟转一圈，点
的起始位置在摩天轮的最低点，则
（米）关于（分钟）的
解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
，解得
，
函数
的最小正周期为
，
解得
，则
，
因为当
时，
，可得
，
因为
，所以，
，
所以，
（米）关于（分钟）的解析式为
.
故选：B.
题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合
【典例8-1】（2025·高三·全国·开学考试）已知
，
，则
的
最小值为 .
【答案】
【解析】将已知两个等式两边平方后，再相加，
得
，即
，
因为
，所以
，所以
，
解得
，即
当
，得
，不妨设
，
，
又
，解得
，
，
则
符合题意.
故答案为：
【典例8-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知
，则
的最大值为
【答案】
【解析】
，
设
，
，
，其中
，
可知当
时，
.
故答案为：
【解题总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型
处理．
（1）
，设
，化为一次函数
在
上的最值求解．
（2）
，引入辅助角
，化为
，求解方法同类
型（1）
（3）
，设
，化为二次函数
在闭区间
上的最值求
解，也可以是
或
型．
（4）
，设
，则
，故
，故原函数化为二次函数
在闭区间
上的最值求解．
（5）
与
，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于
或
的函数求解释务必注意
或
的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式8-1】（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
在区间
上既有最大值，也有最
小值，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图：
当
时，函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
；
当
时，函数
在区间
上的最大值为1，最小值为
.
综上可知：实数
的取值范围为
．
故答案为：
【变式8-2】（2025·高三·北京·开学考试）若函数
的最小值为
，则常数
的一个
取值为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
，
要想
的最小值为
，
需要
同时成立，
由
得到
，
，
不妨取
，则
，即
，
解得
，取
，得
.
故答案为：
（答案不唯一）
【变式8-3】（2025·安徽·模拟预测）在
中，若
，则
的取值范围为
.
【答案】
【解析】由
，得
，
由正弦定理得
，则
，当且仅当
时等号成立.
又
，且余弦函数
在
上单调递减，则
，
而正弦函数
在
上单调递增，因此
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
【变式8-4】（2025·高一·全国·专题练习）函数
，
，
最小值为
．
【答案】
【解析】令
，则
，
所以
．
因为
在
上是减函数，
所以当
，即
时，
，
即
最小值为
.
故答案为：
.
【变式8-5】（2025·高三·湖南常德·期末）已知
，则函数
的最小值
为 ．
【答案】
【解析】令
，
则
因为
，所以当
时， 函数
取得最小值
，此时
，
当
时，
，所以
，
故答案为：
题型九：三角函数性质的综合问题
【典例9-1】（多选题）（2025·高三·陕西西安·开学考试）已知
，其中
，
则下列说法正确的是（ ）
A．函数
可能有两个零点
B．函数
可能有三个零点
C．函数
可能有四个零点
D．函数
可能有五个零点
【答案】ABC
【解析】由函数
，其中
，
令
，即
，
可得
或
，则
或
或
，
设
，则
，
又由函数
在
上为单调递减函数，且
，
当
时，方程
在
上无解，即
无解，
此时
只有两个实数根，即函数
可能有两个零点；
当
时，可得
，解得
，
此时
只有三个实数根，即函数
可能有三个零点；
当
时，方程
在
上有一解，
则
在
上有两个解，此时
只有四个实数根，即函数
可能有四个零点，
综上，函数
可能有两个或三个或四个零点.
故选：ABC.
【典例9-2】（多选题）（2025·高三·辽宁沈阳·阶段练习）设函数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
，
在
上单调递减
B．若
且
，则
C．若
在
上有且仅有2 个不同的解，则
的取值范围为
D．存在
，使得
的图象向右平移
个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】AC
【解析】函数
，
对于A，
，当
时，
，
而函数
在
上单调递增，因此
在
上单调递减，A 正确；
对于B，当
时，
的最小正周期为
，
，
由
，得
，B 错误；
对于C，由
，得
，由
在
上有且仅有2 个不同的解，
得
，解得
，C 正确；
对于D，
，要
为奇函数，
当且仅当
，而当
时，
，因此
不可能是奇函数，D 错误.
故选：AC
【解题总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性
奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数
为奇函数；若函数图像关于
轴
对称，则函数
为偶函数）；对称性
周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是
；相邻的对称中心
之间的距离为
；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为
）；对称性
单调性（在相邻的对称轴之间，
函数
单调，特殊的，若
，函数
在
上单调，且
，设
，则
深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
【变式9-1】（多选题）（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
的对称轴
B．
是
的周期
C．
在区间
上单调递减
D．
的最大值为2
【答案】BC
【解析】因为
，通过辅助角公式可以得到
，
对于选项A，
的对称轴条件：
，解得
，不含
，所以选项
A 错误；
对于选项B，
，所以
，所以
是
的周期，所以选项B 正确；
对于选项C，令
，解得
，所以
在区间
上单调递减，所以选项C 正确；
对于选项D，函数
的最大值为1，因此
的最大值为
，所以选项D 错误.
故选：BC.
【变式9-2】（多选题）（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
在定义域内是增函数
B．
的最小正周期为
C．函数的定义域是
D．
是
图象的一个对称中心
【答案】BCD
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，
的最小正周期为
，故B 正确；
对于C，由
，可得：
，故C 正确；
对于D，令
，解得
，则函数
图象的对称中心为
，
令
得
，故
是
图象的一个对称中心，故D 正确．
故选：BCD
【变式9-3】（多选题）（2025·高三·贵州·开学考试）已知函数
的最小正周期为
，
则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ABD
【解析】由题意，
，则
，即
，故A 正确；
而
，故B 正确；
当
时，
，
因为函数
在
上先增后减，
则
在
上先增后减，故C 错误；
由
，
所以
的图象关于直线
对称，故D 正确.
【变式9-4】（多选题）（2025·高三·河南安阳·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
是周期函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．当
在
上有2 个不同的实根
时，
的取值范围是
【答案】ABC
【解析】由
，可知
，所以定义域为
，
因为
，
所以
是周期为
的周期函数，所以A 正确；
由
，
所以
，所以
的图象关于直线
对称，所以B 正确；
当
时，
，因为
，所以
，
当
时，
，因为
，所以
，
所以
的值域为
，所以C 正确；
时，
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
，
又
在
上有2 个不同的实根
，所以
，且
，
，即
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，所以
的取值范围是
，所以D 错误.
故选：ABC
1．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，
，当
时，曲
线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
【解析】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
当
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，该整数
不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，则对这样的
，同样有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在
直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
①数形结合
1．设函数
在
，
]的图像大致如下图，则
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由图可知
，
所以
化简可得
，
设
的最小正周期为T，易得
，所以
，所以
，
当且仅当
时
，所以
，
所以最小正周期
故选
2．已知函数
在区间
上有且仅有4 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：
，
令
，得
，
，
，
令
，则
，作出函数
的图象，
在区间
上有且仅有4 个零点，
，解得
，
的取值范围是
故选：
3．已知函数
，若
在区间
上单调，在
处取得最大值，
且
将曲线
向左平移1 个单位长度，得到曲线
，则函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】解：
在
处取得最大值，
为
的对称轴，
又
在区间
是单调函数，
，即
，
，
关于
对称，
且
是
的最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
在区间
上的零点个数，
即为
的图象与
的交点的个数，
作出简图，
的图象与
的交点的个数为4 个，
函数
在区间
上的零点个数为4 个．
故选：
②转化与化归
4．已知函数
的极值点与
的零点完全相同，则
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】解：由题意，
，
令
，则
，
，
因为函数
的极值点与
的零点完全相同，
所以
，k，
，
则当
，
时，可得
故选：
5．将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到曲线C，若C 关于y 轴对称，
则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：记
为
向左平移
个单位后得到的曲线，
则
，
由
关于y 轴对称，可得：
，
，
故有
，
，所以
的最小值为
6．设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【解析】解：函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，
的最小值为
故选：
③分类讨论
7 ．已知函数
的部分图象，如图所示，则满足条件
的最小正整数x 为
．
【答案】2
【解析】解：由题意可知，函数的周期为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，
，
所以原式可化简为
，
所以
或
，
所以
或
①当
时，
得到
，
解得
，
此种情况下正整数x 的最小值为
②当
，即
时，
得到
，
解得
，
此种情况下正整数x 的最小值为
综上所述，正整数 x 的最小值为
故答案为
8 ．若定义在R 上的函数
满足
，则
的最大值
是
．
【答案】
【解析】解：由
得
，
设
，则
，
因为
，
所以当
时，
当
时，
，
由于
，且
，
故
，
所以
，
令
，
，构造函数
，
令
，则
，
代入得：
，
利用辅助角公式，
的最大值为
，
故
的最大值为
，
所以
的最大值为
故答案为：
9．若函数
在
上恰有3 个零点，则符合条件的m 的个
数为
．
【答案】5
【解析】 解：令
，则
或
，
由
，
当
时，
在
上没有零点，
则
在
上应有3 个零点，
因为
，
所以
，即
，
与
联立得
，
因为
，所以m 的值依次为9，10；
当
时，因为
，
所以
在
上有1 个零点
，
而
在
上有3 个零点
，不满足题意；
当
时，因为
，
，
所以
在
上有2 个零点，
故
在
上应有1 个零点，
因为
，所以该零点与
的零点不相同，
所以
，即
，
与
联立得
，
因为
，所以m 的取值依次为2，3，4，
综上得符合条件的m 的个数是
故答案是：
基础过关篇
1．（2025 年高考北京卷数学真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【解析】函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，
的最小值为4.
故选：C.
2．（2025 年高考天津卷数学真题）
，在
上单调递增，且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】A
【解析】因为函数在
上单调递增，且
为它的一条对称轴，
所以
时函数取最大值，
又因为
是它的一个对称中心，
所以
，
，
设
的最小正周期为
，由正弦函数的对称性可知
，
即
，
又
在
上单调递增，则
，
∴
，则
，
，
∵
，∴
时，
，∴
，
当
时，
，
由正弦函数的单调性可知
.
故选：A
3．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知点
是函数
的图象的一个对称中心，
则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，
即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，
即
.
故选：B
4．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当
时，曲线
与
的交点个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
5．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对A，
，周期
，故A 正确；
对B，
，周期
，故B 错误；
对于选项C，
，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；
对于选项D，
，周期
，故D 错误，
故选：A．
6．（2024 年北京高考数学真题）设函数
.已知
，
，且
的最
小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：
为
的最小值点，
为
的最大值点，
则
，即
，
且
，所以
.
故选：B.
7．（2024 年天津高考数学真题）已知函数
的最小正周期为
．则
在区间
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的最小正周期为
，则
，所以
，
即
，当
时，
，
所以当
，即
时，
故选：D
8．（2024 年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，
，
，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，
因为
，且
不恒为0，
则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
9．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
，函数
在区间
上最小值为
，在区间
上的最小值为
变化时，下列不可能的是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】C
【解析】因为函数
的最小正周期是
，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当
时，
，
，而
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，A 可能；
当
时，
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，B 可能；
当
时，
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，D 可能；
对于C，若
，则
，
若
，则区间
的长度
，并且
且
，
即
且
与
矛盾，所以C 不可能.
故选：C
10．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为
向左平移
个单位所得函数为
，
所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
故选：C.
11．（2023 年天津高考数学真题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为
4，则
的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A 选项中
，B 选项中
，
C 选项中
，D 选项中
，
排除选项CD，
对于A 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴，
故选：B.
12．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数
和
，下列说
法中正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
13．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））函数
在
上的值域为 ．
【答案】
【解析】由函数
在
上单调递增，在
单调递减，
且
，
故函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
14．（2024 年北京高考数学真题）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关
于原点对称.若
，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【解析】由题意
，从而
，
因为
，所以
的取值范围是
，
的取值范围是
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
.
故答案为：
.
15．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）函数
在
上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，当
时，
，
当
时，即
时，
.
故答案为：2
16．（2023 年北京高考数学真题）已知命题
若
为第一象限角，且
，则
．能说明
p 为假命题的一组
的值为
，
．
【答案】
【解析】因为
在
上单调递增，若
，则
，
取
，
则
，即
，
令
，则
，
因为
，则
，
即
，则
.
不妨取
，即
满足题意.
故答案为：
.
17．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
．
【答案】
【解析】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，
．
故答案为：
．
18．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
能力拓展篇
1．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
或
于是有
或
，
即有
，解得
；
或者
，解得
；
所以
，
或
.
故选：B
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
在区间
单调递增，
直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D.
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知函数
的最小正周期为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】由已知
，
所以
，
又
，
所以
，
所以
，
又
，则当
时，有最小值
.
故选：B.
4．（2025·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．
称为高斯函数，
其中，
表示不超过
的最大整数，例如
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．
C．若
，则
的值域为
D．若
，则
的值域为
【答案】D
【解析】对于A：由题意
，故A 错；
对于B：因为当
时，
，所以
，故B 错；
对于C：
，
当
时，
；当
时，
，
所以
的值域为
，故C 错；
对于D：
，
，当
时，
；当
时，
，
所以
的值域为
，故D 正确．
故选：D.
5．（2025·河北·一模）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到的图象
关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，
将函数
的图象向右平移
个单位长度，
得到
，
因为
的图象关于
轴对称，可得
，
解得
，
又因为
，所以
的最小值为
.
故选：B.
6．（2025·福建三明·模拟预测）已知函数
部分图象如图所示，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】由图象知
所以
.因为
,所以
.所以
.
根据正弦函数的图象，如图，
,
,
所以设函数
的周期为T,则
，即
.
因为
，所以
所以
.
所以
的最小值为
.
故选：A.
7．（2025·全国·模拟预测）若直线
与曲线
从左往右仅相交于
三点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的最小正周期
，
作函数
的图象，如图所示．
直线
与曲线
从左往右仅相交于
三点，且
，
所以
，
设
，
由
，得
①，
又因为
两点关于直线
对称，则
②．
由①②可得
，于是
．
故选：C．
8．（2025·全国·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得图象关于
原点对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将函数
的图象向左平移
个单位长度，
得到函数
，
因为该函数图象关于原点对称，所以
,
所以
，又
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：B.
9．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数
为偶函数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
为偶函数，需满足
.
将函数化简：
.
由偶函数性质得：
即
利用正弦函数的性质，可得：
（舍去，因为不恒成立），
或
解得：
，即
结合
，得
.
故选：B.
10．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，以
所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得
，
，
，
半圆弧
的方程为：
，
设
，则
，
，
，
由
得：
，
解得：
，
所以
，
因为
在
上，所以
，
又
，
则可设
，
，
，
将
，
代入
整理得：
由
得
，
所以
，
，
故
的取值范围是
.
故选：D.
11．（多选题）（2025·河北唐山·模拟预测）已知曲线
，曲线
，则
（ ）
A．曲线
和
存在相同的对称轴
B．曲线
和
存在相同的对称中心
C．曲线
上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，
可得到曲线
D．把曲线
向左平移
个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，可得到曲线
【答案】AC
【解析】正弦函数
，其对称轴方程为
，
对于曲线
，令
，解得
，
即曲线
的对称轴方程为
，
对于曲线
，令
，解得
，
即曲线
的对称轴方程为
，
当
时，曲线
和
的对称轴方程都为
，所以曲线
和
存在相同的对称轴，A 正确；
正弦函数
，其对称中心为
，
对于曲线
，令
，解得
，
即曲线
的对称中心为
，
对于曲线
，令
，解得
，
即曲线
的对称中心为
，
假设曲线
和
存在相同的对称中心，则
，即
，
因为
是偶数，
是奇数，所以不存在整数
使得等式成立，
所以曲线
和
不存在相同的对称中心，B 错误；
曲线
上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到
的图象，
曲线再向左平移
个单位长度，得到
的图象，即曲线
，所以C 正确；
把曲线
向左平移
个单位长度，得到
的图象，
曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到
的图象，而不是曲线
，
D 错误.
故选：AC.
12．（多选题）（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象可由
图象向左平移
个单位得到
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的单调递增区间为
D．直线
与函数
在
上的图象恰有7 个交点
【答案】BD
【解析】由题，可得
，所以
，则
，
，
又
，即
，
，所以
，
.
对于A，将
的图象向左平移
个单位得到
的图象，故A 错误；
对于B，因为
，所以直线
是图象
的一条对称轴，
故B 正确；
对于C，令
，
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
，故C 错误；
对于D，因为
，令
，又
，
所以函数
在
上与
有7 个交点，
即直线
与函数
在
上的图象有7 个交点，故D 正确.
故选：BD.
13．（多选题）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
的一个周期
B．
在区间
上单调递减
C．
是奇函数
D．
在区间
上恰有2 个极值点
【答案】AD
【解析】对于A，由题知，
，所以最小正周期
，
是
的一个周期，故
A 正确；
对于B，当
时，
，令
，则
作区间
上单调递减，在区间
上单调递增，故B 错误；
对于C，
为偶函数，故C 错误；
对于D，当
时，
，令
，则
在区间
上恰有两个极值点
，故D 正确.
故选：AD．
14．（多选题）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．当
最小时，
B．
的图象关于直线
对称
C．不等式
的解集为
D．若
在
上有三个零点，则
【答案】BCD
【解析】对于选项
，由图象可知：
，即
，根据周期的公式
可得
，
因为
，所以可得
，将
代入解析式
，可得：
，
即
，得到
，所以当
最小时，
，所以
选项错误；
对于选项
，
，所以
的对称轴方程为
，
即
，当
时，
，所以
的图象关于直线
对称，所以选项
正
确；
对于选项
,由
可得
，即
，
解不等式可得：
，所以不等式
的解集为
，所
以选项
正确；
对于选项
，令
，所以
，解得
，
的零点可以依次为：
，
，
，
，若
在
上有三个零点，
所以
在
上的三个零点为：
，
，
， 所以
，所以选项
正确.
故选：
15．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为
奇函数，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】因
为偶函数，则
①，
又
为奇函数，则
②，
由
，整理得
，则
，其中
，
故当
时，即
时，
的最大值为
.
故答案为：
.
16．（2025·广东·一模）设函数
，则
在
上的零
点个数是 ．
【答案】3
【解析】由题意得
，
令
，则
，
所以
，即
．
令
，则
，满足条件；
令
，则
，满足条件；令
，则
，满足条件；
令
，则
，不满足条件，则
在
上的零点个数是3．
故答案为：3．
17．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角
，
满足
，则
的最小值
为 .
【答案】
/
【解析】因为
，所以
，
所以
，
因为
为锐角，所以两边同除
得
，
所以
.
因为
为锐角，所以当
时，
有最大值为1，此时
取到最小值为
.
故答案为：
18．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
的最小正周期为
．
(1)求
的值；
(2)将函数
的图象先向左平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，若
在区间
上有且仅有3 个零点，求
的取值范围．
【解析】（1）
，
又
的最小正周期为
，
，则
，所以
.
（2）由（1）知
，所以
，
由
时，得到
，所以
或
即
或
，
因为
在区间
上有且仅有3 个零点，
由
，令
，得
；令
，得
；
由
，令
，得
；
，得
；
所以
，
故
的取值范围是
.
19．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及在
上的值域；
(2)若
为锐角且
，求
的值.
【解析】（1）依题意，函数
由
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
；
由
，得
，
，
所以当
的值域为
.
（2）由（1）知，
，由
，得
，
由
，得
，所以
，
，
所以
.
20．（2023 年北京高考数学真题）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）因为
所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
.
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无解，故条件①不能使
函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
.
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，即
.
以下与条件②相同．
