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4.6 三角函数的二倍角公式（练习）
目录
1
题型一、二倍角的正弦公式.....................................................................2
2
题型二、二倍角的余弦公式.....................................................................5
3
题型三、逆用二倍角公式.........................................................................8
4
题型四、辅助角公式...............................................................................12
1 题型一、二倍角的正弦公式
1．已知α ∈(0,π)，且sin 2α = 1
3，则sin(α +π
4 )的值为（ ）
A．-
❑√6
3
B．-
❑√6
6
C．
❑√6
6
D．
❑√6
3
【答案】D
【分析】首先根据条件求sin α +cosα的值，再代入两角和的正弦公式，即
可求解.
【详解】由sin 2α = 1
3，得2sin α cosα = 1
3，
则(sin α +cosα )
2=1+2sin α cosα = 4
3 .
又α ∈(0,π)，2sin α cosα >0，所以sin α >0，cosα >0，
所以sin α +cosα >0，则sin α +cosα = 2❑√3
3 .
又sin(α +π
4 )=sin α cosπ
4 +cosα sinπ
4
=
❑√2
2
(sin α +cosα )=
❑√2
2 × 2❑√3
3
=
❑√6
3 .
故选：D.
2．若m=cos160°，则sin 40° =（ ）
A．-2m
B．-2m
❑√1-m
2
C．-2m
❑√1+m
2
D．2m
❑√1-m
2
【答案】B
【分析】先由m=cos160°，利用诱导公式得到cos20°，进而得到sin 20°，
再利用二倍角的正弦公式求解.
【详解】解：因为m=cos160°，
所以cos20° =-m,sin 20° =
❑√1-(cos20°)
2=
❑√1-m
2，
所以sin 40° =2sin 20° cos20° =-2m
❑√1-m
2，
故选：B
3．已知sin α =-3cosα，则sin2α的值是（ ）
A．3
5
B．- 3
5
C．4
5
D．- 4
5
【答案】B
【分析】由已知可得tan α =-3，利用倍角公式，然后弦化切即可求.
【详解】因为sin α =-3cosα，
所以tan α =-3，
所以sin 2α = 2sin α cosα
sin
2α +cos
2α
= 2tan α
tan
2α +1
= 2×(-3)
(-3)
2+1
=- 3
5
.
故选：B
4．若sin170
°=m，则sin 20
°=（ ）
A．-2m
B．-2m
❑√1-m
2
C．-2m
❑√1+m
2
D．2m
❑√1-m
2
【答案】D
【分析】由诱导公式求得sin10°，再由平方关系求得cos10°，最后由二倍
角公式求解．
【详解】因为sin170
°=sin(180
°-10
°)=sin10
°=m，所以
cos10
°=
❑√1-sin
210
°=
❑√1-m
2，
所以sin 20
°=2sin10
°cos10
°=2m
❑√1-m
2.
故选：D
5．已知sin α +cosα =- 2
3，则sin2α =（ ）
A．- 5
18
B．5
18
C．- 5
9
D．5
9
【答案】C
【分析】将题干等式两边同时平方，再结合同角三角函数基本关系与二倍
角公式即可得出答案.
【详解】因为(sin α +cosα )
2=sin
2α +cos
2α +2sin α cosα =1+sin 2α = 4
9，
所以sin 2α = 4
9 -1=- 5
9.
故选：C.
6．已知
sin(
5
2 π+α)+2cos(
3
2 π-α)
sin(
π
2 +α)+sin(π+α )
= 4，则sin2α =（ ）
A．- 12
13
B．12
13
C．4
5
D．- 4
5
【答案】B
【分析】先用诱导公式化简，变形求得tan α，再根据二倍角公式及齐次式
化简求解即可.
【详解】
sin(
5
2 π+α)+2cos(
3
2 π-α)
sin(
π
2 +α)+sin(π+α )
= cosα -2sin α
cosα -sin α = 4，
所以cosα -2sin α = 4(cosα -sin α )，所认2sin α =3cosα，所以tan α = 3
2，
所以sin2α = 2sin α cosα
cos
2α +sin
2α
= 2tan α
tan
2α +1
=
2× 3
2
( 3
2 )
2
+1
= 12
13.
故选：B.
7．已知tanθ =2，则sin2θ
2cos
2θ+ 4sin
2θ
=（ ）
A．1
3
B．2
C．1
D．2
9
【答案】D
【分析】利用倍角公式和同角三角函数的商数关系化简求值.
【详解】已知tanθ =2，则
sin2θ
2cos
2θ+ 4sin
2θ
=
2sinθcosθ
2cos
2θ+ 4sin
2θ
=
2tanθ
2+ 4tan
2θ
=
2×2
2+ 4×2
2 = 2
9.
故选：D.
8．若sin160° =m，则sin 40° =（ ）
A．-2m
B．-2m
❑√1-m
2
C．-2m
❑√1+m
2
D．2m
❑√1-m
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式求出sin20°，然后结合平方公式和二倍角公式可得.
【详解】因为sin160° =sin (180° -20°)=sin 20° =m，所以
cos20° =
❑√1-sin
220° =
❑√1-m
2，
所以sin 40° =2sin 20° cos20° =2m
❑√1-m
2.
故选：D
9．已知角α的终边经过点(-3,4)，则2sinα cosα + ❑√2cos(2α +π
4 )=（ ）
A．8
25
B．6
25
C．- 1
5
D．- 7
25
【答案】D
【分析】根据三角函数定义求出sin α，然后结合和差公式和二倍角公式化
简，代入计算可得.
【详解】因为角α的终边经过点(-3,4)，所以sin α =
4
❑√(-3)
2+ 4
2 = 4
5
，
所以2sinα cosα + ❑√2cos(2α +π
4 )=sin2α +cos2α -sin 2α =1-2sin
2α
=1-2×(
4
5)
2
=- 7
25
故选：D
2 题型二、二倍角的余弦公式
1．cos
215° -sin
215° =（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】C
【分析】利用二倍角公式，化简求值.
【详解】cos
215
∘-sin
215
∘=cos2×15
∘=cos30
∘=
❑√3
2
故选：C
2．已知sin α = 2
3，则cos(-2α )＝（ ）
A．1
9
B．- 1
9
C．
❑√5
3
D．-
❑√5
3
【答案】A
【分析】根据诱导公式和二倍角公式求出答案.
【详解】cos(-2α )=cos2α =1-2sin
2α =1-2× 4
9 = 1
9.
故选：A
3．计算：1-2sin
222.5
∘=（ ）
A．-
❑√2
2
B．
❑√2
2
C．-
❑√3
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【分析】由二倍角公式直接计算即可.
【详解】解：由余弦的二倍角公式得1-2sin
222.5
∘=cos 45
∘=
❑√2
2
故选：B
4． sinπ
8 =（ ）
A．
❑√2+ ❑√2
2
B．
❑√2- ❑√2
2
C．2- ❑√2
D．
❑√2
4
【答案】B
【分析】直接利用半角公式求解.
【详解】因为sinθ
2=±❑√
1-cosθ
2
，且0<π
8 <π
2
所以sinπ
8 =
❑
√
1-cos π
4
2
=
❑
√
1-
❑√2
2
2
=
❑√2- ❑√2
2
.
故选：B
5．若sin(
π
6 -α)= 1
3
，则cos(2α + 2π
3 )=（ ）
A．7
9
B．- 7
9
C．8
9
D．- 8
9
【答案】B
【分析】寻找角与角之间的关系，利用诱导公式和二倍角公式可得.
【详解】因为sin(
π
6 -α)= 1
3，2α +2π
3 =π-2(
π
6 -α)，
所以cos(2α + 2π
3 )==cos[π-2(
π
6 -α)]=-cos2(
π
6 -α)
=2sin
2(
π
6 -α)-1=2×(
1
3)
2
-1=- 7
9
.
故选：B
6．已知sin(α +π
3 )-sin α = 2
3，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．- 5
9
B．- 1
9
C．1
9
D．5
9
【答案】B
【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得cos(α +π
6 )= 2
3，
再根据二倍角余弦公式求解.
【详解】由sin(α +π
3 )-sin α = 2
3，可得1
2 sin α +
❑√3
2 cosα -sin α = 2
3，
即
❑√3
2 cosα - 1
2 sin α = 2
3，即得cos(α +π
6 )= 2
3，
∴cos(2α +π
3 )=2cos
2(α +π
6 )-1=2× 4
9 -1=- 1
9.
故选：B.
7．若sin(α +π
6 )= 1
3
，则sin(2α + 5π
6 )=（ ）
A．7
9
B．1
3
C．8
9
D．2
3
【答案】A
【分析】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解；
【详解】由
sin(2α + 5π
6 )=sin(2α +π
3 +π
2 )=cos(2α +π
3 )=1-2sin
2(α +π
6 )=1- 2
9 = 7
9
；
故选：A
8．若cos(α -π
4 )= 1
4 ，则sin2α =（ ）
A．- 5
8
B．5
8
C．-7
8
D．7
8
【答案】C
【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】由题意，sin2α =sin[
π
2 +2(α -π
4 )]=cos[2(α -π
4 )]
=2cos
2(α -π
4 )-1=2×(
1
4)
2
-1=- 7
8
.
故选：C.
9．若cos(θ -π
6 )= 2
3，则sin(2θ+π
6 )=（ ）
A．- 1
9
B．1
9
C．- 5
9
D．5
9
【答案】A
【分析】先将2θ+π
6 用θ -π
6 表示为2θ+π
6 =π
2 +2(θ -π
6 )，再利用诱导公
式和二倍角公式求解即得.
【详解】因2θ+π
6 =π
2 +2(θ -π
6 )，
则sin(2θ+π
6 )=sin[π
2 +2(θ -π
6 )]=cos2(θ -π
6 )=2cos
2(θ -π
6 )-1=- 1
9.
故选：A.
10．已知cos(α +π
6 )= 3
5 ，则cos(2α +π
3 )等于（ ）
A．- 7
25
B．7
25
C．- 24
25
D．24
25
【答案】A
【分析】由余弦二倍角公式即可求解.
【详解】cos(2α +π
3 )=cos[2(α +π
6 )]=2cos
2(α +π
6 )-1=2× 9
25 -1=- 7
25
，
故选：A
3 题型三、逆用二倍角公式1．已知向量⃗a=(3cosα ,2)与向量⃗
b=(3,4 sin α )平行，则锐角α等于（ ）．
A．π
4
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
【答案】A
【解析】根据向量的共线及倍角公式得到sin2α =1，然后根据α的范围得
到所求的角的大小．
【详解】∵向量⃗a=(3cosα ，2)与向量⃗b=(3，4sinα )平行，
∴(3cosα )×(4sinα )=2×3，
∴12sinα cosα =6sin2α =6，
∴sin2α =1．
又α为锐角，
∴0<2α <π，
∴2α = π
2 ，
∴α = π
4 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：（1）根据向量共线的充要条件得到关于角α的三角
函数关系式；
（2）在已知三角函数值求角时，要注意讨论角的范围．
2．已知sin 2α = 2
3
，则sin
2(α + π
4)=（ ）
A．1
6
B．1
2
C．1
3
D．5
6
【答案】D
【分析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得sin
2(α + π
4)
的值.
【详解】由二倍角的降幂公式可得
sin
2(α + π
4)=
1-cos(2α + π
2)
2
= 1+sin2α
2
=
1+ 2
3
2
= 5
6
.
故选：D.
【点睛】本题考查利用二倍角降幂公式和诱导公式求值，考查计算能力，
属于基础题.
3．cos
2(x + π
4)+sin
2(x - π
4)=（ ）
A．1
B．1-sin2 x
C．1-cos2 x
D．-1
【答案】B
【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.
【详解】
cos
2(x + π
4)+sin
2(x - π
4)=
1+cos(2 x + π
2)
2
+
1-cos(2 x - π
2)
2
= 1
2 - 1
2 sin 2 x + 1
2 - 1
2 sin 2 x =1-sin 2 x
故选：B
【点睛】本题考查利用降幂升角公式和诱导公式化简的问题，考查基础公
式的应用.
4．已知cos
2( x
2 + π
4 )=cos( x + π
6 )，则cos x =
A．
❑√3
3
B．-
❑√3
3
C．1
3
D．- 1
3
【答案】A
【详解】由已知，由三角恒等变换得cos( x + π
2 )+1
2
=
❑√3
2 cos x - 1
2 sin x，
即-sin x +1
2
=
❑√3
2 cos x - 1
2 sin x
所以cos x =
❑√3
3 .
故选：A.
5．已知sin2α = 1
4，则sin
2(α + π
4 )=( )
A．3
4
B．3
8
C．5
8
D．2
3
【答案】C
【分析】利用降幂公式和诱导公式计算即可.
【详解】因为sin2α = 1
4
所以
sin
2(α + π
4)=
1-cos[2×(α + π
4)]
2
= 1+sin 2α
2
=
1+ 1
4
2
= 5
8
,
故选：C.
6．已知tan α =3，则cos
2α +sin 2α =（ ）
A．7 ❑√2
10
B．7
10
C．- 7 ❑√2
10
D．- 7
10
【答案】B
【解析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin α ,cosα的齐次分式，化弦
为切，即可求解.
【详解】cos
2α +sin 2α = cos
2α +2sin α cosα
cos
2α +sin
2α
= 1+2tan α
1+ tan
2α
= 7
10
.
故选:B
【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础
题.
7．- 2
3 + 4
3 cos
215° =（ ）
A．-
❑√3
3
B．- 1
3
C．
❑√3
3
D．1
3
【答案】C
【分析】根据余弦二倍角公式,化简求cos
215
∘,代入即可求解.
【详解】根据余弦二倍角公式cos2α =2cos
2α -1,
所以cos30
∘=2cos
215
∘-1
则cos
215
∘= cos30
∘+1
2
=
❑√3
4 + 1
2
代入式子可得- 2
3 + 4
3 cos
215°
=- 2
3 + 4
3 ×(
❑√3
4 + 1
2)
=
❑√3
3
故选:C
【点睛】本题考查了余弦二倍角公式的简单应用,三角函数求值,属于基础题.
8．已知sin2α = 1
3
，则cos
2(α + π
4)=（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．- 2
3
D．2
3
【答案】B
【分析】利用降幂公式可得
cos
2(α + π
4)=
1+cos(2α + π
2)
2
,再利用诱导公式求
解即可
【详解】
cos
2(α + π
4)=
1+cos(2α + π
2)
2
= 1-sin 2α
2
=
1- 1
3
2
= 1
3
故选:B
【点睛】本题考查降幂公式的应用,考查诱导公式的应用,考查已知三角函数
值求三角函数值
9．若sin(
π
3 - x)= 4
5
，则cos(
2π
3 -2 x)
的值为（ ）
A．- 24
25
B．24
25
C．7
25
D．- 7
25
【答案】D
【分析】将三角函数式cos(
2π
3 -2 x)
变形,结合余弦的二倍角公式及条件式
即可求解.
【详解】由cos(
2π
3 -2 x)=cos[2(
π
3 - x)]
因为sin(
π
3 - x)= 4
5
根据余弦二倍角公式可知
cos[2(
π
3 - x)]=1-2sin
2(
π
3 - x)
=1-2×(
4
5)
2
=- 7
25
故选:D
【点睛】本题考查了余弦二倍角公式的简单应用,属于基础题.
4 题型四、辅助角公式
1．化简sin x + ❑√3cos x =（ ）
A．2sin(x + π
3)
B．2sin(x - π
3)
C．2cos(x + π
3)
D．2cos(x - π
3)
【答案】A
【解析】利用辅助角公式化简即可.
【详解】解：sin x + ❑√3cos x
=2×(
1
2 sin x +
❑√3
2 cos x)
=2×(cos π
3 sin x +sin π
3 cos x)
=2sin(x + π
3)
.
故选：A.
2．已知sin a+ ❑√3cosa=1，则cos(2a+ 2π
3 )=( )
A．-
❑√3
2
B．- 1
2
C．1
2
D．-
❑√3
2 或1
2
【答案】C
【分析】结合辅助角公式和二倍角的余弦公式即可.
【详解】因为sin α + ❑√3cosα =1
所以sin α + ❑√3cosα =2sin(α + π
3 )=1
即sin(α + π
3 )= 1
2
所以cos(2α + 2π
3 )=1-2sin
2(α + π
3 )= 1
2
故选：C
3．已知sin2α =1-cos2α，且α ∈(0, π
2 )，则α =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】C
【分析】根据三角函数的辅角公式可得sin 2α +cos2α = ❑√2sin(2α + π
4)=1，
进而sin(2α + π
4)=
❑√2
2
，再根据α ∈(0, π
2 )，分析可得2α + π
4 ∈( π
4 , 5 π
4 )，由此即
可求出结果.
【详解】因为sin2α =1-cos2α，所以sin 2α +cos2α = ❑√2sin(2α + π
4)=1，
所以sin(2α + π
4)=
❑√2
2
，又α ∈(0, π
2 )，所以2α + π
4 ∈( π
4 , 5 π
4 )，所以
2α + π
4 = 3 π
4 ，
故α = π
4 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的辅角公式，三角函数值的应用，属于
基础题.
4．cosα + ❑√3sin α化简为（ ）
A．2sin(
π
3 +α)
B．2sin(
π
6 +α)
C．1
2 sin(
π
3 +α)
D．1
2 sin(
π
6 +α)
【答案】B
【分析】利用辅助角公式进行化简.
【详解】依题意，原式=2(
❑√3
2 sin α + 1
2 cosα)=2(sin α cos π
6 +cosα sin π
6)
=2sin(α + π
6)=2sin(
π
6 +α)
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查辅助角公式，属于基础题.
5．❑√3sin π
12 +cos π
12的值为（ ）
A．0
B．1
C．❑√2
D．❑√3
【答案】C
【分析】利用辅助角公式可求三角函数式的值.
【详解】
❑√3sin π
12 +cos π
12 =2(
❑√3
2 sin π
12 + 1
2 cos π
12)=2sin(
π
12 + π
6)=2sin π
4 = ❑√2.
故选：C.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，本题利用辅助角公式来化
简，本题属于容易题.
6．sin x cos x +sin
2 x可化为
A．❑√2
2 sin(2 x - π
4)+ 1
2
B．❑√2sin(2 x + π
4)- 1
2
C．sin(2 x - π
4)+ 1
2
D．2sin(2 x + 3 π
4 )+1
【答案】A
【分析】逆用二倍角的正弦公式和降幂公式，再利用辅助角公式即可.
【详解】sin x cos x +sin
2 x = 1
2 sin 2 x + 1-cos2 x
2
= 1
2 sin 2 x - 1
2 cos2 x + 1
2
=
❑√2
2 (
❑√2
2 sin 2 x -
❑√2
2 cos2 x)+ 1
2 =
❑√2
2 sin(2 x - π
4)+ 1
2
.故选A.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式和降幂公式，考查了辅助角公式.
7．已知α ∈(0,π ), 且sin α +cosα = 1
2 , 则cos2α 的值为
A．±
❑√7
4
B．
❑√7
4
C．－
❑√7
4
D．－3
4
【答案】C
【详解】试题分析：∵sin α +cosα = 1
2，α ∈(0,π )，
∴α ∈(
π
2 , 3 π
4 )
∴2α ∈(π , 3 π
2 )
，sin(α + π
4)=
❑√2
4
，
∴cos(α + π
4)=-
❑√14
4
cos2α =sin(2α + π
2)=2sin(α + π
4)cos(α + π
4)=2×
❑√2
4 ×(-
❑√14
4 )=-
❑√7
4
.
考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系.
8．已知sin x＋
cos x＝，则cos
＝( )
A．－
B．
C．－
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式合并sin x + ❑√3cos x，由此求得cos(
π
6 - x)的值.
【详解】sin x＋
cos x＝2
＝2
＝2cos
＝，∴cos
＝.答案B.
【点睛】本小题主要考查利用辅助角公式化简合并三角函数表达式，考查
特殊角的三角函数值，属于基础题.
9．计算：❑√3cos π
12 +sin π
12 =
A．0
B．- ❑√2
C．
❑√6+ ❑√2
2
D．2
【答案】C
【分析】运用辅助角公式和两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】原式=2(
❑√3
2 cos π
12 + 1
2 sin π
12)=2(cos π
6 cos π
12 +sin π
6 sin π
12)
=2cos π
12 =2cos(
π
3 - π
4)=2(cos π
3 cos π
4 +sin π
3 sin π
4)
=2×
❑√2+ ❑√6
4
=
❑√6+ ❑√2
2
.故选
C.
【点睛】本题考查了辅助角公式和两角差的余弦公式，考查了特殊角的三
角函数值.
