文档文本内容
3.4 导数的综合应用
考向一 判断零点的个数
【例1-1】（2025·广东湛江·一模）已知函数
，其中
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)当
时，试判断
的零点个数并证明．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)两个零点，证明见解析
【解析】（1）由题知
，
，
当
时，
．
令
，得
或
（舍去）．
当
时，
，故
的单调递减区间为
．
当
时，
，故
的单调递增区间为
．
（2）解法一：因为
，故
有一个零点是2．
令
，解得
（舍去），
．
当
时，
，故
单调递减．
当
时，
，故
单调递增．
当
时，
，
．
．
下面先证明当
时，
．
令
，
，
故
在
上单调递增，
所以
．
因为
，所以
．
易知
，所以
在
上存在唯一的零点
，
所以当
时，
有两个零点，为2 和
．
解法二：当
时，
，故2 是
的一个零点．
令
，又
，所以
．
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
是
的极小值点．
当
时，
，所以
．
下证
．
令
，则
．
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
从而
，
所以当
时，
，
所以
，
即
．
令
，则有
，则
．
易得当
时，
，所以
在
上有唯一解．
综上，当
时，
有两个零点．
解法三：令
，
当
时，
，故2 是
的一个零点．
当
时，
．
令
，
易得
在
和
上均单调递减．
因为
（洛必达法则），
所以当
时，
且单调递减，
故当
时，
在
上有唯一解．
而当
时，
，
故当
时，
无解．
综上可知，当
时，
有两个零点.
【例1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
在
上零点的个数.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【解析】（1）当
时，
，求导得
，
则
，而
，所以所求切线方程为
，即
.
（2）依题意，
，
当
时，
；当
时，
，函数
在
上递增，
在
上递减，
，
当
，即
时，
恒成立，此时
在
上无零点；
当
，即
时，
，
，
在
上无零点，
，在
上有一个零点，则
在
上有一个零点；
当
，即
时，
，
函数
在
和
上各有一个零点，因此
在
上有两个零点；
当
，即
时，
在
上恒成立，当且仅当
，函数
在
上有一个零点；
当
，即
时，
恒成立，此时
在
上无零点，
所以当
或
时，
在
上无零点；
当
或
时，
在
上有一个零点；
当
时，
在
上有两个零点.
【一隅三反】
1．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
.
(1)证明：
，
；
(2)求函数
的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）欲证
，
，
即证
，
，
令
，
则
，
因为
，
，
所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
成立.
（2）令
，
所以
，
①当
时，
，
，
所以
，
即
在
时无零点；
②当
时，
，
，
所以
，
所以
在
时单调递增，
所以
，
即
在
时无零点；
③当
时，令
，
则
，
显然
在
上单调递增，
又
，
，
所以存在
使得
，
因此可得
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
又
，
，
所以存在
，使得
，
即
时，
，
，
单调递减；
时，
，
，
单调递增，又
，
，
所以
在
上有2 个不同的零点；
④当
时，
单调递增，
所以
，
即
成立，
所以
在
上无零点，
综上，函数
有2 个不同的零点.
2．（23-24 内蒙古通辽·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
.
(2)讨论函数
的极值点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，
则
，则
.
（2）
，
由
，解得
，
易知函数
在
上单调递增，且值域为
，
令
，由
，解得
，
设
，则
，
因为当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
因为
趋近于
时，
趋近于
，趋近于
时，
趋近于
，
所以
的大致图象如图所示．
因此有：
（ⅰ）当
时，方程
无解，即
无零点，
没有极值点；
（ⅱ）当
时，
，
设
，则
，
令
，
，
在
上单调递增函数，在
上单调递减，
所以
，即
，
得
，
所以，函数
在
内单调递增，此时
没有极值点；
（ⅲ）当
时，方程
有两个解，即
有两个零点，
有两个极值点；
（ⅳ）当
时，方程
有一个解，即
有一个零点，
有一个极值点．
综上，当
时，
有一个极值点；
当
时，
有两个极值点；
当
时，
没有极值点．
考向二 根据零点个数求参数
【例2-1】（23-24 河南）已知函数
在
及
处取得极值．
(1)求a，b 的值；
(2)若方程
有三个不同的实根，求c 的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）∵
，∴
，
由已知得，
是
的两个根，
故
，解得
，
；
此时
，则
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
可知
和
均为极值点，符合题意，
，
.
（2）由（1）得
，
，结合（1）可知，该函数的零点为
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
∴
的极小值为
，极大值为
，
若方程
有三个不同的实根，只需
，
解得
，
∴a 的范围是
.
【例2-2】（2025·四川广安·二模）已知函数
（
为常数）.
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
有3 个零点？若存在，求实数
的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）因为
，所以
，
，
，
所以曲线
在
处的切线为
，即
.
令
，则
，
若
，则
，则切点为
，切线为
，不合题意；
若
，则
；令
，则
.
又切线在两坐标轴上的截距相等，即
，
故
.
（2）若函数
有3 个零点，等价于方程
有三个解.
其中
时，显然不是方程的根，
当
时，转化为
与
的图象有3 个交点.
又由
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
取得极小值，极小值为
.
又由
时，
；当
时，
且
；当
时，
，
故函数
的大致图象如下图所示：
所以
，即实数
的取值范围为
.
【例2-3】（2025·新疆·三模）已知函数
，
且
．
(1)当
（为自然对数的底数）时，求函数
在
处的切线方程；
(2)函数
在
上有且仅有两个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
且
．
【解析】（1）因为
，所以
，
，
，
，
所以函数
在
处的切线方程为
．
（2）
因为函数
在
上有且仅有两个零点，
所以方程
有且仅有两个不同的实数根，即方程
有且仅有两个不同的实数根．
令
，则方程
有且仅有两个不同的实数根，
∵
，
所以在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减且
，
∴
，
∵
与
有两个交点，
∴
，结合图像解得
且
．
【例2-4】（2025·北京·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
的极值点在
内，求m 的取值范围；
(2)若
有两个零点，求m 取值的范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
,
则
，
要使函数
的极值点在
内，
则
在
上有解，
即
在
上有解，则
，解得
，
即m 的取值范围为
.
（2）由
，
，
则
，
当
时，
，
，则
，
此时函数
在
上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当
时，
，令
，得
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
又
时，
，
时，
，
要使
有两个零点，则
恒成立，
设
，则
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
则
，解得
.
综上所述，m 取值的范围为
.
【例2-5】（24-25 高三上·山西·阶段练习）若函数
恰有2 个零点，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】令
，得
，
即
，令
，
，
所以函数
恰有2 个零点等价于函数
的图象与
的图象有两个交点.
，令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
且
时
，
时
，
所以
的图象如图所示，
设是经过点
的
的图象的切线，切点为
，
则切线斜率为
，
所以的方程为
，
又经过点
，所以
，
即
，解得
或
，
或
，
所以由图可知，当
或
，
即
或
时，函数
的图象与
的图象有两个交点，
即函数
恰有2 个零点，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【一隅三反】
1．（24-25 高二下·山东·期中）函数
有两个零点，则m 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知：
的定义域为
，
且
，
令
，可知
在
内单调递增，
原题意等价于
在定义域为
有2 个零点，
令
，可得
，
可知
与
（过原点的直线）有2 个交点，
对于
，则
，
设切点坐标为
，则切线斜率
，可得切线方程为
，
代入点
，得
，解得
，即切线斜率
，
结合图象可知：若
与
有2 个交点，则
，即
，
所以m 的取值范围是
.
故答案为：
.
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极小值；
(2)若函数
有2 个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）当
时，函数
定义域为
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，函数
在
上递增，在
上递减，
所以当
时，
取得极小值
.
（2）依题意，函数
的定义域为
，
由
，得
，令函数
，
求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
当
从大于0 的方向趋近于0 时，
；当
时，
，
则当
，即
时，直线
与函数
的图象有两个交点，即
有两个零点，
所以
的取值范围是
.
3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若方程
有两个根，求
的取值范围.
【答案】(1)函数
的单调递增区间为
和
，递减区间为
(2)
的取值范围为
【解析】（1）当
时，
，
所以
，
由
，得
或
，由
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
和
，递减区间为
；
（2）因为
不是
的根，当
时，
由
，可得
，
设
，
则
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
当
时，
且
，
当
时，
，
要使
有两个根，则
，解得
，
所以
的取值范围为
.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，判断
是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若
存在两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)无极小值点；理由见解析
(2)
【解析】（1）依题意可得
，
，故
，
设
，则
，
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递增，无极小值点；
（2）令
，可得
，
所以
与
恰有两个交点，
设
，则
，
令
可得
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增
，
当
时，
；当
时，
，
的取值范围是
5．（2025·山东·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为
（是自然对数的底数），求
的值；
(2)若
有且只有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得
的定义域为
，
，
则
，即
，
所以
，即
,
令
，则
,
又
在区间
上单调递增，且当
时，
，
所以
，即
，所以
．
（2）因为
有且只有两个零点，所以
有且只有两个大于1 的实数根，
又
，
所以方程
，即
有且只有两个大于1 的实数根，
令
，则
，
由
，解得
，当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递减且
，在区间
上单调递增且当
时，
，作
出
的图象，如图①，
又
，所以
，
要使
，则
，即
有且只有两个大于1 的实数根，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又
，当
时，
，且无限趋近于0，作出
的图象，如图②，
所以
，即
，故
的取值范围是
．
考向三 恒（能）成立求参数
【例3-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，则
所以
，又
，
则所求切线方程为
．
（2）
，其中
，
所以问题转化为
（
）恒成立，
记
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
的最大值为
，所以
．
【例3-2】（2025·湖北·三模）已知函数
（为自然对数的底数）.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
则
，
所以切线方程为
，即
；
（2）当
时，
恒成立，即
在
上恒成立，
设
，则
，
令
，则
.
①当
时，因为
，则
，
可知
在
上单调递减，则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
恒成立，所以
满足题意；
②当
时，令
，解得：
，
当
时，
，则
单调递增，
此时
，则
在
上单调递增，所以
，
即当
时，
，即
不恒成立，可知
不合题意.
综上所述，
.
【一隅三反】
1．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数
.
(1)当
时，证明:
.
(2)若对于定义域内的任意
恒成立，求t 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：当
时，
，
所以证明
即证明
，
设
, 则
，
所以当
时，
在区间
单调递增；
当
时，
在区间
单调递减，
所以
在
处取到最大值，即
，所以
，得证.
（2）由
恒成立，得
在
上恒成立；
由(1)可以得到
，所以
；
所以
，所以
，当且仅当
时取等号，
于是t 的取值范围是
2．（2025·湖北武汉·二模）已知函数
．
(1)若在
处的切线斜率为
，求
；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，依题意
，解得
；
（2）因为
的定义域为
，
又
，
所以
恒成立，
令
，
，则
，
令
，
，则
，所以
在
上单调递增，
又
，
，
所以
使得
，即
，
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
即实数
的取值范围为
.
3．（2025·北京·模拟预测）已知函数
，
，
.
(1)求函数
的极值；
(2)若
恒成立，求实数
的最小值.
【答案】(1)极大值为-1，无极小值；
(2)
【解析】（1）由题意得函数
，
得
的定义域为
，
所以
，
令
，得
，所以函数
在
单调递增；
令
，解得
，所以函数
在
单调递减；
所以函数
在
处取得极大值，且极大值为
，无极小值.
（2）由
，
即
在
恒成立，且
，
所以
，
即
，
令
，
则
，
所以
，
且
，因为
，所以
，
所以
在
单调递增，
所以
，
令
，
则
，
令
，解得
，则
在
单调递增，
令
，解得
，则
在
单调递减，
所以
在
处取得最大值
，
所以实数
的取值范围为
，
故实数
的最小值为
.
考向四 隐零点
【例4】（2024 湖北）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：函数
的图象在x 轴上方.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求
，根据
正负即可求y 的单调区间；
(2)求
，根据
零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【详解】（1）
，
令
则
.
当
时，
，∴函数在
上单调递增；
当
时，
，∴函数在
上单调递减.
即
的单调递增区间是
，单调递减区间是
；
（2）
，
，易知
单调递增，
又
，
，
∴在
上存在一个
，
使得：
，即：
，且
，
当
，有
单调递减；
当
，有
单调递增.
∴
，
∴
，
∴函数
的图象在x 轴上方.
【一隅三反】
1.(2025 河南)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
【答案】见解析
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋2(x－1)．
当0＜x＜1 时，f′(x)＜0；当x＞1 时，f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)当a＝1 时，f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，
因为f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有1 个零点．
当a＞1 时，f′(x)＝1＋ln x－a＋2a(x－1)＝1＋ln x＋2ax－3a，
令g(x)＝1＋ln x＋2ax－3a，因为a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′＝g＝1＋ln ＞0，所以存在实数x0∈，使得g(x0)＝0．
在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0满足f′(x0)＝0，即1＋ln x0＋2ax0－3a ＝0．
所以f(x0)＝x0ln x0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，
因为x0∈，所以f(x0)＜0，因为f＝＋1－＞0，f(3)＝3ln 3＋a＋1＞0，所以f(x)有2 个零点．
综上所述，当a＝1 时，f(x)有1 个零点；当a＞1 时，f(x)有2 个零点
2.（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)证明：当
时，
．（参考数据：
）
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值
，
所以
的极大值为
，无极小值；
（2）设
，
则
，
令
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
又
，
，
，
所以存在
，使得
，即
．
当
时，
，即
，
单调递减，
当
时，
，即
，
单调递增，
所以当
时，
在
处取得极小值，即为最小值，
故
，
设
，因为
，
由二次函数的性质得函数
在
上单调递减，
故
，
所以当
时，
，即
．
3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
在
上单调递减
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
则
，
令
，由于
，所以
，
所以
，
因为
，
，
，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减.
（2）法一：
构建
，
则
，
若
，且
，
则
，解得
，
当
时，因为
，
又
，所以
，
，则
，
所以
，满足题意；
当
时，由于
，显然
，
所以
，满足题意；
综上所述：若
，等价于
，
所以
的取值范围为
.
法二：
因为
，
因为
，所以
，
，
故
在
上恒成立，
所以当
时，
，满足题意；
当
时，由于
，显然
，
所以
，满足题意；
当
时，因为
，
令
，则
，
注意到
，
若
，
，则
在
上单调递增，
注意到
，所以
，即
，不满足题意；
若
，
，则
，
所以在
上最靠近
处必存在零点
，使得
，
此时
在
上有
，所以
在
上单调递增，
则在
上有
，即
，不满足题意；
综上：
.
考向五 不等式的证明
【例5】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数
有两个零点.
(1)求
的值；
(2)证明：当
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，
则
，
由于
，当
或
时，
；当
时，
.
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
因为函数
有两个零点，则
或
，
解得
或
（舍），故
.
（2）当
时，
，
结合函数单调性知，当
时，
，
，
，
此时不等式成立.
下面证明
时的情况，设
，满足
，
则原不等式等价于
.
考虑到三次函数图象极值点附近的非对称性：
令
，
则
，故
在
上单调递减，
.
，
故只需证
，令
，
当
时，
，故
在
上单调递减.
所以
，故原不等式得证.
【一隅三反】
1．（2025·北京顺义·一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，求证：
是
上的单调递减函数；
(3)求证：当
时，
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【解析】（1）依题意，
．
又
，
所以
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）由（1）知，
，
，
所以
.
令
，则
，
因为
，所以
，即
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，所以
是
上的单调递减函数.
（3）令
，
则
，
由（2）知，
在
上单调递减，
所以当
时，
，此时
，即
在
上单调递减，
所以
，即
，
当
时，
，
，
.
所以
即
，
所以
即
，
综上可得：当
时，
.
2．（2025·辽宁锦州·二模）已知
．
(1)若
在
上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
的图像在
处的切线为
，求a 与b 的值，并证明
时，
．
【答案】(1)
(2)
，
，证明见解析
【解析】（1）若
在
上单调递增，
则
对
恒成立，
设
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
所以只需
，即
，所以a 的取值范围是
.
（2）因为
，
，
所以
在
处切线方程为
，
根据题意，该切线为
，所以
，解得
，
，
所以
，因为
，所以
，
下面证明：
，
（法一）先证
，即
，
令
，
，则
，
所以
在
是增函数，所以
，即
，①
再证
，即
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上是减函数，在
上是增函数，
所以
，即
，所以
，②
由①②得
，综上，
在
上成立．
（法二）设
，则
，
因为
两个函数均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
因为
，
，
所以
使
，所以
，即
，
当
时，
，
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
因为
，所以
，即
，
所以
在
上成立.
3．（2025·江西南昌·一模）已知
．
(1)若
在定义域上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
有极大值m，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）函数
的定义域为
，
可得
，
令
，
所以
，
因为
时，
，所以
单调递减，
时，
，所以
单调递增，
所以
，
因为
在定义域上单调递增，所以
恒成立，
所以
，即
；
（2）由（1）可知，当
有两个不同的零点时，
，
此时
，
且
时
，
时
，
所以
，则
，
，其中
，
因为
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
为
的极大值点，则
，
且
，
设
，则
，
所以
在
单调递增，
所以
，即
.
考向六 极值点偏移
【例6-1】（2025·湖南郴州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同极值点
，证明：
.
【答案】(1)
的最大值为
，无最小值.
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
对函数
求导可得
.
令
，解得
.
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
因此，
在
处取得最大值，最大值为
，无最小值.
（2）函数
对
求导可得
令
，得到
.
设
是
的两个根，则
①，
②
①-②得
③；①+②得
④.
③
④得
，
即
，
不妨设
，令
则
，
即
.
要证
，即证
，
即证
，即证
，即证
，即证
.
设
，对
求导可得
恒成立，故
在
上单调递增，
即
故
成立，即
成立.
【例6-2】（2025·江苏·模拟预测）设
，曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求
，
的值；
(2)证明：
；
(3)若
存在两根
，
，且
，证明：
.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【解析】（1）因为
，所以
，即
，
因为
，所以点
在直线上，
即
，所以
．
（2）由（1）知，切线的方程为
，
所以要证
，即证
．
设
，
则
，
当
时，
此时单调递增：
当
时，
此时单调递减，
所以
，当且仅当
时，等号成立．
所以
．
（3）因为
，当
时，
此时单调递减：
当
时，
此时单调递增：
则
极小值为
，且
，
，且小于0，
，
，
因为
存在两根
，
所以
，且
．
首先证明：
，即证
．
因为
在
上单调递减，所以只要证
，
即证
．
设
，因为
，
当
时，
，
，则
，所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，故
，
所以
．
其次证明：
．
因为
在
处的切线为
，
由（2）知，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
即
，所以
．
综上，
．
【一隅三反】
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
，则
，
令
，得
，
若函数
有两个零点，则直线
与函数
的图象有两个不同的交点．
设
，则
．
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
因此
．当
时，
，当
时，
，
作出函数
的大致图象与直线
，如图所示，要使二者有两个不同交点，
则
，故
的取值范围为
．
（2）因为
是函数
的两个极值点，所以
．
由（1）知
，不妨设
，
要证
，即证
，
只需证
，显然
．
由（1）知当
时，
单调递增，所以只需证
，
而
，所以即证
．
设
，
则
，
当
时，
单调递减，所以当
时，
，
所以当
时，
，原不等式得证．
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程；
(2)若函数
在
上恰有2 个零点
，
.
①求
的取值范围；
②求证：
.
【答案】(1)
；
(2)①
；②证明见解析.
【解析】（1）当
时，
，设直线与曲线
相切于点
，
因为
，所以直线的斜率
，
又
，故的方程为
，
又过原点，所以
，所以
，
所以
，故的方程为
，即
.
（2）①因为
在
上恰有两个零点，
所以关于
的方程
有两个不相等的正根，即
恰有2 个不相等的正实数根
，
，
令
，则
与
的图象有两个不同的交点.
因为
，所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
当
从0 的右侧无限趋近于0 时，
趋近于
；
当
无限趋近于
时，则
趋近于
，则
图象如图所示，
所以当
时，直线
与
的图象有两个不同交点，
所以实数
的取值范围为
.
②由①知
，
，
所以
，
，
所以
，
不妨设
，则
，
要证
，只需证
，
因为
，所以
，所以
，
则只需证
.
令
，则只需证当
时，
恒成立，
令
，
所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以当
时，
恒成立，所以原不等式
得证.
3．（2025·江苏南京·一模）已知函数
.
(1)当
时，求证：
；
(2)若
对于
恒成立，求
的取值范围；
(3)若存在
，使得
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由
，得
.
要证
，只需证
.
令
，则
.
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
，故
，
因此
.
（2）
令
，则
①当
时，由
，得
，
因此
，满足题意.
②当
时，由
，得
，
因此
，则
在
上单调递增.
若
，则
，
则
在
上单调递增，
所以
，满足题意；
若
，则
，
因此
在
存在唯一的零点
，且
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
，不合题意.
综上，
的取值范围为
.
（3）由（2）知
，设
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
注意到
，
故
在
上存在唯一的零点
.
注意到
，且
在
上单调递增.
要证明
，只需证
，
因为
，所以只需证
，
即证
.
因为
，即
，
所以，只需证
，
只需证
（*）
由（1）得
，
因此
，
设
，
则
，所以
在
上单调递增，
所以
，
从而
，即
，因此（*）得证，
从而
.
考向七 放缩法证明不等式
【例7-1】（2025·湖南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
恒成立，求
的值；
(3)求证：
.
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
；极小值0，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
则
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，所以
的单调递减
区间为
，单调递增区间为
，
在
处取得极小值0，无极大值.
（2）由题意得
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，与
矛盾；
②当
时，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
，
因为
恒成立，所以
.
记
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，所以
，
所以
.
又
，所以
，所以
.
（3）先证
，设
，则
，
所以
在区间
上单调递减，所以
，即
.
所以
，再证
.
由（2）可知
，当
时等号成立，
令
，则
，
即
，
所以
，
累加可得
，
所以
.
【变式】
1．（2025·浙江宁波·三模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)求证：当
时，
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)证明见解析.
【解析】（1）由题设
，则
且
，
当
，
，即
在
上单调递增，
当
，
，即
在
上单调递减，
当
，
，即
在
上单调递增；
（2）由题设
，令
，则
，
对
时，
恒成立，且
，只需
，即
，
另一方面，
时，
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递增，则
，满足题设，
综上，
；
（3）由（2）取
，在
上
，
令
，
，则
，即
，
所以
，则
，得证.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知
，
.
(1)当
时，求函数
在
的最小值；
(2)若函数
为增函数，求实数
的取值范围；
(3)若
时，
，
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，则
，
因为
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
在
上恒成立，当且仅当
时取等号，则
在
上单调递增，
所以函数
在
的最小值为
.
（2）因为
，则
，
因为函数
为增函数，则
恒成立，
由（1）
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
.
（3）因为
时，
，即
，得到
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
，即
，
所以
，
即
.
3．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数
．
(1)若
，求a 的值；
(2)设
，求证：
．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【解析】（1）因为
，且
的定义域为
，
则
，
若
，注意到
，
可得
，解得
，
当
时，则
，
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
可得
，符合题意；
综上所述：a 的值为1.
（2）由（1）可得：
，即
，当且仅当
时，等号成立，
令
，可得
，
即
，
累加可得：
，
又因为
，
即
，
所以
.
