文档文本内容
7.3 直线、平面垂直的判定和性质（讲义）
目录
1
知识点01 直线与平面垂直的判定定理1.................................................2
2
题型一、利用线线垂直证明线面垂直.....................................................3
3
题型二、利用线面垂直证明线线垂直.....................................................8
1 知识点01 直线与平面垂直的判定定理1
(1)
文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该
直线与此平面垂直（线线垂直⇒线面垂直）
(2)
图示：
(3)
符号语言：
a,b⊂α
a⊥l
b⊥l
a∩b= P}
⇒l⊥α
(4)
利用线线垂直证明线面垂直的步骤：
①根据题中的条件，寻找已知的线线垂直
②若已知的线线垂直不足以证明线面垂直，则利用利用证明线线垂直
的十种方法，寻找线线垂直，最终证明线面垂直
(5)
知识拓展：证明线线垂直的九种方法：
①线面垂直的性质：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任一条直
线
②勾股定理的逆定理：两条邻边的平方和等于第三边的平方，则三角
形为直角三角形
③矩形的性质：邻边垂直
④菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分
⑤等腰三角形得性质：底边上的中线垂直于底边
⑥等边三角形的性质：任意底边上的中线均垂直于底边
⑦圆的性质：直径所对的圆周角为直角
⑧向量法：⃗a⋅⃗b=0⇒⃗a⊥⃗b
⑨三垂线定理：平面内直线垂直于斜线在平面内的射影 ⇒ 垂直于斜线
本身
⑩利用三角函数求角度，得线线垂直
等面积法：根据边长和三角形面积来确定所求边为三角形的高线
2 题型一、利用线线垂直证明线面垂直
1．如图，在三棱锥
中，
平面
，
PA = AB = BC =1，PC = ❑√3，求证：BC ⊥平面PAB
【分析】先由线面垂直的性质证得PA ⊥BC，再利用勾股定理证得
BC ⊥PB，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
【详解】因为
平面
平面
，
所以
，同理
，
所以△PAB为直角三角形，
又因为
，
，
所以
，则
为直角三角形，故
，
又因为
，
，
所以
平面
.
2．如图，
是正四棱柱，求证：BD⊥平面
【分析】利用线面垂直的判定定理即可证明
【详解】因为
是正四棱柱，所以
底面
且
四边形
为正方形.
因为
底面
，所以
.
因为四边形
为正方形，所以
.
因为
,
面
,
面
,
所以
平面
.
3．如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底
面
，
，
是
的中点，作
交
于点
，证明
平面
【分析】要证明
平面
，只需证明
垂直平面
内的两条相
交直线
、
即可；
【详解】证明：由
底面
，
面
，得
，
因为底面
是正方形，有
，
又
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
，
因为
，可知
是等腰三角形，而
是边
的中点，所
以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
．
4．如图，在四棱锥
中，底面
是矩形．已知
，
，
，
，
，证明：
平面
【分析】由题意在
中，利用所给的线段长度计算出
，利
用矩形
及线面垂直的判定定理能证明
平面
；
【详解】证明：在
中，由题设
，
，
可得
于是
．
在矩形
中，AD⊥AB．又
，
平面
所以
平面
．
5．如图，在四棱锥
中，
底面
为直角，
，E、F 分别为
的中点，证明：
平
面
【分析】欲证
面
，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证
与面
内两相交直线垂直，而
，
，
，
满足定理条件；
【详解】证明：由已知
为直角．
故
是矩形．从而
．
又
底面
，
，所以
又
平面
，所以
平面
故
．
中，
、
分别为
、
的中点，
故
，从而
，
面
，
面
由此得
面
．
6．如图所示，在四面体
中，已知
，
，
，
．
是线段
上一点，
，点
在线段
上，且
，证明：
平面
【分析】首先利用勾股定理逆定理说明
，即可求出S△PBC，再由
1
2|PB||CF|= S△PBC得到
，最后由
，即可得证；
【详解】证明：
，所以
，即
，
又
．
而
．
故
，又
，
，
平面
，
平面
．
7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，
底面ABCD，
，
，
，
，E 是PC 的中点，证明
平面PCD
【分析】根据线面垂直的性质定理和判定定理证明
【详解】∵
平面ABCD，
平面ABCD，则
，
又∵
，
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，则
，
又∵
，且
，则
为等边三角形，
∴
，
即
，且E 是PC 的中点，则
，
，
平面
，
∴
平面
.
8．如图，在底面为直角梯形的四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，求证：BD⊥平面PAC
【分析】求出
和
的正切，从而求出它们的大小，在△ABE
中求得∠AEB＝90°，从而得到BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD 得PA⊥BD，据此即可
得证；
【详解】设AC∩BD=E．
平面
，
平面
，
．
∵
，
，
，
，
，即
，
又
，PA、AC
平面PAC，
平面
3 题型二、利用线面垂直证明线线垂直
1．如图，四棱锥
的底面是边长为1 的正方形，
底面
，
，求证：
【分析】根据线面垂直，推出
，进而推得
平面SCD，即可
证明结果
【详解】证明：由已知得，
，
底面
，
底面
，
∴
∵
，
平面SCD，
平面SCD，
∴
平面SCD，
∵
平面SCD，∴
.
2．已知正三棱锥
的体积为
，侧面与底面所成二面角的大
小为60，证明：
【分析】取BC 的中点D，连接AD、PD，根据线面垂直的判定和性质可得
证；
【详解】证明：取BC 的中点D，连接AD、PD，则
，
又AD∩PD = D，所以
平面
所以
.
3．如图，三棱锥
中，
，BD⊥CD，
∠ADB =∠ADC =60
∘，E 为BC 的中点，证明：
【分析】根据题意易证
平面
，从而证得
；
【详解】连接
，因为E 为BC 中点，
，所以
①，
因为
，
，所以
与
均
为等边三角形，
，从而
②，由①②，
，
平
面
，
所以，
平面
，而
平面
，所以
．
4．如图,在三棱锥
中,侧面
是全等的直角三角形,
是公共的斜边,且
,另一个侧面
是正三角形，求证:
【分析】取
中点
,连接
,通过证明
平面
,进而证明
;
【详解】证明:取
中点
,连接
,如图所示:
∵△ABC是正三角形,
为
中点,
,
,
为
中点,
,
平面
,
平面
,
平面
,
得证.
5．如图，在四棱锥
中，底面为直角梯形，
，
底面
，且
分别为
的中点，求证：
【分析】要证
，只需要证明
平面
，根据直线与平
面垂直的判定定理，只需要证明
平面
平面内的两条相交直线，即
，则问题就可得以解决.
【详解】因为在四棱锥
中，底面为直角梯形，所以
，
又因为
底面
，
底面
，所以
，
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
为
的中点，且
，所以
，
，
平面
，
平面
，所以
平
面
，
又因为
平面
，所以
.
6．如图，正三棱柱
中，D 是
的中点，
，求证：
直线
【分析】利用线面垂直的判定定理可得
平面
，进而即得；
【详解】因为正三棱柱
中，D 是
的中点，
所以
，
平面
，又
平面
，
∴
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
∴
，又
，
所以
；
7．如图，在正方体
中，
分别是
的中点，
证明：
【分析】根据正方体的性质得到
平面
，进而得到线线垂直
【详解】因为多面体
是正方体，所以
平面
，又
平面
，所以
，
8．在四棱锥
中，
底面
ABCD ,CD∥AB , AD = DC =CB =1, AB =2, DP = ❑√3，证明：
【分析】作
于
，
于
，利用勾股定理证明
，根据线面垂直的性质可得
，从而可得
平面
，
再根据线面垂直的性质即可得证；
【详解】证明：在四边形
中，作
于
，
于
，
因为
，
所以四边形
为等腰梯形，
所以
，
故
，
，
所以
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以
；
9．如图所示，在直三棱柱
中，
，
，
，
，M 是
中点，求证：
．
【分析】先用相似证明
，再证明出
，进而证明出
平面
，从而证明出
【详解】证明：如图D-1-18，连接
．
∵
，
，
∴
∽
，∴
，
∴
，
∴
．
∵三棱柱
为直三棱柱，∴
．
又∵
，
，
∴
平面
∵
平面
，
∴
∵
，
∴
平面
，因为
平面
∴
10．已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为
和
的中点，
，已知D 为棱
上的点，证明：
【分析】先证明△ABC为等腰直角三角形，然后将所给的几何体进行补形，
从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结
论.
【详解】由于
，
，所以
，
又AB⊥BB1，
，故
平面
，
则
，
为等腰直角三角形，
将几何体补形为一个棱长为2 的正方体
，如图所示，取
棱
的中点
，连结
，
正方形
中，
为中点，则
，
又
，
故
平面
，而
平面
，
从而
