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4.1 任意角与弧度制（讲义）
目录
1
知识点01 角的概念....................................................................................2
2
知识点02 弧度制........................................................................................2
3
题型一、判断任意角所在的象限.............................................................3
4
题型二、终边相同的角.............................................................................7
5
题型三、弧长............................................................................................11
6
题型四、扇形面积...................................................................................13
1 知识点01 角的概念
(1)
角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形
(2)
任意角的定义：使角的顶点与原点重合，角的始边（一条射
线）与x 轴的非负半轴重合，始边绕着原点从x 轴的非负半轴旋转到另
一个位置所成的图形
(3)
任意角的分类：
角按旋转方向分为正角、负角和零角
①
正角：按逆时针方向旋转形成的角；
②
负角：按顺时针方向旋转形成的角；
③
零角：始边与终边重合，旋转量为0.
(4)
象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重
合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
(5)
轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角为轴线角，不属
于任何一个象限
(6)
象限角的集合表示方法：
(7)
终边相同的角的集合：所有与角α 终边相同的角，连同角α在内，
构成的角的集合是S ={β|β =k ⋅360°+α ，k ∈Z }
2 知识点02 弧度制
(1)
定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，
用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数
是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)
角度制和弧度制的互化：180° = πrad，1° = π
180 rad，
1rad = 180°
π
．
角
度
（°）
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150
°
180°
弧度（rad
）
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
(3)
扇形的弧长公式：l =|α|⋅r，扇形的面积公式：S = 1
2 lr = 1
2|α|⋅r
2．
3 题型一、判断任意角所在的象限
1．已知α =944°，则α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．-980
∘的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．-1630°的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．-2025°的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．已知角α =1234
∘，则角α的终边落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．1013°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
7．2π
3 是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
8．3rad 是第（ ）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
9．- 55π
12 是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
10．角- 10
3 π的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．50π
9
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12．2024π
3
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．长为1 的弧所对的圆心角是1 弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．-830°是第二象限角
D．-124°与236°是终边相同的角
4 题型二、终边相同的角
1．已知角α的终边经过点A (❑√15,- ❑√5)，则α的值可能为（ ）
A．11π
6
B．5π
6
C．5 π
3
D．2π
3
2．下列与角- 7π
6 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2k π+π
6
(k ∈Z)
B．k ⋅360
∘- 7π
6
(k ∈Z)
C．k ⋅360
∘-210
∘(k ∈Z)
D．k π+ 5π
6
(k ∈Z)
3．下列与角9π
4 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2k π+ 45
∘(k ∈Z)
B．k ⋅360
∘+ 9π
4
(k ∈Z)
C．k ⋅360
∘-315
∘(k ∈Z)
D．k π+ 5π
4
(k ∈Z)
4．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A．(
π
6 ,π
3 )
B．(
2π
3 , 7π
6 )
C．[
2π
3 , 7π
6 ]
D．[2k π+ 2π
3 ,2k π+ 7π
6 ](k ∈Z)
5．下列各角中，与角- 3π
4 终边相同的角为（ ）
A．3π
4
B．5π
4
C．9π
4
D．-π
4
6．与- 23 π
6 终边相同的角是（ ）
A．- π
12
B．π
12
C．π
6
D．7 π
6
7．与60°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．π
3 +k ⋅360° (k ∈Z)
B．60°+2k π(k ∈Z)
C．60°+2k ⋅360° (k ∈Z)
D．π
3 +2k π(k ∈Z)
8．下列命题正确的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．小于90
∘的角是锐角
D．集合{α|90°≤α <180°}内的角不一定是钝角
5 题型三、弧长
1．半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（ ）
A．630cm
B．7
6 cm
C．7π
6 cm
D．7π
2 cm
2．已知半径为1 的扇形AOB的圆心角为π
3 ，则扇形AOB的弧长等于
（ ）
A．π
4
B．π
C．π
3
D．π
6
3．在半径为2 的圆中，1 弧度的圆心角所对的弧长为（ ）
A．2
B．2π
3
C．3
2
D．π
4．已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为π
5 ，则扇形所对的圆心角的
弧度为（ ）
A．π
10
B．π
5
C．2π
5
D．3π
10
5．若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧
长为（ ）
A．7
2
B．❑√7
C．14
D．7 ❑√2
6．若扇形的圆心角为2π
3
，弧长为2π，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为
（ ）
A．2
∘
B．4
C．4
∘
D．2
8．已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（
）
A．1rad
B．4rad
C．3rad
D．2rad
6 题型四、扇形面积
1．若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
2
2．已知扇形弧长为π
2 ，圆心角为π
4 ，则该扇形的面积为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
3．已知扇形的圆心角为2rad，面积为4，则扇形的周长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
4．若一个扇形的半径为4，圆心角为π
6 ，则这个扇形的面积为（ ）
A．π
3
B．π
2
C．4π
3
D．3π
2
5．已知一个扇形的圆心角为2π
3 ，且面积为3π，则该扇形的弧长为
（ ）
A．π
B．❑√2π
C．2π
D．6π
6．已知扇形的圆心角为2 弧度，弧长为6cm，则该扇形的面积为（ ）
A．3cm
2
B．6cm
2
C．9cm
2
D．18cm
2
7．已知弧长为2π的扇形圆心角为π
6 ，则此扇形的面积为（ ）
A．10 π
B．12π
C．18 π
D．36 π
8．若一个扇形的面积为2π，圆心角为π
4 ，则这个扇形的弧长为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
9．如图，单位圆O 内接一个圆心角为π
3 的扇形ABC，则扇形ABC的面积
为（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
D．2π
3
