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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 21 练 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有
的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
2．（2021·全国·统考高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，
即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.3．（2022·全国·统考高考真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲
线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
4．（2022·全国·统考高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，
且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，所以 .
故选：A
5．（2023·全国·统考高考真题）已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则
与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线 和
为函数 的图像的两条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答案.
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
7．（2023·天津·统考高考真题）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析
式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
二、填空题
8．（2021·全国·高考真题）已知函数 的部分图像如图所示，则
_______________.【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
【详解】由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是
求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
9．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的
两个交点，若 ，则 ______．【答案】
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得， ，从而得
到 的值，再根据 以及 ，即可得 ，进而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
三、解答题10．（2021·浙江·统考高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
【A组 在基础中考查功底】一、单选题
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数 ，则要得到函数 的图象，只需将
函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】C
【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.
【详解】因为 ，
所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位即可，
故选：C.
2．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.
【详解】由题意可设 ，则函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得 ，再向右平移 个单位长度，得到函数
则 ， 所以 ，
故 ，
根据选项可知 时， ，故C正确；
故选：C
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知函数 的图象的相邻两条对称轴间的距
离为 ，则（ ）
A． 的周期为
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D． 的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】根据题意求得函数周期，判断A；进而确定 ，可得函数解析式，利用正弦函数单调性判断B；
根据正弦函数的对称性可判断C，D.
【详解】由题意函数 的图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
故函数周期为 ，A错误；
则 ，当 时， ，
因为函数 在 上不单调，故 在 上不单调递增，B错误；
因为 ，此时函数取到最小值，
故 的图象不关于点 对称，C错误；
，此时函数取到最大值， 的图象关于直线 对称，D正确，
故选：D
4．（2023·全国·模拟预测）将函数 的图象上各点向右平移 个单位长度得函数
的图象，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由图象平移变换得到 ，再由正弦函数的性质求出 的单调递增区间.
【详解】将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 ，即 的图象，
令 ， ，
解得 ， ，所以 的单调递增区间为 ， .故选：C.
5．（2023·四川南充·统考三模）已知点 是函数 的一个对称中心，则为
了得到函数 的图像，可以将 图像（ ）
A．向右平移 个单位，再向上移动1个单位
B．向左平移 个单位，再向上移动1个单位
C．向右平移 个单位，再向下移动1个单位
D．向右平移 个单位，再向下移动1个单位
【答案】A
【分析】利用点 是函数 的一个对称中心，求出 ，在分析图像平移即可.
【详解】因为点 是函数 的一个对称中心，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以
所以要得到函数 的图像则只需将 图像：
向右平移 个单位，再向上移动1个单位，
故选：A.
6．（2023·河北石家庄·统考三模）已知函数 的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象求出函数解析式，再求其对称中心即可.
【详解】方法一：
设 的最小正周期为 ，由函数图象可知， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
又∵当 时， 取最大值，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ .
令 ， ，解得 ， ，
∴ 的对称中心为 ， ，
当 时， 的一个对称中心为 .
方法二：设 的最小正周期为 ，由函数图象可知， ，∴ ，
由图象可知， 的一个对称中心为 ，
∴ 的对称中心为 ， ，
当 时， 的一个对称中心为 .
故选：D.
7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知直线 是函数 图
象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ，则 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题知 ，进而得 ，再求解函数单调区间即可.
【详解】解： 直线 是函数 图象的任意两条对称轴，且 的最小值为
，
，即 ，
令 ，解得 ，
的单调递增区间是 .故选：B.
8．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若函数 的周期为 ，其图象由函数
的图象向左平移 个单位得到，则 的一个单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式化简 ，由平移可得
，进而由周期可得 ，利用整体法可得单调区间即可求解.
【详解】 ，将 向左平移 个单位得到
,
由 的周期为 ，故 ，
所以 ，
令 ,解得 ，
故 的单调递增区间为 ，
所以取 可得一个单增区间为 ，
故选：A9．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数 ， ， ，且
的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】首先化简函数解析式，再结合条件，根据函数的周期公式，即可求解.
【详解】 ，
是函数的最大值，由题意可知， 的最小值是 个周期，
所以 ，得 .
故选：B
10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数 在 上单调递增，则 的
取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 的取值范围求出 的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】由 ，所以 ，
又 ，所以 ，
且函数 在 上单调递增，所以 ，解得 ，即 的取值范围为 .
故选：D
11．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，当
的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦型函数的对称轴、最小正周期公式可得到函数 的解析式，再根据余弦型函数的对称
中心即可求解．
【详解】由已知得 ，即 ，
当 时， 最小，且为 ，则 最大，
此时 ，其对称中心的横坐标为 ，
当 时，函数 的图象上距离原点最近的对称中心为 ．
故选：D．
12．（2023·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的为
（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的最大值为
C． 的图像关于直线 对称D．将 的图像向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数
【答案】D
【分析】先对函数 的解析式进行化简，化成 的形式，然后即可求出周期、最
大值和对称轴，从而可判断ABC；对于D项，先根据要求对化简后的 进行变换，然后即可得出结论.
【详解】 ，
故 的最小正周期为 ，最大值为 ，
对称轴方程满足 ， ，即 ， ，故ABC皆错误；
对于选项D，将 的图像向右平移 个单位长度后得到 ，
然后，将此图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像， 是一个奇函数，故D正
确，
故选：D.
13．（2023·重庆·统考三模）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的
图象，则“ ”是“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意求出函数 的解析式，然后通过函数 是偶函数求出 的取值范围，最后与
进行对比，即可得出“ ”与“ 为偶函数”之间的关系．【详解】因为函数 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像，
所以 ，
因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
当 时， 可以推导出函数 为偶函数，
而函数 为偶函数不能推导出 ，
所以“ ”是“ 为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
14．（2023·云南·高三校联考阶段练习）函数 的部分图象如图所示，
则下列叙述正确的是（ ）
A．
B． ， 恒成立
C．对任意
D．若 ，则 的最小值为
【答案】D【分析】A选项，根据函数图象的性质得到解析式，A错误；B选项，计算 ，故B错
误；C选项求出函数的单调递增区间，得到 ；D选项，根据 得到
， 或 ， ，求出 ，从而得到 的最小值.
【详解】A选项，由图象可知 ， ，
因为 ，所以 ， ，
将 代入解析式， ，
因为 是函数在 上的第一个零点，所以 ，
故 ，故 ，A错误；
B选项， ，
故 ， 不恒成立，B错误；
C选项，令 ，解得 ，
故函数单调递增区间为 ，
要想对任意 ，C错误；
D选项，因为函数 的最大值为2，最小值为-2，
，若 ，则 ，，即 ，解得 ，
，即 ，解得 ，
此时 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ；
若 ，则 ，同理可得 的最小值为 ，故D正确.故选：D
二、多选题
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．
B． 的最小正周期为
C．把 向左平移 可以得到函数
D． 在 上单调递增
【答案】BD
【分析】由正切函数的性质及图象变换规律逐一判断即可得结论．
【详解】 ，故A错误；
函数 的最小正周期为 ，故B正确；
把 向左平移 可以得到函数 ，故C错误；时， ，故 在 上单调递增，故D正确．
故选：BD．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图像关于直线 对称，
则ω的取值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】AD
【分析】首先将函数 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得 的表达式，对整数 赋值求得结
果.
【详解】 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， Z，解得 ，
因为 ，所以当 时， ；所以当 时， .
故选：AD.
17．（2023·云南大理·统考模拟预测）设函数 在区间 上单调递
增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．存在 ，使得函数 为奇函数
C．函数 的最大值为2 D．存在 ，使得函数 的图像关于点 对称
【答案】AC
【分析】利用三角恒等变换，再由正弦函数的图像和性质逐项判断即可.
【详解】解：
对于选项A：
．∵ 在区间 上单调递增
∴ ，故选项A正确；
对于选项B： 显然不存在 ，使得函数 为奇函数，故选项B不正确；
对于选项C： ，最大值为2，故选项C正确；
对于选项C：∵
∴ ，又 ，得 ，所以不存在 ，选项D不正确；
故选：AC．
18．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）关于函数 的描述正
确的是（ ）
A． 图象可由 的图象向左平移 个单位得到
B． 在 单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变换得到 ，根据平移变换判定A正确；
整体法求解出 在 单调递减，判定B错误；
整体法求解出函数的对称轴和对称中心，从而判断CD正确；【详解】
向左平移 个单位后变为 ， 对
，则 ，所以 在 单调递减，
在 不是单调减函数， 错.
，则 当 时， ，
的其中一条对称轴 ，C对
， 则 ，当 时， ，
的其中一个对称中心为 ，D对，
故选： .
三、填空题
19．（2023·福建厦门·统考二模）将函数 的图象向左平移 个单位长度．得
到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝_______．
【答案】
【分析】首先根据平移规律求函数 的解析式，再根据函数是奇函数，求 的值.
【详解】函数 向左平移 个单位长度，得到函数 ，
函数 是奇函数，所以 ，则 ， ，
则 ， ，因为 ，所以 .故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于点 对称，那么 的最小
值为__________．
【答案】
【分析】根据余弦函数图像的性质，整体代入对称中心， 求得 ，
由此 最小值即可求解.
【详解】函数 的图象关于点 对称，
则有 ，于是得 ，
显然 对于 是单调递增的，
而 或4时， ，所以 的最小值为 ．
故答案为：
21．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）函数
的部分图象如图，若 ，且 ，则
__________.【答案】
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】 ， ，则 ，
又 且 ，则 ，
，
，则 ，即 ，
又 ，所以 .
故答案为：
22．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数 在区间 单调，其中 为正整数，
，且 .则 图像的一条对称轴__________.
【答案】
【分析】由正弦函数的单调性与周期性，可得 ，所以 ， 在同一个周期内，由 ，
取其中点值，即可得 图象的一条对称轴；
【详解】因为函数 在区间 单调，
， ，
， 在同一个周期内，
，图像的一条对称轴为 .
故答案为：
四、解答题
23．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)求 在区间［0， ］上的最值.
【答案】(1) （k Z）
(2)最大值为1，最小值为- .
【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正
弦函数的单调性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
【详解】（1） = .
因为y＝sinx的单调递增区间为 （k Z），
令 （k Z），得 （k Z）.
所以 的单调递增区间为 （k Z）.
（2）因为x∈［0， ］，所以2x＋ .当2x＋ = ，即x＝ 时， 最大值为1，
当2x＋ = ，即x＝ 时， 最小值为- .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，设
(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(2)已知角 为锐角， ， ， ，求 的值．
【答案】(1)最小正周期π；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简整理，再结合正弦函数的图像与性质
即可求出结果；
（2）结合题意分别求出 和 的正余弦的值，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.
【详解】（1）（1）∵
∴
∴ 的最小正周期 ；
由 得 ，
所以单调递增区间为
（2）由题意 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，且 ，∴ ，∴ ，
∴
．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若__________．
条件①： ，且 在 时的最大值为 ；
条件②： ．
请写出你选择的条件，并求函数 在区间 上的最大值和最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为 ．
【分析】(1)根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式可得 (其中
)，选条件①或②都算出 ，结合正弦函数的单调性即可求出结果.
【详解】
，其中 ，
若选①， ，解得 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ；
若选②， ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象在 内
有且仅有一条对称轴，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B【分析】由 ，则 ，再根据题意得到 ，从而求得 的范围，
进而得到 的范围，再利用正弦函数的性质即可求解．
【详解】由 ，
又 ，则 ，
因为函数 的图象在 内有且仅有一条对称轴，
所以 ，解得 ，则 ，
所以 ，故则 的最小值为 ．
故选：B．
2．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数 的导函数 的图像
如图所示，记 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为2π B．
C． D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象与性质及复合函数求导法则计算即可逐一判定.【详解】解：∵ ，由 并结合图像知 ，∴ ，
又 ，且在 上单调递减，
∴ ，
又 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
3．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数 ，若
，则（ ）
A．将 的图象向右平移 个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
B． 图象的对称中心的坐标为
C．直线 是 图象的一条对称轴
D． 的一个单调递增区间为
【答案】D
【分析】先根据题意求出 解析式，选项A由图象平移后得到新的函数解析式并判断奇偶性即可；选
项B、C、D可先考虑 的相关性质整体代换后即可得出判断.
【详解】因为 ，所以 ，则 .因为 ，所以 .从而 ，所以 .
将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 的图象， 是奇函数，所以A不正确.
由 ，可知 的对称中心为 ，所以B不正确.
由 ，可知 的对称轴为 .
由 ，得 ，与 矛盾，所以C不正确.
由 得 的单调递增区间为 ，
令 ，得 的一个单调递增区间为 ，所以D正确.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是奇函数 B．若 ，则 在区间 上单调递减
C．若 ，则 的图像关于点 对称 D．若 ，则 在区间 上单调递增
【答案】C
【分析】由函数平移得 ，讨论 、 ，结合正余弦函数的性质判断奇偶、对称性
以及 上的单调性，即可得答案.
【详解】将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函 ，
当 时， 为偶函数，在 上有 ， 递增，故A，B错误；
当 时， ，
此时， ，即 关于点 对称，
在 上有 ， 不单调，故C正确，D错误.
故选：C
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．将 的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在 上单调递增
【答案】C
【分析】由图象求出 的表达式后逐一验证选项即可.
【详解】由函数图象可知，最小正周期为 ，所以 ，
将点 代入 ，得 ，又 ，所以 ，故 ，故A错误；
所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ， ，解得 ，
，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图象，令
， ，
解得 ， ，
令 得 ，因为 ，故D错误.
故选：C.
6．（2023·重庆·校联考三模）已知 同时满足下列三个条件：
①当 时， 的最小值为 ；
② 是偶函数；
③ ．
若 在 上有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】由①可得函数 的半个周期为 ，即可求得 ，由②③可求得 ，再根据正弦型函数的图象与
性质找到两个零点时满足的范围即可.
【详解】由①当 时，则 分别为最大值与最小值，所以 的最小值 即为
半个周期， ，由 ；
由② 是偶函数，所以 ，
因为 ，所以 或 ；
由③ ，则 ， 所以 .
时， ，因为 在 上有两个零点，
根据正弦函数的图象
故选：A.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，下列结论错误的是（ ）
A．函数 在区间 上是减函数B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 的图象可以由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
D．若 ，则 的值域为
【答案】BD
【分析】根据降幂公式及辅助角公式化简 的解析式，再根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象
变换、值域逐一分析判断即可.
【详解】 ，
对于A， ，
所以 在区间 上递增，A错误；
对于B，因为 ，
所以点 是函数 图象的一个对称中心，B正确；
对于C， 的图象向左平移 个单位长度得到：
，C选项错误；
对于D，由 ，则 ，D
选项正确.故选：BD.
8．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数 （其中 ）的部分图象
如图所示，则（ ）A．
B．函数 为偶函数
C．
D．曲线 在 处的切线斜率为
【答案】ACD
【分析】根据图象求出函数解析式，根据解析式及正弦函数的性质判断AB，再由函数图象中心对称的性
质判断C，利用导数的几何意义判断D.
【详解】由函数图象可知， ， ，
，
当 时， ( )， ,( )，
又 ， ，
，
对A， ， 正确；
对B， ，显然不是偶函数，故错误；对C，若 ，则 图象关于点 对称，又 ，故正确；
对D， ，所以曲线 在 处的切线斜率为
，故D正确.故选 ：ACD
三、填空题
9．（2023·新疆·校联考二模）已知函数 满足下列条件：
① 是 经过图象变换得到的；
②对于 ，均满足 成立；
③ 的函数图象过点 ．
请写出符合上述条件的一个函数解析式__________________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由①可设 ，根据②，设 ，求得 ，且 ，再由③求得
的一个值为 ，即可求解.
【详解】解：由①可设 ，
又由②可知，不妨设 ，
由 ，可得 ，
且 ，所以 ，所以 ，
由③，可得 ，即 ，所以 的一个值为 ，
因此函数 的一个解析式为 .故答案为： （答案不唯一）.
10．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函
数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围______．
【答案】
【分析】由已知推得 ，根据 的范围推得 ，根据正弦函数的单调性，即可得出
的范围.
【详解】由已知可得， .
因为 ， ，所以 .
因为函数 在区间 上单调递增，
所以， ，所以 .
又 ，所以 .
故答案为： .
11．（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知函数 ，如图是
的部分图象，则 在区间 上的值域是___________.【答案】
【分析】由已知，根据辅助角公式化简可得 ，进而根据 ，可求得
或 ，再结合图像可求得 ，由图像可知 ，从而解得
，再由已知 ，结合正弦函数的性质，即可得出 的值域.
【详解】 ，
由题图可知 ，即 ，得 ，
所以 或 ，
解得： 或 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
根据图象可得 ，则 ，则 ，
解得： ，
当 时，由图象过点 ，则 0，
所以 ，解得： ，结合 无解；当 时，由图象过点 ，则 0，
所以 ，解得： ，
结合 ，得： ，
所以 .
当 时， ， ，
则 ， ，
即 .
故答案为： .
12．（2023·四川凉山·二模）已知函数 ，则下列说法中正确的是
________
① 一条对称轴为 ；
②将 图象向右平移 个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若 ，则 ；
④若 且 ，则 的最小值为 ．
【答案】①③
【分析】首先化简函数为 ，①根据正弦函数的性质验证即可；②利用平移变换
得到 判断；③由 得到 ，从而得到 ，再由 ，利用两角差的正切公式求解判断；④令
得到 ，在同一坐标系中作出 的图象
判断.
【详解】解：函数 ，
①因为 ，所以 一条对称轴为 ，故正确；
②将 图象向右平移 个单位得到 ，再向下平移1个
单位得到 ，因为 ，所以新函数不是奇函数，故错误；
③由 得： ，则 ， ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 ，故正确；
④令 得： ，
在同一坐标系中作出 的图象如图所示：由图象知： ，故错误，
故答案为：①③
四、解答题
13．（2023·山东济南·统考三模）已知 ，其图象相邻对称轴间的距离为 ，若将其图象
向左平移 个单位得到函数 的图象.
(1)求函数 的解析式及图象的对称中心；
(2)在钝角 中，内角 的对边分别是 ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ，对称中心为
(2)
【分析】（1）根据 的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出 ，再根据图像平移得到 ，由
对称中心公式求得结果；
（2）由 得出 三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简 ，再利用导数
求函数单调区间得出结果.
【详解】（1）已知 的图象相邻对称轴间的距离为 ，则 .由周期公式得， ，
所以 ，
，
令 ，所以 ，
故函数 的对称中心为
（2）由题意得， ， ，
所以 .
所以 或 （舍），
所以 .
因为在钝角 中，所以 ，
所以 ，
则
令 ， ，
当 时， ；当 时， ；
可得 在 单调递减，在 单调递增.所以当 ，即 时， 有最小值 ；
，所以
故 .
14．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数 在区间
上单调，其中 ， ，且 ．
(1)求 的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点 在函数 的图象上，求函数 的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.
（2）由点 在函数 的图象上，可得 ，知函数 在区间
上单调递减，再由 和 ，可得 ，又
，可得出 ，即可得出结果.
【详解】（1）由函数 在区间 上单调，且 ，可知 ，
故 的图象的一个对称中心的坐标为
（2）由点 在函数 的图象上，
有 ，又由 ，
，
可知函数 在区间 上单调递减，
由函数 的图象和性质，
有 ，
又 ，有 ，
将上面两式相加，有 ，
有 ，
又由 ，可得 ，
则 ，
又由函数 在区间 上单调，
有 ，可得 ，可得 ，
故 ．【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·天津和平·统考二模）函数 的部分图象如图所示，
，则下列四个选项中正确的个数为（ ）
①
②函数 在 上单调递减；
③函数 在 上的值域为 ；
④曲线 在 处的切线斜率为 ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据图像求 的解析式，对于①②③：结合正弦函数的性质分析运算；对于④：结合导数
的几何意义运算求解.
【详解】由图可知：函数 过点 ，则 ，
即 ，且 ，可得 ，
又因为函数 过点 ，且为减区间的零点，
则 ，即 ，则 ，解得 ，
注意到 ，即 ，则 ，解得 ，
故 ，解得 ，此时 ，
所以 .
对于①：令 ，解得 ，
取 ，则 ，
即函数 在y轴左侧离y轴最近的对称轴为 ，
由图可得 ，即 ，
且 ，即 ，
所以
，
故①正确；
对于②：因为 ，则 ，
且 在 不单调，所以 在 上不单调，
故②错误；
对于③：因为 ，则 ， ，
可得 ，所以函数 在 上的值域为 ，故③错误；
对于④：∵ ，
可得 ，
曲线 在 处的切线斜率为 ，故④错误；
故选：B.
【点睛】方法定睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定，A＝ 最大值 最小值 ；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
2．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）函数 ，则关于函数 有下列四个
结论：
① 的一个周期为 ；② 的最小值为 ；③ 图像的一个对称中心为 ；④ 在区
间 内为增函数．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③
【答案】C
【分析】化简 ，对于①可以利用周期性定义判定；对于②④，均利用导数法判定其单
调性得出结果；对于③，可通过判定 的奇偶性得出结果.
【详解】由题意可得：
，显然 ，故①正确；
，
令 得 ，此时 单调递增，；
令 得 ，此时 单调递减；
即 在 和 时取得极小值，此时函数值均为 ，
即②正确；
而 时， ，此时 单调递增，即④正确；
对于 ，故 是奇函数，关于原点中心对称，
由 的周期性可得 的对称中心为 ，事实上 ，即③错误，
综上正确的是：①②④
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考察三角函数综合，难度较大.关键在于先化简得 ，利用导数
研究其单调性及最值时注意统一变量及整体代换的意识，减小计算量.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，若
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 得函数在 时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算 的值.
【详解】因为 满足 ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
得 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ， ，
，
因为 ，所以 .
故选：D.
4．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上有4个极值点 D． 在 上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数周期性、对称性定义判断A，B；求导并探讨导数在 上的正负情况
判断C；探讨函数在 上单调性判断D作答.
【详解】函数 ，
对于A， ，
即 不是 的周期，A不正确；
对于B，因为 ，而 ，显然函数 图象上的点 关于直线 的对称点 不在 的图象上，B不正确；
对于C，当 或 时， ， ，
此时 或 ，当 或 ，
即 或 时，函数 取得最值，因此 在 或 取极值，
当 时， ， ，此时 ，
当 或 ，即 或 时，函数 取得最值，因此 在 或
取极值，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又函数 是定义域R上的连续函数，则 是函数 的一个极小值点，
所以函数 在 上的极值点至少有5个，C不正确；
对于D，因为 ，则 是函数 的一个周期，
当 时， ，由选项C知函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，D正确.
故选：D
二、多选题
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）设函数 ，如图是
函数 及其导函数 的部分图像，则（ ）A．
B．
C． 与y轴交点坐标为
D． 与 的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
【答案】ABD
【分析】本题先结合图象分析得知图①为 的图象，图②为 的图象，再根据图象中点的坐标求出
基本量 ， ， ，进而可判断ABCD四个选项.
【详解】
由 得 ，
如图，因当 ， ，
故可判断图①为 的图象，图②为 的图象，
由图可知：当 时， ，
当 时， ，
故 ，
因 ，故
由 得 ，故 ，
，故A正确.
又 ， ，
所以 ， ，
又因 ，故 ，故B正确.
综上可得 ， ，
，
故 与y轴交点坐标为 ，C错误.
令 ，即 得
，
故 ， ，得 ， ，
故当 或 时 的值最小为 ，故D正确.
故选：ABD
6．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知函数 在 上有最大值，
则（ ）
A． 的取值范围为 B． 在区间 上有零点
C． 在区间 上单调递减 D．存在两个 ，使得
【答案】AC
【分析】结合正弦型函数图像和函数单调性、最值逐项分析.
【详解】A选项： 有最大值，又因为 ，所以 ，
要使 在 上有最大值，则 ，所以 的取值范围为 ；
B选项: ,因为 ，所以 ，无零点，即 在区间 上
无零点，错误；
C选项: , , ,根据函数图像， 单调递减，即 在区
间 上单调递减，正确；
D选项： 即 ，即 ，
因为 当 函数图像单调递增， 单调递增，
与 函数图像无交点；当 函数图像单调递减， 单调递增，
与 图像至多有一个交点，
故至多存在1个 ，使得 ，选项错误；
故选：AC
三、填空题
7．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 ，若 ，对于任
意的 都有 ，且 在区间 上单调，则 的最大值为_________.
【答案】18
【分析】根据正弦型函数 的性质和题目给出的条件，运用最小正周期与 的关系，
对称轴对称点的特点求解.
【详解】由于 ，则 的图像关于直线 对称，
则 …①，
）…②，
①-②得 ， ，令 ，
则 ，
的最小正周期 ，
在区间 上单调，
， ，解得 ，当 时， ，则②式为 ，
又 ，此时 ，
当 时， ， 此时 不单调，不符合题意，舍去；
当 时， ，则②式为 ，又 ，当
时， ，当 时， ，
此时 ，当 时， ，
此时 单调，符合题意，
故答案为：18.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，则满足
条件 的最小正偶数x为___________.
【答案】4
【分析】先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小
正偶数.
【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 ；
由 ，即 ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
令 ，可得 或 ，
所以最小正偶数 为4.
故答案为：4.
四、解答题
9．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，若函数 在
上有4个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）先化简求得 的解析式，根据 ，求得 的值，进而求得 的
值；
（2）先求得 ，根据函数 在 上有4个零点，可求得实数 的取值
范围.
【详解】（1）
若 ，即 ，
则 .
（2）易知 ，
根据题意，设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以原方程变为 ，
令
因为原方程有4个零点，而方程 在 至多两个根，
所以 ，且 在 有两个零点，则 ，解得 ，
即 .
