文档文本内容
4.3 同角三角函数之间的关系（讲义）
目录
1
知识点01 任意角的三角函数....................................................................2
2
知识点02 同角三角函数之间的平方关系................................................2
3
知识点03 同角三角函数之间的商数关系................................................2
4
知识点04 知一求二....................................................................................2
5
题型一、由条件等式求三角函数值.........................................................3
6
题型二、一次的齐次式.............................................................................8
7
题型三、二次的齐次式...........................................................................10
1 知识点01 任意角的三角函数
(1)
定义：在平面直角坐标系中，在角α终边上取异于顶点的任一
点P( x，y)，设点P到原点O的距离为r，则sinα = y
r ，cosα = x
r ，
tan α = y
x ( x≠0)，x
2+ y
2=r
2
2 知识点02 同角三角函数之间的平方关系
由三角函数的定义可得：
sin
2α +cos
2α =( y
r )
2
+( x
r )
2
= x
2+ y
2
r
2
= r
2
r
2 =1
所以：
sin
2α +cos
2α =1
3 知识点03 同角三角函数之间的商数关系
由三角函数的定义可得：
sin α
cosα =
y
r
x
r
= y
x = tan α(α ≠π
2 + kπ )
所以：
sin α
cosα = tan α(α ≠π
2 +kπ )
4 知识点04 知一求二
涉及到正余弦加减法的式子，可利用知一求二的方式来进行化简计算：
即sinα +cosα；sinα -cosα；sinα cosα可由完全平方公式进行转换：
(sinα +cosα )
2=sin
2α +cos
2α +2sinα cosα
(sinα -cosα )
2=sin
2α +cos
2α -2sinα cosα
5 题型一、由条件等式求三角函数值
1．已知α是三角形的内角，且sin α +cosα = 1
5，则tan α的值是（ ）
A．- 3
4
B．- 4
3
C．3
4
D．4
3
2．已知π
2 <α <π,sinα +cosα =- 1
5，则
1
cos
2α -sin
2α 的值为（ ）
A．7
5
B．25
7
C．7
25
D．- 24
25
3．若1+sinθ+cosθ
1+sinθ -cosθ = 1
2，则cosθ的值为（ ）
A．3
5
B．- 3
5
C．-
❑√15
5
D．4
5
4．已知A 是△ABC 的内角且sinA+2cosA=-1，则tanA=
（
）
A．- 3
4
B．- 4
3
C．3
4
D．4
3
5．已知sin α +
❑√2
2 cosα =1，角α的终边不在y轴上，则tan α =（ ）
A．0
B．
❑√2
4
C．2❑√2
D．2❑√3
6．已知α是锐角，❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11，则sinα =（ ）
A．
❑√77
11
B．
❑√33
11
C．
❑√55
11
D．
❑√11
11
7．若sinθ
1-cosθ =2，则sinθ =（ ）
A．4
5
B．- 4
5
C．3
5
D．- 3
5
8．已知角θ∈[0,π]，且满足sinθ+2cosθ =0，则sinθ的值为（ ）
A．2❑√5
5
B．- 2❑√5
5
C．
❑√5
5
D．-
❑√5
5
9．若α ∈(0,π)，且2sin α -cosα =1，则
1
2sin α cosα -cos
2α
=（ ）
A．25
39
B．5
3
C．- 5
3
D．- 25
39
10．已知1-sinα = ❑√2cosα ,α ∈(-π
2 ,π
2 )，则 tanα =（ ）
A．
❑√2
4
B．-
❑√2
4
C．2❑√2
D．-2❑√2
11．已知sin α +cosα =3cosα tan α，则cos
2α tan α =（ ）
A．- 3
5
B．3
5
C．- 2
5
D．2
5
12．若α ∈(0,π)，2sin α +cosα = 2
5，则tan α =（ ）
A．- 3
5
B．- 4
5
C．- 3
4
D．- 1
4
6 题型二、一次的齐次式
1．已知2sin α =cosα，则sin α +cosα
sin α -cosα =（ ）
A．4
B．- 4
C．-3
D．3
2．已知tan α =1，则5sin α +cosα
2sin α -cosα =（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
3．已知向量⃗a=(cosθ ,sinθ)，⃗b=(2,-1)，若⃗a⊥⃗b，则sinθ+cosθ
sinθ+3cosθ的值为
（ ）
A．1
3
B．3
5
C．4
5
D．2
3
4．若sin α -2cosα
sin α -3cosα = 3
2，则tanα=（ ）
A．-5
B．5
C．- 4
3
D．4
3
5．已知tan α =2，则2sin α +3cosα
sin α -cosα
=（ ）
A．-2
B．3
C．6
D．7
6．已知tan α =5，则2sin α +3cosα
3sin α -2cosα =（ ）
A．17
13
B．1
C．3
5
D．7
13
7．已知tan α =-2，则sin α -cosα
3cosα +sin α =（ ）
A．-3
B．- 1
3
C．1
3
D．3
8．已知sinα -2cosα
sinα +cosα
= 2
3，则tanα =（ ）
A．-8
B．- 4
C．4
D．8
9．已知角α满足
sin α
cosα +2sin α = 1
4 ，则tan α的值为（ ）
A．2
B．-2
C．1
2
D．- 1
2
7 题型三、二次的齐次式
1．已知2sinθ =cosθ，则3sin
2θ -sinθcosθ =（ ）
A．- 1
5
B．1
5
C．4
5
D．- 4
5
2．已知5sinθ =cosθ，则3sin
2θ -sinθcosθ =（ ）
A．- 1
5
B．1
5
C．- 1
13
D．1
13
3．若sinθ =-2cosθ，则sinθ(sinθ+cosθ)=（ ）
A．- 6
5
B．- 2
5
C．2
5
D．6
5
4．已知tanα =-2，则sinα cosα +1
cos
2α +sinα cosα
=（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
5．已知tan α =3，则
1
sin
2α -sin α cosα -2cos
2α 为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．5
3
D．5
2
6．已知tanα =2，则sinα cosα =（ ）
A．- 2
3
B．2
5
C．- 4
5
D．4
5
7．已知sin
2θ+2❑√3sinθcosθ+3cos
2θ = 4，则tanθ =（ ）
A．1
B．-
❑√2
2
C．2
D．
❑√3
3
8．设tanα =3，则2sin
2α -sinα cosα +1的值（ ）
A．3
10
B．5
2
C．2
D．-1
9．设tanα =- 1
2
，则sin
2α +1
sinα cosα -2cos
2α
=（ ）
A．- 3
5
B．3
5
C．-1
D．1
10．已知sinθ - 4cosθ =0，则cos
4θ -sin
4θ
sin
2θ -sin2θ
=（ ）
A．- 8
15
B．8
15
C．15
8
D．- 15
8
