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7.4 空间距离（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 点线距
【例1】（2022·浙江绍兴）如图，在正三棱柱 中，若 ，则C到直线 的距
离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知， ，
取AC的中点O，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
所以 在 上的投影的长度为 ，
故点C到直线 的距离为： .
故选：D
【一隅三反】1．（2022·湖南益阳）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距
离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得 ， ， ，
， ，
所以 在 上的投影为 ，
所以点 到直线 的距离为 故选：B
2．（2022·山东）点 是直线 上一点， 是直线 的一个方向向量，则点 到直线 的
距离是______．
【答案】
【解析】由题意，点 和 ，可得 ，且 ，所以点 到直线 的距离是 .
故答案为： .
3．（2022云南）如图，已知三棱柱 的棱长均为2， ， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ，求点M到直线 距离．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)取AC的中点O，连接 ， ， ，所以 由题
设可知， 为边长为2的等边三角形，所以 ，
由 ， ，所以 所以 平面ABC；
平面 ,所以平面 平面ABC；
(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，所以
设 可得 ，
设平面 的法向量为 则
即 取
所以 因为 为平面ABC的一个法向量，
设平面 与平面ABC夹角为 ，
解得 ，所以
所以点M到直线 距离
考点二 点面距【例2-1】（2022·哈尔滨）在长方体 中， ， ，则点 到平面 的
距离等于_____.
【答案】
【解析】如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
点 到平面 的距离： ．
故答案为： .
【例2-2】（2022·河北廊坊）如图所示，在长方体 中， ，点E是棱的中点，则点E到平面 的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设点E到平面 的距离为h，
因为点E是棱 的中点，
所以点E到平面 的距离等于点B到平面 的距离的一半，
又平面 过 的中点，
所以点B到平面 的距离等于点D到平面 的距离，
由等体积法 ，
所以 ，
， ，
在 中， ，
所以 ，
则 解得 ，
即点E到平面 的距离为 .故选：B.
【一隅三反】
A B C D
1.（2022·江苏常州）已知正方体 的棱长为2， ， 分别为上底面 1 1 1 1和侧面的中心，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，易知
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得 ，
故点 到平面 的距离为 .
故选：A.
2．（2022·福建省福州第一中学高一期末）将边长为2的正方形 沿对角线 折起，使得平面
⊥平面 ，则点 到平面 的距离等于（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】取 中点为 ,四边形 是边长为2的正方形， ，
则 ， ，
由题知，平面 平面 ，且交线为 ， .且 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在 中， ，
是等边三角形，则 ，
则在 中， ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，即 ，即： ，解得： ，
即 到平面 的距离为 ．故选：D．
3．（2022·内蒙古）如图，在长方体 中，四边形 是边长为2a的正方形，AD＝2AB.(1)若长方体的表面积为200，求a的值；
(2)若a＝1，求点 到平面 的距离h.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为在长方体 中，四边形 是边长为 的正方形， .所以长
方体的表面积为 ，所以 ，解得 ；
（2）因为 ，由已知得 ， ，连接 ， ，在三棱锥 中，
，由长方体的性质知，点 到平面 的距离为 ，在 中，
由勾股定理知 ，由长方体的性质知， ，所以 的面积
，因为点 到平面 的距离为 ，又 所以
，所以 ，解得 .考点三 线线距
【例3】（2022·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ， ，则异面直
线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线 与 的公垂线的方向向量为 则
不妨令 又
则异面直线 与 之间的距离 故选：D【一隅三反】
1．（2022·山东）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小
值.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 之间的距离是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，则 ， ，
设 和 的公垂线的方向向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
， .故选：D.2．（2022·江苏）长方体 中， ， ， 为 的中点，则异面直线
与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，
设 与 的公垂线的一个方向向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ，即 ，
又 ，所以异面直线 与 之间的距离为 ．故选：D．3．（2022·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值．在棱长为1的正方体 中，直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 为直线 上任意一点， 过 作 ，垂足为 ，可知此时 到直线 距离最短
设 ， ，
则 ，
，， ，
即 ，
，即 ，
，
，
，
当 时， 取得最小值 ，
故直线 与 之间的距离是 .
故选：B.
考点四 线面距
【例4-1】（2022·湖南）在长方体 中，M、N分别为 、AB的中点，AB＝4，则MN与
平面 的距离为______．
【答案】2
【解析】连接 ，在长方体 中，M、N分别为 、AB的中点，
则 ，则四边形 为平行四边形，则
又 平面 ， 平面 ，则 平面
又 平面 ，则 即为直线MN与平面 的距离
又 ，则直线MN与平面 的距离为2.
故答案为：2
【例4-2】（2022广西）如图，已知斜三棱柱 在底面 上
的射影恰为 的中点 又知 .
(1)求证: 平面 ;
(2)求 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：∵ 在底面 上的射影为 的中点 ，∴平面 平面 ，∵
，且平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，∵ 平面
，∴ ，∵ ，且 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标
系，∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，∴四边形 是菱形，∵ 是 的中点，
∴ ，∴ ， ， ， ，∴ ，
，设平面 的法向量 ，则 ， ，取
， ， 到平面 的距离 ． ， 平面
， 平面 平面 ， 到平面 的距离等于 到平面 的距离
.【一隅三反】
1．（2022·江西省）如图，已知长方体ABCD-ABC D 中，AB=2，AA=AD=1，求：
1 1 1 1 1
(1)平面ADD A 与平面BCC B 的距离.
1 1 1 1
(2)点D 到直线AC的距离.
1
(3)直线AB与面ADCB 的距离.
1 1
【答案】(1)2(2) (3)
【解析】(1)因为平面ADD A 与平面BCC B 平行，故平面ADD A 与平面BCC B 的距离即
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)连接 ，由题意， ， ， .
因为 为等腰三角形，故 ，设点D 到直线AC的距离为 ，则
1，解得 ，即点D 到直线AC的距离为
1
(3)连接 ，交 于 ，因为长方体中 ，故正方形 ，故 ，且 平面
，又 平面 ，故 ，又 ，故 平面 ，故直线AB与面
ADCB 的距离为 .
1 1
2．（2022·上海市控江中学）如图，在长方体 中， ， ， .
(1)求直线 与平面 所成的角的大小；(2)求直线 到平面 的距离.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)在长方体 中， 平面 ,
即 平面 ，则 即为直线 与平面 所成的角，
由于 ， ，故 ，
即直线 与平面 所成的角为 ；
(2)在长方体 中，
由于 ,故四边形 是平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，则点B到平面 的距离即为直线 到平面 的距离.；
而 ,
故 ,
设点B到平面 的距离为h，
则 ,即 ,则 ，
即直线 到平面 的距离为 .
3．（2022·北京）如图，已知正方体 的棱长为2，E、F分别是 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面 ？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由；
(3)求EF到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)
【解析】(1)连接 ，由正方体的性质知： ，所以四边形 是平行四边形，所以
，又因为在三角形 中， ， 平面 ， 平面 ， 平面
.(2)取 的中点 ，则满足 平面 ，证明如下：
连接 交 于 ，连接 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
∴在 中，由 ， 得 ，
∴在 中，由 ， 得 ，
∴在 中，由 ， 得 ，
∴在 中， ， ，
又∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面
(3) 平面 ，又因为 平面 ， 为 交 的交点，所以EF到平面 的距离即为
，由（2）知
考点五 面面距
【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面
之间的距离为A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
即 ，解得 ，故 ，
显然平面 平面 ，
所以平面 与平面 之间的距离 ．
【例5-2】（2022·广东揭阳）如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是
上的一点，且 ，D、F、G分别是 、 、 的中点， 与 相交于 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由直三棱柱的性质得平面 平面 ，
又 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
，
，
在 和 中， ，
，即 ，
又 ， 平面
平面 ．
(2)解：由题意知 ，
在 中， ，又 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
、 分别为 、 的中点，
，又 ，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ．
平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
为平行平面 与 之间的距离，
，
即平面 与 之间的距离为 ．
【一隅三反】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 的棱长为a，则平面 与平面 的距离
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正方体的性质， ∥ , ∥ ， ， ，
易得平面 平面 ，
则两平面间的距离可转化为点B到平面 的距离．以D为坐标原点，DA，DC， 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ．
连接 ，由 ， ，且 ，可
知 平面 ，
得平面 的一个法向量为 ，
则两平面间的距离 ．
故选：D
2．（2022·福建厦门）如图，棱长为2的正方体ABCD –ABC D 中，E，F分别是棱AA，CC 的中点，过
1 1 1 1 1 1
E作平面 ，使得 //平面BDF.(1)作出 截正方体ABCD - ABC D 所得的截面，写出作图过程并说明理由；
1 1 1 1
(2)求平面 与平面 的距离.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1)连接 ，由正方体性质可得 ， ；
又 ，所以平面 平面 ；
因为 //平面 ，且 ，所以平面 与平面 重合，即平面 就是 截正方体ABCD -
ABC D 所得的截面.
1 1 1 1
(2)由（1）可知平面 与平面 的距离等于点 到平面 的距离；
设点 到平面 的距离为 ，由题意可得 ，所以 的面积为 ；
的面积为 ；
由 可得 ，解得 .
所以平面 与平面 的距离为 .
3．（2022·江西省）如图，在棱长为a的正方体ABCD－ABC D 中，E、F分别是AA 与CC 的中点.
1 1 1 1 1 1(1)证明：平面EBD 平面FBD；
1 1
(2)求平面EBD 与平面FBD之间的距离.
1 1
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)若 为 中点，连接 ，又F是CC 的中点，
1
所以 ， ，故 为平行四边形，
所以 ，又E是AA 的中点，易知： ，
1
所以 ，
正方体中 ，而 ， 面 ，
由 面 ，则 面 ，同理 面 ，又 ， 面 ，故平面EBD 平面FBD；
1 1
(2)由（1）知：平面EBD 与平面FBD之间的距离等于 到面 的距离 ，
1 1
而 ，而 ， ，故△ 中BD的高为 ，
所以 ，
而 ， 到面 的距离 ，
所以 ，可得 ，
故平面EBD 与平面FBD之间的距离为 .
1 1
