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立体几何七类大题梳理
题型归纳
题型一：空间异面直线夹角的求解
（23-24 高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是平行四边
形，且
是等边三角形，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
是等腰三角形，求异面直线
与
所成角的余弦值.
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1．（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥
的轴截面
是边长为4 的等边三角形，
是
的中点，
是底面圆周上一点，
.
(1)求
的值；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值.
2．（24-25 高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与
所成角的余弦值.
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题型二：空间直线与平面夹角的求解
（24-25 高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥
中，平面
⊥平面
，
，
，
，
，
，
，
(1)求证：平面
⊥平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
1．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱
中，
，
，
，
，
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
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2．（24-25 高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧棱
底面
，
.点
是棱
的中点，点
为棱
上的一点，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型三：空间平面与平面夹角的求解
（24-25 高三上·湖北·期中）如图，球
的半径为
，
为球面上三点，若三角形
为直角三角形，
其中
.延长
与球
的表面交于点
.
(1)求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成的角分别为
，试求二面角
的正弦值.
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1．（24-25 高三上·福建南平·期中）如图，在四棱锥
中，点
在平面
上射影是
的外
心，且
是棱
的中点，且
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求二面角
的正弦值.
2．（24-25 高三上·北京·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
，
，M 为线段
的动点.
(1)若直线
平面
，求证：
为
的中点：
(2)求证：平面
平面
(3)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
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题型四：空间点、线、面间的距离求解
（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）如图，
是正三角形
的一条中位线，
，将
沿
折起，
得到四棱锥
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
求点
到平面
的距离.
1．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知四棱柱
中，底面ABCD 为梯形，
，
平面
，
，其中
，
.
，
分别是线段
和线段
上的
动点，且
，
.
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(1)求证：
平面
；
(2)若
到平面
的距离为
，求
的长度.
2．（24-25 高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱
中，底面四边形
为梯形，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求直线BD 到平面
的距离．
题型五：空间几何体的体积求解
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（23-24 高三上·海南海口·月考）如图，在长方体
中，
，
，
分别
为
，
的中点．
(1)证明：
；
(2)求三棱锥
的体积．
1．（24-25 高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形
（及其内部）绕
旋转一周形成圆柱，其中
，
，劣弧
的长为
，
为圆
的直径，平面
与平面
的交线为.
(1)证明：
；
(2)若平面
与平面
夹角的正切值为
，求四棱锥
的体积．
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2．（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，四棱锥
中，底面四边形
为凸四边形，且
，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知平面
与平面
夹角的余弦值为
，求四棱锥
的体积．
题型六：空间几何体的翻折问题
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（23-24 高三下·山东·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
是
的中点，将
沿直线
翻折使点
到达点
的位置，
为线段
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的大小.
1．（24-25 高三上·云南昆明·期中）已知在长方形
中，
，
，点
是边
的中点，如
图甲所示.将
沿
翻折到
，连接
，
，得到四棱锥
，其中
，如
图乙所示.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值.
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2．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角
中，
为
中点，
，取
中
点
，连接
，现把
沿着
翻折，形成三棱锥
如图2，此时
，取
中点
，
连接
，记平面
和平面
的交线为
为上异于
的一点.
(1)求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长度.
题型七：空间动点存在性问题的探究
（24-25 高三上·四川德阳·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
为
棱
上的动点.
(1)若
为
中点，证明：
平面
；
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(2)若
，在线段
上是否存在点
使得面
与面
夹角余弦值为
，若存
在，求出点
位置，若不存在，说明理由.
1．（24-25 高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片
中，
，沿
将
折起，
使点
到达点
的位置，且满足平面
⊥平面
.
(1)求证：平面
平面
，并求
的长度；
(2)若
是线段
上（不包括端点）的一个动点，是否存在点
，使得直线
与平面
的夹角为
？
若存在，求
的长度；若不存在，说明理由.
2．（24-25 高三上·湖南·月考）如图，侧面
水平放置的正三棱台
，侧棱
长为
为棱
上的动点.
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(1)求证：
平面
；
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，求出点
；若不存在，
请说明理由.
必刷大题
1．（24-25 高三上·江苏扬州·月考）已知三棱锥
底面
，
点
是
的中点，点
为线段
上一动点，点
在线段
上.
(1)若
平面
，求证：
为
的中点；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的余弦值.
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2．（24-25 高三上·江苏苏州·月考）如图，在平行四边形
中，
，以
为
折痕将
折起，使点M 到达点D 的位置，且
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)Q 为线段
上一点，P 为线段
上一点，且
，求点P 到平面ABQ 的距离.
3．（24-25 高三上·浙江宁波·模拟考试）在三棱锥
中，侧面
是边长为2 的等边三角形，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
4．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）在梯形
中，
，
，
，
为
的中点，线段
与
交于
点（如图1）.将△
沿
折起到△
位置，使得
（如图2）.
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(1)求证：平面
平面
；
(2)线段
上是否存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求出
的值；若不
存在，请说明理由.
5．（24-25 高三上·北京·期中）如图，在四棱锥
中，直线
平面
.
，
，
，
，
，平面
平面
，F 为线段
的中点，E 为
线段
上一点.
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)是否存在点E，使得点E 到平面
的距离是
，若存在求出
的值，若不存在请说明理由.
6．（24-25 高三上·浙江·月考）在四棱锥
中，
，
，
底面
，点O 在
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上，且
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，点
在
上，
平面
，求
的值；
(3)若
，二面角
的正切值为
，求二面角
的余弦值.
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
2．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
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ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的
中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
3．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
4．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
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(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
