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第25 讲 简谐运动、机械波模型
【模型一 简谐运动模型 】
类型1 弹簧振子模型
类型2 单摆模型
类型3 振动图像模型
类型4 受迫振动与共振模型
【模型二 机械波模型】
类型1.机械波特征模型
类型2.波动图像模型
类型3.波的多解模型
类型4.波特有的现象模型
一、简谐运动
1．简谐运动：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t 图像)是一
条正弦曲线，这样的振动是简谐运动。
2.描述简谐运动的物理量：
物理量
定义
意义
位移
由平衡位置指向物体所在位置的有向
线段
描述物体振动中某时刻的位置相对于
平衡位置的位移
振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离
描述振动的强弱和能量
周期
振动物体完成一次全振动所需要的时
间
描述振动的快慢，两者互为倒数：
T＝
频率
振动物体完成全振动的次数与所用时
间之比
相位
ωt＋φ0
在各个时刻所处的不同状态
3.简谐运动的公式和图像：
（1）表达式：
①动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
1
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②运动学表达式：x＝A_sin_(ωt＋φ0)，其中A 表示振幅，ω＝＝2πf 表示简谐运动的快慢，
ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相位。
（2）简谐运动的图像：
①如图所示。
②物理意义：表示振动质点的位移随时间变化的规律。
4.简谐运动的两种理想化模型
模型
弹簧振子
单摆
概念
是小球和弹簧组成的系统，
有时简称为振子。是一个理
想化模型
将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离
最低点释放后，小球就会来回摆动，这
样的装置就叫作单摆，是实际摆的理想
化模型
示意图
特点
(1)弹簧质量与小球相比可忽
略；
(2)杆光滑无摩擦，小球运动
时空气阻力可忽略
(1)摆线为不可伸缩的细线；
(2)细线的质量与小球相比可忽略；
(3)球的直径与线的长度相比可忽略；
(4)空气等阻力可以忽略
做简谐运动
的条件
弹簧形变在弹簧弹性限度内
最大摆角θ<5°
做简谐运动
的回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供
做简谐运动
的平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
做简谐运动
的周期
与振幅无关
T＝2π_
做简谐运动
的能量转化
弹性势能与动能相互转化，
机械能守恒
重力势能与动能相互转化，机械能守恒
5.受迫振动和共振
（1）受迫振动：系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。做受迫振动物体的周期(或频率)等于驱
动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
（2）共振曲线：如图所示的共振曲线，反映某振动系统做受迫振动的振幅A 与驱动力频率f 之间的关
2
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系。驱动力的频率f 跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f 等于振动系统的固有
频率f0时，振幅最大。
二、机械波
1．机械波的形成和传播
(1)产生条件：①有波源；②有介质，如空气、水、绳子等。
(2)传播特点：①传播振动形式、能量和信息；②介质中质点不随波迁移；
③介质中各质点振动频率、起振方向都与波源相同。
2.机械波的图像
（1）坐标轴：横坐标x 表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y 表示某一时刻各质点偏离
平衡位置的位移。
（2）意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。
（3）图像(以简谐波为例)：如图所示。
（4）应用：
(1)可直接读取振幅A、波长λ，以及该时刻各质点偏离平衡位置的位移。
(2)可确定该时刻各质点加速度的方向，并能比较该时刻不同质点速度或加速度的大小。
(3)可结合波的传播方向确定各质点的振动方向，或结合某个质点的振动方向确定波的传播方向。
3.波速、波长、频率(周期)及其关系
（1）波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
（2）波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。
（3）频率f：由波源决定，等于波源的振动频率；与周期的关系为f＝。
（4）波长、波速、频率和周期的关系：v＝fλ＝。
4.波特所有现象
（1）干涉和衍射：
内容
波的衍射
波的干涉
定义
波可以绕过障碍物继续传播的现
象
频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波
叠加时，某些区域的振动总是加强、某些区域的
振动总是减弱的现象
现象
波偏离直线而传播到直线以外的
空间
两列波叠加区域形成相互间隔的稳定的振动加强
区和振动减弱区，产生稳定的干涉图样
条件
发生明显衍射的条件：缝、孔的
充分条件：两列波的频率相同，相位差恒定，振
3
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宽度或障碍物的尺寸跟波长相差
不多，或者比波长更小
动方向相同
相同点
干涉和衍射是波特有的现象
（2） 多普勒效应
①定义：波源与观察者相互靠近或者相互远离时，观察者接收到的波的频率发生变化的现象叫作多普
勒效应。
②规律：波源的频率不变，只是观测到的波的频率发生变化。如果二者相互靠近，观测到的频率变
大；如果二者相互远离，观测到的频率变小。
③应用：利用声波的多普勒效应可以测定车辆行驶的速度；利用光波的多普勒效应可以判断遥远天体
相对地球的运行速度。
【模型一 简谐运动模型】
类型1 弹簧振子模型
1．动力学特征：
F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：
做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动，远离平
衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．周期性特征：
相隔nT(n 为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征：
(1)时间对称性：相隔或(n 为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度
大小相等、方向相反。如图甲所示。
O 为平衡位置，A、B 为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t 时刻在C 点，t＋时刻运动到D 点，则位
移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。
(2)空间对称性：如图乙所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大
小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
此外，振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子往复过程中通过同一段路程
(如OP 段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
4
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5．能量特征：
简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
【典例1】（2025·甘肃·高考真题）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为
的小球A，质量为
m 的小球B 与A 用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，
下列说法正确的是（ ）
A．小球A 运动到弹簧原长处的速度最大
B．剪断细线的瞬间，小球A 的加速度大小为
C．小球A 运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D．小球A 运动到最低点时，弹簧的伸长量为
【答案】BC
【解析】A．剪断细线后，弹力大于A 的重力，则A 先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加
速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A 错误；
B．剪断细线之前则
，剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A 由牛顿第二定律
，
解得A 的加速度
，选项B 正确；
C．剪断细线之前弹簧伸长量
，剪断细线后A 做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量
即振幅为
，由对称性可知小球A 运动到最高点时，弹簧伸长量为
，选项C 正确；
5
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D．由上述分析可知，小球A 运动到最低点时，弹簧伸长量为
，选项D 错误。
故选BC。
【变式1-1】（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器
记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线
为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．
时，弹簧弹力为0
B．
时，手机位于平衡位置上方
C．从
至
，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为
【答案】D
【解析】A．由题图乙知，
时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为
，A 错
误；B．由题图乙知，
时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B 错误；
C．由题图乙知，从
至
，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减
小，动能减小，C 错误；
D．由题图乙知
，则角频率
则a 随t 变化的关系式为
，D 正确。
故选D。
【变式1-2】真空中有一点P 与微粒Q，Q 在运动中受到指向P 且大小与离开P 的位移成正比的回复
力，则下列情况有可能发生的是（ ）
A．速度增大，加速度增大
B．速度增大，加速度减小
C．速度增大，加速度不变
D．速度减小，加速度不变
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【答案】B
【解析】由题知，Q 在运动中受到指向P 且大小与离开P 的位移成正比的回复力，即F = －kx
则说明微粒Q 以P 为平衡位置做简谐振动，则微粒Q 靠近平衡位置可能出现速度增大，加速度减小。
故选B。
【变式1-3】如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于桌面上，
其简化模型如图乙所示，头部在O 点时刚好静止。现将头部压到B 点由静止释放，头部在AB 之间上下振
动，底座始终未离开地面，不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．头部在上下振动的过程中受到重力、弹力和回复力
B．头部从O 点向A 点运动过程中，速度逐渐增大
C．头部从O 点向A 点运动过程中，加速度逐渐增大
D．头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒
【答案】C
【解析】A．回复力是效果力，不是性质力，头部振动时受到的性质力是重力和弹力，回复力指重力
与弹力的合力，并非单独受到回复力，故A 错误；
B．
点是平衡位置，头部从
点向
点运动时，弹簧弹力（向上）小于重力（向下），合力向下，
与运动方向相反，做减速运动，速度逐渐减小，故B 错误；
C．头部从
点向
点运动过程中，弹簧形变量变化，根据胡克定律
弹力变化，重力不变，合
力
，随着
减小，合力增大，再根据牛顿第二定律
，加速度
逐渐增大，故C 正确；
D．头部在振动过程中，弹簧的弹力对头部做功，头部的机械能与弹簧的弹性势能相互转化，头部和
弹簧组成的系统机械能守恒，单独头部的机械能不守恒，故D 错误。
故选C。
【变式1-4】（2022·浙江·高考真题）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同
的轻弹簧，两弹簧自由端相距
。套在杆上的小球从中点以初速度向右运动，小球将做周期为
的往复
运动，则（ ）
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A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
D．小球的初速度为
时，其运动周期为
【答案】B
【解析】A．物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位
置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，
A 错误；
BC．假设杆中点为
，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为
，小球向左压缩弹簧至最大压缩
量时的位置为
，可知小球做周期为
的往复运动过程为
，根据对称性可知小球从
与
，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故
小球动能的变化周期为
，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
，B 正确，C 错误；
D．小球的初速度为
时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的
倍，接触弹簧过程，根据弹簧振
子周期公式
，可知接触弹簧过程所用时间与速度无关，即接触弹簧过程时间保持不变，故小球
的初速度为
时，其运动周期应小于
，D 错误；
故选B。
【变式1-5】如图甲所示，把小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水
平杆上。小球振动时，沿垂直于振动方向以速度v 匀速拉动纸带，纸带上可留下痕迹，a、b 是纸带上的两
点，不计阻力，如图乙所示。由此可判断（ ）
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A．t 时间内小球的运动路程为vt
B．小球的机械能守恒
C．小球通过a 点时的速度大于通过b 点的速度
D．如果小球以较小的振幅振动，周期也会变小
【答案】C
【解析】A．vt 是t 时间内纸带运动的路程，并不是小球的运动路程，故A 错误；
B．小球振动过程只有弹簧的弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，不是小球的机械能守
恒，故B 错误；
C．由于小球做简谐运动，由图可知小球通过a 点时更靠近平衡位置，由简谐运动规律可知其速度
大于通过b 点的速度，故C 正确；
D．由于小球的运动为简谐运动，其振动周期与振幅无关，故D 错误。
故选C。
【变式1-6】如图所示，弹簧振子在A、B 之间做简谐运动，平衡位置为O，振子的振动周期为T。从
振子处于B 点开始计时，向右为正方向，能正确反映振子位移x 与时间t、回复力F 与时间t、加速度a 与
时间t、弹簧振子的机械能E 与时间t 变化关系的图像是( )
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【答案】C
【解析】 从振子处于B 点开始计时，向右为正方向，计时起点时，位移为正向最大，回复力为负向最
大，加速度为负向最大，故A、B 错误，C 正确；弹簧振子的机械能守恒，故D 错误。
类型2 单摆模型
1.单摆：用不可伸长的细线悬挂小球的装置，细线的 质量 与小球相比可以忽略，球的 直径 与
线的长度相比也可以忽略。（如图所示）
2．做简谐运动的条件：最大摆角θ＜5°：回复力：F＝mg sin θ
两点说明：
①当摆球在最高点时，F 向＝＝0，FT＝mg cos θm。
②当摆球在最低点时，F 向＝，F 向最大，FT＝mg＋m。
3.周期公式：T＝ 2π√
l
g 。
（1）l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g 为等效重力加速度：
（1）对于不同星球表面：g＝GM
R
2 ，M 与R 分别为星球的质量与半径。
（2）单摆处于超重或失重状态时：g 效＝g±a。
（3）重力场与匀强电场中：g 效＝G效
m 。
4.类单摆问题的解题方法
（1）确认符合单摆模型的条件，即“类单摆”模型。
（2）寻找等效摆长l 效及等效加速度g 效，最后利用公式T＝2π√
l效
g效
或简谐运动规律分析求解问题。
【典例2】（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花
板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，
由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2 个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲
同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（ ）
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A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为
D．小球丙、丁的摆长之比为
【答案】C
【解析】根据单摆周期公式
可知
CD．设甲的周期为
，根据题意可得
，可得
，
，
可得
，
根据单摆周期公式
，结合
，可得小球丙、丁的摆长之比
，故C 正
确，D 错误；A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过
（
）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时
速度为零，位移最大，根据
可知此时加速度最大，故A 错误；B．根据上述分析可得
，小
球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为
（即
）可知此时小球乙经过平衡位置，此时速
度最大，动能最大，故B 错误。故选C。
【变式2-1】如图所示，一单摆悬于O 点，摆长为L，若在O 点正下方的O'点钉一个光滑小钉子，使
OO'＝L
2 ，将单摆拉至A 处无初速度释放，小球将在A、B、C 间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小
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于5°，重力加速度为g，小球可看成质点，则此摆的周期是（ ）
A.2π√
L
g
B.2π√
L
2 g C.2π(√
L
g +√
L
2g)
D.π(√
L
g +√
L
2g)
【答案】D
【解析】悬点在O 点时，单摆摆长为L，此时单摆的周期为T1＝2π√
L
g ；悬点在O'点时，单摆摆长为
L－L
2 ＝L
2 ，此时单摆的周期为T2＝2π√
L
2 g；当小球在A、B、C 间来回振动时，此摆的周期为T＝T 1
2 ＋
T 2
2 ＝π(√
L
g +√
L
2 g)，故选D。
【变式2-2】如图，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为，当地的重力加速度为
。摆钟的秒针、分
针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（ ）
A．秒针的角速度是时针的360 倍
B．若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟
C．摆锤在最低点时速度最大，加速度为零
D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢
【答案】B
【解析】A．秒针转动一周为60s，时针转动一周为12 小时=12×3600 秒；根据
可知，秒针的角
速度是时针的720 倍，选项A 错误；
B．若将摆钟移到月球上，重力加速度减小，根据
可知，周期变大，则摆钟走得更慢，则需要减小摆长，即需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟，选
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项B 正确；
C．摆锤在最低点时速度最大，但向心加速度不为零，即加速度不为零，选项C 错误；
D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，等效加速度g 等变大，则周期变小，摆钟走得更快，选项D 错误。
故选B。
【变式2-3】（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg 的小铁球，两
端A、B 悬挂在倾角为
的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A 端细线与杆垂直；当小球受到垂
直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB 交点的单摆，重力加速度
，则（ ）
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为2s
C．小球平衡时，A 端拉力为
N
D．小球平衡时，A 端拉力小于B 端拉力
【答案】B
【解析】A．根据单摆的周期公式
可知周期与摆角无关，故A 错误；
CD．同一根绳中，A 端拉力等于B 端拉力，平衡时对小球受力分析如图
可得
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解得
，故CD 错误；
B．根据几何知识可知摆长为
，故周期为
，故B 正确。
故选B。
【变式2-4】某同学用如图所示的装置描绘单摆做简谐运动的振动图像。第一次实验时在纸带上恰好
有两个完整的振动图像，第二次实验时改变摆长，用2 倍的速度拉相同的纸带，纸带上也恰好有两个完整
的振动图像，则第一次实验和第二次实验中单摆的摆长之比为（ ）
A．4 1∶
B．2 1∶
C．1 2∶
D．1 4∶
【答案】A
【解析】由题意可知两次实验中单摆的周期之比为
再由周期公式
，解得
故选A。
【变式2-5】同一单摆在不同星球表面小角度摆动的周期
一般不同，与星球的密度
和半径
有关。
四个选项中横轴为
，纵轴为
。
是该单摆在地球表面小角度摆动的周期，
和
是地球的密
度和半径，星球均看成质量分布均匀的球体且忽略星球的自转。下列图像正确的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【解析】设引力常量为
，星球表面的重力加速度为
，有
，又
，
联立可得
设单摆摆长为
，在星球表面小角度摆动的周期
，可得
同理，在地球表面可得
，两式相比，可得
两边同时取对数，可得
。
故选D。
【变式2-6】如图甲所示为杆线摆的原理图，它可以绕着悬挂轴
来回摆动，其摆球的运动轨迹被
约束在一个倾斜的平面内。某同学利用铁架台做了一个杆线摆，如图乙所示，用来探究它的周期的影响因
素。把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，摆杆通过光滑铰链与立柱连接，摆杆始终与立柱垂直。让钢球
小角度摆动，测出静止时摆杆与重垂线的夹角为
，摆线的长度为
，摆杆的长度为
，根据已有的知识，
下列关系可能正确的是（ ）
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A．
、
不变时，
越大，周期越短
B．
、
不变时，
越大，周期越长
C．
、
不变时，
越大，周期越长
D．无论
、
怎样改变，只要
不变，则周期不变
【答案】B
【解析】杆线摆可看成以
为摆长，以
为等效加速度的单摆，其摆动周期
A．
、
不变时，
越大，周期越长，故A 错误；
B．
、
不变时，
越大，周期越长，故B 正确；
C．
、
不变时，
越大，周期不变，故C 错误；
D．有题意可知其摆动的周期不仅与
有关，还与
有关，故D 错误。
故选B。
类型3 振动图像模型
1.对简谐运动图像的理解
（1）简谐运动的图像是一条正弦曲线或余弦曲线，分别如图甲、乙所示。
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（2）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
2.由简谐运动图像可获取的信息
（1）判定振动的振幅A 和周期T，如图所示。
（2）判定振动物体在某一时刻的位移。
（3）判定某时刻质点的振动方向
①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
②下一时刻位移若减小，质点的振动方向是指向平衡位置。
（4）判定某时刻质点的加速度（回复力）的大小和方向。
（5）比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。
【典例3】（2019·全国II 卷）如图，长为l 的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O 点
处，在O 点正下方
的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为
2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a 摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相
对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x—t 关系的是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】小球属于单摆模型，从右向左运动到平衡位置的过程，相当于运动第一个
周期，根据单摆
周期公式有
从平衡位置向左运动的过程中，相当于运动了第二个
周期，有
由此可知，第一个
周期的时间长，第二个
周期的时间短；结合位移来分析，设竖直位移最大值为
h，第一个
周期的水平位移最大值
第二个
周期的水平位移最大值
可知xm1 > xm2
故选A。
【变式3-1】（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g 取
，下列说法正
确的是
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A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6m，A、C 点的速度相同
D．摆长为2.5m，A、B 点的速度相同
【答案】C
【解析】由单摆的振动图像可知振动周期为
，由单摆的周期公式
得摆长
x-t 图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C 点的速度相同，A、B 点的速度大小相同，方
向不同。综上所述，可知C 正确，故选C。
【变式3-2】（2024·河北·高考真题）如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端
固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿
垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的
图像．已知轻杆在竖直面内长
,电动机转速为
．该振动的圆频率和光点在
内通过的路程分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】紫外光在纸上的投影做的是简谐振动，电动机的转速为
因此角频率
周期为
简谐振动的振幅即为轻杆的长度
，12.5s 通过的路程为
故选C。
【变式3-3】（2024·福建·高考真题）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段
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距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计
时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（ ）
A．振幅为
B．振动频率为
C．在
时速度为零
D．在
时加速度方向竖直向下
【答案】B
【解析】AB．根据图像(b)可知，振幅为
；周期为
则频率为
，故A 错误，B 正确；
C．根据图像可知，
时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C 错误；
D．根据图像可知，
时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D 错误。
故选B。
【变式3-4】（2022·海南·高考真题）在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图
像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为（ ）
A．2：3
B．3：2
C．4：9
D．9：4
【答案】C
【解析】由振动图像可知甲乙两个单摆周期之比为T 甲：T 乙 = 0.8：1.2 = 2：3
根据单摆周期公式
，可得
则甲、乙两个单摆的摆长之比为 L 甲：L 乙 = T 甲
2：T 乙
2 = 4：9
故选C。
【变式3-5】（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标
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原点O，竖直向上为正方向建立x 轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做
简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为
和
，地球半径
是该天体半径的n 倍。
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设地球表面的重力加速度为
，某球体天体表面的重力加速度为
，弹簧的劲度系数为
，
根据简谐运动的对称性有
可得
，可得
设某球体天体的半径为
，在星球表面，有
联立可得
故选C。
【变式3-6】（2024·浙江·高考真题）如图1 所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直
悬挂于同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为
，小球和光源做小振幅运动时，
在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2 所示，则
（ ）
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A．
时刻小球向上运动
B．
时刻光源的加速度向上
C．
时刻小球与影子相位差为
D．
时刻影子的位移为
【答案】D
【解析】A．以竖直向上为正方向，根据图2 可知，
时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且
位移增大，可知，
时刻小球向下运动，故A 错误；
B．以竖直向上为正方向，
时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，
根据
可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B 错误；
C．根据图2 可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏
上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即
时刻小球与影子相位差为0，故C 错误；
D．根据图2 可知，
时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据直线传播能够在屏上影子的位置
也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有
，
解得
即
时刻影子的位移为5A，故D 正确。
故选D。
类型4 受迫振动与共振模型
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1、受迫振动模型
（1）概念：系统在驱动力作用下的振动．
（2）振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频
率无关．
（3）受迫振动中系统能量的转化:做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换.
2、共振模型
（1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)共振的特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率
对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知，f 与f0越接近，振幅A 越大；当f＝f0
时，振幅A 最大。
【典例4】某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若
驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．当f<f0时，该振动系统的振幅随f 增大而减小
B．当f>f0时，该振动系统的振幅随f 减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
【答案】BD
【解析】受迫振动系统的频率始终等于驱动力的频率，当驱动力的频率越接近振动系统的固有频率，
振动系统振幅越大，所以AC 错误，BD 正确。
故选BD。
【变式4-1】如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4Hz，现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性
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的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz，则把手转动的频率为（ ）
A．1Hz
B．3Hz
C．4Hz
D．5 Hz
【答案】A
【解析】弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz，即受迫振动的频率为1Hz，则驱动力的频率为1Hz。
故选A。
【变式4-2】（2021·浙江·高考真题）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松
果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则（ ）
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
【答案】AD
【解析】A．根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，
而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，选项A 正确；
B．当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率
的增加，树干振动的幅度不一定增大，选项B 错误；
C．打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率小于树干的固有频率，振动过程中频率不变，粗
细不同的树干，固有频率不同，则打击结束后，粗细不同的树干频率可能不同，选项C 错误；
D．树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频
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率相同，选项D 正确。
故选AD。
【变式4-3】如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，
给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心
轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速为36r/min。要增
大筛子的振幅，下列措施可行的是（ ）
A．升高电压 B．降低电压 C．减小筛子质量 D．减小偏心轮的转速
【答案】A
【解析】ABD．当偏心轮的转速为36r/min 时，其振动频率为
由共振曲线可知，为了使筛子的振幅增大，可以升高电压，使得偏心轮转速提高，从而更接近
0.8Hz，故A 正确，BD 错误；
C．减小筛子质量,可以减小筛子的固有周期，即增大筛子的固有频率，使得
与
相差更大，筛子
的振幅变小，故C 错误。
故选A。
【变式4-4】某同学利用如图所示的装置做多单摆实验。在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，当驱动
摆B 摆动起来后，摆A、C、D、E 也跟着摆动起来。已知摆长LB=LD>LA>LC>LE，在振动稳定后，下列说法正
确的是（ ）
A．驱动摆B 只是把振动形式传递给其他单摆，并不传递能量
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B．单摆D、E 的摆动振幅AD>AE
C．单摆A 摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都一定相同
D．单摆A、B、C、D、E 的摆动周期满足TB=TD>TA>TC>TE
【答案】B
【解析】A．驱动摆B 不仅把振动形式传递给其他单摆，同时也把能量传递给其他单摆，故A 项错误；
BD．如果驱动摆B 的周期为T，其他单摆都做受迫振动，振动周期都等于驱动摆的周期，振动频率也
都等于驱动摆的频率，当驱动力的周期和单摆自身的固有周期
（其中g 为重力加速度，L 为摆
长）相等时，振幅最大，单摆D 的摆长与B 相同，则单摆BD 产生共振，则振幅AD>AE，故B 项正确，D 项
错误；
C．单摆A 摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据
可得加速度
所以加速度一定相同，故C 项错误。
故选B。
【变式4-5】为了提升汽车行驶过程中的平顺性和稳定性，在汽车车身和底座间装有弹簧和减震器来
减缓震动。如图所示，图甲为某汽车正匀速通过某路口的连续等间距的减速带，图乙为该车车身的振幅A
和车速v 的关系图像，图像最高点对应的速度为
。已知两相邻减速带间的距离为1m，该车车身的固有频
率为10Hz，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该车经过减速带时车身上下振动的频率随车速增大而减小
B．该车经过减速带时车身上下振动的频率恒为10Hz
C．图乙中
D．不同车辆经过该减速带时
一定相同
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【答案】C
【解析】AB．当轿车以速度v 通过减速带时，车身上下振动的周期为
则车身上下振动的频率为
，故AB 错误。
C．当车身振动频率等于车身的固有频率时，车身振幅最大，由
知，
故C 正确。
D．不同车辆车身的固有频率不一定相同，不同车辆经过该减速带时
不一定相同，故D 错误。
故选C。
【模型二 机械波模型】
类型1.机械波特征模型
1.机械波的传播特点
（1）波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
（2）介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期
相同。
（3）波从一种介质进入另一种介质，由于介质不同，波长和波速可以改变，但频率和周期都不会改
变。
（4）波源经过一个周期T 完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝λ
T ＝λf。
2.描述波的物理量
（1）波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
（2）波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。
（3）频率f：由波源决定，等于波源的振动频率；与周期的关系为f＝1
T 。
（4）波长、波速和频率（周期）的关系：v＝fλ＝λ
T 。
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【典例5】（2025·云南·高考真题）如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。
时刻，
波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q 分别为矩形区域左右两边界上
振动质点的平衡位置。
和
时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则（ ）
A．波速为
B．波源的平衡位置距离P 点
C．
时，波源处于平衡位置且向下运动
D．
时，平衡位置在P、Q 处的两质点位移相同
【答案】D
【解析】A．根据波形可知
，
，可得
故波速为
，故A 错误；
B．设波源的平衡位置距离P 点距离为
，根据左侧
时的波形可知
，解得
故B 错误；
C．根据左侧实线波形结合同侧法可知波源刚开始的振动方向向下，由于
，故可知此时波
源处于平衡位置且向上运动，故C 错误；
D．由于
，可知波源的平衡位置距离Q 点距离为
，故波传到PQ 两点的时间分别为
，
，故
时，平衡位置在P、Q 处的两质点已经振动的时间分别为
，
，由于波源刚开始向下振动，故
时，P 处质点处于平衡位置
向上振动，Q 处质点处于平衡位置向下振动，故此时平衡位置在P、Q 处的两质点位移相同。
故D 正确。
故选D。
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【变式5-1】（2025·河南·高考真题）贾湖骨笛是河南博物院镇馆之宝之一，被誉为“中华第一笛”。
其中一支骨笛可以发出
等音。已知
音和
音所对应的频率分别为
和
，
则（ ）
A．在空气中传播时，
音的波长大于
音的
B．在空气中传播时，
音的波速小于
音的
C．由空气进入水中，
音和
音的频率都变大
D．由空气进入水中，
音的波长改变量大于
音的
【答案】AD
【解析】B．声音在相同介质中的传播速度相同，因此
和
的传播速度相同，B 错误；
A．由
可知，
的波长大于
的波长，A 正确；
C．由空气进入水中，频率不发生变化，C 错误；
D．空气中
，在水中
，其中声音的速度只与介质有关，即在水中它们的速度大小也一样，
则可得到波长的改变量为
，可知频率越小其对应的波长改变量越大，D 正确。
故选AD。
【变式5-2】（2025·安徽·高考真题）如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水
平面上，弹簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。
下列表述正确的是（ ）
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A．弹簧上形成的波是横波
B．推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C．标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D．标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
【答案】D
【解析】A．弹簧上形成的波的振动方向与传播方向平行是纵波，故A 错误；
B．同一介质中，波的传播速度相同，则波的传播速度不变，推、拉弹簧的周期越小，波的周期越小，
由公式
可知，波长越短，故B 错误；
C．标记物振动的速度反应的是标志物在平衡位置附近往复运动的快慢，机械波的传播速度是波在介
质中的传播速度，二者不是同一个速度，故C 错误；
D．标记物由静止开始振动，说明它获得了能量，这是因为机械波使得能量传递给标记物，则标记物
由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量，故D 正确。
故选D。
【变式5-3】（2024·江苏·高考真题）水槽中平静的水面上漂着两片小纸屑
、
。如图所示，O、
A、B 在一条直线上，OA=2AB，
时刻开始用笔尖周期性地轻点水面O 点，t1时刻观察到
开始振动，B 开
始振动的时刻为（ ）
A．t1
B．
C．2t1
D．
【答案】B
【解析】机械波的波速不变，设OA=2AB=2L，故可得
可得
故可得B 振动的时刻为
故选B。
【变式5-4】（2024·海南·高考真题）一歌手在湖边唱歌，歌声通过空气和水传到距其2km 的湖对岸，
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空气中的声速为340m/s，水中声速为1450m/s，歌声可视为频率为400Hz 的声波，则下列说法正确的是（
）
A．在水中传播频率会改变
B．由空气和水传到湖对岸的时间差约为4.5s
C．在空气中波长为0.85m
D．在水中的波长为5m
【答案】BC
【解析】A．频率只与波源有关，故在水中传播频率不会改变，故A 错误；
B．由空气传到湖对岸的时间为
由水传到湖对岸的时间为
故由空气和水传到湖对岸的时间差约为
，故B 正确；
C．在空气中的波长为
，故C 正确；
D．在水中的波长为
，故D 错误。
故选BC。
【变式5-5】（2025·重庆·高考真题）一浮筒（视为质点）在池塘水面以频率f 上下振动，水面泛起圆
形的涟漪（视为简谐波）。用实线表示波峰位置，某时刻第1 圈实线的半径为r，第3 圈实线的半径为
9r，如图所示，则（ ）
A．该波的波长为4r
B．该波的波速为2fr
C．此时浮筒在最低点
D．再经过
，浮筒将在最低点
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【答案】AD
【解析】A．根据题意某时刻第1 圈实线的半径为r，第3 圈实线的半径为9r，故可得
即
，故A 正确；
B．该波的波速为
，故B 错误；
CD．由
，根据某时刻第1 圈实线的半径为
可得此时浮筒处于平衡位置，由于波向外传播，
根据同侧法可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，故再经过
，浮筒将在最低点，故C 错误，D 正
确。
故选AD。
【变式5-6】（2025·全国卷·高考真题）一组身高相近的学生沿一直线等间隔排成一排，从左边第一位
同学开始，依次周期性地“下蹲、起立”，整个队列呈现类似简谐波的波浪效果，如图所示。假定某次游
戏中，形成的波形的波长为4m，左边第一位同学蹲至最低点时，队列中另一同学恰好站直，则这两位同
学间的距离可能是（ ）
A．1m
B．2m
C．5m
D．6m
【答案】BD
【解析】由题知游戏中，形成的波形的波长为4m，左边第一位同学蹲至最低点时（此时为波谷），
队列中另一同学恰好站直（此时为波峰），则这两位同学间的距离可能是
（n = 1，3，5，7，…）
故选BD。
类型2.波动图像模型
1、波的传播方向与质点振动方向的互判方法
（1）“上下坡”法：沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
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（2）“同侧”法：波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
（3）“微平移”法：将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x 坐标的两波形曲线上的点来
判断振动方向
2.由波的图像画出某一质点振动图像的步骤
（1）由波的图像求出波的周期,即质点做简谐运动的周期;
（2）从波的图像中找出该质点在计时时刻相对平衡位置的位移;
（3）根据质点振动方向和波传播方向间的关系,确定质点的振动方向;
（4）建立y-t 坐标系,根据正弦或余弦规律画出质点的振动图像.
3.三步求解波的图像与振动图像综合问题
【典例6】（2025·天津·高考真题）位于坐标原点的波源从平衡位置开始沿y 轴运动，在均匀介质中形
成了一列沿x 轴正方向传播的简谐波，P 和Q 是平衡位置分别位于
和
处的两质点，
时波
形如图所示，此时Q 刚开始振动，
时Q 第一次到达波谷。则（ ）
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A．该波在此介质中的波速为
B．波源开始振动时的运动方向沿y 轴负方向
C．P 的位移随时间变化的关系式为
D．平衡位置位于
处的质点在
时第一次到达波峰
【答案】AB
【解析】AB．由图根据同侧法可知，
点开始振动时的运动方向沿y 轴负方向，则波源开始振动时的
运动方向沿y 轴负方向，由图可知，该波的波长为
根据题意可知，周期为
，则该波在此介质中的波速为
，故AB 正确；
C．根据公式可得
，由同侧法可知，此时
点沿y 轴正方向振动，振幅为
，则P
的位移随时间变化的关系式为
，故C 错误；
D．该波传播到
处的时间为
，质点起振方向沿
轴负方向，则第一次到达波峰的
时间为
，则平衡位置位于
处的质点第一次到达波峰的时间为
，故D 错误。
故选AB。
【变式6-1】（2024·湖南·高考真题）如图，健身者在公园以每分钟60 次的频率上下抖动长绳的一端，
长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B 两点平衡位置相距
，
时
刻A 点位于波谷，B 点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是（ ）
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A．波长为
B．波速为
C．
时刻，B 点速度为0
D．
时刻，A 点速度为0
【答案】D
【解析】A．如图根据题意可知
，解得
，故A 错误；
B．波源的振动频率为
，故波速为
，故B 错误；
C．质点的振动周期为
，因为
，故B 点在
运动到平衡位置，位移为0，速度最
大，故C 错误；
D．
，故A 点在
运动到波峰，位移最大，速度为0，故D 正确。
故选D。
【变式6-2】（2024·天津·高考真题）一列简谐横波在均匀介质中沿x 轴传播，图1 是
时该波的波
形图，图2 是
处质点的振动图像。则
时该波的波形图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】波的周期T=4s，因
时，即在t=1s 后再经过10s=2.5T，此时原点处的质点振动到波谷位
置，即该波的波形图为C。
故选C。
【变式6-3】（2025·山东·高考真题）均匀介质中分别沿x 轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，
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振幅均为
，波速均为
，M、N 为介质中的质点。
时刻的波形图如图所示，M、N 的位移均为
。下列说法正确的是（ ）
A．甲波的周期为
B．乙波的波长为
C．
时，M 向y 轴正方向运动
D．
时，N 向y 轴负方向运动
【答案】BD
【解析】A．根据题图可知甲波的波长
，根据
，可得
，A 错误；
B．设
左边在平衡位置的质点与
质点平衡位置的距离为
，根据题图结合
又
，可得
，
，B 正确；
C．
时即经过
，结合同侧法可知M 向y 轴负方向运动，C 错误；
D．同理根据
，可得
，根据同侧法可知
时N 向y 轴负方向运动，
时即经过时
间
，N 仍向y 轴负方向运动，D 正确。
故选BD。
【变式6-4】（2024·全国甲卷·高考真题）一列简谐横波沿x 轴传播，周期为
，
时刻的波形曲线
如图所示，此时介质中质点b 向y 轴负方向运动，下列说法正确的是（ ）
A．该波的波速为
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B．该波沿x 轴正方向传播
C．
时质点a 和质点c 的运动方向相反
D．
时介质中质点a 向y 轴负方向运动
E．
时介质中质点b 的速率达到最大值
【答案】ACD
【解析】A．由图可知波长为
，则该波的波速为
，故A 正确；
B．此时介质中质点b 向y 轴负方向运动，根据波形平移法可知，该波沿x 轴负方向传播，故B 错误；
C．由于质点a 和质点c 之间的距离为半个波长，则质点a 和质点c 的振动完全相反，所以
时
质点a 和质点c 的运动方向相反，故C 正确；
D．
时刻质点a 处于波峰位置，则
时，质点a 刚好经过平衡位置向y 轴负方向运动，故D
正确；
E．
时刻质点b 处于平衡位置向y 轴负方向运动，则
时，质点b 刚好处于波峰位置，此时质
点b 的速率为0，故E 错误。
故选ACD。
【变式6-5】（2022·山东·高考真题）一列简谐横波沿x 轴传播，平衡位置位于坐标原点O 的质点振动
图像如图所示。当
时，简谐波的波动图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由O 点的振动图像可知，周期为T=12s，设原点处的质点的振动方程为
则
，解得
在t=7s 时刻
因
，则在t=7s 时刻质点在y 轴负向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则
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波形为C 所示；若波向左传播，则波形如A 所示。
故选AC。
【变式6-6】（2023·上海·高考真题）如图所示，有一周期为
、沿
轴正方向传播的波，当
时
波恰好传到
点，则
时，
段的波形图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图像可知，该波的波长为0.5m，故波速可表示为
时，该波传播的距离为
，由于BD 距离为4m，故在
时，该波刚好传播至D 点，故
段的波形图与选项C 一致。
故选C。
【变式6-7】（（2021·湖北·高考真题）一列简谐横波沿 x 轴传播，在t=0 时刻和t=1 s 时刻的波形分
别如图中实线和虚线所示。已知x=0 处的质点在0~1 s 内运动的路程为4.5 cm。下列说法正确的是
（ ）
A．波沿x 轴正方向传播
B．波源振动周期为1.1 s
C．波的传播速度大小为13 m/s
D．t=1 s 时，x=6 m 处的质点沿y 轴负方向运动
【答案】AC
【解析】A．由题意，x =0 处的质点在0~1 s 的时间内通过的路程为4.5 cm，则结合图可知t =0 时刻x
=0 处的质点沿y 轴的负方向运动，则由质点的振动和波的传播方向关系可知，该波的传播方向沿x 轴的正
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方向，故A 正确；BC．由题意可知，t=1s 为
，解得
,由图可知
则
，
故C 正确，B 错误；
D．由同侧法可知t=1 s 时，x=6 m 处的质点沿y 轴正方向运动，故D 错误。
故选AC。
类型3.波的多解模型
1.
波的多解问题的三种主要类型
（1）周期性：时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确；空间周期性：波传播的距离Δx 与波
长λ 的关系不明确．
（2）双向性：传播方向双向性：波的传播方向不确定；振动方向双向性：质点振动方向不确定．
（3）波形的隐含性：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信
息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。
2.解决波的多解问题的一般思路
（1）首先找出造成多解的原因，比如考虑传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左
传播，分别进行分析。
（2）根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt（n＝0，1，2，…）；若给出
的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx（n＝0，1，2，…）进行求解。
（3）根据需要进一步求与波速(v = Δ x
Δt 或v = λ
T = λf)等有关的问题。
【典例7】（2025·海南高考真题）如图所示，实线和虚线分别是沿着
轴正方向传播的一列简谐横波
在
时刻和
的波形图，已知波的周期
，则下列关于该列波说法正确的是（ ）
A．波长为
B．波速为
C．周期为
D．
时刻，质点
向下振动
【答案】D
【解析】A．由图可知波长为10cm，故A 错误；
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BC．
时刻到
的过程中，
已知波的周期
，则n 只能取0，则
，波速为
，故BC 错误；
D．简谐横波沿着
轴正方向传播，根据同侧法可知
时刻，质点
向下振动，故D 正确。
故选 D。
【变式7-1】（2021·山东·高考真题）一列简谐横波沿x 轴传播，如图所示，实线为
时的波形图，
虚线为
时的波形图。以下关于平衡位置在O 处质点的振动图像，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】机械波的传播方向不确定，所以需要考虑机械波传播方向的不确定性。
AB．若机械波沿
轴正方向传播，在
时
点振动方向竖直向上，则传播时间
满足
（n=0，1，2，3…）解得
（n=0，1，2，3…）
当
时，解得周期
，A 正确，B 错误；
CD．若机械波沿
轴负方向传播，在
时
点处于波谷，则
（n=0，1，2，3…）
解得
（n=0，1，2，3…）
当
时，解得周期
，C 正确，D 错误。
故选AC。
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【变式7-2】（2025·陕晋青宁卷·高考真题）一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于
，a、
b 为介质中平衡位置相距
的两质点，其振动图像如图所示。则
时的波形图可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】根据振动图像可知当波的传播方向为a 到b 时，
，
解得
即
当波的传播方向为b 到a 时，
，
解得
即
同时
时，a 处于平衡位置，b 处于波谷位置，结合图像可知AD 符合；
故选AD。
【变式7-3】（2024·重庆·高考真题）一列沿x 轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平
衡位置与坐标原点距离为3 米的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 米。则（
）
A．最小波长
B．频率
C．最大波速
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D．从该时刻开始2s 内该质点运动的路程为
【答案】BD
【解析】B．根据乙图写出平衡位置与坐标原点距离为3m 米的质点的振动方程y = sin（ωt＋φ）
带入点（0，
）和（2，0）解得
，
，可得T = 2.4s，
，故B 正确；
A．在题图甲中标出位移为
的质点
若波沿x 轴正方向传播则为Q 点，沿x 轴负方向传播则为P 点，则波长可能为
，即λ = 18m
或
，即λ′ = 9m，故A 错误；
C．根据
，可得v = 7.5m/s，v′ = 3.75m/s，故C 错误；
D．根据题图乙计算该质点在2s 内运动的路程为
，故D 正确。
故选BD。
【变式7-4】（2023·海南·高考真题）下面上下两图分别是一列机械波在传播方向上相距6m 的两个质
点P、Q 的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．该波的周期是5s
B．该波的波速是3m/s
C．4s 时P 质点向上振动
D．4s 时Q 质点向上振动
【答案】C
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【解析】A．由振动图像可看出该波的周期是4s，A 错误；
B．由于Q、P 两个质点振动反相，则可知两者间距离等于
，n = 0，1，2，…
根据
，n = 0，1，2，…，B 错误；
C．由P 质点的振动图像可看出，在4s 时P 质点在平衡位置向上振动，C 正确；
D．由Q 质点的振动图像可看出，在4s 时Q 质点在平衡位置向下振动，D 错误。
故选C。
【变式7-5】如图甲所示，在波的传播方向上有A、B、C 三点，其中AB = BC =10 m，t =0时刻开始
观察到A、C 两点处质点的振动情况分别如图乙、丙所示。下列说法正确的是（ ）
A．若向右传播，该波的波长为
80
4 n+3 m (n=0,1,2,3,⋯)
B．若向左传播，该波的波长为
80
4 n+1 m (n=0,1,2,3,⋯)
C．若振源位于C点，起振方向向上，且3 λ< AC <4 λ（λ为波长），那么从振源起振开始计时，B处
质点第1 次到达波峰需要17s
D．若振源位于C点，起振方向向下，且3 λ< AC <4 λ（λ为波长），那么从振源起振开始计时，B处
质点第1 次到达波峰需要17s
【答案】C
【解析】A．由图乙、丙可得T =8s
当波向右传播时x AC =nλ+ 1
4 λ（n=0，1，2，3…），解得λ =
80
4 n+1 m（n=0，1，2，3…），故A 错
误；
B．当波向左传播时x AC =nλ+ 3
4 λ（n=0，1，2，3…）解得λ =
80
4 n+3 m（n=0，1，2，3…），故B 错
误；
C．由题意可得，波向左传播，又因为3 λ< AC <4 λ，所以x AC =nλ+ 3
4 λ
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取n=3，此时v = λ
T =
10
4 n+3 m/s= 2
3 m/s
设波从波源传播到B 点所用时间为t1，则t1= xBC
v = 10
2
3
s=15s
若振源位于C点，起振方向向下，B 点起振后到第1 次到达波峰所用时间为t2，则t2= 1
4 T =2s
那么从振源起振开始计时，B处质点第1 次到达波峰需要t =t1+t2=17s，故C 正确；
D．由题意可得，波向左传播，又因为3 λ< AC <4 λ，所以x AC =nλ+ 3
4 λ
取n=3，此时v = λ
T =
10
4 n+3 m/s= 2
3 m/s
设波从波源传播到B 点所用时间为t1，则t1= xBC
v = 10
2
3
s=15s
若振源位于C点，起振方向向下，B 点起振后到第1 次到达波峰所用时间为t2，则t2= 3
4 T =6s
那么从振源起振开始计时，B处质点第1 次到达波峰需要t =t1+t2=21s
故D 错误。
故选C。
【变式7-6】（2023·湖北·高考真题）一列简谐横波沿x 轴正向传播，波长为
，振幅为
。介
质中有a 和b 两个质点，其平衡位置分别位于
和
处。某时刻b 质点的位移为
，
且向y 轴正方向运动。从该时刻开始计时，a 质点的振动图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】ab 之间的距离为
，此时b 点的位移4cm 且向y 轴正方向运动，令此时b 点
的相位为
，则有
，解得
或
（舍去，向下振动）
由ab 之间的距离关系可知
则
，可知a 点此时的位移为
且向下振动，即此时的波形图为
故选A。
类型4.波特有的现象模型
1.波的干涉和衍射
波的干涉
波的衍射
条
件
两列波的频率必须相同
明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
现
象
形成加强区和减弱区相互
隔开的稳定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
注意：发生衍射是无条件的，发生明显衍射是有条件的。
2.波的干涉现象中振动加强点、减弱点的两种判断方法
（1）波形图法
如图所示，在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰（或波谷与波谷）的交点（如图中的P、Q）一
定是振动加强点，而波峰与波谷的交点（如图中的R、S）一定是振动减弱点，各振动加强点或振动减弱点
各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点
之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
（2）公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr，如图所示。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动加强；若Δr＝（2n＋1）λ
2（n＝0，1，2，…），则振动减
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弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝（2n＋1）λ
2（n＝0，1，2，…），则振动加强；若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动减
弱。
3.多普勒效应
（1）观察者感到频率发生变化，实际上波源与波的频率没有变化。
（2）多普勒效应的成因分析
①接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
②当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收
到的频率变小。
【典例8】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，
在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P 点位于其最大正位移处，曲线ab 上的
所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意P 点位于其最大正位移处，故可知此时P 点位于两列波的波峰与波峰相交处；根据
干涉规律可知，相邻波峰与波峰，波谷与波谷连线上的点都是加强点，故A 图像中的曲线ab 上的点存在振
动加强点，不符合题意。
故选C。
【变式8-1】（2024·浙江高考真题）频率相同的简谐波源S1、S2，和接收点M 位于同一平面内，S1、S2
到M 的距离之差为6m。t=0 时S1，S2，同时垂直平面开始振动，M 点的振动图像如图所示，则（ ）
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A．两列波的波长为2m
B．两列波的起振方向均沿x 正方向
C．S1和S2，在平面内不能产生干涉现象
D．两列波的振幅分别为3cm 和1cm
【答案】B
【解析】根据图像可知
时M 点开始向上振动，故此时一列波传播到M 点，起振方向向上，
时波形开始改变，说明另一列波传播到M 点，此时两列波平衡位置都传到M 点，第一列波使M 点向下振动，
之后振幅减小，则此时M 点振动减弱，可知第二列波使M 点向上振动。
A．S1、S2到M 的距离之差为6m，由图可知两列波传到M 点的时间差为
，根据
可得波速为
，故波长为
，故A 错误；
B．根据前面分析可知两列波刚传到M 点时均使M 点向上振动，故两列波的起振方向均沿x 正方向，故
B 正确；
C．两列波频率相等，在平面内能产生干涉现象，故C 错误；
D．由
和
时的位移知第一列的振幅为3cm,，第二列波的振幅为
，
故D 错误。
故选B。
【变式8-2】如图所示为波源O 传出的一列水波，相邻实线间的距离等于一个波长。下列说法正确的
是（ ）
A.波通过孔A，发生明显的衍射现象 B.波通过孔B，不发生衍射现象
C.波遇到障碍物C，发生明显的衍射现象 D.波遇到障碍物D，不发生衍射现象
【答案】A
【解析】当孔、缝、障碍物的宽度与波长差不多或者比波长还小时，就能够发生明显的衍射现象，这
是发生明显衍射的条件。观察题图，孔B 和障碍物C 尺寸明显大于波长，不会发生明显衍射现象，但仍然
有衍射现象，只是不明显，不易观察；孔A 和障碍物D 尺寸小于和接近波长，会发生明显衍射现象。故A
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正确，B、C、D 错误。
【变式8-3】（2024·江西·高考真题）如图（a）所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某
次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图
（b）、（c）所示。已知超声波在机翼材料中的波速为
。关于这两个反射信号在探头处的叠加效
果和缺陷深度d,下列选项正确的是（ ）
A．振动减弱；
B．振动加强；
C．振动减弱；
D．振动加强；
【答案】A
【解析】根据反射信号图像可知，超声波的传播周期为
又波速v=6300m/s，则超声波在机翼材料中的波长
结合题图可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为
故两个反射信号的路程差
，解得
两个反射信号在探头处振动减弱，A 正确。
故选A。
【变式8-4】（2023·广东·高考真题）渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物．声波在
水中传播速度为
，若探测器发出频率为
的声波，下列说法正确的是（ ）
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为
的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
【答案】B
【解析】AD．根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，
而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故AD 错误；
B．声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B 正确；
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C．根据波长的计算公式可得
当遇到尺寸约1m 的被探测物时不会发生明显衍射，故C 错误；
故选B。
【变式8-5】（2023·湖南·高考真题）如图（a），在均匀介质中有
和
四点，其中
三点位于同一直线上，
垂直
．
时，位于
处的三个完全相同的
横波波源同时开始振动，振动图像均如图（b）所示，振动方向与平面
垂直，已知波长为
．下列说
法正确的是（ ）
A．这三列波的波速均为
B．
时，
处的质点开始振动
C．
时，
处的质点向
轴负方向运动
D．
时，
处的质点与平衡位置的距离是
【答案】C
【解析】A．由图（b）的振动图像可知，振动的周期为4s，故三列波的波速为
，A
错误；
B．由图（a）可知，D 处距离波源最近的距离为3m，故开始振动后波源C 处的横波传播到D 处所需
的时间为
，故
时，D 处的质点还未开始振动，B 错误；
C．由几何关系可知
，波源A、B 产生的横波传播到D 处所需的时间为
故
时，仅波源C 处的横波传播到D 处，此时D 处的质点振动时间为
由振动图像可知此时D 处的质点向y 轴负方向运动，C 正确；
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D．
时，波源C 处的横波传播到D 处后振动时间为
由振动图像可知此时D 处为波源C 处传播横波的波谷；
时，波源A、B 处的横波传播到D 处后
振动时间为
，由振动图像可知此时D 处为波源A、B 处传播横波的波峰。根据波的叠加原理
可知此时D 处质点的位移为
，故
时，D 处的质点与平衡位置的距离是2cm。D 错误。
故选C。
【变式8-6】在同一均匀介质中，分别位于坐标原点和
处的两个波源O 和P，沿y 轴振动，形
成了两列相向传播的简谐横波a 和b，某时刻a 和b 分别传播到
和
处，波形如图所示。下列
说法正确的是（ ）
A．a 与b 的频率之比为
B．O 与P 开始振动的时刻相同
C．a 与b 相遇后会出现干涉现象
D．O 开始振动时沿y 轴正方向运动
【答案】A
【解析】A．由同一均匀介质条件可得a 和b 两列波在介质中传播速度相同，由图可知，a 和b 两列
波的波长之比为
根据
可得a 与b 的频率之比为
，故A 正确；
B．因a 和b 两列波的波速相同，由a 和b 两列波分别传播到
和
处的时刻相同，可知O
与P 开始振动的时刻不相同，故B 错误；
C．因a 与b 的频率不同，a 与b 相遇后不能产生干涉现象，故C 错误；
D．a 波刚传到
处，由波形平移法可知，
处的质点开始振动方向沿y 轴负方向，而所有质点的开
始振动方向都相同，所以O 点开始振动的方向也沿y 轴负方向，故D 错误。
故选A。
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