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第9 讲 功和功率
【模型一 功的分析与计算 】
类型1 功的理解及其正、负功的判断
类型2 恒力做功的计算
类型3 变力做功的计算
类型4 各种力做功的特点
【模型二 功率的分析与计算】
类型1 平均功率的计算
类型2 瞬时功率的计算
【模型三 机动车的启动模型】
类型1 恒定功率的启动类型
类型2 恒力（恒定加速度）的启动类型
类型3 解决机动车启动的规律
【模型一 功的分析与计算】
“功和功率”是高中物理功能关系的基础，历年高考物理试卷中必然出现。命题会直接考查功、功
率的定义、公式、正负功判断，滑动摩擦力、空气阻力等变力做功是命题热点和难点，通过图像法、等效
替代法或功能关系求解。机车启动模型（恒定功率启动 、恒定加速度启动）是功率考查的重中之重，考
题中会以不同形式再现。
类型1 功的理解及其正、负功的判断
1.功的理解:
1
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（1）定义：力和作用在力的方向上通过的位移的乘积.是描述力对空间积累效应的物理量，是过程量.
（2）做功的两个必要条件：
①作用在物体上的力； ②物体在力的方向上发生的位移。
（3）功的物理意义：功是能量转化的量度.
2.判断力是否做功及做正、负功的方法：
判断根据
适用情况
根据力和位移方向的夹角判断
常用于恒力做功：判断根据力F 与物体位移l 的方向的夹角α 判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动：根据力F 与瞬时速度V 方向的夹角α 判断
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断：此法常用于判断两个相互联系的物体之间
的相互作用力做功的情况
（1）当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
（2）当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
（3）当＜α≤π 时，W＜0，力对物体做负功.
【典例1】（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024 年4 月30 日在东风着陆场成功
着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中（
）
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
【答案】A
【知识点】超重和失重的概念、功的正负及判断
【解析】AB．返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A 正确，B 错误；
C．主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C 错误；
D．返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D 错误。
故选A。
温馨提醒：
①功是标量．功的正、负并不表示功的方向，表示动力做功还是阻力做功．
②一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功．
2
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【变式1-1】（2023·全国乙卷·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如
果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】物体运动轨迹、速度、受力(加速度)的相互判断、功的正负及判断
【解析】AB．小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，故AB 错误；
CD．小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C 错误，D 正确。
故选D。
【变式1-2】（2022·北京·高考真题）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青
少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在
竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（ ）
A．小球的速度大小均发生变化
B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功
D．细绳的拉力大小均发生变化
【答案】C
【知识点】向心力的来源、功的正负及判断
【解析】AC．在地面上做此实验，忽略空气阻力，小球受到重力和绳子拉力的作用，拉力始终和小球
的速度垂直，不做功，重力会改变小球速度的大小；在“天宫”上，小球处于完全失重的状态，小球仅在
绳子拉力作用下做匀速圆周运动，绳子拉力仍然不做功，A 错误，C 正确；
BD．在地面上小球运动的速度大小改变，根据
和
（重力不变）可知小球的向心加速度
和拉力的大小发生改变，在“天宫”上小球的向心加速度和拉力的大小不发生改变，BD 错误。
故选C。
3
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【变式1-3】（24-25 高一.河北·期中）廊坊滑草场七色坡由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色组
成，宛如一道彩虹铺展在山坡上。如图所示，小朋友从倾斜滑道的顶端由静止滑下，沿水平滑道滑行了一
段距离后停下。下列说法正确的是（ ）
A．在倾斜滑道上滑行的过程中，支持力对小朋友做正功
B．在倾斜滑道上滑行的过程中，支持力对小朋友做负功
C．在水平滑道上滑行的过程中，摩擦力对小朋友做正功
D．在水平滑道上滑行的过程中，摩擦力对小朋友做负功
【答案】D
【知识点】功的正负及判断
【解析】AB．小孩在倾斜滑道上滑行的过程中，支持力垂直于倾斜滑道向上，与小孩运动方向垂直
，则由
可知，支持力对小孩不做功，故AB 错误；
CD．小孩在水平滑道上滑行的过程中，滑动摩擦力与与小孩运动方向相反
，则由
可知，摩擦力对小孩做负功，故C 错误，D 正确；
故选D。
类型2 恒力做功的计算
1.恒力做的功
(1)直接用W＝Flcos α 计算,其中F 是力，l 是力的作用点位移（对地），α 是力与位移间的夹角。
(2)用动能定理计算
2.合力做的功
方法一：先求合力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求功，尤其适用于已知质量m 和加速度a 的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
4
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【典例2】（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力F 作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已
知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，在物体移动距离
为x 的过程中（ ）
A．摩擦力做功大小与F 方向无关
B．合力做功大小与F 方向有关
C．F 为水平方向时，F 做功为
D．F 做功的最小值为
【答案】D
【知识点】恒力功的定义式
【解析】A．设力F 与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为
摩擦力的功
即摩擦力的功与F 的方向有关，选项A 错误；
B．合力功
可知合力功与力F 方向无关，选项B 错误；
C．当力F 水平时，则
力F 做功为
,选项C 错误；
D．因合外力功为max 大小一定，而合外力的功等于力F 与摩擦力f 做功的代数和，而当
时，摩擦力f=0，则此时摩擦力做功为零，此时力F 做功最小，最小值为max，选项D 正确。
故选D。
【变式2-1】（2008·宁夏·高考真题）一滑块在水平地面上沿直线滑行，t=0 时其速度为1 m/s．从此刻
开始滑块运动方向上再施加一水平面作用F，力F 和滑块的速度v 随时间的变化规律分别如图a 和图b 所
示．设在第1 秒内、第2 秒内、第3 秒内力F 对滑块做的功分别为
则以下关系正确的是( )
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】功的定义式
【解析】根据功的公式W=FL 可知，知道F 的大小，再求得各自时间段内物体的位移即可求得力F 做功
的多少．由速度图象可知，第1s、2s、3s 内的位移分别为0.5m、0.5m、1m，由F
t
﹣图象及功的公式
w=Fscosθ 可求知：W1=0.5J，W2=1.5J，W3=2J．故本题中ACD 错，B 正确．
故选B．
【变式2-2】（2022·安徽合肥·二模）(多选)2021 年5 月15 日，天问一号着落器着陆于火星表面。着落
器的着陆过程简化如下：首先在距火星表面高为h 处悬停，接着以恒定加速度a 竖直下降，下降过程火箭
产生的反推力大小恒为F。当四条“缓冲脚”接触火星表面时，火箭立即停止工作，着落器经时间t 速度
减至0。已知着落器的质量为m，火星半径为R（R>>h），万有引力常量为G。则下列说法正确的是（
）
A．火星的质量约为
B．火星表面的重力加速度约为
C．火箭反推力对着落器所做的功约为
D．着落器对火星表面的平均冲击力大小约为
6
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【答案】AD
【知识点】计算中心天体的质量、其他星球表面的重力加速度、功的定义式
【解析】AB．加速下降过程
解得火星表面的重力加速度
对火星表面的物体
解得火星的质量
,选项A 正确，B 错误；
C．火箭反推力对着落器所做的功约为
,选项C 错误；
D．着落器落在火星表面时，设向上为正方向，由动量定理
,其中
解得
,选项D 正确。
故选AD。
【变式2-3】如图所示，质量为m 的圆柱形匀质木块漂浮在水面上，浸入水中的深度为h。用竖直向
上的拉力将木块缓慢提升至其底面距水面高度为h 处，忽略水面高度变化，重力加速度为g。在木块上移
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．重力对木块做功为
B．浮力对木块做功为
C．拉力对木块做功为
D．拉力与重力对木块做功之和为0
【答案】C
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【解析】A．在木块上移的过程中，重力对木块做功为
，故A 错误；
B．由平衡条件可知，开始时浮力与木块重力等大，在木块上移的过程中，浮力线性减小，则浮力
对木块做功
，故B 错误；
C．根据动能定理有
,联立解得拉力对木块做功为
，故C 正确；
D．根据C 选项分析，可知拉力与重力对木块做功之和为
，故D 错误。
故选C。
类型3 变力做功的计算
1.“微元法”求变力做功: 将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力
可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和,此法适用于求
解大小不变、方向改变的变力做功.
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功:
Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
2. “图像法”求变力做功: 在F-x 图像中,图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移
内所做的功,且位于x 轴上方的“面积”为正功,位于x 轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求
图线与x 轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).
3. “平均力”求变力做功: 当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值
¯F= F0+F1
2
,再由W =¯F lcosθ
计算,如弹簧弹力做功.
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4.等效转换法求解变力做功：将变力转化为另一个恒力所做的功。
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
5.公式法：当功率恒定时，利用公式W＝Pt 计算功。
如图所示的P-t 图像中前3 s 内力做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6 J
6.应用动能定理求解变力做功：在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解
时，可用动能定理W 变＋W 恒＝mv2
2－mv1
2，物体初、末速度已知，恒力做功W 恒可根据功的公式求出.
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：
W F+W G=0⇒W F−mgl(1−cosθ)=0⇒W F=mgl(1−cosθ)
【典例3】（2023·广东高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货
物从
圆弧滑道顶端
点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑道高度为
，且过
点的切线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下
列说法正确的有（ ）
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A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
【答案】BCD
【知识点】拱桥和凹桥模型、重力做功、应用动能定理求变力做功
【解析】A．重力做的功为
,A 错误；
B．下滑过程据动能定理可得
代入数据解得，克服阻力做的功为
,B 正确；
C．经过
点时向心加速度大小为
,C 正确；
D．经过
点时，据牛顿第二定律可得
解得货物受到的支持力大小为
据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为
，D 正确。
故选BCD。
【变式3-1】（高一江西吉安期末）（多选）如图甲所示，轻质弹簧放置在光滑的水平面上，左端系
在墙上，与弹簧右端连接的质量为m 的物块，在水平向右的拉力F 的作用下，由静止开始向右运动，物块
刚开始运动时，弹簧处于原长，弹簧对物块拉力的大小
与物块向右运动的位移大小x 的关系图像如图乙
所示，在弹簧的弹性限度内，下列说法中正确的是（ ）
10
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A．弹簧的总长等于物块向右运动的位移x 的大小
B．
关系图像的斜率表示弹簧的劲度系数
C．若水平向右的拉力F 为恒力，则物块的加速度越来越大
D．物块向右运动的位移大小由
变为
的过程中，物块克服弹簧的拉力做的功为
【答案】BD
【知识点】牛顿第二定律的初步应用、弹簧弹力做功
【解析】A．由于弹簧处于原长时，物块开始向右运动，所以物块向右运动的位移大小x 等于弹簧的伸
长量，小于弹簧的总长，所以A 项错误；
B．由胡克定律
可知
即
关系图像的斜率表示弹簧的劲度系数，所以B 项正确；
C．由牛顿第二定律
,可得
当F 为恒力时，随着物块向右运动的位移x 的增大，物块的加速度a 越来越小，所以C 项错误；
D．物块向右运动的位移大小由
变为
的过程中，物块克服弹簧的拉力做的功在数值上等于图乙阴
影部分的面积，则有
,所以D 项正确；
故选BD。
【变式3-2】过去人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。假设驴拉磨可以看成做匀速圆
周运动，示意图如图乙所示，驴对磨杆末端的拉力
，拉力沿圆周切线方向，磨杆的半径
，驴拉磨转动一周的时间为7s，
，则下列说法正确的是（ ）
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A．磨杆上各点的线速度均相等
B．驴转动一周拉力所做的功为1680J
C．驴转动一周拉力的平均功率为480W
D．磨杆末端的线速度大小为0.3m/s
【答案】C
【解析】A．磨杆上各点的角速度相等，根据
可知，半径不同，则线速度不同，故A 错误；
B．驴转动一周拉力所做的功为
,故B 错误；
C．驴转动一周拉力的平均功率为
,故C 正确；
D．磨杆末端的线速度大小为
,故D 错误。
故选C。
【变式3-3】如图所示，某人用定滑轮提升质量为
的重物，人拉着绳从滑轮正下方高的
处缓慢
走到
处，此时绳与竖直方向成
角，重力加速度为
，不计绳的质量以及绳与滑轮间的摩擦。则此过程
中人对重物所做的功
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】全过程人拉着绳缓慢运动，认为重物的动能不变，人对重物所做的功等于重物重力势能的增
加，根据几何关系知重物上升的高度
12
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则
,A 正确，BCD 错误。
故选A。
【变式3-4】某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F 与深度h 的关系为
（k，
已
知），石头沿竖直方向做直线运动，当
时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】所受的阻力F 与深度h 的关系为线性关系，则有
故选C。
【变式3-5】是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一。运
动员某次投掷铅球时，先将质量为4kg 的铅球从地面上捡起，然后将铅球抛出，铅球出手时距离水平地面
的高度为2.25m，出手时的速度方向斜向上与水平面夹角为37°，铅球落地点到抛出点的水平距离为
12m，重力加速度g 取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。则运动员从地面上捡起铅球到
将铅球抛出的过程中，运动员对铅球做的功为（ ）
A．200J
B．290J
C．110J
D．90J
【答案】B
【解析】设实心球出手时的速度大小为v0，规定竖直向上为正方向，出手后，竖直方向做匀减速直线
运动有
水平方向做匀速直线运动有
解得
，
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所以运动员对铅球做的功为
故选B。
类型4 各种力做功的特点
1.重力、弹簧弹力、电场力做功只与质点的位移有关,与运动的路径无关.
2.滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关.
3.重力、弹力以及摩擦力均可以做正功、负功和不做功
4.摩擦力做功有以下特点
①一对静摩擦力所做功的代数和总等于零；
②一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能的转移，做功的代数和总是负值，差值为机械能转
化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量，损失的机械能会转化为内能,内能Q=Ffx 相对；
③两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
5.
一对相互作用力，由于作用在两个质点上，运动方向具有不确定性，所以每个力做功具有不确定
性，均可以做正功，负功，或一正一负，一个做功另一个可以不做功。
6.
一对平衡力做功代数和一定为零，一正一负。
【典例4】（2022·福建·高考真题）福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，
如图（a）所示。承启楼外楼共四层，各楼层高度如图（b）所示。同一楼层内部通过直径约
的圆形廊
道连接。若将质量为
的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口M 处，再用
沿廊道运送到N 处，
如图（c）所示。重力加速度大小取
，则（ ）
A．该物资从二楼地面被运送到四楼M 处的过程中，克服重力所做的功为
B．该物资从M 处被运送到N 处的过程中，克服重力所做的功为
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C．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，位移大小为
D．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，平均速率为
【答案】A
【知识点】路程和位移的计算、速率与速度、重力做功
【解析】A．该物资从二楼地面被运送到四楼M 处的过程中，克服重力所做的功为
，故A 正确；
B．该物资从M 处被运送到N 处的过程中，由于M、N 高度差为零，所以克服重力做功为零，故B 错
误；
C．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，位移大小为
，故C 错误；
D．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，平均速率为
故D 错误。
故选A。
【变式4-1】如图，一磁铁吸附在铁板AB 的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ 不变，缓慢推动B
端，使AB 与磁铁一起水平向左匀速移动，则 （ ）
A．合外力对磁铁做正功
B．AB 对磁铁的作用力不做功
C．AB 对磁铁的弹力不做功
D．AB 对磁铁的摩擦力不做功
【答案】B
【知识点】弹力（非弹簧）做功、摩擦力做功、多个力做的总功
【解析】A．由于磁铁做匀速运动，根据动能定理可知，合外力对磁铁不做正功，故A 错误；
B．磁铁受重力和磁铁的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB 对磁铁的作用力大小等于重
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力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB 对磁铁的作用力不做功，故B 正确；
C．AB 对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C 错误；
D．AB 对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力做功，故D 错误。
故选B。
【变式4-2】（2015·天津·高考真题）某快递公司分拣邮件的水平传输装置示意如图，皮带在电动机的
带动下保持v＝1 m/s 的恒定速度向右运动，现将一质量为m＝2 kg 的邮件轻放在皮带上，邮件和皮带间的
动摩擦因数μ＝0.5。设皮带足够长，取g＝10 m/s2，在邮件与皮带发生相对滑动的过程中，求：
(1)邮件滑动的时间t；
(2)邮件对地的位移大小x；
(3)邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功W。
【答案】(1)0.2s；(2)0.1m； (3)-2J
【知识点】物块在水平传送带上运动分析、摩擦力做功
【解析】(1)邮件放到皮带上与皮带发生相对滑动过程中受到的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有
取向右为正方向，由运动学公式得
代入数据解得
，t=0.2s
(2)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，由运动学公式得
(3)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，设皮带相对地面的位移为s，则
摩擦力对皮带做的功
代入数据解得 W=
2J
﹣
【模型二 功率的分析与计算】
类型1 平均功率的分析与计算
1. 定义：功率是表示力做功快慢的物理量，是标量.求功率时一定要分清是求哪个力的功率，还要分
清是求平均功率还是瞬时功率.
2. 公式P＝和P＝Fv 的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv 是功率的计算式
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3.平均功率:
①利用P＝W
t （定义式）求解。表示时间t 内的平均功率，不管是恒力做功，还是变力做功，都适用
②利用P＝Fvcosα 求解，其中v为物体运动的平均速度。
【典例5】（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简
化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水
平距离约为l。假设抽水过程中H 保持不变，水泵输出能量的
倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。
已知水的密度为
，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】平抛运动速度的计算、平均功率、动能定理的初步应用
【解析】设水从出水口射出的初速度为
，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为
根据平抛运动规律
解得
根据功能关系得
17
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联立解得水泵的输出功率为
故选B。
【变式5-1】（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开
物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面
平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角
为
，
，
。当每条绳子拉力
的大小为
时，人与木板沿直线匀速前进，在
内前进了
，
求此过程中
(1)地面对木板的阻力大小；
(2)两条绳子拉力所做的总功；
(3)两条绳子拉力的总功率。
【答案】(1)450N (2)9.0×103J (3)600W
【知识点】利用平衡推论求力大小或方向、功的定义（式）、平均功率
【解析】（1）由于木板匀速运动则有
解得
（2）根据功的定义式有
解得
（3）根据功率的定义
，有
【变式5-2】（2023·山东·高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水
的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R 的水轮，以角速度ω 匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单
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位长度上有n 个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高
出水面H 处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A．
B．
C．
D．nmgωRH
【答案】B
【知识点】功的定义（式）、平均功率
【解析】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n 个，且每个水筒离开水面时装有质量为m
的水、其中的60%被输送到高出水面H 处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为
m 总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm
则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W = 1.2πRnmgH
则筒车对灌入稻田的水做功的功率为
联立有
故选B。
【变式5-3】（2018·浙江·高考真题）如图所示，质量为60kg 的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程
中可将她的身体视为一根直棒，已知重心在C 点，其垂线与脚，两手连线中点间的距离Oa、ob 分别为
0.9m 和0.6m，若她在1min 内做了30 个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则克服重力做功和相应
的功率为（ ）
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A．430J，7W B．4300J，70W C．720J，12W D．7200J，120W
【答案】B
【知识点】平均功率
【解析】设重心上升高度为h，根据几何知识可得
，解得h=0.24m，
故做一次俯卧撑克服重力做功为mgh=144J，
所以一分钟克服重力做功为W=30×144J=4320J，
功率约为
，故B 正确．
类型2 瞬时功率的分析与计算
瞬时功率的计算式:
①利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度，α 为F、v 的夹角。
②P＝FvF，其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度，v 与F 的方向具有一致性。
(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力。
【典例6】（2025·广东·高考真题）如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入
木塞内，随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向
上运动。从0 时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f 随
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位移大小x 的变化关系为
，其中
为常量，h 为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为
S，加速度为a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为
且近似不变，瓶子始终静止在
桌面上。（提示：可用
图线下的“面积”表示f 所做的功）求：
(1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度
。
(2)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。
(3)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P 随时间t 变化的表达式。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】动能定理的初步应用、瞬时功率
【解析】（1）木塞的末速度等于齿轮线速度，对木塞，根据运动学公式
根据角速度和线速度的关系
联立可得
（2）根据题意画出木塞摩擦力与运动距离的关系图如图所示
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可得摩擦力对木塞所做的功为
对木塞，根据动能定理
解得
（3）设开瓶器对木塞的作用力为
，对木塞，根据牛顿第二定律
速度
位移
开瓶器的功率
联立可得
【变式6-1】（2021·北京·高考真题）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）
通过路面abcd，其中ab 段为平直上坡路面，bc 段为水平路面，cd 段为平直下坡路面。不考虑整个过程中
空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
A．在ab 段汽车的输出功率逐渐减小B．汽车在ab 段的输出功率比bc 段的大
C．在cd 段汽车的输出功率逐渐减小D．汽车在cd 段的输出功率比bc 段的大
【答案】B
【知识点】功率推导式：P=Fvcosθ
【解析】AB．在ab 段，根据平衡条件可知，牵引力
所以在ab 段汽车的输出功率
不变
在bc 段牵引力
，bc 段的输出功率
，故A 错误B 正确；
CD．在cd 段牵引力
汽车的输出
在cd 段汽车的输出功率不变，且小于bc 段，故CD 错误。
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故选B。
【变式6-2】（2025·江苏常州·二模）高空坠物事件频发，危害巨大。现有一重物在无风的情况下从高
空被斜向下抛出，如图所示。已知重物所受空气阻力的大小与坠落速率成正比，则该重物在下落过程中重
力的瞬时功率P 随时间t 变化的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】重物在下落过程中受到重力和空气阻力作用，随着速率的增加，空气阻力逐渐增大，重物
在水平方向减速，竖直方向加速，故阻力在竖直向上的分力逐渐增大，则重物在竖直方向做加速度越来
越小的加速运动，
增大，但
图像的切线斜率变小，而重力的瞬时功率
，则
图像的
切线斜率变小，初始时刻
不等于零，即初始时刻重力功率不为零。
故选C。
【变式6-3】（多选）质量为m 的物体静止在光滑水平面上，从t=0 时刻开始受到水平力的作用。力
的大小F 与时间t 的关系如图所示，力的方向保持不变，则（ ）
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A．
时刻的瞬时功率为
B．
时刻的瞬时功率为
C．在
到
这段时间内，水平力的平均功率为
D．在
到
这段时间内，水平力的平均功率为
【答案】BD
【知识点】平均功率、动能定理的初步应用、瞬时功率
【详解】AB．0-2t0内物体的加速度为
2t0时刻的速度为
在3t0 时刻的瞬时速度
则
时刻的瞬时功率为
，故A 错误，B 正确；
CD．在
到
这段时间内，由动能定理可得
则这段时间内的平均功率
，故C 错误，D 正确。
故选BD。
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【模型三 两类机动车启动模型】
类型1.恒定功率的启动模型
1. 过程分析：机车的运动过程是先作加速度减小的加速运动，后以最大速度
vm= P额
Ff 作匀速直线运动.
v↑⇒F= P额
v
↓⇒a= F−F f
m
↓
2. 转折点：在转折点A,牵引力与阻力大小相等,加速度为零,速度达到最大,为
vm= P额
Ff
3. 终态：匀速运动，最大速度vm= P额
Ff
4.运动图像：
【典例7】（2015·新课标Ⅱ·高考真题）一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时,发动机的功率P
随时间t 的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变．下列描述该汽车的速度随时间t 变化的图
像中,可能正确的是( )
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】机车的额定功率、阻力与最大速度的关系、以额定功率启动
【解析】在
时间内，如果匀速，则
图象是与时间轴平行的直线，如果是加速，根据
，
牵引力减小；根据
，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0 时，即
，汽
车开始做匀速直线运动，此时速度
；所以
时间内，
图象先是平滑的曲线，后是平行于
横轴的直线；在
时间内，功率突然增加，故牵引力突然增加，是加速运动，根据
，牵引力减
小；再根据
，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0 时，即
，汽车开始
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做匀速直线运动，此时速度
．所以在
时间内，即
图象也先是平滑的曲线，后是平行
于横轴的直线，A 正确；
【变式7-1】（2014·重庆·高考真题）某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分
别为车重的
和
倍，最大速率分别为
和
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】机车的额定功率、阻力与最大速度的关系
【解析】汽车的阻力分别为
当汽车以相同功率启动达到最大速度时，有
故由
可知最大速度
则
，有
故选B。
【变式7-2】（2020·天津·高考真题）复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h 自动驾驶功能，成为
我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m 的动车，初速度为
，以恒定功率P 在平直轨道
上运动，经时间t 达到该功率下的最大速度
，设动车行驶过程所受到的阻力F 保持不变。动车在时间t
内（ ）
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A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率
D．牵引力做功
【答案】BC
【知识点】机车的额定功率、阻力与最大速度的关系、以额定功率启动
【解析】AB．动车的功率恒定，根据
可知动车的牵引力减小，根据牛顿第二定律得
可知动车的加速度减小，所以动车做加速度减小的加速运动，A 错误，B 正确；
C．当加速度为0 时，牵引力等于阻力，则额定功率为
，C 正确；
D．动车功率恒定，在时间内，牵引力做功为
根据动能定理得
，D 错误。
故选BC。
类型2.恒定牵引力(加速度)的启动模型
1. 过程分析：机车先作匀加速运动，维持时间
t0= v1
a =
P额
（Ff +ma ）a ，
当功率增大到额定功率
时速度为
v1=
P额
F f +ma
，而后开始作加速度减小的加速运动，最后以最大速度
vm= P额
Ff 作匀速直线运
动。
a= F−Ff
m
不变⇒F 不变，v↑⇒P=Fv ↑到最大P额⇒P额=Fv 1
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P额不变，a≠0⇒v↑⇒F= P额
v ↓⇒a= F−F f
m
↓
2.转折点：在转折点A,功率达到额定功率,匀加速运动结束,此时
v1=
P额
F f +ma
;
在转折点B,速度达到最大,为
vm= P额
Ff
3. 终态：匀速运动，最大速度vm= P额
Ff
4. 运动图像：
【典例8】（2023·山东·高考真题）质量为M 的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F 和受到的
阻力f 均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m 的物体由静止开始运动。当小车拖
动物体行驶的位移为
时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总
位移为
。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】机车的额定功率、阻力与最大速度的关系
【解析】设物体与地面间的动摩擦因数为μ，当小车拖动物体行驶的位移为S1的过程中有
F－f－μmg = (m＋M)a
v2= 2aS1
P0= Fv
轻绳从物体上脱落后
a2= μg
v2= 2a2(S2－S1)
联立有
故选A。
【变式8-1】（2023·天津·高考真题）2023 年我国首套高温超导电动悬浮全要素试验系统完成首次悬
浮运行，实现重要技术突破。设该系统的试验列车质量为m，某次试验中列车以速率v 在平直轨道上匀速
行驶，刹车时牵引系统处于关闭状态，制动装置提供大小为F 的制动力，列车减速直至停止。若列车行驶
时始终受到大小为f 的空气阻力，则（ ）
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A．列车减速过程的加速度大小
B．列车减速过程F 的冲量为mv
C．列车减速过程通过的位移大小为
D．列车匀速行驶时，牵引系统的输出功率为
【答案】C
【知识点】计算停车时间和位移、牛顿第二定律的初步应用、平均功率、求恒力的冲量
【解析】A．根据牛顿第二定律有
可得减速运动加速度大小
故A 错误；
B．根据运动学公式有
故力F 的冲量为
方向与运动方向相反；故B 错误；
C．根据运动学公式
可得
故C 正确；
D．匀速行驶时牵引力等于空气阻力，则功率为
故D 错误。
故选C。
【变式8-2】（2020·天津·高考真题）（多选）复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h 自动驾驶功
能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m 的动车，初速度为
，以恒定功率P 在
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平直轨道上运动，经时间t 达到该功率下的最大速度
，设动车行驶过程所受到的阻力F 保持不变。动车
在时间t 内（ ）
A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率
D．牵引力做功
【答案】BC
【知识点】机车的额定功率、阻力与最大速度的关系、以额定功率启动
【解析】AB．动车的功率恒定，根据
可知动车的牵引力减小，根据牛顿第二定律得
可知动车的加速度减小，所以动车做加速度减小的加速运动，A 错误，B 正确；
C．当加速度为0 时，牵引力等于阻力，则额定功率为
C 正确；
D．动车功率恒定，在时间内，牵引力做功为
根据动能定理得
D 错误。
故选BC。
类型3 解决机动车启动的规律
1.几个物理量的求法
分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程
联系着力和加速度，
联系着力和速度．结合
图像进行分析．
（1）机车的最大速度
的求法．
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机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F 大小等于阻力大小Ff，故
.
（2）匀加速启动持续时间的求法．
牵引力
，匀加速的最后速度
，时间
.
（3）瞬时加速度的求法．
根据
求出牵引力，则加速度
.
2.小结
（1）解决机动车启动问题的基本工具: ①牛顿运动第二定律 F-F=ma ②瞬时功率公式 P=Fv
（2）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm= P
Fmin
= P
F阻
(式中Fmin为
最小牵引力，其值等于阻力大小F 阻)。
（3）机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v= P额
F
<vm=
P额
F阻
。
（4）机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W=Pt。由动能定理得Pt－F 阻x=ΔEk，此式经常用于求解
机车以以恒定功率启动过程的时间或位移等。
【典例9】（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为
和
，在某平直铁轨上能达到的最大
速度分别为
和
。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在
此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【知识点】机车的额定功率、阻力与最大速度的关系
【解析】由题意可知两节动车分别有
当将它们编组后有
联立可得
故选D。
【变式9-1】（2021·湖南·高考真题）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。
总质量为
的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为
，
若动车组所受的阻力与其速率成正比（
，
为常量），动车组能达到的最大速度为
。下列说法
正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为
，则动车组匀速行驶的速度为
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度
，则这
一过程中该动车组克服阻力做的功为
【答案】C
【知识点】牛顿第二定律的初步应用、机车的额定功率、阻力与最大速度的关系
【解析】A．对动车由牛顿第二定律有
若动车组在匀加速启动，即加速度
恒定，但
随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变
大，故A 错误；
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有
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故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B 错误；
C．若四节动力车厢输出的总功率为
，则动车组匀速行驶时加速度为零，有
而以额定功率匀速时，有
联立解得
，故C 正确；
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度
，由动能定
理可知
可得动车组克服阻力做的功为
，故D 错误；
故选C。
【变式9-2】（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动
机供电，刚好维持小车以速度v 匀速运动，此时电动机的效率为
。已知小车的质量为m，运动过程中
受到的阻力
（k 为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意小车匀速运动，则有
小车的机械功率
由于电动机的效率为
，则有
光伏电池的光电转换效率为，即
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可得
故选A。
【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）（多选）如图所示，2024 年10 月1 日8 时36 分，由我国自主研
发、目前最先进的CR400AF-S 型“复兴号”智能动车组G62 次列车开始运行。假设额定功率为
、质量为
的G62 次列车在平直铁路上以
的速度匀速行驶，列车受到
的阻力大小f 恒定。下列说法正确的是（ ）
A．列车受到的阻力大小为110N
B．列车以额定功率行驶，速度为55m/s 时，加速度大小为
C．列车由静止开始以
的加速度做匀加速运动的最长时间约为367s
D．列车以额定功率由静止开始沿直线前进距离s 时达到速度u，此过程用时为
【答案】BC
【解析】A．该列车匀速行驶时受到的阻力f 与牵引力
平衡，即
故A 错误；
B．列车以额定功率行驶，列车行驶速度为
时，牵引力大小
根据牛顿第二定律有
解得
，故B 正确；
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C．根据题意，设加速度为
时牵引力为
，由牛顿第二定律有
又有
，
联立解得
，故C 正确；
D．根据题意，由动能定理有
解得
，故D 错误。
故选BC。
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