文档文本内容
4.3 同角三角函数之间的关系（讲义）
目录
1
知识点01 任意角的三角函数....................................................................2
2
知识点02 同角三角函数之间的平方关系................................................2
3
知识点03 同角三角函数之间的商数关系................................................2
4
知识点04 知一求二....................................................................................2
5
题型一、由条件等式求三角函数值.........................................................3
6
题型二、一次的齐次式.............................................................................8
7
题型三、二次的齐次式...........................................................................10
1 知识点01 任意角的三角函数
(1)
定义：在平面直角坐标系中，在角α终边上取异于顶点的任一
点P( x，y)，设点P到原点O的距离为r，则sinα = y
r ，cosα = x
r ，
tan α = y
x ( x≠0)，x
2+ y
2=r
2
2 知识点02 同角三角函数之间的平方关系
由三角函数的定义可得：
sin
2α +cos
2α =( y
r )
2
+( x
r )
2
= x
2+ y
2
r
2
= r
2
r
2 =1
所以：
sin
2α +cos
2α =1
3 知识点03 同角三角函数之间的商数关系
由三角函数的定义可得：
sin α
cosα =
y
r
x
r
= y
x = tan α(α ≠π
2 + kπ )
所以：
sin α
cosα = tan α(α ≠π
2 +kπ )
4 知识点04 知一求二
涉及到正余弦加减法的式子，可利用知一求二的方式来进行化简计算：
即sinα +cosα；sinα -cosα；sinα cosα可由完全平方公式进行转换：
(sinα +cosα )
2=sin
2α +cos
2α +2sinα cosα
(sinα -cosα )
2=sin
2α +cos
2α -2sinα cosα
5 题型一、由条件等式求三角函数值
1．已知α是三角形的内角，且sin α +cosα = 1
5，则tan α的值是（ ）
A．- 3
4
B．- 4
3
C．3
4
D．4
3
【答案】B
【详解】法一：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.
法二：由题意先求得2sin α cosα =- 24
25，进而求得(sin α -cosα )
2的值，可求
得sin α -cosα的值，从而可求得tan α的值.
【分析】法一：因为α是三角形的内角，所以α ∈(0,π)，即sin α >0，
又¿，cosα =- 3
5，
所以tan α = sin α
cosα =- 4
3 .
法二：由sin α +cosα = 1
5①两边平方得sin
2α +2sin α cosα +cos
2α = 1
25，
所以2sin α cosα =- 24
25，又因为α是三角形的内角，所以α ∈(0,π)，即
sin α >0，
所以cosα <0，所以sin α -cosα >0，
又(sin α -cosα )
2=sin
2α -2sin α cosα +cos
2α = 49
25，所以sin α -cosα = 7
5②，
联立①，②，解得sin α = 4
5 ,cosα =- 3
5，所以tan α = sin α
cosα =- 4
3 .
故选：B.
2．已知π
2 <α <π,sinα +cosα =- 1
5，则
1
cos
2α -sin
2α 的值为（ ）
A．7
5
B．25
7
C．7
25
D．- 24
25
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系式求得cosα ,sinα，代入即可求解.
【详解】因为π
2 <α <π，所以sinα >0,cosα <0，
又¿，即2cos
2α + 2
5 cosα - 24
25 =0，解得cosα =- 4
5 ,sinα = 3
5，
所以
1
cos
2α -sin
2α
=
1
(- 4
5)
2
-(
3
5)
2 = 25
7 .
故选：B.
3．若1+sinθ+cosθ
1+sinθ -cosθ = 1
2，则cosθ的值为（ ）
A．3
5
B．- 3
5
C．-
❑√15
5
D．4
5
【答案】B
【分析】要求cosθ，就需要把条件里的sinθ转化为cosθ消去，所以利用已
知条件解出sinθ，两边平方再根据同角三角函数间的基本关系化简可得到关于
cosθ的一元二次方程，求出方程的解即可．
【详解】由已知变形为2+2sinθ+2cosθ =1+sinθ -cosθ，解得
sinθ =-1-3cosθ；
两边平方得：sin
2θ =1-cos
2θ =(-1-3cosθ)
2，
化简得：5cos
2θ+3cosθ =0即cosθ(5cosθ+3)=0，
由题知cosθ≠0，所以5cosθ+3=0即cosθ =- 3
5．
故选：B．
【点睛】此题考查学生灵活运用三角函数中的恒等变换，是一道基础题．
学生做题的思路是把正弦转换为余弦．
4．已知A 是△ABC 的内角且sinA+2cosA=-1，则tanA=
（
）
A．- 3
4
B．- 4
3
C．3
4
D．4
3
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinA 和cosA 的值，可得
tanA 的值．
【详解】解： 由¿，解得¿或¿（舍去}．
∵A是ΔABC的内角，
∴ ¿，则tan A =- 3
4．
故选A．
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．
5．已知sin α +
❑√2
2 cosα =1，角α的终边不在y轴上，则tan α =（ ）
A．0
B．
❑√2
4
C．2❑√2
D．2❑√3
【答案】B
【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】因为¿，且角α的终边不在y轴上，
联立解得¿，则tan α =
❑√2
4 .
故选：B.
6．已知α是锐角，❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11，则sinα =（ ）
A．
❑√77
11
B．
❑√33
11
C．
❑√55
11
D．
❑√11
11
【答案】B
【分析】由❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11联立sin
2α +cos
2α =1可得.
【详解】由❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11得cosα =
❑√11
2❑√2 -
❑√3
2❑√2 sinα，
由sin
2α +cos
2α =1得sin
2α +(
❑√11
2❑√2 -
❑√3
2❑√2 sinα)
2
=1，
化简得(❑√11sinα - ❑√3)
2=0，得sinα =
❑√33
11
故选：B.
7．若sinθ
1-cosθ =2，则sinθ =（ ）
A．4
5
B．- 4
5
C．3
5
D．- 3
5
【答案】A
【分析】根据题意结合sin
2θ+cos
2θ =1解方程即可.
【详解】因为sinθ
1-cosθ =2，则sinθ =2(1-cosθ)，且cosθ≠1，
联立方程¿，解得¿或¿（舍去），
所以sinθ = 4
5 .
故选：A.
8．已知角θ∈[0,π]，且满足sinθ+2cosθ =0，则sinθ的值为（ ）
A．2❑√5
5
B．- 2❑√5
5
C．
❑√5
5
D．-
❑√5
5
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由¿，得¿，
又θ∈[0,π]，所以sinθ = 2❑√5
5 .
故选：A.
9．若α ∈(0,π)，且2sin α -cosα =1，则
1
2sin α cosα -cos
2α
=（ ）
A．25
39
B．5
3
C．- 5
3
D．- 25
39
【答案】B
【分析】先根据已知结合平方关系求出sin α ,cosα，再代入即可得解.
【详解】因为2sin α -cosα =1，所以cosα =2sin α -1，
又sin
2α +cos
2α =1，
所以sin
2α +(2sin α -1)
2=1，即5sin
2α - 4 sin α =0，
又α ∈(0,π)，所以sin α = 4
5 ，所以cosα = 3
5，
所以
1
2sin α cosα -cos
2α
=
1
24
25 - 9
25
= 5
3.
故选：B.
10．已知1-sinα = ❑√2cosα ,α ∈(-π
2 ,π
2 )，则 tanα =（ ）
A．
❑√2
4
B．-
❑√2
4
C．2❑√2
D．-2❑√2
【答案】B
【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可.
【详解】由题意1-sinα = ❑√2cosα，所以(❑√2cosα +sin α)
2=1=cos
2α +sin
2α，
化简得cos
2α +2❑√2cosα sin α =0，因为α ∈(-π
2 ,π
2 )，所以cosα ≠0，
所以2❑√2tan α +1=0，解得tan α =-
❑√2
4 .
故选：B.
11．已知sin α +cosα =3cosα tan α，则cos
2α tan α =（ ）
A．- 3
5
B．3
5
C．- 2
5
D．2
5
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tan α、cos
2α，即可得解.
【详解】因为sin α +cosα =3cosα tan α，
所以sin α +cosα =3cosα ⋅sin α
cosα ，
即sin α cosα +cos
2α =3cosα sin α，即cos
2α =2cosα sin α，
显然cosα ≠0，所以cosα =2sin α，则tan α = 1
2，
又sin
2α +cos
2α =1，所以cos
2α = 4
5 ，
所以cos
2α tan α = 4
5 × 1
2 = 2
5.
故选：D
12．若α ∈(0,π)，2sin α +cosα = 2
5，则tan α =（ ）
A．- 3
5
B．- 4
5
C．- 3
4
D．- 1
4
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得sin α，进
而得到cosα，由同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】由2sin α +cosα = 2
5得：cosα = 2
5 -2sin α，
∴sin
2α +cos
2α =sin
2α +(
2
5 -2sin α)
2
=5sin
2α - 8
5 sin α + 4
25 =1，
解得：sin α = 3
5或sin α =- 7
25，
又α ∈(0,π)，∴sin α >0，即sin α = 3
5，∴cosα = 2
5 - 6
5 =- 4
5 ，
∴tan α = sin α
cosα =
3
5
- 4
5
=- 3
4 .
故选：C.
6 题型二、一次的齐次式
1．已知2sin α =cosα，则sin α +cosα
sin α -cosα =（ ）
A．4
B．- 4
C．-3
D．3
【答案】C
【分析】首先求出tan α，再将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为2sin α =cosα，所以tan α = sin α
cosα = 1
2，
所以sin α +cosα
sin α -cosα = tan α +1
tan α -1 =
1
2 +1
1
2 -1
=-3.
故选：C
2．已知tan α =1，则5sin α +cosα
2sin α -cosα =（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】弦化切代入即可得到答案.
【详解】5sin α +cosα
2sin α -cosα = 5 tan α +1
2tan α -1 = 5×1+1
2×1-1 =6.
故选：A.
3．已知向量⃗a=(cosθ ,sinθ)，⃗b=(2,-1)，若⃗a⊥⃗b，则sinθ+cosθ
sinθ+3cosθ的值为
（ ）
A．1
3
B．3
5
C．4
5
D．2
3
【答案】B
【分析】由向量垂直的坐标表示得tanθ =2，再应用齐次式运算，由弦化切
求目标式的值.
【详解】由题设2cosθ -sinθ =0⇒tanθ =2，
而sinθ+cosθ
sinθ+3cosθ = tanθ+1
tanθ+3 = 2+1
2+3 = 3
5.
故选：B
4．若sin α -2cosα
sin α -3cosα = 3
2，则tanα=（ ）
A．-5
B．5
C．- 4
3
D．4
3
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出tanα.
【详解】由sin α -2cosα
sin α -3cosα = 3
2，得tan α -2
tan α -3 = 3
2，所以tanα =5.
故选：B
5．已知tan α =2，则2sin α +3cosα
sin α -cosα
=（ ）
A．-2
B．3
C．6
D．7
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】2sin α +3cosα
sin α -cosα
= 2tan α +3
tan α -1 = 4+3
2-1 =7.
故选：D
6．已知tan α =5，则2sin α +3cosα
3sin α -2cosα =（ ）
A．17
13
B．1
C．3
5
D．7
13
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．
【详解】由tan α =5，则2sin α +3cosα
3sin α -2cosα = 2tan α +3
3 tan α -2 =1.
故选：B．
7．已知tan α =-2，则sin α -cosα
3cosα +sin α =（ ）
A．-3
B．- 1
3
C．1
3
D．3
【答案】A
【分析】利用弦化切方法即可直接求解.
【详解】由tan α =-2得sin α -cosα
3cosα +sin α = tan α -1
3+ tan α =-2-1
3+(-2) =-3.
故选：A
8．已知sinα -2cosα
sinα +cosα
= 2
3，则tanα =（ ）
A．-8
B．- 4
C．4
D．8
【答案】D
【分析】利用弦化切可得出关于tan α的等式，即可解得tan α的值.
【详解】因为sinα -2cosα
sinα +cosα
=
sinα -2cosα
cosα
sinα +cosα
cosα
= tan α -2
tan α +1 = 2
3，解得tan α =8.
故选：D.
9．已知角α满足
sin α
cosα +2sin α = 1
4，则tan α的值为（ ）
A．2
B．-2
C．1
2
D．- 1
2
【答案】C
【分析】利用同角的三角函数关系式化弦为切，解正切方程即得.
【详解】由
sin α
cosα +2sin α =
tan α
1+2tan α = 1
4 ，解得：tan α = 1
2.
故选：C.
7 题型三、二次的齐次式
1．已知2sinθ =cosθ，则3sin
2θ -sinθcosθ =（ ）
A．- 1
5
B．1
5
C．4
5
D．- 4
5
【答案】B
【分析】先由2sinθ =cosθ得出tanθ = 1
2，再将3sin
2θ -sinθcosθ弦化切即可
求解.
【详解】由2sinθ =cosθ得tanθ = 1
2，
所以3sin
2θ -sinθcosθ = 3sin
2θ -sinθcosθ
sin
2θ+cos
2θ
= 3 tan
2θ - tanθ
tan
2θ+1
=
3×(
1
2)
2
- 1
2
(
1
2)
2
+1
= 1
5
，
故选：B.
2．已知5sinθ =cosθ，则3sin
2θ -sinθcosθ =（ ）
A．- 1
5
B．1
5
C．- 1
13
D．1
13
【答案】C
【分析】首先求出tanθ，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦
化切，再代入计算可得.
【详解】因为5sinθ =cosθ，显然cosθ≠0，所以tanθ =sinθ
cosθ = 1
5，
所以3sin
2θ -sinθcosθ = 3sin
2θ -sinθcosθ
sin
2θ+cos
2θ
= 3tan
2θ - tanθ
tan
2θ+1
=
3×(
1
5)
2
- 1
5
(
1
5)
2
+1
=- 1
13
.
故选：C
3．若sinθ =-2cosθ，则sinθ(sinθ+cosθ)=（ ）
A．- 6
5
B．- 2
5
C．2
5
D．6
5
【答案】C
【分析】先由条件得到tanθ =-2，化弦为切，代入求出答案.
【详解】因为sinθ =-2cosθ，所以tanθ =-2，
所以sinθ(sinθ+cosθ)= sinθ(sinθ+cosθ)
sin
2θ+cos
2θ
= tan
2θ+ tanθ
tan
2θ+1
= 4 -2
4+1 = 2
5
.
故选：C
4．已知tanα =-2，则sinα cosα +1
cos
2α +sinα cosα
=（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
【答案】B
【分析】由已知可得sinα cosα +1
cos
2α +sinα cosα
=tanα +tan
2α +1
1+tanα
，即可求值.
【详解】sinα cosα +1
cos
2α +sinα cosα
= sinα cosα +sin
2α +cos
2α
cos
2α +sinα cosα
=tanα +tan
2α +1
1+tanα
=-2+ 4+1
1-2
=-3.
故选：B.
5．已知tan α =3，则
1
sin
2α -sin α cosα -2cos
2α 为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．5
3
D．5
2
【答案】D
【分析】利用平方关系及齐次式法求值即可.
【详解】由
1
sin
2α -sin α cosα -2cos
2α
=
sin
2α +cos
2α
sin
2α -sin α cosα -2cos
2α
=
tan
2α +1
tan
2α - tan α -2
=
10
9-3-2 = 5
2
故选：D
6．已知tanα =2，则sinα cosα =（ ）
A．- 2
3
B．2
5
C．- 4
5
D．4
5
【答案】B
【分析】利用1=sin
2α +cos
2α，将sin α cosα转化为tan α的齐次式即可求解.
【详解】因为tan α =2，所以sin α cosα =
sin α cosα
sin
2α +cos
2α
=
tan α
tan
2α +1
= 2
5.
故选：B
7．已知sin
2θ+2❑√3sinθcosθ+3cos
2θ = 4，则tanθ =（ ）
A．1
B．-
❑√2
2
C．2
D．
❑√3
3
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系式化简已知条件，从而求得tanθ.
【详解】∵sin
2θ+2❑√3sinθcosθ+3cos
2θ = 4，
∴sin
2θ+2❑√3sinθcosθ+3cos
2θ
sin
2θ+cos
2θ
= 4，
∴tan
2θ+2❑√3 tanθ+3
tan
2θ+1
= 4，解得tanθ =
❑√3
3
.
故选：D.
8．设tanα =3，则2sin
2α -sinα cosα +1的值（ ）
A．3
10
B．5
2
C．2
D．-1
【答案】B
【分析】借助同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得.
【详解】2sin
2α -sinα cosα +1= 2sin
2α -sinα cosα +sin
2α +cos
2α
sin
2α +cos
2α
= 2tan
2α -tanα +tan
2α +1
tan
2α +1
= 2×3
2-3+3
2+1
3
2+1
= 25
10 = 5
2
.
故选：B.
9．设tanα =- 1
2
，则sin
2α +1
sinα cosα -2cos
2α
=（ ）
A．- 3
5
B．3
5
C．-1
D．1
【答案】A
【分析】通过商的关系，由弦化切即可求解；
【详解】sin
2α +1
sinα cosα -2cos
2α
=
2sin
2α +cos
2α
sinα cosα -2cos
2α
= 2tan
2α +1
tanα -2
=
3
2
- 5
2
=- 3
5，
故选：A
10．已知sinθ - 4cosθ =0，则cos
4θ -sin
4θ
sin
2θ -sin2θ
=（ ）
A．- 8
15
B．8
15
C．15
8
D．- 15
8
【答案】D
【分析】先利用条件求出tanθ = 4，再利用平方关系和倍角公式将
cos
4θ -sin
4θ
sin
2θ -sin2θ
化简，得
1-tan
2θ
tan
2θ -2tanθ
，进行切弦互化，即可求解.
【详解】由sinθ - 4cosθ =0，得tanθ = 4，
故cos
4θ -sin
4θ
sin
2θ -sin2θ
= (cos
2θ -sin
2θ)(cos
2θ+sin
2θ)
sin
2θ -2sinθcosθ
=cos
2θ -sin
2θ
sin
2θ -2sinθcosθ
=
1-tan
2θ
tan
2θ -2tanθ
=
1-16
16-2×4 =- 15
8
.
故选：D.
