文档文本内容
4.6 三角函数的二倍角公式（讲义）
目录
1
知识点01 二倍角公式................................................................................2
2
知识点02 半角公式....................................................................................2
3
知识点03 降幂公式....................................................................................2
4
知识点04 辅助角公式................................................................................2
5
题型一、二倍角的正弦公式.....................................................................2
6
题型二、二倍角的余弦公式.....................................................................5
7
题型三、逆用二倍角公式.........................................................................8
8
题型四、辅助角公式................................................................................11
1 知识点01 二倍角公式
①
sin2α =2sin α cosα；
②
cos2α =cos
2α -sin
2α =2cos
2α -1=1-2sin
2α；
2 知识点02 半角公式
①sin α
2 =± ❑√
1-cosα
2
②cos α
2 =± ❑√
1+cosα
2
3 知识点03 降幂公式
①sin α cosα = 1
2 sin 2α
②sin
2α = 1-cos2α
2
③cos
2α = 1+cos2α
2
4 知识点04 辅助角公式
asin α +bcosα
=
❑√a
2+b
2sin(α + ϕ)
（其中sin ϕ =
b
❑√a
2+b
2 ，cos ϕ =
a
❑√a
2+b
2 ，tan ϕ = b
a）
5 题型一、二倍角的正弦公式
1．sin15
∘cos15
∘等于（ ）
A．1
2
B．1
4
C．
❑√3
4
D．2
3
【答案】B
【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.
【详解】sin15
∘cos15
∘= 1
2 sin30
∘= 1
4 ，
故选：B
2．1
2 sin30°cos30° =（ ）
A．1
8
B．1
4
C．
❑√3
8
D．
❑√3
4
【答案】C
【分析】根据二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】根据二倍角的正弦公式可得：
1
2 sin30° cos30° = 1
4 ×2sin30° cos30° = 1
4 ×sin 60° = 1
4 ×
❑√3
2 =
❑√3
8 .
故选：C.
3．2sin 45° cos 45°的值为（ ）
A．-2
B．- 1
3
C．- 1
2
D．1
【答案】D
【分析】利用正弦的二倍角公式求值即可.
【详解】由2sin 45
°cos 45
°=sin 90
°=1，
故选：D.
4．已知角α的终边过点(2,- ❑√3)，则sin 2α =（ ）
A．-
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．- 4
7
❑√3
D．4
7
❑√3
【答案】C
【分析】先求出sin α ,cosα，利用倍角公式可得答案.
【详解】因为角α的终边过点(2,- ❑√3)，所以sin α =- ❑√3
❑√2
2+(- ❑√3)
2 =-
❑√21
7
，
cosα = 2❑√7
7
，
所以sin 2α =2sin α cosα =2×(-
❑√21
7 )× 2❑√7
7
=- 4 ❑√3
7
.
故选：C
5．已知角α 的终边过点(4,-3)，则sin2α =（ ）
A．3
4
B．- 3
4
C．24
25
D．- 24
25
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出sin α ,cosα，结合二倍角的正弦公式计算
即可求解.
【详解】由题意知，sin α =-3
❑√4
2+(-3)
2 =- 3
5 ,cosα =
4
❑√4
2+(-3)
2 = 4
5
，
所以sin2α =2sin α cosα =2×(- 3
5 )× 4
5 =- 24
25.
故选：D
6．已知角α的终边经过点P(- 3
5 , 4
5)
，则sin 2α =（ ）
A．- 24
25
B．- 7
25
C．7
25
D．24
25
【答案】A
【分析】由三角函数的正余弦的定义可求得sin α，cosα，利用二倍角的正
弦公式可求值.
【详解】因为角α的终边经过点P(- 3
5 , 4
5)
，所以|OP|= ❑√(- 3
5)
2
+(
4
5)
2
=1，
所以sin α = 4
5
，cosα =- 3
5
，所以sin 2α =2sin α cosα =2× 4
5 ×(- 3
5)=- 24
25
.
故选：A.
7．已知sinα +cosα = 7
5，则sin2α =（ ）
A．- 12
25
B．12
25
C．- 24
25
D．24
25
【答案】D
【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角
公式，即可求解.
【详解】因为sinα +cosα = 7
5，两边同时平方得
sin
2α +2sinα cosα +cos
2α =1+sin2α = 49
25，
所以sin2α = 24
25.
故选：D.
8．已知角α的终边位于第四象限，cosα = 1
4，则sin2α的值为（ ）
A．-7
8
B．-
❑√15
8
C．
❑√15
8
D．17
32
【答案】B
【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即
得.
【详解】∵cosα = 1
4，且角α的终边位于第四象限，
∴sinα =-
❑√1-cos
2α =-
❑√15
4 ，
则sin2α =2sinα cosα =-
❑√15
8 .
故选:B.
9．已知角θ的终边过点P(3,2)，则
sin 2θ
2cos
2θ -3sin
2θ
=（ ）
A．-2
B．2
C．5
2
D．3
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义，求得tanθ = 2
3，再由正弦二倍角及同角三角
函数的基本关系，可将原式化简为
2tanθ
2-3 tan
2θ，代入求值即可.
【详解】因为角θ的终边过点P(3,2)，所以tanθ = 2
3，
所以
sin 2θ
2cos
2θ -3sin
2θ
=
2sinθcosθ
2cos
2θ -3sin
2θ
=
2tanθ
2-3 tan
2θ
=
2× 2
3
2-3×(
2
3)
2 =2.
故选：B．
6 题型二、二倍角的余弦公式
1．已知sinα = 2
3，则cos2α =（ ）
A．4 ❑√5
9
B．- 4 ❑√5
9
C．- 1
9
D．1
9
【答案】D
【分析】直接由二倍角的余弦公式即可算出答案.
【详解】由二倍角的余弦公式可得cos2α =1-2sin
2α =1-2×(
2
3)
2
= 1
9
.
故选：D.
2．已知cos x = 4
5 ，则cos2 x的值为（ ）
A．- 7
25
B．7
25
C．- 41
50
D．41
50
【答案】B
【分析】根据二倍角公式cos2 x =2cos
2 x -1即可求解.
【详解】根据已知有：cos2 x =2cos
2 x -1=2×(
4
5)
2
-1= 7
25
.
故选：B.
3．已知sinθ = 3
4 ，则cos2θ =（ ）
A．- 1
8
B．1
8
C．- 7
16
D．7
16
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【详解】由二倍角的余弦公式可得cos2θ =1-2sin
2θ =1-2× 9
16 =- 1
8．
故选：A．
4．已知cos(α +π
3 )=
❑√6
6
，则cos(2α + 2π
3 )=（ ）
A．- 3
5
B．3
5
C．2
3
D．- 2
3
【答案】D
【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】cos(2α + 2π
3 )=cos2(α +π
3 )=2cos
2(α +π
3 )-1=- 2
3
.
故选：D.
5．已知tanα=2，则sin(2α- π
2)=（ ）
A．- 4
5
B．- 3
5
C．3
5
D．4
5
【答案】C
【分析】根据同角的商数、平方关系可得cos
2α = 1
5，结合诱导公式和二倍
角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由tan α =2，得sin α =2cosα，
又sin
2α +cos
2α =1，所以4 cos
2α +cos
2α =1，解得cos
2α = 1
5.
所以sin(2α -π
2 )=-cos2α =1-2cos
2α = 3
5.
故选：C
6．已知 sinθ = 1
3
，则 sin(
5π
2 -2θ)=（ ）
A．7
9
B．- 7
9
C．4 ❑√2
9
D．- 4 ❑√2
9
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得sin(
5π
2 -2θ)=cos2θ，再利用二倍角的余弦公
式求解即可.
【详解】sin(
5π
2 -2θ)=sin(2π+π
2 -2θ)=sin(
π
2 -2θ)=cos2θ
=1-2sin
2θ =1-2×(
1
3)
2
= 7
9
.
故选：A.
7．已知tanα =2，则cos2α +3sin
2α =（ ）
A．- 6
5
B．6
5
C．- 9
5
D．9
5
【答案】D
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计
算可得.
【详解】∵tanα =2，
∴cos2α +3sin
2α = cos
2α -sin
2α +3sin
2α
cos
2α +sin
2α
= cos
2α +2sin
2α
cos
2α +sin
2α
= 1+2tan
2α
1+ tan
2α
= 1+2×4
1+ 4
= 9
5
.
故选：D
8．已知α为锐角，且tan α =3sin α，则cos2α =（ ）
A．- 7
9
B．- 1
3
C．1
3
D．7
9
【答案】A
【分析】根据弦切互化可得cosα = 1
3，即可利用二倍角公式求解.
【详解】由tan α =3sin α可得sin α
cosα =3sin α，故cosα = 1
3，
所以cos2α =2cos
2α -1=- 7
9，
故选：A
9．已知sinα +2cosα =0，则1-cos2α
1+cos2α =（ ）
A．4
B．2
C．1
2
D．1
4
【答案】A
【分析】由题，可得tan α =-2，利用二倍角余弦公式化简运算得解.
【详解】由sin α +2cosα =0，得tan α =-2，
∴1-cos2α
1+cos2α = 2sin
2α
2cos
2α
= tan
2α = 4.
故选：A.
7 题型三、逆用二倍角公式
1．sin
2 π
12=
A．2- ❑√3
4
B．2+ ❑√3
4
C．3
4
D．1
4
【答案】A
【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.
【详解】依题意sin
2 π
12 =
1-cos π
6
2
=
1-
❑√3
2
2
= 2- ❑√3
4
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.
2．已知1-cos2θ+sin2θ
1+cos2θ+sin2θ =2，则tanθ =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．❑√2
【答案】B
【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.
【详解】因为1-cos2θ+sin2θ
1+cos2θ+sin2θ =2，
所以2sin
2θ+2sinθ⋅cosθ
2cos
2θ+2sinθ⋅cosθ
=2，
所以sinθ(sinθ+cosθ)
cosθ(cosθ+sinθ) =2，
所以tanθ =2.
故选：B
【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
3．2cos
2 π
12 +1的值是（ ）
A．3
2
B．
❑√3
2
C．1+ ❑√3
2
D．2+
❑√3
2
【答案】D
【分析】利用降幂公式求解
【详解】2cos
2 π
12 +1=cos π
6 +2=2+
❑√3
2 .
故选：D.
4．sin 3π
8 cosπ
8 =（ ）
A．2+ ❑√2
2
B．2+ ❑√2
4
C．2- ❑√2
2
D．2- ❑√2
4
【答案】B
【分析】根据诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】由题意得，
sin 3π
8 cosπ
8 =sin(
π
2 -π
8 )cosπ
8 =cos
2π
8 =
1+cosπ
4
2
=
1+
❑√2
2
2
= 2+ ❑√2
4
.
故选：B
5．sin 5π
12 cosπ
12 =（ ）
A．2- ❑√3
4
B．2+ ❑√3
4
C．2+ ❑√3
5
D．2- ❑√3
5
【答案】B
【分析】根据诱导公式及降幂公式化简即可.
【详解】sin 5π
12 cosπ
12 =sin(
π
2 -π
12)cosπ
12 =cos
2π
12 =
1+cosπ
6
2
= 2+ ❑√3
4
，
故选：B
6．求sin 5π
12 cosπ
12=（ ）
A．2+ ❑√3
4
B．2- ❑√3
4
C．
❑√6- ❑√2
4
D．
❑√6+ ❑√2
4
【答案】A
【分析】根据5π
12 =π
2 -π
12结合诱导公式及降幂公式即可得解.
【详解】sin 5π
12 cosπ
12 =sin(
π
2 -π
12)cosπ
12 =cos
2π
12 =
1+cosπ
6
2
= 2+ ❑√3
4
.
故选：A.
7．计算：1
2 -cos
2π
8 =（ ）
A．-
❑√2
4
B．
❑√2
4
C．
❑√2
2
D．-
❑√2
2
【答案】A
【分析】根据降幂公式计算，即可得答案.
【详解】1
2 -cos
2π
8 = 1
2 -
1+cosπ
4
2
=-
❑√2
4
，
故选：A
8．若sin(
5π
12 +α)= 1
3
，则cos(2α -π
6 )=（ ）
A．2❑√2
9
B．- 2❑√2
9
C．7
9
D．- 7
9
【答案】D
【分析】由降幂公式求出cos(2α +5π
6 )= 7
9，再结合诱导公式求解即可．
【详解】由已知得，
sin
2(
5π
12 +α)=
1-cos(
5π
6 +2α)
2
= 1
9
，即
cos(2α +5π
6 )= 7
9，
则cos(2α -π
6 )=cos(2α +5π
6 -π)=-cos(2α +5π
6 )=- 7
9，
故选：D．
9．若sin(α -20
∘)=sin20
∘
tan20
∘- ❑√3
，则cos(2α +140
∘)=（ ）
A．1
8
B．- 1
8
C．-7
8
D．7
8
【答案】C
【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角和二倍角公式化解得到
sin(α -20
∘)=- 1
4 ，再利用角的变换表示(2α +140
∘)=2(α -20
∘)+180
∘，最后利用
三角函数二倍角公式，即可求解.
【详解】根据题意，
sin(α -20
∘)=sin20
∘
tan20
∘- ❑√3
=sin20
∘cos20
∘
sin20
∘- ❑√3cos20
∘=sin20
∘cos20
∘
2(
1
2 sin20
∘-
❑√3
2 cos20
∘)
=sin20
∘cos20
∘
2sin(- 40
∘)
=sin20
∘cos20
∘
-2sin 40
∘
=
1
2 sin 40
∘
-2sin 40
∘=- 1
4
，
cos(2α +140
∘)=cos[2(α -20
∘)+180
∘]=-cos[2(α -20
∘)]
=-[1-2sin
2(α -20
∘)] =-[1-2×(- 1
4)
2
]=- 7
8
.
故选：C.
8 题型四、辅助角公式
1．在下列各式中，化简结果为2sin(x + 2π
3 )
的是（ ）
A．sin x - ❑√3cos x
B．cos x + ❑√3sin x
C．❑√3cos x -sin x
D．sin x + ❑√3cos x
【答案】C
【分析】利用辅助角公式逐项化简即可判断结论.
【详解】
sin x - ❑√3cos x =2(
1
2 sin x -
❑√3
2 cos x)=2(sin x cosπ
3 -cos x sinπ
3 )=2sin(x -π
3 )
，
cos x + ❑√3sin x =2(
❑√3
2 sin x + 1
2 cos x)=2(sin x cosπ
6 +cos x sinπ
6 )=2sin(x +π
6 )
❑√3cos x -sin x =2(
❑√3
2 cos x - 1
2 sin x)=2(sin x cos2π
3 +cos x sin2π
3 )=2sin(x +2π
3 )
sin x + ❑√3cos x =2(
1
2 sin x +
❑√3
2 cos x)=2(sin x cosπ
3 +cos x sinπ
3 )=2sin(x +π
3 )
故选：C.
2．已知❑√3sinα +cosα = 2
3
，则sin(2α - π
6)=（ ）
A．- 7
9
B．2❑√2
9
C．7
9
D．- 2❑√2
9
【答案】A
【分析】先利用辅助角公式可得sin(α + π
6)= 1
3
，再利用二倍角的余弦公式
结合诱导公式即可得答案
【详解】由❑√3sinα +cosα = 2
3
，得❑√3
2 sinα + 1
2 cosα = 1
3
，即sin(α + π
6)= 1
3
，
则cos(2α + π
3)=1-2sin
2(α + π
6)= 7
9
，
故sin(2α - π
6)=-sin[
π
2 -(2α + π
3)]
=-cos(2α + π
3)=- 7
9
．
故选：A.
3．已知sinα +sin(α +π
3 )= 4 ❑√3
5
，则sin(α - 5π
6 )
的值是（ ）.
A．- 2❑√3
5
B．2❑√3
5
C．4
5
D．- 4
5
【答案】D
【分析】利用辅助角公式计算可得sin(α +π
6 )= 4
5 ，再由诱导公式计算可得
结果.
【详解】由sinα +sin(α +π
3 )= 4 ❑√3
5
可得：
sinα +sinα cosπ
3 +cosα sinπ
3 = 3
2 sinα +
❑√3
2 cosα = ❑√3sin(α +π
6 )= 4 ❑√3
5
，
即sin(α +π
6 )= 4
5 ，
因此sin(α - 5π
6 )=sin(α +π
6 -π)=-sin(α +π
6 )=- 4
5
.
故选：D
4．已知❑√3sinα -sin(α +π
6 )= 3
5
，则cos(
4π
3
-2α)=（ ）
A．- 7
25
B．- 16
25
C．7
25
D．24
25
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，再利用诱导公式和二倍角公式转化求值即
可.
【详解】由题意❑√3sinα -(
❑√3
2 sinα + 1
2 cosα)= 3
5
，
得：
❑√3
2 sinα - 1
2 cosα = 3
5，即sin(α -π
6 )= 3
5．
故
cos(
4π
3
-2α)=cos(π+π
3 -2α)=-cos2(
π
6 -α)=2sin
2(α -π
6 )-1=2×(
3
5)
2
-1=- 7
25
故选：A.
5．若cos(α -π
6 )+sin(π-α )=
❑√3
5 ，则cos(
π
3 -α)的值为（ ）
A．-
❑√3
5
B．- 1
5
C．
❑√3
5
D．1
5
【答案】D
【分析】根据两角差的余弦公式，以及辅助角公式，即可化简求值.
【详解】cos(α -π
6 )+sin(π-α )=
❑√3
2 cosα + 1
2 sin α +sin α
=
❑√3
2 cosα + 3
2 sin α = ❑√3cos(
π
3 -α)=
❑√3
5 ，
即cos(
π
3 -α)= 1
5
.
故选：D
6．已知sin(α -π
3 )+ ❑√3cosα = 1
3，则sin(2α +π
6 )=( )
A．7
9
B．2
9
C．- 1
9
D．- 7
9
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简sin(α -π
3 )+ ❑√3cosα = 1
3，再利
用诱导公式、二倍角公式求解sin(2α +π
6 )即可.
【详解】∵sin(α -π
3 )+ ❑√3cosα = 1
3，
∴sin α cosπ
3 -cosα sinπ
3 + ❑√3cosα = 1
3，
∴1
2 sin α -
❑√3
2 cosα + ❑√3cosα = 1
3，∴1
2 sin α +
❑√3
2 cosα = 1
3，∴cos(α -π
6 )= 1
3，
∴sin(2α +π
6 )=sin[2(α -π
6 )+π
2 ]=cos2(α -π
6 )=2cos
2(α -π
6 )-1=2×(
1
3)
2
-1=- 7
9
.
故选：D.
7．已知cosα + ❑√3sin α = 3
5，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．47
50
B．- 47
50
C．-41
50
D．41
50
【答案】D
【分析】利用辅助角公式求得sin(α +π
6 )= 3
10，然后利用二倍角公式计算
即可.
【详解】cosα + ❑√3sinα =2sin(α +π
6 )= 3
5，则sin(α +π
6 )= 3
10，
则cos(2α +π
3 )=cos[2(α +π
6 )]=1-2sin
2(α +π
6 )= 41
50
，
故选：D.
8．若α + β =π
2 ，❑√2sin α +sin β = ❑√3，则tan α =（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．1
D．❑√3
【答案】B
【分析】根据诱导公式和辅助角公式可得sin(α +φ)=1（其中tan φ = 1
❑√2），
进而φ=π
2 +2k π-α（k ∈Z），由诱导公式化简得tan φ =
1
tan α = 1
❑√2，即可求解.
【详解】由α + β =π
2 ，得sin β =sin(π
2 -α )=cosα，
所以❑√2sin α +sin β = ❑√2sin α +cosα = ❑√3sin(α +φ)= ❑√3（其中tan φ = 1
❑√2），
得sin(α +φ)=1，所以φ=π
2 +2k π-α，k ∈Z，
所以tan φ = tan(π
2 +2k π-α )= tan(π
2 -α )=
1
tan α = 1
❑√2，
解得tan α = ❑√2.
故选：B
9．已知sin α - ❑√3cosα = 2
3，则sin(2α -π
6 )=（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．7
9
D．- 7
9
【答案】C
【分析】由辅助角公式求得cos(α +π
6 )的值，再由二倍角公式求得
cos(2α +π
3 )的值，由诱导公式求得sin(2α -π
6 )的值.
【详解】由sin α - ❑√3cosα = 2
3，得cos(α +π
6 )=- 1
3，
则cos(2α +π
3 )=2cos
2(α +π
6 )-1=- 7
9，
故sin(2α -π
6 )=-sin[
π
2 -(2α +π
3 )]=-cos(2α +π
3 )= 7
9
．
故选：C.
