文档文本内容
4.4 解三角形
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、正弦定理、余弦定理....................................................................................................................3
二、三角形的面积公式........................................................................................................................3
三、实际应用问题................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：利用公式解三角形................................................................................................................6
题型二：判断三角形解的个数............................................................................................................7
题型三：三角形的形状判断................................................................................................................8
题型四：三角形的面积........................................................................................................................9
题型五：与平面几何有关的问题......................................................................................................10
题型六：与三角函数性质的结合应用..............................................................................................12
题型七：实际应用问题......................................................................................................................14
题型八：周长问题..............................................................................................................................16
题型九：倍角问题..............................................................................................................................17
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................19
05 数学思想方法.................................................................................................................................20
①数形结合..........................................................................................................................................20
②转化与化归......................................................................................................................................20
③分类讨论..........................................................................................................................................21
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................22
基础过关篇..........................................................................................................................................22
能力拓展篇..........................................................................................................................................25
1、掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2、理解三角形的面积公式并能应用.
3、能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
一、正弦定理、余弦定理
1、正弦定理和余弦定理：a，b，c指△ABC 的内角A，B，C 的对边，R 指△ABC 的外接圆半径
定理
正弦定理
余弦定理
基本
公式
；
；
．
常见
推论
（1）
，
，
；
（2）
，
，
；
（3）a
b
c
：
：
=sin A ：sinB ：sinC；
（4）
．
；
；
．
二、三角形的面积公式
（1）
S=1
2 ab sinC=1
2 bc sin A=1
2 ac sin B
；
（2）
S=1
2 (a+b+c)r(r 为三角形内切圆半径)
；
（3）
S=√p( p−a)( p−b)( p−c)( p=a+b+c
2
)
；
（4）
S=2R2sin Asin BsinC=abc
4 R (R为三角形外接圆半径)
；
三、实际应用问题
（1）距离问题
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离
余弦定理
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
（2）高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，
AB＝a·tan C.
底部不可达
点
B
与
C，D 共线
测得CD＝a 及C 与∠ADB 的
度数.
先由正弦定理求出AC 或
AD，再解三角形得AB 的值.
点
B
与
C，D 不共
线
测得CD ＝a 及∠BCD ，
∠BDC，∠ACB 的度数.
在△BCD 中由正弦定理求得
BC，再解三角形得AB 的值.
常用二级结论
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个
数
一解
两解
一解
一解
无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
．
3、三角形中的射影定理
在
中，
；
；
．
题型一：利用公式解三角形
【典例1-1】（2025·高三·四川·学业考试）已知
的内角
的对边分别为
，且
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【典例1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）
中内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【解题总结】
（1）涉及三角形两边以及对角的问题优先考虑正弦定理，其中包含①已知两边＋其中一边的对角类
型；②已知两角+其中一角的对边类型．
（2）涉及三角形三边加一个内角的问题选择余弦定理，其中包含①已知三边求一内角的类型；②已
知两边和一内角，求另一边的类型（若该内角为两边的夹角，直接使用公式求解；若内角不为夹角，则用
公式建立方程求解．）
【变式1-1】（2025·四川巴中·模拟预测）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·广东梅州·模拟预测）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2025·高三·江苏常州·开学考试）在
中，已知
，则边
的长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-4】（2025·高三·河北衡水·开学考试）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：判断三角形解的个数
【典例2-1】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在
中，内角
所对边分别为
，已知
，且三角形有两解，则角A 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2025·江西·二模）在
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【解题总结】
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的
对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【变式2-1】符合下列条件的三角形有2 个解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【变式2-2】在△ABC 中，内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在
中，
，
，分别是
角
，
，
的对边，已知
，
，求边，显然缺少条件，若他打算补充
的大小，并使得
只有一解，
的取值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ）
A．
，
，
，有两解
B．
，
，
，有两解
C．
，
，
，有两解
D．
，
，
，无解
题型三：三角形的形状判断
【典例3-1】在
中，角A，B，C 所对的边分别为
，且
成等比数列，设
的面积为，
若
，则
的形状为（ ）．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【典例3-2】已知
的内角
所对的边分别为
，
，则
的形状为
（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【解题总结】
(1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
【变式3-1】已知
三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，则
的形状
是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【变式3-2】在
中， 若
， 则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【变式3-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定的
【变式3-4】在
中，
，则“
”是“
是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型四：三角形的面积
【典例4-1】在
中，
.
(1)求
；
(2)求c 以及
的值.
【典例4-2】
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)求角C 的值；
(2)求
的最大值；
(3)若AB 边上的中线CD 长为
，求
的面积．
【解题总结】
与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【变式4-1】（2025·湖南永州·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求
；
(2)若
，
面积为
，求c.
【变式4-2】（2025·四川巴中·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
.已知
.
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，
，求
的面积.
【变式4-3】（2025·高三·河南商丘·开学考试）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
的外接圆半径
，求
的面积．
【变式4-4】（2025·高三·广西桂林·开学考试）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积.
题型五：与平面几何有关的问题
【典例5-1】（2025·高三·山东·开学考试）如图， 在△ABC 中，
．取BC 边中点D，
连接AD，设E 为AD 中点，连接BE 并延长与△ABC 交于点F，则EF 的长为 ．
【典例5-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指
出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形
的四个顶点在
同一个圆的圆周上，
，
是两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为
．
【变式5-1】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形
与一个直角三角形
拼接成一
个平面四边形
，且
，
，
，则当
的长最大时，
的值为
.
【变式5-2】如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，则
.
【变式5-3】如图，在
中，
，
，
、
是边
上的两点，且
，则
．
【变式5-4】如图，在直角
中，
，
为
上的点，
为
上的点，若
，
，
，
，则
．
题型六：与三角函数性质的结合应用
【典例6-1】（2025·高三·上海·期中）已知函数
．
(1)若
是三角形中一内角，且
，求
的值；
(2)若
，且
，求
的值．
【典例6-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知
的内角A，
，
所对的边分别为
，
，，
的最大值为
.
(1)求角
；
(2)若点
在
上，满足
，且
，
，解这个三角形.
【解题总结】
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定
理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以
进一步简化计算过程，提高解题效率。
【变式6-1】（2025·高三·上海虹口·期中）已知向量
.设
.
(1)求函数
的单调增区间；
(2)在
中，角
所对的边分别为
.若
，三角形
的面积为
，求边
的
长.
【变式6-2】已知函数
(1)当
时, 求函数
的值域;
(2)已知
的内角
满足
，点
是边
的中点，
，
，求三角形
的面积.
【变式6-3】已知向量
，
，设函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及其图象的对称轴方程；
(2)已知
分别为三角形
的内角
对应的三边长，
为锐角，
，且
恰是函数
在
上的最大值，求三角形
的面积.
【变式6-4】（2025·上海宝山·一模）已知函数
，
.
(1)求函数
的单调增区间；
(2)在锐角
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，当
，
，且三角形ABC 的面积为
时，求a.
题型七：实际应用问题
【典例7-1】（2025·高三·福建·开学考试）崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用
花岗石砌建，风化后呈黑色，故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登
攀，塔上浮雕佛像及碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚
牢塔的实际高度
，选取了与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
，现测得
m，在点
测得塔顶
的仰角为
.取
，
则塔高
约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】（2025·高三·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为
，
，为
测量峰顶M 和峰顶N 之间的距离，测量队在B 点（A，B，C 在同一水平面上）测得M 点的仰角为30°，N
点的仰角为60°，且
，则两座山峰峰顶之间的距离
（ ）
A．200m
B．
C．400m
D．600m
【解题总结】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．
【变式7-1】镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A 级旅游
景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度
，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m 的建筑物
，在地面
上点C 处（B，C，N 在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M 的仰角分别为15°
和60°，在A 处测得镇国寺塔顶部M 的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（
）
A．37.52m
B．35.48m
C．33.26m
D．31.52m
【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）某人在
点观察河对岸的建筑物
（
在同一水平面上，
在同一铅垂线上），已知在
点观察建筑物上的
点和
点的仰角分别为
和
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直
立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳
照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天
定为夏至.图2 是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即
）为
，夏至正午太阳高度角（即
）为
，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即
的长）为
a，则表高（即
的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-4】如图，为了测量两山顶
间的距离，飞机沿水平方向在
两点进行测量，
在
同一个铅垂平面内，在A 点测得
在A 的南偏东
的方向上，
在A 的南偏东
的方向上，在
点测
得
在
的南偏西
的方向上，
在
的南偏东
的方向上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：周长问题
【典例8-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）在
中，
分别为角
的对边.已知
是一个面
积为
的锐角三角形，且
，则
的周长为 .
【典例8-2】（2025·高三·江苏扬州·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
且
，则
的周长为 .
【解题总结】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正
弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【变式8-1】
中，角
、
、
的对边分别为a、b、c，若
，则
的周长为 ．
【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）在
中，
的面积为
，则
的周长
为 .
【变式8-3】在
中，若
，且
，则
的周长为 ．
【变式8-4】
中，
、
、
的对边分别为
、
、，且
，
，
则
的周长为
题型九：倍角问题
【典例9-1】在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例9-2】在锐角
中，
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已
知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息
和灵活性。
【变式9-1】已知
的三个角
的对边分别是
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
的三个角
，
，
的对边分别是
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】（2025·吉林长春·模拟预测）
的内角
所对的边分别为
，
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【变式9-4】（2025·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
1．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）在
中，
，
的角平
分线交BC 于D，则
．
3．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
①数形结合
1．在
中，
，
的角平分线AD 交BC 于点D，若
，则
A．
B．
C．1
D．
2．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅
存三级，它的底座是近似圆形的，如图
我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就
可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10 块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体
砖块底面较长的边长为1 个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为
，如图2，则此近似圆形墙面内部所能
容纳最大圆的半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在平面凸四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
②转化与化归
4．在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则下列结论一定正确的
是
A．
B．
C．
D．
5．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，
若
，D 为BC 边上的点，且
，
，
，则
A．4
B．
C．
D．
6．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的最小值
是
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．在
中，“
”是“C 为直角”的（ ）
A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
8．在
中，
，
，
，则角A 的大小为
A．
B．
或
C．
D．
或
9．钝角
的内角A，B，C 的对边分别是
，若
，则
的面积为
A．
B．
C．
D．
或
基础过关篇
1．（2025 年高考全国二卷数学真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 年北京高考数学真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三
角形，若二面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，
,存在点A 满足
，则
(精确到0.1 度)
7．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））在
中，已知
，
，
，则
．
8．（2025 年高考北京卷数学真题）在
中，
．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求BC 边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
9．（2025 年高考天津卷数学真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
10．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
11．（2024 年北京高考数学真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
12．（2024 年天津高考数学真题）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
13．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
14．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
15．（2023 年天津高考数学真题）在
中，角
所对的边分别是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
的值．
16．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
17．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积
为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
能力拓展篇
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别是
，若
，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，
，则角
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，设
为抛物线
的焦点，
是
上一点，点
，若
的延长线与
交于点
．记
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）已知锐角三角形
中，角
的对边分别为
，有
，则
的取
值不可能是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔
的正西方向且相距50 海里的
处有一艘甲船，需要海上加油，
位于灯塔
的东北方向的
处有一艘乙船在甲船的北偏东
方向上，则乙船前往支援
处的甲船需要航
行的最短距离是 海里.
6．（2025·江苏宿迁·三模）已知
分别为
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，
为
边上一点，满足
，
①求
的周长；
②求
的长.
7．（2025·河北邯郸·一模）在锐角
中，内角
满足
.
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的取值范围；
(3)证明：
.
8．（2025·湖北武汉·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
.
9．（2025·河北唐山·模拟预测）在
中，角
所对的边分别是
．已知
，
的面积为
．
(1)求
；
(2)
为边
上一点，
①若
是
的平分线，求线段
的长；
②若
，求
．
10．（2025·黑龙江大庆·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求
的周长.
11．（2025·福建三明·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边是
，
，，已知
，
外接圆面积为
．
(1)求
的长；
(2)若
，求
的周长．
12．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
平分
，点
在线段
上，且
，求
的长．
13．（2025·福建福州·一模）在
中，
，
为
的中点，
.
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的长.
14．（2025·江苏连云港·模拟预测）在
中，点
在边
上，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
