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4.1 任意角与弧度制（分层训练）
目录
1
题型一、判断任意角所在的象限.............................................................2
2
题型二、终边相同的角.............................................................................2
3
题型三、弧长.............................................................................................2
4
题型四、扇形面积.....................................................................................2
1 题型一、判断任意角所在的象限
1．已知角α =-1920
∘，则角α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．下列说法正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角
B．第二象限角是钝角
C．第一象限角是锐角
D．第四象限角是负角
3．-690°的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）
A．第一象限的角是锐角
B．小于π
2 的角是锐角
C．始边相同且终边也相同的角一定相等
D．始边相同且相等的角的终边一定相同
5．若0°<α <180°，则α的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一象限或第二象限
D．以上答案都不正确
6．给出下列四个命题：
①- 3 π
4 是第二象限角；②4 π
3 是第三象限角；③- 400
∘是第四象限角；④
-315°是第一象限角．其中正确的命题有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．2018°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
8．在直角坐标系内，角-2020°的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2 题型二、终边相同的角
1．与- π
7 终边相同的角是（ ）
A．- 13 π
7
B．6 π
7
C．23 π
7
D．27 π
7
【答案】D
【分析】先求出与- π
7 终边相同的角¿，再令k =2得到答案.
【详解】解：与- π
7 终边相同的角¿,
当k =2时，α = 27 π
7 ，
故选：D
【点睛】本题考查求终边相同的角，是基础题.
2．下列角中与- 11
6 π终边相同的角是（ ）
A．-30°
B．- 40°
C．20°
D．390°
【答案】D
【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到- 11
6 π =-330°，结合终边相同
角的表示，即可求解.
【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得- 11
6 π =-330°，
与角-330°终边相同的角的集合为A ={α |α =-330°+k ⋅360° ,k ∈Z }，
令k =2，可得α =390°，
所以与角α =-330°终边相同的角是α =390°.
故选：D.
3．下列各角中，与1840° 角终边相同的角是（ ）
A．40°
B．220°
C．320°
D．- 400°
【答案】A
【分析】将1840°化为40°+5×360°，即可确定答案.
【详解】因为1840° = 40°+5×360°，故40°角的终边与1840°的终边相同，
故选：A
4．与2020°角的终边相同的角可以表示为（ ）
A．200
∘+ k ×360
∘(k ∈Z)
B．140
∘+ k ×360
∘(k ∈Z)
C．-220
∘+ k ×360
∘(k ∈Z)
D．220
∘+ k ×360
∘(k ∈Z)
【答案】D
【分析】由2020
∘=5×360
∘+220
∘可得答案.
【详解】因为2020
∘=5×360
∘+220
∘，所以2020
∘与220
∘终边相同，由此可得
与2020
∘角的终边相同的角可以表示为220
∘+ k ×360
∘(k ∈Z)，
故选：D．
5．与-525
∘角终边相同的角可表示为（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】C
【分析】直接利用终边相同角的表示即可.
【详解】因为-525
∘=-2×360
∘+195
∘
所以与-525°角终边相同的角可以表示为X =195
∘+360
∘⋅k
故选：C
6．下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若k ⋅360°<α <k ⋅360°+180° (k ∈Z)，则α为第一或第二象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【答案】C
【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.
【详解】对A 选项，如-210°<30°，故A 错误.
对B 选项，α为第一或第二象限角或终边落在y 轴正半轴上的角．故B 错误.
对C 选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，
故C 正确.
对D 选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D 错误.
故选: C.
7．将－1485°化成α +2kπ (0≤α <2π ,k ∈Z)的形式是（ ）
A．π
4 -8πB．7
4 π -8 π
C．π
4 -10 π
D．7
4 π -10 π
【答案】D
【分析】由360° =2π rad或180° = π rad转换．
【详解】因为-1485° =-5×360°+315°，360° =2π rad，315° = 7
4 π rad，所
以－1485°可化成7
4 π -10 π．
故选：D．
8．用弧度制表示与2025
°角的终边相同的角的集合为（ ）
A．{α |α =π
4 +2k π,k ∈Z}
B．{α |α =3π
4 +2k π,k ∈Z}
C．{α |α =-π
4 +2k π,k ∈Z}
D．{α |α =-3π
4 +2k π,k ∈Z}
【答案】D
【分析】将2025
°化成弧度结合选项即可求解；
【详解】2025
°用弧度制可表示为12π- 3π
4 ，
所以与2025
°角的终边相同的角构成的集合为{α |α =-3π
4 +2k π,k ∈Z}
故选：D．
3 题型三、弧长
1．已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．3
B．1
C．1
3
D．3
2
【答案】B
【分析】利用弧长公式计算可得答案.
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，
则l+2r =3α +6=9，解得α =1．
故选：B.
2．已知扇形的圆心角为30
∘，弧长为π，则扇形的半径为（ ）
A．3 ❑√2
B．3
C．6 ❑√2
D．6
【答案】D
【分析】根据扇形的弧长公式，即可求得答案.
【详解】由扇形的圆心角为30
∘，即为π
6 ，
又弧长为π，故扇形的半径为
π
π
6
=6，
故选：D
3．扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用扇形的面积、弧长公式列方程求半径、弧长，即可求扇形的
圆心角.
【详解】令扇形半径为r，弧长为l，则¿，
所以扇形的圆心角的弧度数为l
r =2.
故选：B
4．已知一个扇形的圆心角为30°，半径为1，则该扇形的周长为（ ）
A．32
B．π
6
C．30
D．π
6 +2
【答案】D
【分析】由l =αr ,C =l+2r即可得解.
【详解】由题意设圆心角、半径以及弧长分别用α ,r ,l表示，则弧长
l =αr =π
6 ×1=π
6 ，扇形的周长为C =l+2r =π
6 +2.
故选：D.
5．已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】先求出扇形的弧长，进而即可得出答案.
【详解】由已知可得，扇形的半径R =2，圆心角的弧度数α =2，
所以，扇形的弧长为l =αR = 4，
扇形的周长为l+2 R =αR+2 R =8.
故选：D.
6．已知扇形的圆心角为2rad，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A．1
2
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【分析】根据扇形弧长公式计算可得.
【详解】因为扇形的圆心角为2rad，半径为4，
所以由弧长公式得扇形的弧长为l =α ⋅r =2×4 =8．
故选：D
7．在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内
弧所对圆心角依周天星辰之轨，为2π
3 rad，外弧长为16π厘米，内弧长为8π
厘米.”则此扇面的面积为（ ）
A．72cm
2
B．144πcm
2
C．144
3 πcm
2
D．180πcm
2
【答案】B
【分析】利用弧长公式和扇形面积公式即可得到答案.
【详解】作出示意图如图所示：由题意可得AO= 16 π
2π
3
=24，CO= 8 π
2π
3
=12，
扇形AOB的面积是1
2 × 2π
3 ×24
2=192π，
扇形COD的面积是1
2 × 2π
3 ×12
2= 48π.
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是192π- 48π=144π.
故选：B．
8．圆心角为30°，半径为2 的扇形，其弧长为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】C
【分析】根据弧长的公式求解.
【详解】由30°=π
6 ，则l =|α|r = π
6 ×2=π
3 .
故选：C
4 题型四、扇形面积
1．π
3 弧度的圆心角所夹的扇形面积是2π
3 ，这个圆心角所对的弦长为
（ ）
A．1
B．π
C．2
D．2π
【答案】C
【分析】设该扇形的半径为r，根据扇形面积公式求出r，即可得到弦长.
【详解】设该扇形的半径为r (r >0)，因为扇形的圆心角为π
3 ，面积是2π
3 ，
所以1
2 ×π
3 ×r
2=2π
3 ，解得r =2（负值已舍去），
又扇形的圆心角为π
3 ，则其所对的弦长为r =2.
故选：C.
2．一个扇形的弧长为2π
5 ，面积为2π
5 ，则此扇形的圆心角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
5
D．2π
5
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再利用
弧长公式求解即得.
【详解】设扇形所在圆半径为r，于是1
2 × 2π
5 ×r = 2π
5 ，解得r =2，
所以此扇形的圆心角α =
2π
5
2
=π
5
.
故选：C
3．已知弧长为π的弧所对的圆心角为π
3 ，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A．3π
2
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【答案】A
【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】由题意可知，扇形的半径为r =π
π
3
=3，
因此该扇形的面积为S = 1
2 ×π×3= 3π
2 .
故选：A.
4．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ）
A．2cm
2
B．4 cm
2
C．6cm
2
D．8cm
2
【答案】D
【分析】设扇形的半径为r(cm)，列方程求出r的值，再计算扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为r(cm)，则弧长为l =αr = 4 r，周长为
C =l+2r = 4 r +2r =6r =12，解得：r =2，
则此扇形的面积为：S = 1
2 lr = 1
2 ×4×2×2=8(cm
2)，
故选：D
5．中国传统折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环
被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸
（单位：cm）如图所示，则该扇面的面积为（ ）
A．2700cm
2 B．3500cm
2
C．4300cm
2 D．4800cm
2
【答案】A
【分析】首先根据弧长公式的变形，计算福字下面小扇形的半径，再根据
扇形面积公式，即可求解.
【详解】设福字下面的小扇形所在圆的半径为R，
则120
30+ R = 60
R ，解得：R =30，
所以扇形环的面积为1
2 ×120×60- 1
2 ×60×30=2700cm
2.
故选：A
6．已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则扇形的面积为（ ）
A．3cm
2
B．4cm
2
C．5cm
2
D．6cm
2
【答案】D
【分析】根据周长确定扇形半径R =2，再计算面积即可.
【详解】设扇形半径为R，则2 R+3 R =10，R =2，
所以S = 1
2 α R
2= 1
2 ×3×4 =6.
故选：D.
7．一个扇形的圆心角为150°，面积为5π
3 ，则该扇形半径为（ ）
A．4
B．1
C．❑√2
D．2
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式列方程求半径.
【详解】设扇形的圆心角大小为α (rad)，半径为r，150° = 5π
6
(rad)，
由题意得：扇形的面积为S = 1
2 ×α ×r
2，可得5π
3 = 1
2 × 5π
6 ×r
2，解得r =2．
故选：D
8．“扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为
120cm，圆心角为60°，窗子左右两边的边框长度都为60cm，则该窗的面积约为
（ ）
A．1884cm
2 B．3768cm
2
C．5652cm
2 D．7536cm
2
【答案】C
【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：扇形的圆心角为π
3 ，大扇形的半径为120cm，小扇
形的半径为60cm，
所以该窗的面积为1
2 ×π
3 ×120
2- 1
2 ×π
3 ×60
2=1800π≈5652cm
2.
故选：C.
9．如图，在扇形OAB中，∠AOB =π
3 ，OA =OB =2，则下列说法正确的个
数是（ ）
①∠AOB =60
∘；
②´AB的长等于2π
3 ；
③扇形OAB的周长为2π
3 + 4；
④扇形OAB的面积为2π
3 .
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积
公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①，因为∠AOB =π
3 ，根据角度制与弧度制的互化，可得
∠AOB =60
°，所以①正确；
对于②，由扇形的弧长公式，可得´AB的长度为π
3 ×2= 2π
3 ，所以②正确
对于③，所以扇形的周长为l = 2π
3 +2+2= 2π
3 + 4，所以③正确；
对于④，由扇形的面积公式，可得扇形的面积为S = 1
2 ×π
3 ×2
2= 2π
3 ，所以
④正确.
故选：D.
