文档文本内容
4.1 任意角与弧度制（讲义）
目录
1
知识点01 角的概念....................................................................................2
2
知识点02 弧度制........................................................................................2
3
题型一、判断任意角所在的象限.............................................................3
4
题型二、终边相同的角.............................................................................7
5
题型三、弧长............................................................................................11
6
题型四、扇形面积...................................................................................13
1 知识点01 角的概念
(1)
角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形
(2)
任意角的定义：使角的顶点与原点重合，角的始边（一条射
线）与x 轴的非负半轴重合，始边绕着原点从x 轴的非负半轴旋转到另
一个位置所成的图形
(3)
任意角的分类：
角按旋转方向分为正角、负角和零角
①
正角：按逆时针方向旋转形成的角；
②
负角：按顺时针方向旋转形成的角；
③
零角：始边与终边重合，旋转量为0.
(4)
象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重
合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
(5)
轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角为轴线角，不属
于任何一个象限
(6)
象限角的集合表示方法：
(7)
终边相同的角的集合：所有与角α 终边相同的角，连同角α在内，
构成的角的集合是S ={β|β =k ⋅360°+α ，k ∈Z }
2 知识点02 弧度制
(1)
定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，
用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数
是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)
角度制和弧度制的互化：180° = πrad，1° = π
180 rad，
1rad = 180°
π
．
角
度
（°）
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150
°
180°
弧度（rad
）
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
(3)
扇形的弧长公式：l =|α|⋅r，扇形的面积公式：S = 1
2 lr = 1
2|α|⋅r
2．
3 题型一、判断任意角所在的象限
1．已知α =944°，则α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
【分析】α =944° =224°+2×360°，再根据终边相同的角的集合，判断224°
是第几象限角，即可求出结果.
【详解】因为α =944° =224°+2×360°，又224°是第三象限角，
所以α是第三象限角，
故选：C.
2．-980
∘的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的表示方法，求出与-980
∘终边相同的角，进而
在判断在第几象限.
【详解】因为-980
∘=-360
∘×3+100
∘
所以-980
∘的终边与100
∘的终边相同，
而100
∘的终边在第二象限，
所以-980
∘的终边在第二象限．
故选：B.
3．-1630°的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意可得-1630° =170° -5×360°，进而分析象限角即可.
【详解】因为-1630° =170° -5×360°，且170°为第二象限角，
所以-1630°的终边在第二象限.
故选：B.
4．-2025°的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算.
【详解】因为-2025° =-6×360°+135°，易知135°的终边在第二象限，
故角-2025°的终边在第二象限.
故选：B.
5．已知角α =1234
∘，则角α的终边落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】求出α与154°的角终边相同，从而得到得到答案.
【详解】1234° =360°×3+154°，故α与154°的角终边相同，
其中154°在第二象限，故角α的终边落在第四象限.
故选：B.
6．1013°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据终边相同角的定义可确定具体的象限即可求解
【详解】因为1013° =360°×3-67°，
即1013°与-67°终边相同，所以1013°是第四象限角.故D 正确.
故选：D.
7．2π
3 是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【分析】由π
2 < 2π
3 <π，得出结论即可.
【详解】由π
2 < 2π
3 <π，可知2π
3 是第二象限角.
故选：B.
8．3rad 是第（ ）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【分析】把弧度角化为角度，然后根据象限角的概念即可判断.
【详解】∵πrad =180
∘，∴90
∘<3rad =(
540
π )
∘
<180
∘为第二象限角.
故选：B
9．- 55π
12 是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
【分析】变形得到- 55π
12 =- 7π
12 - 4π，由于- 7π
12 位于第三象限，从而得
到答案.
【详解】依题意，- 55π
12 =- 7π
12 - 4π，由于- 7π
12 ∈(-π,-π
2 )，位于第
三象限，
所以- 55π
12 是第三象限角．
故选：C．
10．角- 10
3 π的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的公式，转化到[0,2π)，即可判断.
【详解】与- 10
3 π终边相同的角的集合为¿，
当k =2时，α = 2π
3 ，为第二象限角.
故选：B
11．50π
9
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据任意角的周期性确定终边所在象限.
【详解】因为50π
9
=6π- 4
9 π，
所以50π
9
的终边与- 4
9 π的终边相同，
而- 4
9 π的终边在第四象限，
所以50π
9
的终边在第四象限，
故选：D.
12．2024π
3
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【分析】化简2024π
3
为674π+ 2π
3 ，根据终边相同的角的表示，即可判断
答案.
【详解】2024π
3
=674π+ 2π
3 ，则2024π
3
与2π
3 终边相同，为第二象限角，
故选：B
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．长为1 的弧所对的圆心角是1 弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．-830°是第二象限角
D．-124°与236°是终边相同的角
【答案】D
【分析】由弧度制定义和象限角定义可判断选项A、B；由终边相同的角可
判断选项C、D.
【详解】长为半径的弧所对的圆心角是1 弧度的角，选项A 错误；
120°是第二象限角，390°是第一象限角，390°>120°，选项B 错误；
-830° =250° -3×360°所以-830°是第三象限角，选项C 错误；
因为236° =-124°+360°，所以-124°与236°是终边相同的角，选项D 正确.
故选：D．
4 题型二、终边相同的角
1．已知角α的终边经过点A (❑√15,- ❑√5)，则α的值可能为（ ）
A．11π
6
B．5π
6
C．5 π
3
D．2π
3
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义可得角α =2k π-π
6 ,k ∈Z，结合选项分析判
断即可.
【详解】因为角α的终边经过点A (❑√15,- ❑√5)，
可知角α为第四象限角，且tan α =- ❑√5
❑√15 =-
❑√3
3 ，
可得角α =2k π-π
6 ,k ∈Z，结合选项可知k =1,α = 11π
6
.
故选：A.
2．下列与角- 7π
6 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2k π+π
6
(k ∈Z)
B．k ⋅360
∘- 7π
6
(k ∈Z)
C．k ⋅360
∘-210
∘(k ∈Z)
D．k π+ 5π
6
(k ∈Z)
【答案】C
【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可.
【详解】与角- 7π
6 的终边相同的角表达式为：2k π- 7π
6 ,(k ∈Z)，或
k ⋅360
∘-210
∘(k ∈Z).
故选：C.
3．下列与角9π
4 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2k π+ 45
∘(k ∈Z)
B．k ⋅360
∘+ 9π
4
(k ∈Z)
C．k ⋅360
∘-315
∘(k ∈Z)
D．k π+ 5π
4
(k ∈Z)
【答案】C
【分析】根据终边相同的角的集合的表达式可判断结果.
【详解】易知角度制与弧度制在同一个式子当中不能混用，即AB 错误；
又9π
4 与π
4 终边位置相同，可表示为2k π+π
4
(k ∈Z)，
也可表示为k ⋅360
∘+ 45
∘(k ∈Z)，还可以表示为k ⋅360
∘-315
∘(k ∈Z)，即C
正确，D 错误.
故选：C
4．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A．(
π
6 ,π
3 )
B．(
2π
3 , 7π
6 )
C．[
2π
3 , 7π
6 ]
D．[2k π+ 2π
3 ,2k π+ 7π
6 ](k ∈Z)
【答案】D
【分析】写出两条边界所表示的角，数形结合得到角α的取值范围.
【详解】阴影部分的两条边界分别是2π
3 ，7π
6 角的终边，
所以α的取值范围是[2k π+ 2π
3 ,2k π+ 7π
6 ](k ∈Z).
故选：D
5．下列各角中，与角- 3π
4 终边相同的角为（ ）
A．3π
4
B．5π
4
C．9π
4
D．-π
4
【答案】B
【分析】先写出与- 3π
4 终边相同的角的表示方法，对A，将3π
4 代入求出
k，判断是否属于整数即可；对B，将5π
4 代入求出k，判断是否属于整数即可；
对C，将9π
4 代入求出k，判断是否属于整数即可；对D，将-π
4 代入求出k，判
断是否属于整数即可.
【详解】与- 3π
4 终边相同的角可表示为：- 3π
4 +2k π(k ∈Z)，
对A，3π
4 =- 3π
4 +2k π(k ∈Z)，解得：k = 3
4 ∉Z，故A 错；
对B，5π
4 =- 3π
4 +2k π(k ∈Z)，解得：k =1∈Z，故B 对；
对C，9π
4 =- 3π
4 +2k π(k ∈Z)，解得：k = 3
2 ∉Z，故C 错；
对D，-π
4 =- 3π
4 +2k π(k ∈Z)，解得：k = 1
4 ∉Z，故D 错.
故选：B
6．与- 23 π
6 终边相同的角是（ ）
A．- π
12
B．π
12
C．π
6
D．7 π
6
【答案】C
【分析】先写出与- 23 π
6 终边相同的角的表示方法，对A，将- π
12代入求出
k，判断是否属于整数即可；对B，将π
12代入求出k，判断是否属于整数即可；
对C，将π
6 代入求出k，判断是否属于整数即可；对D，将7 π
6 代入求出k，判断
是否属于整数即可.
【详解】解：∵- 23 π
6
= π
6 - 4 π，
故与- 23 π
6 终边相同的角可表示为：π
6 +2kπ (k ∈Z)，
对A， - π
12 = π
6 +2kπ ,k ∈Z，
解得：k =- 1
8 ∉Z，故A 错；
对B，π
12 = π
6 +2kπ，
解得：k =- 1
24 ∉Z，故B 错；
对C，π
6 = π
6 +2kπ，
解得：k =0∈Z，故C 对；
对D，7 π
6 = π
6 +2kπ，
解得：k = 1
2 ∉Z，故D 错.
故选：C.
7．与60°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．π
3 +k ⋅360° (k ∈Z)
B．60°+2k π(k ∈Z)
C．60°+2k ⋅360° (k ∈Z)
D．π
3 +2k π(k ∈Z)
【答案】D
【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断.
【详解】A,B 弧度角度混用，错误.
与60°角终边相同的角可以表示60°+k ⋅360° (k ∈Z)，则C 错误．
弧度制下表示为π
3 +2k π(k ∈Z)，则D 正确.
故选：D.
8．下列命题正确的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．小于90
∘的角是锐角
D．集合{α|90°≤α <180°}内的角不一定是钝角
【答案】D
【分析】根据任意角的概念和终边相同的角的概念逐一判断.
【详解】A 选项：终边与始边重合的角为0
∘+ k ⋅360
∘(k ∈Z)，故A 错；
B 选项：终边和始边都相同的两个角可能相差360
∘的整数倍，故B 错误；
C 选项：小于90
∘的角可能是0
∘，还可能是负角，所以C 错误；
D 选项：集合{α|90°≤α <180°}内的角包含90
∘直角，所以不一定是钝角，D
正确；
故选：D
5 题型三、弧长
1．半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（ ）
A．630cm
B．7
6 cm
C．7π
6 cm
D．7π
2 cm
【答案】D
【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可.
【详解】圆心角210°化为弧度为7π
6 ，则弧长为7π
6 ×3= 7π
2 cm.
故选：D
2．已知半径为1 的扇形AOB的圆心角为π
3 ，则扇形AOB的弧长等于
（ ）
A．π
4
B．π
C．π
3
D．π
6
【答案】C
【分析】根据弧长公式计算即可.
【详解】由题意，扇形AOB的弧长为π
3 ×1=π
3 .
故选：C.
3．在半径为2 的圆中，1 弧度的圆心角所对的弧长为（ ）
A．2
B．2π
3
C．3
2
D．π
【答案】A
【分析】由弧长公式计算得结果.
【详解】1 弧度的圆心角所对的弧长为1×2=2.
故选：A
4．已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为π
5 ，则扇形所对的圆心角的
弧度为（ ）
A．π
10
B．π
5
C．2π
5
D．3π
10
【答案】A
【分析】设这个扇形的圆心角的弧度数为α，根据弧长公式求解即可．
【详解】设这个扇形的圆心角的弧度数为α，r =2,l =π
5 ，
根据扇形的弧长公式得l =αr ⇒π
5 =α ×2，解得α =π
10 ．
故选：A．
5．若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧
长为（ ）
A．7
2
B．❑√7
C．14
D．7 ❑√2
【答案】C
【分析】利用弧长计算公式求解即可.
【详解】该扇形的弧长为αr =14．
故选：C.
6．若扇形的圆心角为2π
3
，弧长为2π，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】利用扇形的弧长公式可求得该扇形的半径.
【详解】因为扇形的圆心角为2π
3
，弧长为2π，则该扇形的半径为
r = 2π
2π
3
=3.
故选：A.
7．已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为
（ ）
A．2
∘
B．4
C．4
∘
D．2
【答案】B
【分析】根据弧长公式即可求解.
【详解】设扇形的圆心角为α，半径为r，
由题意可得6=2r +αr，故α = 4 rad，
故选：B
8．已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（
）
A．1rad
B．4rad
C．3rad
D．2rad
【答案】D
【分析】设扇形所对圆心角为α (rad)，根据弧长公式得到方程，解得即可.
【详解】设扇形所对圆心角为α (rad)，依题意可得2×2+2α =8，解得α =2，
即该扇形所对圆心角的弧度是2rad.
故选：D
6 题型四、扇形面积
1．若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
2
【答案】D
【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解.
【详解】令该扇形圆心角的弧度为θ，半径为r，
则¿，解得¿，
故选:D.
2．已知扇形弧长为π
2 ，圆心角为π
4 ，则该扇形的面积为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】D
【分析】由弧长公式l =|α|r，先求出半径r，再由扇形面积公式S = 1
2|α|r
2求
解即可.
【详解】设扇形的半径为r，则由弧长公式可得π
2 =π
4 ×r，解得r =2，
所以扇形的面积S = 1
2 ×π
4 ×2
2=π
2 .
故选：D.
3．已知扇形的圆心角为2rad，面积为4，则扇形的周长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【答案】B
【分析】求出扇形的半径和弧长，即可求得答案.
【详解】设扇形的半径为r，则S = 1
2|α|r
2= 1
2 ×2×r
2= 4 ,∴r =2，
则扇形的弧长为2×2= 4，故扇形周长为2r + 4 =8，
故选：B
4．若一个扇形的半径为4，圆心角为π
6 ，则这个扇形的面积为（ ）
A．π
3
B．π
2
C．4π
3
D．3π
2
【答案】C
【分析】由扇形面积公式即可求解；
【详解】S = 1
2 α r
2= 1
2 ×π
6 ×16= 4π
3 ，
故选：C.
5．已知一个扇形的圆心角为2π
3 ，且面积为3π，则该扇形的弧长为
（ ）
A．π
B．❑√2π
C．2π
D．6π
【答案】C
【分析】由扇形的弧长和面积公式可直接求解.
【详解】设扇形的弧长为l，圆心角为α，面积为S，
由题意得¿，解得l =2π，
故选：C.
6．已知扇形的圆心角为2 弧度，弧长为6cm，则该扇形的面积为（ ）
A．3cm
2
B．6cm
2
C．9cm
2
D．18cm
2
【答案】C
【分析】求出扇形的半径，利用扇形面积公式求出答案.
【详解】设扇形的半径为rcm，则r = 6
2 =3，
则该扇形的面积为1
2 lr = 1
2 ×6×3=9cm
2.
故选：C
7．已知弧长为2π的扇形圆心角为π
6 ，则此扇形的面积为（ ）
A．10 π
B．12π
C．18 π
D．36 π
【答案】B
【分析】先由已知条件求出扇形的半径，再由扇形的面积公式可求得结果.
【详解】因为弧长为2π的扇形圆心角为π
6 ，
所以扇形的半径r = 2π
π
6
=12，
故其面积S = 1
2 ×12×2π =12π.
故选：B.
8．若一个扇形的面积为2π，圆心角为π
4 ，则这个扇形的弧长为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解.
【详解】设扇形的半径为r，
一个扇形的面积为2π，圆心角为π
4 ，
则2π= 1
2 ⋅π
4 ⋅r
2，计算得r = 4，
故弧长l =α ⋅r =π.
故选：C.
9．如图，单位圆O 内接一个圆心角为π
3 的扇形ABC，则扇形ABC的面积
为（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
D．2π
3
【答案】A
【分析】根据∠BOC =2∠BAC = 2π
3 ，结合单位圆的半径为1，求得
BC = ❑√3，由三角形ABC为等边三角形可得扇形的半径，利用扇形的面积公式可
得答案.
【详解】由单位圆O 内接一个圆心角为π
3 的扇形ABC，
则AB = AC ,∠BOC =2∠BAC = 2π
3 ,OA =OB =OC =1，故BC = ❑√3，
又AB = AC ,∠BAC =π
3 ，所以三角形ABC为等边三角形，
故AB = AC = BC = ❑√3.
由扇形的面积公式可得：S扇形ABC = 1
2 ×π
3 ×(❑√3)
2=π
2 .
故选：A.
