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4.1 三角函数的定义及同角三角函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（24-25 四川成都）已知角
的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角
的终边过点
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由条件可知，
，则
.故选：A
2．（2024 河南）已知
，则
（ ）
A．
B．2
C．5
D．8
【答案】D
【解析】
，
，
．故选：D．
3．（2025·江苏·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
与
联立，结合
可解得：
，
，
，
再由二倍角公式可得
，
故选：B.
4．（2023·广西南宁·统考二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，化简得：
，
解得
或
，因为
，所以
.
.
.故选：B.
5．（2025·山西 ）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
，整理得
，
且
，可得
，
即
，可得
，
因为
，可得
，
所以
.
故选：D.
6．（24-25 重庆）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也
寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征
（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧
，
所在圆的半径分别是3 和
6，且
，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）
A．高为
B．体积为
C．表面积为14π
D．轴截面面积为
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为
，
依题意，
，解得
，
又圆台的母线长
，则圆台的高为
，故A 正确；
圆台的体积为
，故B 错误；
圆台的表面积为
，故C 正确；
圆台的轴截面面积为
，故D 正确.
故选：B.
7．（2025 海南）已知
，且
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．1
D．
或3
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以
，令
，
所以
，即
，所以
或
，
当
时，
此时
，不合题意，舍去.
当
时，
此时
由
解得
或
所以
或
.
故选：A
8（2025·四川成都）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．0 或2
【答案】D
【解析】因为
所以
所以
解得
或
当
时
当
时
故选：D
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2024·全国·模拟预测）已知角
的终边过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为角
的终边过点
，所以
，
所以
，
，
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确．
故选：BD．
10．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于A 选项，
，故A 选项正确；
对于B 选项，
，故B 选项正确；
对于C 选项，
，故C 选项错误；
对于D 选项，
，故D 选项错误．
故选：AB．
11．（2025·甘肃白银·三模）已知
为锐角，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
，所以
，选项A 正确；
，选项B 错误；
，选项C 正确；
由
，易得
，
所以
，选项D 错误．
故选：AC．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·北京）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，则
.
故答案为：
.
13．（2025·福建）已知
是第四象限角，且满足
，则
．
【答案】
【解析】由
是第四象限角，可得
，则
，
因为
，可得
，
可得
，
又由
，
因为
，可得
，
联立方程组，可得
，所以
.
故答案为：
.
14．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段
与分别以
为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点
是线段
上的动点，点O 为线段
的中点，
点
在以
为直径的半圆弧上，且
均为直角.若
百米，则此步道的最大长度为
百米.
【答案】
【解析】设半圆步道直径为
百米，连接
，显然
，
由点O 为线段
的中点，得两个半圆步道及直道
都关于过点
垂直于
的直线对称，
则
，又
，则
∽
，有
，
即有
，因此步道长
，
，
求导得
，由
，得
，
当
时，
，函数
递增，当
时，
，函数
递减，
因此当
时，
，
所以步道的最大长度为
百米.
故答案为：
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，角
的终边分别与单位圆交于
两点，
两点的纵坐标分别为
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
；
(2)
【解析】（1）由已知，角
的终边与单位圆交于
，且
的纵坐标为
，
，又
是第一象限角，
，
．
的终边与单位圆交于
点，
点的纵坐标为
，
，又
是第二象限角，
，
．
（2）由（1），
，
，
．
16．（24-25 ·江西 ）（1）已知第二象限角
的终边上的点
横坐标与纵坐标之比是
.求
的值；
（2）已知第四象限角
的终边上的点
到
轴的距离与到
轴的距离之比是
，求
的值；
（3）已知
，求使其成立的
的集合.
【答案】
；
；
【解析】（1）设
，则有
，即
，
所以
，又
为第二象限角，
所以
，
，
所以
，
（2）设
，则有
，由
为第四象限角，
所以
，即
，
所以
，
所以
；
（3）由
，得
或
，
由
得
，
所以原不等式的解集为
17．（23-24 四川南充·期中）在条件：①
；②
；③
中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知
，且满足条件______.
(1)求
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①，则由
，得
，
所以
，
所以
，
若选②，则由
，得
，
因为
，所以
，
化简整理得，
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
若选③，则由
，得
，得
，
因为
，所以
，
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，得
，
所以
，
所以
；
（2）若选①，则由（1）可知
，
因为
，得以
，即
，
所以
，所以
，所以
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
若选②，则由（1）可知
，
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
若选③，则由（1）可知
，
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
.
18．（2025 江苏）已知
、
是方程
的两个实数根.
(1)求实数
的值；
(2)求
的值；
(3)若
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）因为
、
是方程
的两个实数根，
由韦达定理得
，
由
，
则
，
所以
；
（2）
；
（3）因为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
，
所以
.
19．（2025 广东）已知：关于
的方程
的两根为
和
，
．求：
（1）
的值；
（2）
的值；
（3）方程的两根及此时
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）方程的两个根分别为
、
，对应
的值为
或
．.
【解析】：（1）由于关于
的方程
的两根为
和
，故有
，
（2）由
、
，
，即
，解
得
．
（3）由以上可得，
、
，解得
，
； 或者
，
．
故此时方程的两个根分别为
、
，对应
的值为
或
．
