文档文本内容
第10 讲 单个物体的功能关系
【模型一 功能关系的理解及应用 】
类型1 功能关系的理解
类型2 功能关系的应用
【模型二 动能定理的理解及应用】
类型1 动能及动能定理的理解
类型2 动能定理解决变力问题
类型3 动能定理的数形结合
类型4 动能定理多过程的应用
类型5 动能定理往复过程的应用
【模型三 单体的机械能守恒定律的判断及应用】
类型1 单体机械能守恒定律的判断
类型2 单体机械能守恒定律应用
高考对本部分内容的考查，注重对功能关系本质的理解，直接考查功与能量转化的对应关系，如单
个物体通常用动能定理解决，即“合外力做功等于动能变化”。命题常以生活场景或科技应用为载体，将
功能关系与曲线运动、电磁学、热学等知识融合，在多过程的复杂情境中应用能量守恒。
本讲内容重点讲解动能定理解决单个物体的功能关系问题（1）理解动能动能定理，并会用动能定理
处理物理问题。（2）掌握有关动能定理的图像问题。（3）重点关注动能定理在多过程问题中的应用。
【模型一 功能关系的理解及应用】
类型1 功能关系的理解
1. 功能关系的理解
1）做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一
一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.常见力做功与能量变化的关系
1）当只有重力（或弹簧弹力）做功时，物体的机械能守恒.
2）重力对物体做的功等于物体重力势能的减少: W G=−ΔE p .
3）弹簧弹力对物体做的功等于物体弹性势能的减少: W 弹=−ΔE p.
4）电场力对物体做的功等于物体电势能的减少: W 电=−ΔE p.
5）克服安培力做的功等于电能增加量：W 电=Et−E0=ΔE
5）合外力对物体所做的功等于物体动能的变化: W 合=ΔEk=Ekt−Ek 0（动能定理）
6）除了重力（或弹簧弹力）之外的力对物体所做的功等于物体机械能的变化:
W 除重力弹力外其他力=ΔE=Et−E0
7）一对滑动摩擦力做功等于系统机械能减少（内能增加）: Q=Ff⋅Δs相对.
【典例1】（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为m 的足球从水平地面上位置1 被踢出后落在
位置3，在空中达到最高点2 的高度为h，则足球（ ）
A．从1 到2 动能减少
B．从1 到2 重力势能增加
C．从2 到3 动能增加
D．从2 到3 机械能不变
【答案】B
【解析】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从1 到2 重力
势能增加
，则1 到2 动能减少量大于
，A 错误，B 正确；
CD．从2 到3 由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于
，选项CD
错误。
故选B。
【变式1-1】（2024·广东中山·模拟预测）（多选）热气球能给人以独特的视角享受风景的机会。
假设某热气球总质量为m，某竖直上升过程中受到浮力恒为F，空气阻力恒为f，热气球从地面由静止上升
高度h，速度变为v，已知重力加速度为g。在上述过程中，热气球的（ ）
A．重力势能增加了mgh
B．动能增加了（F-mg-f）h
C．机械能增加了Fh
D．机械能增加了mgh+
【答案】ABD
【解析】A．热气球从地面由静止上升高度h，克服重力做功mgh，则重力势能增加了mgh，故A 正
确；
B．根据动能定理，动能增加了
，故B 正确；
CD．根据功能关系，机械能增加了
，故C 错误，D 正确。
故选ABD。
【变式1-2】（2022·浙江·高考真题）风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如
图所示，风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为
时，输出电功率为
，风速在
范围内，转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为
，空气密
度为
，风场风速为，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是（ ）
A．该风力发电机的输出电功率与风速成正比
B．单位时间流过面积
的流动空气动能为
C．若每天平均有
的风能资源，则每天发电量为
D．若风场每年有
风速在
范围内，则该发电机年发电量至少为
【答案】D
【解析】AB．单位时间流过面积
的流动空气体积为
单位时间流过面积
的流动空气质量为
单位时间流过面积
的流动空气动能为
风速在
范围内，转化效率可视为不变，可知该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成
正比，AB 错误；
C．由于风力发电存在转化效率，若每天平均有
的风能资源，则每天发电量应满足
，C 错误；
D．若风场每年有
风速在
的风能资源，当风速取最小值
时，该发电机年发电量
具有最小值，根据题意，风速为
时，输出电功率为
，风速在
范围内，转化效率可视
为不变，可知风速为
时，输出电功率为
则该发电机年发电量至少为
，D 正确；
故选D。
【变式1-3】如图所示，质量为
的跳伞运动员在高空由静止下落，从静止下落到打开降落伞之前运
动员一直做竖直方向的匀加速运动，此过程中，运动员减少的重力势能与增加的动能之比为9：8，重力加
速度为g，若此过程运动员下降的高度为h，则此过程中（ ）
A．运动员的加速度大小为
B．合外力对运动员做的功为
C．运动员的机械能减少量为
D．空气阻力对运动员做的功为
【答案】C
【解析】B．下降高度过程，减少的重力势能为
，根据题意可知，增加的动能为
根据动能定理可知，合外力对运动员做的功为
，故B 错误；
AC．根据动能定理，有
解得
运动员机械能的变化量为
即运动员的机械能减少量为
，故A 错误；C 正确；
D．根据功能关系，运动员机械能的减少量等于克服空气阻力做的功，即空气阻力对运动员做的功
为
，故D 错误。
故选C。
类型2 功能关系的应用
功能关系应用指导
1）做好两个分析
①综合受力分析、运动过程分析，由牛顿运动定律做好动力学分析．
②分析各力做功情况，做好能量的转化与守恒的分析，由此把握运动各阶段的运动性质，各连接点、
临界点的力学特征、运动特征和能量特征．
2）做好四个选择
①当物体受到恒力作用发生运动状态的改变而且又涉及时间时，一般选择用动力学方法解题；
②当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题，题
目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律；
③当涉及细节并要求分析力时，一般选择牛顿运动定律，对某一时刻进行分析时选择牛顿第二定律求
解；
④复杂问题的分析一般需选择能量的观点、运动与力的观点综合解题．
【典例2】（2025·云南高考真题）如图所示，质量为m 的滑块（视为质点）与水平面上MN 段的动摩
擦因数为
，与其余部分的动摩擦因数为
，且
。第一次，滑块从I 位置以速度
向右滑动，通
过MN 段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为
，所用时间为
；第二次，滑
块从Ⅱ位置以相同速度
向右滑动，通过MN 段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位
移大小为
，所用时间为
。忽略空气阻力，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】CD．对两种运动的整个过程根据能量守恒有
，
可得
，故CD 错误；
AB．根据牛顿第二定律
可得
由于
，故滑块在MN 上时的加速度大，根据前面分析可知两次运动的总位移相等，即两次运动
过程中
图像与横轴围成的面积相等，由于第二次时滑块距离M 点的距离较近，根据公式
可知第二次到达M 点时速度较大，作出整个过程中两种运动状态的
图像
可得
，故A 正确，B 错误；
故选A。
【变式2-1】（高一下安徽合肥期末）如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水
平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰
好对轨道没有压力。已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P 到B 的运动过程中（ ）
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功
D．克服摩擦力做功
【答案】CD
【解析】A．重力做功
，A 错误；
B．小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力，则有
，解得
机械能减少
，B 错误；
C．根据动能定理
，C 正确；
D．根据动能定理
，解得
所以克服摩擦力做功为
，D 正确。
故选CD。
【变式2-2】如图所示，某物体在运动过程中，受竖直向下的重力和水平方向的风力，某段时间内，
重力对物体做功4J，物体克服风力做功3J，则以下说法中正确的是（ ）
A．外力对物体做的总功为7J
B．物体的动能增加了1J
C．物体的机械能增加了3J
D．物体的重力势能增加了4J
【答案】B
【解析】A．功是标量，故外力做功为
，故A 错误；
B．根据动能定理可知
故动能的增加量为
，故B 正确；
C．风力对物体做负功，故物体的机械能增加量等于风力所做的功，故有
物体的机械能减小了3J，故C 错误；
D．由于重力做正功，故物体的重力势能减小，减小量为4J，故D 错误。
故选B。
【变式2-3】（2025·海南高考真题）某自动包装系统的部分结构简化后如图所示，足够长的传送带
固定在竖直平面内，半径为
，圆心角
的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转
动的水平传送带平滑连接，工件A 从圆弧顶点无初速度下滑，在平台上滑入静止的空箱B 并与其瞬间粘连
成一个整体，随后一起滑上传送带，与传送带共速后进入下一道工序。已知工件A 质量为
，空箱
B 的质量为
，A、B 及粘连成的整体均可视为质点，整体与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带
上运动的过程中因摩擦产生的热量
，忽略轨道及平台的摩擦，
，重力加速度
。求：
(1)工件A 滑到圆弧轨道最低点时受到的支持力；
(2)工件A 与空箱B 在整个碰撞过程中损失的机械能；
(3)传送带的速度大小。
【答案】(1)
，方向竖直向上；(2)
(3)
或
【解析】（1）工件A 从开始到滑到圆弧轨道最低点间，根据机械能守恒
解得
在最低点根据牛顿第二定律
，解得
，方向竖直向上；
（2）根据题意工件A 滑入空箱B 后粘连成一个整体，根据动量守恒
解得
故A 与B 整个碰撞过程中损失的机械能为
（3）第一种情况，当传送带速度小于
时，AB 粘连成的整体滑上传送带后先减速后匀速运动，设
AB 与传送带间的动摩擦因数为
，对AB 根据牛顿第二定律
设经过时间
后AB 与传送带共速，可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
联立解得
，另一解大于
舍去；
第二种情况，当传送带速度大于
时，AB 滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间
后AB 与
传送带共速，同理可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
解得
，另一解小于
舍去。
【模型二 动能定理的理解及应用】
类型1 动能及动能定理的理解
1.动能：
（1）定义：物体由于运动而具有的能量叫动能。
（2）公式：Ek＝1
2mv2 。
（3）单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2。
（4）物理意义：动能是状态量，是标量（选填“矢量”或“标量”）。
2.动能定理：
（1）内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化 。
（2）表达式：W＝1
2mv2
2－1
2mv1
2或W＝Ek2－Ek1。
（3）物理意义： 合外力 做的功是物体动能变化的量度。
（4）适用条件：
①动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动 。
②既适用于恒力做功，也适用于变力做功 。
③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用。
3.对动能定理表达式的理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”表示功是物体动能变化的量度。
①因果关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。
②数量关系：合力做功与动能变化具有等量代换的关系。
③单位关系：国际单位制中功和能的单位都是焦耳。
（2）动能定理中所说的“力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是静电力、磁场力或其他力；
既可以是恒力，也可以是变力。
【典例3】（2024·安徽高考真题）某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h
的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v．已知人与滑板的总质量为m，可视为质点．重力加速度大
小为g，不计空气阻力．则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】人在下滑的过程中，由动能定理可得
可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为
故选D。
【变式3-1】（2023·新课标卷高考题）无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率
竖直下落。一质量为m 的雨滴在地面附近以速率v 下落高度h 的过程中，克服空气阻力做的功为（重力加
速度大小为g）（ ）
A．0
B．mgh
C．
D．
【答案】B
【解析】在地面附近雨滴做匀速运动，根据动能定理得
故雨滴克服空气阻力做功为
。
故选B。
【变式3-2】（2022·江苏高考题）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆
弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能
与水平位移x 的关
系图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中根据动能
定理有
即
下滑过程中开始阶段倾角θ 不变，Ek-x 图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ 先减小后增大，即
图像斜率先减小后增大。
故选A。
【变式3-3】（2021·山东高考题）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L 的轻质细
杆，一端可绕竖直光滑轴O 转动，另一端与质量为m 的小木块相连。木块以水平初速度
出发，恰好能完
成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理
可得摩擦力的大小
故选B。
类型2 动能定理解决变力问题
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W 变＋W 恒＝
mv2
2－mv1
2，物体初、末速度已知，恒力做功W 恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W 变＝mv2
2－mv1
2－W
恒，就可以求变力做的功了．
1. 动能定理解题的基本思路
1)选对象：确定研究对象和研究过程
2)两分析：
①运动分析：运动性质及特点、明确初、末状态动能？
②受力分析：几个力？恒力还是变力？正功还是负功？求总功
3)列方程：分阶段或全过程列动能定理
2.应用动能定理解题的注意事项
1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般以地面或相对地面静止的物体为参考
系.
2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确地受力分析及运动过程分析,并画出运动过程的草图,
借助草图理解物理过程之间的关系.
3)列动能定理方程时,必须明确各力做功的正、负,确实难以判断的先假定为正功,最后根据结果加以
检验.
【典例4】（2025·浙江高考真题）如图所示，两根相同的橡皮绳，一端连接质量为m 的物块，另一
端固定在水平桌面上的
、B 两点。物块处于AB 连线的中点C 时，橡皮绳为原长。现将物块沿AB 中垂线水
平拉至桌面上的O 点静止释放。已知CO 距离为L，物块与桌面间的动摩擦因数为
，橡皮绳始终处于弹性
限度内，不计空气阻力，则释放后（ ）
A．物块做简谐运动
B．物块只受到重力、橡皮绳弹力和摩擦力的作用
C．若
时每根橡皮绳的弹力为F，则物块所受合力大小为
D．若物块第一次到达C 点的速度为
，此过程中橡皮绳对物块做的功
【答案】D
【解析】AB．物块在水平桌面上运动，受到重力、桌面的支持力、橡皮绳的弹力以及摩擦力的作用；
而运动方向受橡皮绳的弹力和摩擦力作用，其合力不满足简谐运动的回复力特点（
），因摩擦力
是恒力，不随位移按比例变化，所以物块不做简谐运动，故AB 错误；
C．若
时每根橡皮绳的弹力为F，两根橡皮绳弹力的合力
物块还受到摩擦力为
，物块所受合力为
，故C 错误；
D．若物块第一次到达C 点的速度为
，物块从O 点运动到C 点，由动能定理可知
解得橡皮绳对物块做的功为
，故D 正确。
故选D。
【变式4-1】（2025·云南高考真题）如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，
沿水平直轨道逐渐加速到144km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近（ ）
A．4×105J
B．4×104J
C．4×103J
D．4×102J
【答案】B
【解析】高中生的质量约为50kg，根据动能定理有
故选B。
【变式4-2】图1 所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2 所示的模型。长
的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径
的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转
动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方
向的夹角
。将游客和座椅看作一个质点，质量
。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度
。（
，
）
（1）当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动
a．向心力的大小
；
b．线速度的大小v。
（2）求游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。
【答案】（1）a．
，b．
；（2）
【解析】（1）对游客和座椅一起受力分析如下图所示
a．根据受力分子可知游客和座椅做圆周运动所需要的向心力为
b．根据几何关系可知游客和座椅zuo2 圆周运动的半径为
由
代入数据得
（2）游客和座椅由静止到随转盘匀速转动得过程，根据功能关系有
代入数据解得
【变式4-3】如图，轻质弹簧上端固定在O 点，下端与质量为m 的圆环相连，圆环套在水平粗糙的固
定细杆上。现在将圆环从A 点静止释放，当圆环运动到B 点时弹簧竖直且处于原长，到达C 点时速度减为
零；在C 点使得圆环获得一个沿杆向左的速度v，其恰好能回到A 点。弹簧始终在弹性限度之内，下列说
法正确的是（ ）
A．从A 到C 的过程中，圆环经过B 点速度最大
B．从C 回到A 的过程中，弹力最终做正功
C．从A 到C 克服摩擦力做功为
D．从A 到C 弹簧弹性势能减少了
【答案】CD
【解析】A．圆环从A 到C 过程中，合力是0 时圆环的速度最大，A 错误；
B．A 到C 过程中，根据能量守恒，弹性势能减少，转化为摩擦力做功产生的热量，所以由C 回到A 的
过程中，弹性势能增大，弹力最终做负功，B 错误。
CD．从A 到C 再由C 回到A，根据对称特点可知，摩擦力做功相等，弹性势能变化相同，根据动能定理，
有
求得
，CD 正确。
故选CD。
类型3 动能定理的数形结合
1．解决图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图
线的交点、图与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代
入函数关系式求物理量．
2．图像所围“面积”和图像斜率的含义
【典例5】如图1 所示，上表面光滑的斜面体固定在水平地面上，一个小木块从斜面底端冲上斜
面。图2 为木块的初动能
与木块轨迹的最高点距地面高度
的关系图像。由此可求得斜面的长度为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若物块不滑离斜面，则由动能定理
由图像可知
设斜面长度L 倾角为θ，当物块能滑离斜面时，则从底端到顶端时
滑离斜面后做斜抛运动，还能上升的高度
滑块轨迹的最高点距地面高度
联立解得
由图像可知斜率
解得
根据图像可计算后一段图像在纵轴上的截距为1.5h0，则截距
解得L=4h0
故选C。
【变式5-3】（2022·福建高考题）一物块以初速度
自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后
回到斜面底端。该物体的动能
随位移x 的变化关系如图所示，图中
、
、
均已知。根据图中信息
可以求出的物理量有（ ）
A．重力加速度大小
B．物体所受滑动摩擦力的大小
C．斜面的倾角
D．沿斜面上滑的时间
【答案】BD
【解析】ABC．由动能定义式得
，则可求解质量m；上滑时，由动能定理
下滑时，由动能定理
x0为上滑的最远距离；
由图像的斜率可知
，
两式相加可得
相减可知
即可求解gsinθ 和所受滑动摩擦力f 的大小，但重力加速度大小、斜面的倾角不能求出，故AC 错误，
B 正确；
D．根据牛顿第二定律和运动学关系得
，
故可求解沿斜面上滑的时间，D 正确。
故选BD。
【变式5-3】（2021·湖北高考真题）如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面
上滑，运动过程中摩擦力大小f 恒定，物块动能Ek与运动路程s 的关系如图（b）所示。重力加速度大小取
10 m/s2，物块质量m 和所受摩擦力大小f 分别为（ ）
A．m=0.7 kg，f=0.5 N
B．m=0.7 kg，f=1.0N
C．m=0.8kg，f=0.5 N
D．m=0.8 kg，f=1.0N
【答案】A
【解析】0~10m 内物块上滑，由动能定理得
整理得
结合0~10m 内的图像得，斜率的绝对值
10~20 m 内物块下滑，由动能定理得
整理得
结合10~20 m 内的图像得，斜率
联立解得
故选A。
【变式5-3】如图1 所示，水平面上一质量为2kg 的木箱在水平向右的力
的作用下向右移动
4m 的距离后，在另一水平力
作用下，又匀速运动4m 的距离到达斜面底端，撤去外力，木箱冲上倾角为
37°的斜面，斜面和水平面间通过光滑小圆弧轨道（未画出）连接。在木箱从静止开始运动到斜面上最高
点的过程中，其动能随运动路程变化的图像如图2 所示。已知木箱与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加
速度g 取
，
。下列说法正确的是（ ）
A．
的大小为4N
B．木箱在斜面上能到达的最大高度为1.8m
C．木箱返回水平面后向左运动的最大距离为1.8m
D．整个运动过程中，木箱克服摩擦力做的功为36J
【答案】AC
【解析】A．由题图2 可知，木箱初动能为0，则木箱在
的作用下做初速度为零的匀加速直线运动，
应用动能定理有
由题图2 知
，可得
，之后木箱在
的作用下做匀速运动，所以
故A 正确；
B．木箱冲上斜面后做匀减速运动，根据动能定理有
由题图2 知
，可得
，木箱在斜面上能到达的最大高度
故B
错误；
C．因为
所以当木箱运动至斜面上的最高点后，沿斜面向下做匀加速运动，到达水平面后，在摩擦力作用下再
减速直到停止。木箱从冲上斜面到最终停下来，对这一过程应用动能定理可得
可得
，故C 正确；
D．对整个运动过程，由动能定理有
所以
，故D 错误。
故选AC。
类型4 动能定理多过程的应用
1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，
不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看
作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。
2.全过程列式时要注意
(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
3.多过程问题的分析方法
(1)将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
(2)对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。
(3)根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
(4)分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。
(5)联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
【典例6】（2024·广东高考真题）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分
别从
、
高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O 处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为
，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C．乙的运动时间与
无关
D．甲最终停止位置与O 处相距
【答案】ABD
【解析】A．两滑块在光滑斜坡上加速度相同，同时由静止开始下滑，则相对速度为0，故A 正确；
B．两滑块滑到水平面后均做匀减速运动，由于两滑块质量相同，且发生弹性碰撞，可知碰后两滑块
交换速度，即碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度，故B 正确；
C．设斜面倾角为θ，乙下滑过程有
在水平面运动一段时间t2后与甲相碰，碰后以甲碰前速度做匀减速运动t3，乙运动的时间为
由于t1与
有关，则总时间与
有关，故C 错误；
D．乙下滑过程有
由于甲和乙发生弹性碰撞，交换速度，则可知甲最终停止位置与不发生碰撞时乙最终停止的位置相同；
则如果不发生碰撞，乙在水平面运动到停止有
联立可得
即发生碰撞后甲最终停止位置与O 处相距
，故D 正确。
故选ABD。
【变式6-1】（2021·辽宁高考题）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一、某冰滑梯的示
意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略：倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ 相同，因滑板
不同μ 满足
。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停
在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】CD
【解析】设斜面倾角为
，游客在倾斜滑道上均减速下滑，则需满足
可得
即有
因
，所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，可得
滑行结束时停在水平滑道上，即在摩擦因数去最小时能停在滑道上，由全程的动能定理有
要求进入水平滑道，因此最大的动摩擦因数能够进入水平滑道，即
综合需满足
和
故选CD。
【变式6-2】（2021·全国甲卷高考题）一质量为m 的物体自倾角为
的固定斜面底端沿斜面向上滑
动。该物体开始滑动时的动能为
，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底
端时动能为
。已知
，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【解析】AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
整理得
；
，A 错误，C 正确；
B．物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
求解得出
，B 正确；
D．物体向上滑动时的根据牛顿第二定律有
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
由上式可知a 上 > a 下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式
则可得出
，D 错误。
故选BC。
【变式6-3】某同学在拍球的过程中发现，让球由离地1m 高处静止下落并自由反弹，弹起的最大高度
为80cm。为了让球每次都恰好弹回到1m 的高度，球每次在1m 高度时应向下拍打一次球。设球在运动过程
中受到的空气阻力大小恒定，球与地面碰撞后以原速率反弹，已知球的质量为900g，重力加速度
，则下列说法正确的是（ ）
A. 球在运动过程中受到的空气阻力大小为1.5N
B. 人每次向下拍球的过程中对球做的功为1.8J
C. 从拍球到球回到释放点，球克服空气阻力所做的功为2J
D. 球每次撞击地面的过程中，地面对球做的功为11J
【答案】C
【解析】A．球在下落到弹起到最大高度的过程中，根据动能定理
其中
，
解得
，故A 错误。
B．球从最高点到返回到最高点的过程中，根据动能定理
解得，人每次向下拍球的过程中对球做的功为
，故B 错误；
C．从拍球到球回到释放点，球克服空气阻力所做的功为
，故C 正确；
D．根据动能定理，球每次撞击地面的过程中
因为球与地面碰撞后以原速率反弹，即
所以地面对球做的功为
，故D 错误。
故选C。
类型5 动能定理往复过程的应用
动能定理在往复运动问题中的应用
1.往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的
物理量多数是变化的，而重复的次数又往往是无限的或者难以确定的。
2.解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功特点与路程有关，求解这类问题时
若运用牛顿运动定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法解出。由于动能定理只涉及物体的初、末状态而
不计运动过程的细节，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。
【典例7】一篮球质量为m＝0.60kg，一运动员使其从距地面高度为h1=1.8m 处由静止自由落下，反弹
高度为h2=1.2m，若使篮球从距地面h3=1.5m 的高度由静止下落，并在开始下落的同时运动员向下拍球，球
落地后反弹的高度也为1.5m，该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值K 不变，重力加速度大小g 取
10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）比值K 的大小；
（2）运动员拍球过程中对篮球所做的功。
【答案】（1）1.5；（2）4.5J
【解析】（1）设篮球自由下落与地面碰撞前瞬间的动能为Ek1，篮球与地面碰撞后瞬间篮球的动能为
Ek2，由动能定理可知篮球下落过程
篮球上升过程
则
（2）第二次从1.5m 的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由
动能定理可得
第二次从1.5m 的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理
可得
解得
【变式7-1】如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道
的下端与光滑的圆弧轨道
相切于
B，C 是最低点，圆心角
，D 与圆心O 等高，圆弧轨道半径R，现有一个质量为m 可视为质点的
小物体，从D 点的正上方E 点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端A 处。已知
距离为
，物体与斜面
之间的动摩擦因数
。重力加速度为g。（取
，
），求：
（1）物体第一次到达C 点时的速度大小和受到的支持力大小；
（2）斜面
的长度L；
（3）若
可变，求
取不同值时，物块在斜面上滑行的路程s。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）见解析
【解析】（1）设物体到达C 点的速度为v，从E 到C，由动能定理得
代入数据得
在C 点，有
代入数据得
（2）从C 到A，由动能定理得
代入数据得
（3）设摩擦因数为μ1时物块刚好能静止在斜面上，则有
解得
①若
，物块将滑出斜面，则物块的路程为
②若
，则
所以物块在斜面上多次往返，最后在B 点速度为零，则有全程由能量守恒定律，可得
解得
③若
，则
则物块将停在斜面上，则有
解得
故选B。
【变式7-2】滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑
板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O 点，圆心角为60°，半径OC 与水平轨道
CD 垂直，水平轨道CD 段粗糙且长8m，一运动员从轨道上的A 点以3m/s 的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨
道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回。已知运
动员和滑板的总质量为60kg，B、E 两点与水平面CD 的竖直高度分别为h 和H，且
，
，
g=10m/s2。求：
（1）运动员从A 运动到达B 点时的速度大小
和在空中飞行的时间
；
（2）轨道CD 段的动摩擦因数
、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力；
（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B 点？如能，请求出回到B 点时的速度大小；如
不能，则最后停在何处？
【答案】（1）
，
；（2）
，
，方向竖直向下；（3）不能，
最后停在距离D 点左侧6.4m 处
【解析】（1）由题意可知
解得
在B 点竖直方向的速度
空中飞行的时间
（2）由B 点到E 点，由动能定理可得
代入数据可得
由B 点到C 点，由动能定理可得
在C 点由牛顿第二定律知
由几何知识
联立解得
根据牛顿第三定律
方向竖直向下。
（3）运动员能到达左侧的最大高度为h'，从B 到第一次返回左侧最高处，根据动能定理有
解得
所以第一次返回时，运动员不能回到B 点，设运动员从B 点运动到停止，在CD 段的总路程为s，由动
能定理可得
代入数据解得
因为
所以运动员最后停在距离D 点左侧6.4m 处
【模型三 单体的机械能守恒定律的判断及应用】
类型1 单体机械能守恒定律的判断
1.对单体机械能守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
2.机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体只有重力做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械
能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统中只有动能和重力势能的相互转化而无机械能与其他形式能的
转化，则机械能守恒
【典例8】如图所示，撑杆跳运动的过程大概可以分为助跑、起跳、下落三个阶段。已知运动员和撑
杆总质量为m，某次比赛中，助跑结束时恰好达到最大速度v，起跳后重心上升高度h 后成功越过横杆，落
在缓冲海绵垫上，撑杆脱离运动员之后会出现弹跳现象，重力加速度为g，不计空气阻力，取地面为零势
能面，则下列说法正确的是（ ）
A.助跑过程中，运动员所处高度不变，运动员和撑杆整体机械能守恒
B.从运动员离开地面到手脱离撑杆的过程中，撑杆的弹性势能不断增大
C.运动员在最高点的重力势能Ep＝1
2mv2
D.越过横杆后，落到海绵垫上之前，运动员机械能守恒
【答案】D
【解析】助跑加速时，运动员和撑杆的重力势能不变，但运动员和撑杆的总动能增大，所以整体的机
械能增加，故A 错误；
从运动员离开地面到手脱离撑杆的过程中，撑杆的形变量先增大再减小，则撑杆的弹性势能先增大再
减小，故B 错误；
撑杆脱离运动员之后会出现弹跳现象，说明撑杆的弹性势能并没有全部转化为运动员的机械能，那么
运动员在最高点的重力势能必然小于起跳前人和杆的总动能 1
2mv2，故C 错误；
运动员越过横杆后在空中下落过程中，只有重力做功，其机械能守恒，故D 正确。
【变式8-1】（多选）2022 年第24 届冬奥会在北京—张家口成功举办，图甲为在张家口的国家跳台滑
雪中心“雪如意”， 图乙为跳台滑雪的示意图。质量为m 的运动员从长直倾斜的助滑道AB 的A 处由静止
滑下，为了改变运动员的速度方向，在助滑道AB 与起跳台D 之间用一段弯曲滑道相切衔接，其中最低点C
处附近是一段以O 为圆心的圆弧，圆弧轨道半径为R。A 与C 的竖直高度差为H，弯曲滑道末端即起跳台D
与滑道最低点C 的高度差为h，重力加速度为g。不计空气阻力及摩擦，则运动员（ ）
A.到达C 点时的动能为mgH
B.到达C 点时对轨道的压力大小为2mgH
R
C.到起跳台D 点的速度大小为❑√2g( H -ℎ)
D.从C 点到D 点重力势能增加了mg（H－h）
【答案】AC
【解析】由A 到C 机械能守恒，则到达C 点时的动能为Ek＝mgH，选项A 正确；
根据1
2mvC
2＝mgH；FNC－mg＝mvC
2
R
，解得FNC＝mg＋2mgH
R
，
由牛顿第三定律可知，到达C 点对轨道的压力大小为FNC'＝mg＋2mgH
R
，选项B 错误；
从A 到D，由机械能守恒定律得mg（H－h）＝1
2mv D
2，
解得到起跳台D 点的速度大小为vD＝❑√2g( H -ℎ)，选项C 正确；
从C 点到D 点，重力势能增加了mgh，选项D 错误。
【变式8-2】（2024·浙江高考题）如图所示，质量为m 的足球从水平地面上位置1 被踢出后落在位
置3，在空中达到最高点2 的高度为h，则足球（ ）
A．从1 到2 动能减少
B．从1 到2 重力势能增加
C．从2 到3 动能增加
D．从2 到3 机械能不变
【答案】B
【解析】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从1 到2 重力
势能增加
，则1 到2 动能减少量大于
，A 错误，B 正确；
CD．从2 到3 由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于
，选项CD
错误。
故选B。
类型2 单体机械能守恒定律应用
1．表达式
2．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
3．一般步骤
【典例9】（2022·全国乙卷）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P
点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P 点的距离
D.它与P 点的连线扫过的面积
【答案】C
【解析】小环从大圆环顶端P 点由静止开始自由下滑，其机械能守恒，
下落h 高度过程中，有mgh＝1
2mv2，解得v＝❑√2gℎ，选项B 错误
设小环位置与P 点连线所对的圆心角为θ，
小环下滑过程滑过的弧长s＝Rθ，而h＝R（1－cos s
R ），所以选项A 错误；
小环位置到P 点的距离L＝2Rsinθ
2，h＝R（1－cos θ），1－cos θ＝2 sin2θ
2，
即h＝2Rsin2θ
2＝L
2
2 R ，代入v＝❑√2 gℎ可知v 与L 成正比，
即小环的速率与小环到P 点的距离成正比，选项C 正确；
小环位置与P 点连线扫过的面积A＝1
2R2θ－1
2R2sin θ，分析知与v 不成正比，选项D 错误。
答案 C
【变式9-1】运动员某次投篮时，篮球的运动过程可简化为如图所示，已知篮球的质量为m，投出时篮
球的初速度为
，距离篮框的竖直距离为h，忽略篮球运动过程中的空气阻力，取篮框所在的平面为零势
能面，重力加速度为g，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（ ）
A．篮球抛出后在空中做平抛运动
B．篮球在投出点的重力势能为mgh
C．篮球刚进入篮框时的机械能为
D．从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为mgh
【答案】D
【解析】A．篮球抛出后在空中做斜抛运动，故A 错误；
B．取篮框所在的平面为零势能面，篮球在投出点的重力势能为
-mgh，故B 错误；
C．篮球在抛出时的机械能为
且运动过程中机械能守恒，故C 错误；
D．篮球在投出点的重力势能为
-mgh，进框时的重力势能为
0
从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为
，故D 正确。
故选D。
【变式9-2】如图所示，质量为m 的物体，以速度v 离开高为H 的桌子，当它落到距地面高为h 的A 点
时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能零，下列说法是正确的是（ ）
A．物体在A 点具有的机械能是
B．物体在A 点具有的机械能是
C．物体在A 点具有的动能是
D．物体在A 点具有的动能是mg（H-h）
【答案】A
【解析】AB．物体在抛出点的机械能为
物体离开桌面后只有重力做功，机械能守恒，则物体在A 点机械能也为该值，故A 正确，B 错误；
CD．根据机械能守恒定律有
故A 点的动能为
，故CD 错误。
故选A。
