5.2 余弦定理（练习）
目录
1
题型一、余弦定理解三角形.....................................................................2
2
题型二、余弦定理的边角互化.................................................................5
1 题型一、余弦定理解三角形
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C =90
∘，a=12，b=5，
则c =（ ）
A．16
B．15
C．14
D．13
【答案】D
【分析】由已知根据余弦定理求解即可.
【详解】因为C =90
°，a=12，b=5，
所以c
2=a
2+b
2-2abcosC =12
2+5
2=169，
所以c =13.
故选：D.
2．在△ABC中，BC =2，AB = 4 ,cosC =- 1
4，则AC的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：△ABC中，a= BC =2,c = AB = 4 ,cosC =- 1
4，
∴c
2=a
2+b
2-2abcosC，
即16= 4 +b
2- 4 b× (- 1
4)
，化简得b
2+b-12=0，
解得b=3或b=- 4（不合题意，舍去），
∴b= AC =3，
故选：B．
3．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且a=2，c =3，
cos B = 1
4，则b=（ ）
A．❑√7
B．❑√10
C．4
D．❑√19
【答案】B
【分析】由余弦定理b
2=a
2+c
2-2ac cos B即可得出答案.
【详解】由余弦定理可得b
2=a
2+c
2-2ac cos B = 4+9-2×2×3× 1
4 =10，则
b= ❑√10.
故选：B.
4．在△ABC中，b
2+c
2-a
2=bc，且sin B =sinC，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】首先由余弦定理得A =π
3 ，再由题干条件结合正弦定理得b=c，故
△ABC是等边三角形.
【详解】由b
2+c
2-a
2=bc，得cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
= bc
2bc = 1
2，所以A =π
3 ；
又sin B =sinC，由正弦定理得b=c，所以△ABC是等边三角形.
故选：C.
5．在△ABC中，AB =2，AC =1，cos A = 1
4 ，则BC =（ ）
A．1
B．2
C．
❑√5
3
D．
❑√15
3
【答案】B
【分析】由余弦定理，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可得
BC
2= A B
2+ A C
2-2⋅AB⋅AC ⋅cos A = 4+1-2×2×1× 1
4 = 4，解得BC =2.
故选：B.
6．在△ABC中，A =30°，BC =1, AC =2，则AB =（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2❑√2
【答案】C
【分析】根据条件，利用余弦定理，即可求解.
【详解】设A ,B ,C所对的边为a,b,c，由余弦定理a
2=b
2+c
2-2bc cos A,
又A =30°，BC =1, AC =2，所以1= 4 +c
2-2❑√3c，
即c
2-2❑√3c +3=0，解得c = ❑√3，
故选：C.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a= ❑√3,b=1,c =1，
则角A =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】C
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理可得cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
= 1
2+1
2-(❑√3)
2
2×1×1
=- 1
2
，
又A ∈(0,π)，所以A =2π
3 .
故选：C
8．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a=2,b=5,C = 2π
3 ，
则c =（ ）
A．6
B．❑√37
C．❑√38
D．❑√39
【答案】D
【分析】直接利用余弦定理转化求解即可．
【详解】因为在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若a=2,b=5,C = 2π
3 ，
所以c
2=2
2+5
2-2×2×5×cos 2π
3 =39，
所以c = ❑√39．
故选：D．
9．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c.若a=2,b=3,c = 4，则
cosB =（ ）
A．11
16
B．7
12
C．- 2
5
D．- 5
9
【答案】A
【分析】利用余弦定理进行求解.
【详解】由余弦定理得cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= 4+16-9
2×2×4 = 11
16.
故选：A
10．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c.已知a= 4 ,b=5,C =π
3 ，则
c =（ ）
A．❑√61
B．❑√21
C．2❑√6
D．❑√19
【答案】B
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理可得c =
❑√a
2+b
2-2abcosC = ❑√4
2+5
2-2×4×5× 1
2 = ❑√21.
故选：B
2 题型二、余弦定理的边角互化
1．在△ABC 中，已知b2＝ac 且c＝2a，则cos B 等于（ ）
A．1
4
B．3
4
C．
❑√2
4
D．
❑√2
3
【答案】B
【分析】利用余弦定理求得cos B.
【详解】b
2=ac ,c =2a，则b
2=2a
2，
由余弦定理得cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= a
2+ 4 a
2-2a
2
2a⋅2a
= 3
4.
故选：B
2．在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则
△ABC 的形状为（ ）.
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】由余弦定理解三角形即可.
【详解】由余弦定理可得b=c b
2+c
2-a
2
2bc
，化简得c
2=a
2+b
2，
由勾股定理的逆定理可知△ABC是以角C为直角的直角三角形.
故选：B.
3．在ΔABC中，内角A ，B，C的对边分别为a，b，c，且
a
2+b
2-c
2=ab= ❑√3，则ΔABC的面积为
A．
❑√3
4
B．3
2
C．
❑√3
2
D．3
4
【答案】D
【解析】将边的关系式整理成余弦定理的形式，求得cosC，进而得到C；
根据三角形面积公式求得结果.
【详解】由a
2+b
2-c
2=ab得：a
2+b
2-c
2
2ab
= 1
2，即：cosC = 1
2
∵C ∈(0,π ) ∴C =60
∘
∴S ΔABC = 1
2 absin 60
∘= 1
2 ×❑√3×
❑√3
2 = 3
4
本题正确选项：D
【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，关键是能
够将已知的边的关系式整理为余弦定理的形式，从而求得角.
4．在ΔABC中，若sin A ＝2sinC ，B =60°，b=2❑√3，则ΔABC的面积为.
A．8
B．2
C．2❑√3
D．4
【答案】C
【分析】由正弦定理结合已知sin A ＝2sinC，可以得到a、c的关系，再根
据余弦定理结合
B =60°，b=2❑√3，可以求出c、a的值，再利用三角形面积公式求出三角形
的面积即可.
【详解】由正弦定理可知：
a
sin A =
c
sinC ，而sin A ＝2sinC，所以有a=2c，
由余弦定理可知：b
2=a
2+c
2-2ac⋅cos B⇒12= 4 c
2+c
2- 4 c
2⋅1
2 ⇒c
2= 4⇒c =2，
所以a= 4，
因此ΔABC的面积为1
2 ⋅ac⋅sin B = 1
2 ×4×2×
❑√3
2 =2❑√3，故本题选C.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学
运算能力.
5．在△ABC中，若2acos B =c，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．不能确定
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果.
【详解】因为2acos B =c，
所以由余弦定理得2a⋅a
2+c
2-b
2
2ac
=c，
所以a
2+c
2-b
2=c
2，所以a
2=b
2，
因为a>0,b>0，所以a=b，
所以△ABC为等腰三角形，
故选：A
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a
2=b
2+c
2-bc，
则角A的值为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】C
【分析】由余弦定理的边角关系及三角形内角的性质，即可求角A.
【详解】由已知及余弦定理知：cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
= 1
2，而0< A <π，
所以A = π
3 .
故选：C
7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a
2=b
2+c
2+bc，则A
的值是（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】C
【分析】根据已知条件及余弦定理的推论即可求解.
【详解】由a
2=b
2+c
2+bc，得b
2+c
2-a
2=-bc，
由余弦定理的推理得cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
=-bc
2bc =- 1
2，
又因为0< A <π,
所以A = 2π
3 .
故选：C.
8．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若2bcosC =a(2-c)，且
B =π
3 ，则a=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【答案】A
【分析】给2bcosC =a(2-c)两边同时乘以a，结合余弦定理求解即可.
【详解】因为2bcosC =a(2-c)，两边同时乘以a得：
2abcosC =a
2(2-c)，由余弦定理可得a
2+b
2-c
2=2abcosC，
则a
2+b
2-c
2=a
2(2-c)，所以有a
2+c
2-b
2=a
2c，
又a
2+c
2-b
2=2ac cos B，所以a
2c =2ac cos B，又因为B =π
3 ，
所以a=1.
故选：A
9．在△ABC中，若acos A =bcosB，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项.
【详解】因为acos A =bcosB，故a× b
2+c
2-a
2
2bc
=b× a
2+c
2-b
2
2ac
，
整理得到(a
2-b
2)c
2-(a
2-b
2)(a
2+b
2)=0，
故(a
2-b
2)(c
2-a
2-b
2)=0，故a
2=b
2或c
2=a
2+b
2，
即a=b或c
2=a
2+b
2，故△ABC的形状为等腰或直角三角形，
故选：D.
10．三角形ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
acosC +ccos A =a，则三角形ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理，acosC +c cos A =a ⇒
a⋅a
2+b
2-c
2
2ab
+c⋅b
2+c
2-a
2
2bc
=a ⇒ b
2=ab，
因为b≠0，所以b=a.
故选：A
