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第38 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01、考情透视，目标导
航
02、知识导图，思维引航.............................................................................................1
03、考点突破，考法探究.............................................................................................2
考点一 带电粒子在电场和重力场中的运动....................................................................................2
知识点1．等效重力场...........................................................................................................3
知识点2.方法应用..................................................................................................................3
知识点3．物体做圆周运动的物理最高点...........................................................................3
考向1 等效场中的“绳球”模型.......................................................................................3
考向2 等效场中的“杆球”模型.......................................................................................4
考点二 示电场中的力电综合问题....................................................................................................7
知识点1.动力学的观点..........................................................................................................7
知识点2.能量的观点..............................................................................................................7
知识点3.动量的观点..............................................................................................................7
04、真题练习，命题洞见...........................................................................................................11
考情
分析
2024·河北·高考物理第14 题
2024·江西·高考物理第10 题
2023·福建·高考物理第16 题
2022·全国·高考物理第8 题
复习
目标
目标1.掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律。
目标2.知道“等效重力场”的概念。
目标3.会用动力学观点和能量观点分析电场中的力电综合问题。
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考点一 带电粒子在电场和重力场中的运动
知识点1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”。
知识点2.方法应用
(1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最
高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
2
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(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
知识点3．物体做圆周运动的物理最高点
考向1 等效场中的“绳球”模型
1．(多选)如图所示，带电小球(可视为质点)用绝缘细线悬挂在O 点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，
小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动所在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强
度大小为E，小球质量为m、带电荷量为q，细线长为l，重力加速度为g，则( )
A．小球带正电
B．静电力大于重力
C．小球运动到最低点时速度最大
D．小球运动过程最小速度至少为v＝
【答案】BD
【解析】： 因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和静电力的合力(等效重力)方向
向上，则静电力方向向上，且静电力大于重力，小球带负电，故A 错误，B 正确；因重力和静电力的合力
方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C 错误；由于等效重力竖直向上，所以小球运动到最低
点时速度最小，最小速度满足qE－mg＝m，即v＝，故D 正确。
考向2 等效场中的“杆球”模型
2．如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O 是圆心，AB
是竖直方向的直径。一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P 点，OP 与竖直方向
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的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)电场强度E 的大小；
(2)若要使小球从P 点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。
【答案】：(1) (2)不小于
【解析】：(1)当小球静止在P 点时，小球的受力情况如图所示
则有＝tan θ，所以E＝。
(2)小球所受重力与电场力的合力F＝＝mg。当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为g
的“重力场”中运动。若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q 点。设当小球从P 点
出发的速度为vmin时，小球到达Q 点时速度为零，在小球从P 运动到Q 的过程中，根据动能定理有－mg·2r
＝0－mvmin
2，解得vmin＝，即小球的初速度大小应不小于。
3.空间中有竖直向上的匀强电场，电场强度E＝。绝缘圆形轨道竖直放置，O 点是它的圆心、半径为R，
A、C 为圆轨道的最低点和最高点，B、D 为与圆心O 等高的两点，如图所示。在轨道A 点放置一质量为
m，带电荷量为＋q 的光滑小球。现给小球一初速度v0(v0≠0)，重力加速度为g，则下列说法正确的是(
)
A．无论v0多大，小球不会脱离轨道
B．只有v0≥，小球才不会脱离轨道
C．v0越大，小球在A、C 两点对轨道的压力差也越大
D．若将小球无初速度从D 点释放，小球一定会沿轨道经过C 点
【答案】 D
【解析】由题意可知小球所受静电力与重力的合力方向竖直向上，大小为F＝qE－mg＝2mg，若要使小球
不脱离轨道，设其在A 点所具有的最小速度为vmin，根据牛顿第二定律有F＝m，解得vmin＝，所以只有当
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v0≥时，小球才不会脱离轨道，故A、B 错误；假设小球可以在轨道中做完整的圆周运动，在C 点的速度
大小为v1，根据动能定理有mv1
2－mv0
2＝F·2R，在A、C 点小球所受轨道的支持力大小分别为F0和F1，根
据牛顿第二定律有F0＋F＝m，F1－F＝m，联立以上三式解得ΔF＝F1－F0＝6F＝12mg，根据牛顿第三定律
可知小球在A、C 两点对轨道的压力差等于12mg，与v0的大小无关，故C 错误；若将小球无初速度从D 点
释放，由于F 向上，所以小球一定能沿DC 轨道经过C 点，故D 正确。
4.(多选)如图所示，质量为m、带电荷量为＋q 的小圆环套在半径为R 的光滑绝缘大圆环上，大圆环固定在
竖直平面内，O 为环心，A 为最低点，B 为最高点，在大圆环所在的竖直平面内施加水平向右、电场强度
大小为(g 为重力加速度)的匀强电场，并同时给在A 点的小圆环一个向右的水平初速度v0(v0未知)，小圆环
恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，则小圆环运动过程中( )
A．动能最小与最大的位置在同一等势面上
B．电势能最小的位置恰是机械能最大的位置
C．在A 点获得的初速度为
D．过B 点受到大环的弹力大小为mg
【答案】 BC
【解析】 由于匀强电场的电场强度为，即静电力与重力大小相等，作出小圆环的等效物理最低点C 与等
效物理最高点位置D，如图所示，
小圆环在等效物理最低点速度最大，动能最大，在等效物理最高点速度最小，动能最小，根据沿电场线电
势降低，可知φD>φC，可知其不在同一等势面上，A 错误；小圆环在运动过程中，只有电势能、动能与重
力势能的转化，即只有电势能与机械能的转化，则电势能最小的位置恰是机械能最大的位置，B 正确；小
圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，即小圆环通过等效物理最高点D 的速度为0，对圆环分析有
－qERsin 45°－mg(R＋Rcos 45°)＝0－mv0
2，
解得v0＝，C 正确；
小圆环从A 运动到B 过程有
－mg·2R＝mvB
2－mv0
2，
在B 点有FN＋mg＝m，
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解得FN＝(2－3)mg<0，
可知，小圆环过B 点受到大环的弹力大小为
(3－2)mg，D 错误。
考点二 电场中的力电综合问题
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子受力与运
动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
知识点1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑。
知识点2.能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程
使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
知识点3.动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否在某方向上动
量守恒。
1.如图，质量为9m 的靶盒(可视为质点)带正电，电荷量为q，静止在光滑水平面上的O 点。O 点右侧存在
电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场。在O 点左侧有一质量为m 的子弹，以速度v0水平向右打入
靶盒后与靶盒一起运动。已知子弹打入靶盒的时间极短，子弹不带电，且靶盒带电荷量始终不变，不计空
气阻力。
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共同的速度大小v1；
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O 点的最大距离s；
(3)若靶盒回到O 点时，第2 颗完全相同的子弹也以v0水平向右打入靶盒，求第2 颗子弹对靶盒的冲量大小
I。
【答案】 (1)0.1v0 (2) (3)mv0
【解析】 (1)子弹打入靶盒过程中，由动量守恒定律得mv0＝10mv1
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解得v1＝0.1v0。
(2)靶盒向右运动的过程中，由牛顿第二定律得
qE＝10ma
又v＝2as
解得s＝。
(3)第1 颗子弹打入靶盒后，靶盒将向右减速后反向加速，返回O 点时速度大小仍为v1，设第2 颗子弹打入
靶盒后速度为v2，取向右为正方向，由动量守恒定律得mv0－10mv1＝11mv2
解得v2＝0
以靶盒与第1 颗子弹为整体，由动量定理得
I＝0－(－10mv1)
解得I＝mv0。
2.如图所示，不带电物体A 和带电的物体B 用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B 的质量分别为2m 和m，
劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A 相连，倾角为θ 的斜面处于沿斜面向上的匀
强电场中，整个系统不计一切摩擦。开始时，物体B 在一沿斜面向上的外力F＝3mgsin θ 的作用下保持静
止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F，直到物体B 获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度(已知弹簧形变量
为x 时弹性势能为kx2)，重力加速度为g，则在此过程中( )
A．物体B 带负电，受到的静电力大小为mgsin θ
B．物体B 的速度最大时，弹簧的伸长量为
C．撤去外力F 的瞬间，物体B 的加速度大小为3gsin θ
D．物体B 的最大速度为gsin θ
【答案】 D
【解析】 假设B 所受静电力沿斜面向下，当施加外力时，对B 分析可知F－mgsin θ－F 电＝0，解得F 电
＝2mgsin θ，假设成立，故B 带负电，故A 错误；当B 受到的合力为零时，B 的速度最大，由kx＝F 电＋
mgsin θ，解得x＝，故B 错误；当撤去外力瞬间，弹簧弹力还来不及改变，即弹簧的弹力仍为零，对物体
A、B 分析可知F 合＝F 电＋mgsin θ＝(m＋2m)a，解得a＝gsin θ，故C 错误；设物体B 的最大速度为vm，
由功能关系可得×3mvm
2＋kx2＝mgxsin θ＋F 电x，解得vm＝gsin θ，故D 正确。
3.如图，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面上，一光滑绝缘轻杆左端固定在
电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量为2m，底座锁定在水平面上时，
套在杆上质量为m 的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到达距离右极板为d 的位置。底座
解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2 倍，其他条件不变，则带电环进入电容器后，最远能到达的位
置距离右极板( )
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A.d B．d C.d D.d
【答案】 C
【解析】 设带电环所带电荷量为q，初速度为v0，底座锁定时电容器极板间电场强度为E，则由功能关系
有qEd＝mv0
2，底座解除锁定后，两极板间距离变为原来的2 倍，极板间电场强度大小不变，电容器及底
座在带电环作用下一起向左运动，当与带电环共速时，带电环到达进入电容器最远位置，整个过程满足动
量守恒，则有mv0＝3mv1，再由功能关系有qEd′＝mv0
2－×3mv1
2，联立解得 d′＝d，故选C。
4.19 世纪末美国物理学家密立根进行了多次试验，比较准确地测定了电子的电荷量。如图所示，用喷雾器
将油滴喷入电容器的两块水平的平行电极板之间时，油滴经喷射后，一般都是带电的。设油滴可视为球体，
密度为ρ，空气阻力与油滴半径平方、油滴运动速率成正比。实验中观察到，在不加电场的情况下，半径
为r 的小油滴1 以速度v 匀速降落；当上下极板间间距为d、加恒定电压U 时，该油滴以速度0.5v 匀速上升。
已知重力加速度为g，试求：
(1)此油滴带什么电？带电荷量多大？
(2)当保持极板间电压不变而把极板间距增大到4d，发现此油滴以另一速度v1匀速下落，求v1与v 的比值；
(3)维持极板间距离为d，维持电压U 不变，观察到另外一个油滴2，半径仍为r，正以速度0.5v 匀速下降，
求油滴2 与油滴1 带电荷量之比。
【答案】 (1)带负电 (2) (3)1 3∶
【解析】 (1)由题意得，油滴带负电，m＝ρπr3
不加电场匀速下降，有mg＝kr2v
当油滴以0.5v 匀速上升，由平衡条件
mg＋kr2·0.5v＝q1
故q1＝。
(2)d 增大到4 倍，根据平衡条件得
mg＝q1＋f1，f1＝kr2v1
解得＝。
(3)设油滴2 的电荷量为q2，由平衡条件得
mg＝q2＋kr2·0.5v
解得q2∶q1＝1 3∶。
5.如图所示，长s＝0.5 m 的粗糙水平面AB 上有一水平向右的匀强电场E1＝60 V/m。一电荷量q＝＋0.02
C、质量m1＝0.2 kg 的物块从A 点由静止开始运动，从B 点飞入竖直向下的匀强电场E2，并恰好落在质量
m2＝0.3 kg 的绝缘篮中，与绝缘篮粘在一起。绝缘篮通过长L＝0.1 m 的轻绳(不可伸长)与一质量m3＝0.5 kg
的滑块相连，滑块套在一水平固定的光滑细杆上，可自由滑动。已知物块与水平面AB 间的动摩擦因数μ＝
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0.2，绝缘篮距B 点的竖直距离y＝0.1 m，水平距离x＝0.2 m，重力加速度g 取10 m/s2，物块、绝缘篮、滑
块均可视为质点。求：
(1)物块从B 点飞出时的速度大小；
(2)竖直匀强电场E2的大小；
(3)轻绳再次摆到竖直位置时绳对篮子的拉力大小。
【答案】 (1)2 m/s (2)100 N/C (3)10.2 N
【解析】 (1)物块从A 滑行到B 过程，根据动能定理可得qE1s－μm1gs＝m1v
解得物块从B 点飞出时的速度大小为vB＝2 m/s。
(2)物块飞入竖直电场中做类平抛运动，水平方向有x＝vBt
竖直方向有y＝at2，a＝
联立解得E2＝100 N/C。
(3)物块飞入篮中与绝缘篮组成的系统在水平方向动量守恒，则有m1vB＝(m1＋m2)v1
解得v1＝0.8 m/s
绝缘篮与物块摆到一定高度再落回最低点过程中，绝缘篮、物块和滑块组成的系统在水平方向动量守恒，
则有
(m1＋m2)v1＝(m1＋m2)v2＋m3v3
根据能量守恒定律可得
(m1＋m2)v＝(m1＋m2)v＋m3v
联立解得v2＝0，v3＝0.8 m/s
轻绳再次摆到竖直位置时，物块和绝缘篮相对滑块的速度大小为v3，对物块和绝缘篮根据牛顿第二定律可
得
T－(m1＋m2)g－qE2＝(m1＋m2)
解得T＝10.2 N。
1．（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电
荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q 和Q。在图示的坐标系中，小
球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从
处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能
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（r 为两点电荷之间的距离，k 为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为
g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x 的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
【答案】BD
【详解】A．全过程，根据动能定理
解得
故A 错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有
解得
故B 正确；
C．小球甲最后停留时，满足
解得位置x 的区间
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故C 错误；
D．若在最低点能返回，即在最低点满足
结合动能定理
又
联立可得
故D 正确。
故选BD。
2．（2022·全国·高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中
Р 点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р 点。则射出
后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD
【详解】A．如图所示
故等效重力
的方向与水平成
。
当
时速度最小为
，由于此时
存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是
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最大，故A 错误；
BD．水平方向上
在竖直方向上
由于
，得
如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知
则重力做功等于小球电势能的增加量， 故BD 正确；
C．当如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C 错误；
故选BD。
3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
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4．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电
荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空
间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均
为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹
簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A
的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知
时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为
r0，根据平衡条件有
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其中
联立可得
（3）在
时刻，A 的速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，
此时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为
，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左
运动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。
设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B
联立解得
5．（2023·全国·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可
从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
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a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a 带负电，油滴b 带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v 时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，可知油滴a 做减速运动，
油滴b 做加速运动，可知油滴a 带负电，油滴b 带正电；当再次匀速下落时，对a 由受力平衡可得
其中
对b 由受力平衡可得
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其中
联立解得
6．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨在B 点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度
大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹
角为
的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球从A 到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B 到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O 点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x 轴和y 轴，则x 轴方向有
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竖直方向有
解得
，
说明小球从O 点开始以后的运动为x 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y 轴方向做匀速直线运动，
即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O 点后运动的轨迹方程
7．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923 年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d 的足够大金属极板，上极板中央
有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为
、位于
同一竖直线上的球形小油滴A 和B，在时间t 内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板接
正极），A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动。B 在匀速运动时间t 内上升了距离
，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为
，其中k 为比例系数，m 为油滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B 的带电量和电性；B 上升距离
电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【答案】（1）
；（2）油滴A 不带电，油滴B 带负电，电荷量
，电势能的变化
量
；（3）见解析
【详解】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
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又
联立可得
（2）加电压后，油滴A 的速度不变，可知油滴A 不带电，油滴B 最后速度方向向上，可知油滴B 所受电
场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B 带负电，油滴B 向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
根据
又
联立解得
（3）油滴B 与油滴A 合并后，新油滴的质量为
，新油滴所受电场力
若
，即
可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
可得
新油滴向上加速，达到平衡时
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解得速度大小为
速度方向向上；
若
，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
可知
新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
8．（2021·福建·高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N 四点距O 点的距离均为
，O 为
水平连线
的中点，M、N 在
连线的中垂线上。A、B 两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（
）。以O 为原点，竖直向下为正方向建立x 轴。若取无穷远处为电势零点，则
上的电势
随位置
x 的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（
）的小球
以一定初动能从M 点竖直下落，一段时间
后经过N 点，其在
段运动的加速度大小a 随位置x 的变化关系如图（c）所示。图中g 为重力加速度大
小，k 为静电力常量。
（1）求小球
在M 点所受电场力大小。
（2）当小球
运动到N 点时，恰与一沿x 轴负方向运动的不带电绝缘小球
发生弹性碰撞。已知
与
的质量相等，碰撞前、后
的动能均为
，碰撞时间极短。求碰撞前
的动量大小。
（3）现将
固定在N 点，为保证
能运动到N 点与之相碰，
从M 点下落时的初动能须满足什么条件？
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设A 到M 点的距离为
，A 点的电荷对小球
的库仑力大小为
，由库仑定律有
①
设小球
在
点所受电场力大小为
，由力的合成有
②
联立①②式，由几何关系并代入数据得
③
（2）设O 点下方
处为
点，
与
的距离为
，小球
在
处所受的库仑力大小为
，由库仑定律
和力的合成有
④
式中
设小球
的质量为
，小球
在
点的加速度大小为
，由牛顿第二定律有
⑤
由图（c）可知，式中
联立④⑤式并代入数据得
⑥
设
的质量为
，碰撞前、后
的速度分别为
，
，
碰撞前、后的速度分别为
，
，取竖直向
下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有
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⑦
⑧
设小球S2碰撞前的动量为
，由动量的定义有
⑨
依题意有
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得
⑩
即碰撞前
的动量大小为
。
（3）设O 点上方
处为D 点。根据图（c）和对称性可知，
在D 点所受的电场力大小等于小球的重力
大小，方向竖直向上，
在此处加速度为0；
在D 点上方做减速运动，在D 点下方做加速运动，为保证
能运动到N 点与
相碰，
运动到D 点时的速度必须大于零。
设M 点与D 点电势差为
，由电势差定义有
⑪
设小球
初动能为
，运动到D 点的动能为
，由动能定理有
⑫
⑬
由对称性，D 点与C 点电势相等，M 点与N 点电势相等，依据图（b）所给数据，并联立⑥⑪⑫⑬式可得
⑭
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