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7.5 空间向量求空间角（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 线线角
【例1】（2022·内蒙古赤峰）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以AB、AD、 分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则
则 因为
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选：A
【一隅三反】
1．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形ABCD中，O为BD中点且 ，将平面ABD沿对角线
BD翻折至二面角 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在平面 中过 作 ，垂足为 ；
在平面 中过 作 ，垂足为 .
由于平面 平面 ，且交线为 ，
所以 平面 ， 平面 ，
设 ，
，
同理可得 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
，
设 与 所成角为 ，
则 .
故选：C2．（2022·河南）在正方体 中，E，F分别为棱AD， 的中点，则异面直线EF与
所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ，
∴ ，
∴ ，即异面直线EF与 所成角的余弦值为 .故选：A.
考点二 线面角
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱台 中， ， ，
．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成的角．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由题，取 中点 ，连接 ，由 ， ，则 ，
又 面 ，故 面 ，因为 面 ，故 ，又 ，则 ，
得证；
（2）由题， ，则 ，又 ， ，故 ，故
.分别以 为 轴建立如图空间直角坐标系，易得 ，
， ， ， ， ，设平面
法向量 ，则 ，令 ，则 ，故 ，故直线 与平面 所成的角为 .即直线 与平面 所成的角为 .
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习（理））在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
(2)
解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
则 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱柱 中， ，
．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)设P是棱 的中点，求AC与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)设 ．在四边形 中，∵ ， ，连接 ，
∴由余弦定理得 ，即 ，
∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ， ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
(2)取AB中点D，连接CD，∵ ，∴ ，
由（1）易知 平面 ，且 ．
如图，以B为原点，分别以射线BA， 为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，
则 ， ， ， ， ， ．
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
得 ，令 ，则取 ，
， ，
AC与平面 所成角的正弦值为 ．
3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥 中，四边形 为菱形，
，(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取 的中点 ，连接 、 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，
因为 ， ， 平面 ，
平面 ，则 ，故 ，
因为四边形 为菱形，则 ，所以， ，
因此， 为等边三角形.
(2)解：由已知 ， ，则 ， ，
为 的中点，所以， ，
因为 是边长为 的等边三角形，则 ，
因为 ，则 ， ，
因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，则 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
， .
因此， 与平面 所成角的正弦值为 .
考点三 二面角
【例3】（2022·青海·海东市第一中学）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面 平面ABCD， 为
等边三角形， ， ，M是棱上一点，且 .
(1)求证： 平面MBD；
(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接AC，记AC与BD的交点为H，连接MH.
由 ，得 ， ，又 ，则 ，
∴ ，又 平面MBD， 平面MBD，
∴ 平面MBD.
(2)记O为CD的中点，连接PO，BO.
∵ 为等边三角形，∴ ，
∵平面 平面ABCD，平面 平面ABCD＝CD，
∴ 平面ABCD.
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图，
则 ， ， ， ， ，
， .
设平面BDM的法向量 ，则 ，取x＝1得 ，
平面BCD的一个法向量 .
设二面角M－BD－C的平面角为θ，则 .
∴二面角M－BD－C的余弦值为 .
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形，
分别是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
又 是 的中点，所以 ，且 ．
因为四边形 是矩形，所以 且 ，所以 ，且 ．
因为 是 的中点，所以 ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
(2)因为 平面 ，四边形 是矩形，所以 ， ， 两两垂直，
以点 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图所示）．
设 ，所以 ， ．
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
由 即
令 ，则 ， ，所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，
由 即令 ，则 ， ，
所以 ．
所以 ．
由图知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ．
2．（2022·四川成都）如图，在三棱锥 中，已知 平面ABC， ， ，D
为PC上一点，且 ， ．
(1)求AC的长；
(2)若E为AC的中点，求二面角 的余弦值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵ 平面ABC，AB， 平面ABC，∴ ， ．
又 ，
∴以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系 ．
则 ， ，设 ．则 ， ．
由 ，得 ，则 ．
∵ ，即 ，∴ ，即 ．又 ，解得 ．∴AC的长为 ．
(2)∵E为AC的中点，由（Ⅰ）知 ， ．
则 ， ．
设平面DBE的一个法向量为 ．
由 得 令 ，得 ∴ ．
设平面ABE的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为 ．
∵ ，易知二面角 为锐角，
∴二面角 的余弦值为 ．
3．（2022·全国·模拟预测（理））图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，
其中 ， ， ．将该图形沿 ， 折起使得 与 重合，连接 ，如图
2．(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角 的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：∵四边形 和 分别是矩形和菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ， 四点共面．
(2)解：在平面 内过点 作 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ．
∴ ， ， ， ．设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ．
令 ，则 ．∴ ．
设平面 的一个法向量为 ．则 ，令 ，可得 ．
∴ ，显然二面角 为锐角．
∴二面角 的平面角的余弦值为 ．
