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4.4 正余弦定理（精练题组版）
题组一 边角互换
1．（2025·安徽·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
和正弦定理，可得
，
因
，则
，故得
，即
，
因
，则
，故得
，解得
，故
，故A，C 错误；
由余弦定理可得
，故B 正确，D 错误.
故选：B.
2.（24-25 浙江·期中）已知锐角
的三个角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，A=
【答案】
【解析】因为
，所以
，
即
，由余弦定理
，
所以
，又
，所以
；
3．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
则
=
【答案】
【解析】因为
，
由正弦定理得
，
则
，
即
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
，所以
；
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.
角
=
【答案】
【解析】由正弦定理得，
，所以
，
即
，
化简得：
，即
，
又
，所以
.
5.（2025·北京）在
中，
，则B=
【答案】
；
【解析】在
中，∵
，∴
，∴
，
∴
，∵
，∴
；
题组二 判断三角形的形状
1．（2025 广东广州·期中）在
中，角A、B、C 所对的边为a、b、c 若
，则
的形状是
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】在
中，由
及正弦定理得
，而
，
整理得
，即
，而
，
则
，因此
或
，即
或
，
所以
是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
2．（2025 重庆·阶段练习）在
中，
、
、分别为角
、
、
的对边，若
，则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为
，所以
，整理得到
，
又由正弦定理
，得到
，
所以
，得到
，
又
，所以
，得到
，又
，所以
，
故选：B.
3．（2025·甘肃酒泉·三模）
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，且
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形
D．钝角三角形
【答案】D
【解析】因为
，
，所以
，即
，
所以
，即
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，所以
为钝角三角形.故选：D.
4．（2025·安徽）记
的内角
的对边分别为
，
，，若
，则
为
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由
，得
，
由正弦定理得
，所以
，
因为
，所以
或
，
所以
或
.即
是等腰或直角三角形.
故选：D.
5．（24-25 广东·期中）在
中，
分别是内角
的对边，若
（其中
表示
的面积），且
，则
的形状是（ ）
A．有一个角是30°的等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解析】
，又
，
所以
，解得
，因为
，所以
.
又
，由
，可得
，
，
则
，
如图所示，在边
、
上分别取点
、
，使
，
，
以
，
为邻边作平行四边形
，则四边形
为菱形，
连接
，
，
，且
，
，
，
，又
，
，且
，
，即
，
又
，
是等边三角形.
故选：D.
6．（2025·湖南·一模）（多选）
中，角
所对的边分别为
、
、，则“
是直角三角
形”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】A：
，且
，则
，
若
为锐角，则
且
，
此时
，即
；
若
为钝角，则
且
，
此时
，即
；
综上，
为直角三角形或钝角三角形，故A 不满足题意；
B：
，由正弦定理得
，
即
，得
，
由
，解得
，又
，所以
，
即
为直角三角形，故B 符合题意；
C：由
，得
，
整理得
，所以
或
，
即
为等腰三角形或直角三角形，故C 不符合题意；
D：
，
，
即
，由
，得
，
即
，
，
得
，所以
或
，解得
或
，
即
为直角三角形，故D 符合题意.
故选：BD
7．（2024·江西·模拟预测）（多选）设
内角
的对边分别为
，则下列条件能判定
是等
腰三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】解：对于A，由正弦定理可知
，即
，
所以
或
，
所以
是等腰三角形或直角三角形，不符合题意；
对于B，由正弦定理可知
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
是等腰三角形，符合题意；
对于C，因为
，解得
，
所以
，
是直角三角形，不符合题意；
对于D，由正弦定理可知
，
所以
，
即
，
，
即
，
所以
，
是等腰三角形，符合题意.
故选：BD.
8．（2025 山东临沂·阶段练习）（多选）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说法中正
确的是（ ）
A．若
，则
一定是等腰三角形
B．若
，则
一定是等边三角形
C．若
，则
一定是等腰三角形
D．若
，则
一定是钝角三角形
【答案】BCD
【解析】对于A：因为
，由正弦定理得：
，
所以
.
因为
，
为
的内角，所以
或
，
所以
或
.所以
是等腰三角形或直角三角形.错误；
对于B：由余弦函数的有界性可知：若
.
因为
，所以
或
.
当
时，有
且
，所以
，
所以
是等边三角形.
当
时，有
且
，不符合题意.
所以
一定是等边三角形.正确；
对于C：因为
，由余弦定理得：
，
所以
，所以
，则
一定是等腰三角形.正确；
对于D：在
中，
，所以
.
所以
，
所以
，即
，所以
或
.
所以
一定是钝角三角形，正确.故选：BCD
题组三 三角形的外接圆
1．（2024·四川·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
，且
，
则
的外接圆的周长为 ．
【答案】
【解析】由
可得
，即
，
展开得
，即
．
又因为
，由正弦定理
（其中
为
的外接圆的半径）可得
，解得
，则
的外接圆的周长为
．
故答案为：
.
2．（2024·辽宁·一模）在
中，
，
，则
外接圆半径为 .
【答案】
【解析】因为
，故
,
故
，故
为锐角，故
，
故外接圆的半径为
，
故答案为：.
3．（2025·陕西·三模）在圆内接梯形
中，
，
，
，
，则其外接圆的半
径为
【答案】
【解析】
如图，梯形
内接于圆
，则
，
因
，则
，
故梯形
为等腰梯形，则
，
所求即
的外接圆的半径．
在
中，由余弦定理可得
，
则
，又由正弦定理，
，即
．
故选：B．
4．（2024·山西晋城·一模）在
中，
，
，
．
(1)求A 的大小；
(2)求
外接圆的半径与内切圆的半径．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由余弦定理得
，
因为
，所以
．
（2）设
外接圆的半径与内切圆的半径分别为
，，由正弦定理得
，则
．
的面积
，
由
，得
．
5．（2025 海南）在
中，内角
所对的边分别为
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
外接圆的半径.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，边化角可得
，
，
.
（2）由题意得，
，
外接圆的半径为
.
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且
）.
(1)求
的值；
(2)若
，且
的面积为
，求
外接圆的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
即
，
则
.
因为
，所以
.
（2）因为
的面积为
，所以
，则
.
由余弦定理可得
，
则
.
设
外接圆的半径为
，由正弦定理可得
，则
，
故
外接圆的面积为
.
题组四 三角形的面积公式
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在
中，角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在
中，
，由正弦定理得
，解得
，
，
所以
的面积为
.
故选：D
2．（2025·云南·模拟预测）记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
及正弦定理可得
，即
，
由余弦定理可得
，
因为
，故
.
（2）因为
，即
，
所以
的面积为
.
3．（2025·辽宁·三模）已知
的内角
的对边分别为
，若
.
(1)求
；
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
或
【解析】（1）对
进行因式分解得到
，
由于边长为非负数，则
，即
.
由正弦定理得到
.
又
，且
,则
为锐角，
可以锐角也可以钝角.
当
可以锐角，则
.
当
可以钝角，则
.
综上说得，
.
（2）由（1）知道
为锐角，则
，
当
，则
，
，则
，此时
当
，则
，
，则
，此时
.
则
的面积为
或
.
4．（2024·广东河源·模拟预测）已知
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
．
(1)求角
；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【解析】（1）在
中，
，
又
，所以
，
由余弦定理得
， 又
，
则
.
（2）在
中
，
，
，
由余弦定理，得
，即
，解得
或
．
当
，
，
时，可构成三角形，此时
的面积为
；
当
，
，
时，可构成三角形，此时
的面积为
．
题组五 三角形个数的判断
1．（2024·湖北黄冈·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
，下面可使得
有两组解的
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使得
有两组解，则
，又
，得到
，
故选：D.
2．（2024·宁夏银川·三模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，若
有两
解，则c 的取值可能为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】由题意可得
，即
.
故选：A.
3．（2025 河南）设在
中，角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，若满足
的
不唯一，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正弦定理
，即
，所以
，
因为
不唯一，即
有两解，所以
且
，即
，
所以
，所以
，即
；
故选：A
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）在
中，
，
，
，则“
有唯一解”的
充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由正弦定理可得
，即
．
对于A，当
时，
，可得
，故得
，解唯一，故A 正确；
对于B，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故B 错误；
对于C，当
时，则
，则
，故
，则
，解唯一，故C 正确；
对于D，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故D 错误.
故选：AC．
题组六 正余弦定理在几何中的应用
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，则
，
设
，则
，
，
在
中，
，
，故
，
由正弦定理可得
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，解得
，故
.
故选：C.
2．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，又
，得到
，
又
，
又
，
，且
，
所以
，
，
得到
.
（2）延长
交于
，设
，
，
在
中，由正弦定理得到
，由（1）知
，
，
所以
①，由余弦定理得到
②，
由①②解得
或
，
当
时，
，此时
，
又
，所以
，
不合题意，故
，
，
在
中，由
，
，得到
，
，
所以
，又
，
故
.
3（24-25 浙江杭州·阶段练习）已知
的内角
所对应的边分别为
是
外一点，若
，
且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由题设
，即
，
所以
，而
，故
，
又
，则
，故
.
（2）由（1）易知
为等边三角形，令
，建立如下图的直角坐标系，
则
，
，
，故
，
所以
，当
时取最大值为
.
4．（24-25 浙江金华·阶段练习）如图，在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
为边
上一点，且
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由余弦定理得：
∴
,
由正弦定理：
得
.
（2）如图所示：
过
作
于
，在
中，
，
，
∴
，
，在
中，
.
∴
∴
∴
5．（23-24 湖北·阶段练习）如图所示，圆内接四边形
中，
，
为圆周上一动点，
.
(1)求四边形ABCD 周长的最大值;
(2)若
，求AC 的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：方法1、连接BD，因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，解得
，
设
，则
，
再在
中，由正弦定理得
，
所以
，
所以
，当且仅当
时，周长的最大值为
.
方法2、连接BD，因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，可得
，
在
中，由余弦定理得
所以
，
因为
当且仅当
时等号成立，
所以
，
所以周长的最大值为
.
（2）解：依题意得
，设
，
在
中由余弦定理得
，可得
，
所以
，解得
，所以
，
可得
，所以
，
在
中，由正弦定理
，所以
，
则
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
.
6．（2025 广东惠州·阶段练习）如图，在平面四边形
中，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
或
【解析】（1）在
中，
，所以
，
在
中，
，所以
，又
，
所以
，
在
中由余弦定理
，
即
，
所以
.
（2）由已知可得
，又
，所以
，
，
设
，
，则
，
在
中由正弦定理
，即
，所以
，
在
中由正弦定理
，即
，所以
，
又
，所以
，解得
或
，
由
，
当
时
，
当
时
，
所以
或
.
题组七 正余弦定理在实际生活中的应用
1．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包
括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正
午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的
那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午
太阳高度角为
，夏至正午太阳高度角为
，表高42 厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距
离为50 厘米，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图，
，
，∴
．
又
，∴
，根据勾股定理
．
在
中，根据正弦定理可知
，
即
，解得
，
故选：C．
2 ．（24-25 高三上·河北邢台·期中）如图，已知
为某建筑物的高，
，
分别为该建筑物附近的参照
物甲、乙的高，
，
，
分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C 分别为该建筑物、
甲、乙的顶点，经测量得
米，
米，
，
，在C 点测得B 点的仰
角为33.69°，在B 点测得A 点的仰角为51.34°，则该建筑物的高
约为（参考数据
，
，
）（ ）
A．268 米
B．265 米
C．266 米
D．267 米
【答案】C
【解析】
如图，分别过
,
作
，
，垂足分别为F，D，过D 作
，垂足为E．
根据题意易得
，
．
在
中，由正弦定理得
，
在
中，
,则
，
在
中，
,则
，
所以
米．
故选：C.
3．（24-25 辽宁丹东·阶段练习）甲、乙骑自行车同时从
地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去
往
地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往
地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两
倍，且
地与
地相距10km，则
地与
地相距 km．（参考数据：取
）
【答案】
【解析】
由题意可设
，
，
由余弦定理可得：
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
题组八 三角形中周长与面积的最值
1．（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）在
中，
，且
边上的高为
，则
（ ）
A．
的面积有最大值，且最大值为
B．
的面积有最大值，且最大值为
C．
的面积有最小值，且最小值为
D．
的面积有最小值，且最小值为
【答案】D
【解析】因为
所以
所以
，又
为三角形内角，
所以
，所以
设角
的对边分别为
，
边的高为，
由三角形面积公式可得：
，又
，
所以
，又
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
所以
故选:D
2．（2024·陕西·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．15.
【答案】C
【解析】由
，由正弦定理得
，即
，
所以
，
由余弦定理得
，
所以
，
所以
，
当
，即
时，
取得最大值
.
故选：C.
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角
中，
分别为角
所对的边，且
，若
，
则
周长的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知得
，所以
，
解得
，
由正弦定理得
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以锐角
周长的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
【答案】
/
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
由
，得
，又
，则
，
，
设
，由角平分线定理得
，
当
时，
，得
，此时
；
当
时，直线
的斜率分别为
，
则
，又
，
由到角公式得
，即
，
得
，
整理得
，即
，点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，
因此当
在点
处时，
的面积最大，此时
，
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
5．（2024·河北·三模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
是
的中线．若
，且
，则
面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
由正弦定理可得
，
又
，
所以
，
由正弦定理可得
，
由余弦定理
，所以
，
又
，所以
，
因为
是
中
边上中线，则
，
即
，所以
，
所以
，可得
，当且仅当
时等号成立，
故
，
即
面积的最大值为
．
故答案为：
6．（2025·上海·三模）在
中，角
，
，
所对边的边长分别为
，
，，且满足
(1)求角
的值；
(2)若
，求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)9
【解析】（1）因
，
利用正弦定理：
整理得
由于
故
（2）由于
利用余弦定理：
，
所以
利用基本不等式：
整理得：
，(当且仅当
时，等号成立）
所以
故三角形的周长的最大值为
题组九 三角形的中线、角平分线与高
1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在
中，已知
是
边上的中线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由余弦定理得：
，
再由余弦定理得：
，
则
，
故选：B
2．（2025·湖南长沙·二模）已知
的面积为
，
，
，
的内角平分线交边
于点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
的面积为
，
，
，
所以
，解得
.
在
中，由余弦定理得
，
解得
.
因为
平分
，所以
.
故选：A.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角
中，角
所对的边分别为
．
(1)求角
；
(2)若
为
的平分线，且与
交于点
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
及正弦定理，
得
.
，
．
，
即
，
．
为锐角三角形，
，
．
．
（2）在
中，
，
由正弦定理得
，
．
为锐角，
，
.
，
，
在
中，
．
在
中，由余弦定理，
得
，
．
4．（2025·重庆·三模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，且
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
和正弦定理，可得
，
因
，则
，化简得
，
，
.
（2）由（1）得
，由余弦定理得，
，即
，
将
代入化简：
，解得
，
因
，由
可得：
，
即
，解得
.
5．（2025·四川乐山·三模）在
中，角
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，
，
的角平分线交
于
，求
.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）由
，得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
.
（2）解法一：等面积法.
因为
，
，由（1）知
，
所以
，
，
，
因为
，
即
，
所以解得
.
解法二：
在
中，因为
，
，由（1）知
，
由余弦定理
，解得
，
由正弦定理
可得
，
所以
，即
或
（舍），所以
.
又
，所以
是等腰三角形，
所以
.
题组十 三角形的取值范围
1．（2025·贵州毕节·二模）（多选）在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，
，则（ ）
A．
B．
的周长的最大值为
C．当
最大时，
的面积为
D．
的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A 选项，因为
，
由正弦定理可得
，整理可得
，
由余弦定理可得
，
因为
，故
，A 错；
对于B 选项，因为
，由余弦定理和基本不等式可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，故
的周长为
，
即
的周长的最大值为
，B 对；
对于C 选项，由正弦定理可得
，则
，
当且仅当
时，
取最大值，此时，
，
，C 对；
对于D 选项，由正弦定理可得
，则
，
，
所以，
，
因为
，则
，可得
，则
，D 对.
故选：BCD.
2．（2024·河北邯郸·三模）（多选）已知
的三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．若
为边
的中点，且
，则
的面积的最大值为
C．若
是锐角三角形，则
的取值范围是
D．若角
的平分线
与边
相交于点
，且
，则
的最小值为10
【答案】ABC
【解析】由题意知
，整理得
，
由余弦定理知
，
，
，
．
对A，
，
，
，
，
的取值范围为
，故A 正确；
对B，
为边
的中点，
，
则
，
，当且仅当
时，等号成立，
，故B 正确；
对于C，
，
是锐角三角形，
，
，
，故C 正确；
对于D，由题意得
，
即
，
整理得
，即
，
，
当且仅当
时，等号成立，故D 错误．
故选：ABC.
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在
中，记角
所对的边分别为
，已知
，且
，则
面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由已知及正弦定理，得
，即
，即
．
由余弦定理，得
．因为
，则
．因为
，则
，当
时取等号，所以
的最大值为
．
故答案为：
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在
中，内角
、
、
所对的边分别是
、
、，若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
及正弦定理可得
，
，
因为
、
，所以
，
，所以
．
因为
，则
，所以
，
把
代入
，得
，
化简得
，
由基本不等式可得
，即
，
解得
或
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，所以
，
当且仅当
时，即当
时，
取最小值
．
故答案为：
.
5．（2025·内蒙古通辽·三模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC 上，且
.则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题可设
，
因为
，所以
，
所以由余弦定理有
，
，
所以
，再由
得
，
设
，则
，
所以
即
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
6.（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
，则
的取值范围为
【答案】
【解析】
，
由正弦定理得：
，即
，
由余弦定理知：
，
，
，即
，
由正弦定理得：
，
，
整理可得：
，
为锐角三角形，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
的取值范围为
.
8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）记
的内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，求
外接圆的面积；
(3)若
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)2.
【解析】（1）由已知得
，
由正弦定理得
，
即
，
因为
，所以
，
即
，
又因为
，所以
.
（2）由正弦定理可知：当
时，
外接圆的半径
，
故此时
外接圆的面积为
.
（3）由余弦定理可得
，
即
，
当且仅当
时取等号，
故
的最小值为2.
9．（2025·湖北·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，由
，得
，
由正弦定理得
，即
，
则
，而
，解得
，又
，
所以
.
（2）由（1）知
，设
，
在
中，由正弦定理得
，
，
则
，令
，
，
在
中，由余弦定理得
，
解得
，因此
，
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，所以
的最小值为
.
10．（2025·湖北·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若
边上的高
为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）在
中，由正弦定理
，可得
，
又因为
，所以
，
所以
，即
，
因为
，
，所以
，
故
，于是
；
（2）方法一：由（1）得
，
设
，则
，
在
中，
，
在
中，
，
于是
，
令
，则
，
因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为2.
方法二：由（1）得
，根据余弦定理以及基本不等式，
得
，
当且仅当
时等号成立，
又因为
，且
，
所以
，所以
，即
，
故
的最小值为2.
