文档内容
重难点突破 07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................4
1
题型一：三角形的面积问题之S = ⋅底·高....................................................................................4
△ 2
题型二：三角形的面积问题之分割法................................................................................................5
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化........................................................................6
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型............................................................................9
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型..................................................................................10
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型..............................................................................12
题型七：四边形的面积问题之一般四边形......................................................................................14
03 过关测试.........................................................................................................................................161、三角形的面积处理方法
（1） 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2） 水平宽·铅锤高 或
（3）在平面直角坐标系 中，已知 的顶点分别为 ， ， ，三角
形的面积为 ．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直
（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般
处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求
最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法
计算面积，尽可能降低计算量．1
题型一：三角形的面积问题之S = ⋅底·高
△ 2
【典例1-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上
顶点为 ，直线 ， 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知椭圆 上点 处的切线方程是 .若点 为直线 上的
动点，过点 作椭圆 的切线 ， ，切点分别为 ， ，求 面积的最小值.
【典例1-2】（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线 ： 与直线 ： 交于 、 两点（ 在
左侧），过点 的两条关于 对称的直线 、 分别交双曲线 于 、 两点（ 在右支， 在左支）．
(1)设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值；
(2)若直线 与双曲线 在点 处的切线交于点 ，求 的面积．
【变式1-1】（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆 的短轴长为2，点 在椭
圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 在椭圆 上（点 不在坐标轴上），证明：直线 与椭圆 相切；
(3)设点 在直线 上（点 在椭圆 外），过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 为坐标
原点，若 和 的面积之和为1，求直线 的方程.【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C
交于A，B两点，且 （其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积的最小值.
题型二：三角形的面积问题之分割法
【典例2-1】已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，离心率 ，且过点
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，点 ，求三角形 面积的最大值．
【典例2-2】（2024·高三·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，
且经过点 和 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与坐标轴平行的直线 交曲线 于 ， 两点，过点 ， 分别向 轴作垂线，垂足
分别为点 ， ，直线 与直线 相交于 点．
①求证：点 在定直线上；
②求 面积的最大值．【变式2-1】（2024·天津南开·二模）已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，且C的左、
右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为 .当
的面积取得最大值时，求直线l的方程.
， ，则 ，
【变式2-2】设动点M与定点 的距离和M到定直线l： 的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
【典例3-1】如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，若点 为双曲线 在第一象限上
的一点，且满足 ，过点 分别作双曲线 两条渐近线的平行线 、 与渐近线的交点分
别是 和 .（1）求四边形 的面积；
（2）若对于更一般的双曲线 ，点 为双曲线 上任意一点，过点 分别作双曲
线 两条渐近线的平行线 、 与渐近线的交点分别是 和 .请问四边形 的面积为定值吗？
若是定值，求出该定值（用 、 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【典例3-2】（2024·四川达州·二模）已知抛物线 ，直线 与 交于 两点，
线段AB中点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 与 轴交于点 为原点，设 的面积分别为 ，若
成等差数列，求 .
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知抛物线 ：y2=2px(p>0)，焦点 在直线 上．
过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，以焦点 为圆心， 为半径的圆 分别与直线 、
交于 、 两点．(1)求抛物线 的标准方程；
(2)求 面积 的取值范围．
【变式3-2】（2024·河北保定·三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，离心率为 ，
且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆上异于 的两动点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 .直线
与 轴相交于点 ，求 的面积的最大值.
【变式3-3】（2024·河北保定·三模）已知抛物线 ： 上一点 到坐标原点 的距
离为 .过点 且斜率为 的直线 与 相交于 ， 两点，分别过 ， 两点作 的垂线，
并与 轴相交于 ， 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
【变式3-4】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点（其中点 在第一象限），过点 作 的切线交 轴于点 ，直线
交 于另一点 ，直线 交 轴于点 .
(1)求证： ；
(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，当点 的横坐标大于2时，求 的最小值
及此时点 的坐标.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
【典例4-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆 的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆 的方程；
(2) 为直线 上一动点，记椭圆 的上下顶点为 ，直线 分别交椭圆 于点 ，当
与 的面积之比为 时，求直线 的斜率.
【典例4-2】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知双曲线 的焦距为 且左右顶点分
别为 ，过点 的直线 与双曲线 的右支交于 两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明： 是定值；(3)设 为直线 和 的交点，记 的面积分别为 ，求 的最小值．
【变式4-1】（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于
两点，当直线 与 轴垂直时， （其中 为坐标原点）.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 在第一象限，直线 的倾斜角为锐角，过点 作 的切线与 轴交于点 ，连接 交 于另一
点为 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 面积之比的最大值.
【变式4-2】已知抛物线C： 上一点 到焦点F的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一交点分别为
为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
【典例5-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知椭圆 过点 ，且 的右
焦点为 .
(1)求 的方程：
(2)设过点 的一条直线与 交于 两点，且与线段 交于点 .
（i）证明： 到直线 和 的距离相等；
（ii）若 的面积等于 的面积，求 的坐标.【典例5-2】在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原点O对称，P是动点，且直线 与 的
斜率之积等于 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线 和 分别与直线 交于点M，N,问：是否存在点P使得 与 的面积相等？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【变式5-1】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆 和圆 经过 的右焦
点 ，点 为 的右顶点和上顶点，原点 到直线 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆 的左、右顶点，过 的直线 交 于 ， 两点（其中 点在 轴上方），求
与 的面积之比的取值范围．
【变式5-2】（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线 .过抛物线焦点F作直线 分别在
第一、四象限交 于 两点，过原点O作直线 与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P
的纵坐标为 时， .
(1)求抛物线的方程.
(2)若 平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
(3)在（2）的条件下，记 的重心为R，延长 交 于Q，直线 交抛物线于 （T在右侧），
设 中点为G，求 与 面积之比n的取值范围.【变式5-3】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，
且 经过点 ．
(1)求椭圆 方程；
(2)直线 与椭圆 交于点 为 的右焦点，直线 分别交 于另一点 、 ，
记 与 的面积分别为 ，求 的范围．
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
【典例6-1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆 的上顶点为B，右焦点为F，点
B、F都在直线 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若圆 的两条相互垂直的切线 均不与坐标轴垂直，且直线 分别与 相交于点A，C和
B，D，求四边形 面积的最小值．
【典例6-2】（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆 经过 ， 两
点．
(1)求 的方程；
(2)若圆 的两条相互垂直的切线 均不与坐标轴垂直，且直线 分别与 相交于点A，C和
B，D，求四边形 面积的最小值．【变式6-1】已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在实数 ，使椭圆 上存在不同两点 、 关于直线 对称？若存在，求 的取值范
围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆 的内接四边形 的对角线 与 垂直相交于椭圆的左焦点， 是四边形 的面积，求
的最小值.
【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知 分别为椭圆 的左､右焦点，直
线 过点 与椭圆交于 两点，且 的周长为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)直线 过点 ，且与 垂直， 交椭圆 于 两点，若 ，求四边形 面积的范围.
【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的动弦
过椭圆 的右焦点 ，当 垂直 轴时，椭圆 在 ， 处的两条切线的交点为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)若直线 的斜率为 ，过点 作 轴的垂线 ，点 为 上一点，且点 的纵坐标为 ，直线 与
椭圆 交于 ， 两点，求四边形 面积的最小值．题型七：四边形的面积问题之一般四边形
【典例7-1】（2024·辽宁·模拟预测）给出如下的定义和定理：
定义：若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点 ，且 与 的对称轴不平行，则称直线 与抛物线 相切，
公共点 称为切点．
定理：过抛物线 上一点 处的切线方程为 ．
完成下述问题：
已知抛物线 ，焦点为 ，过 外一点 （不在 轴上），作 的两条切线，切点分别为 ，（
在 轴两侧）直线 分别交 轴于 两点，
(1)若 ，求线段 的长度；
(2)若点 在直线 上，证明直线 过定点，并求出该定点；
(3)若点 在曲线 上，求四边形 的面积的范围．
【典例7-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线 与直线 ，分别与抛物线
交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当 经过T的焦点F且垂直于x轴时，
．
(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；②若 ，求四边形ABCD的面积．
【变式7-1】（2024·高三·四川达州·开学考试）定义：若椭圆 上的两个点
满足 ，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 ．已知椭圆
的一个焦点坐标为 ，且椭圆过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点 满足“共轭点对” ，并求出 的坐标；
(3)设（2）中的两个点 分别是 ，设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ， 顺时针排列
且 ，证明：四边形 的面积小于 ．
【变式7-2】已知椭圆 的离心率为 ，过其右焦点 且与 轴垂直的直线交椭圆
于 ， 两点，且满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 的直线 与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点 ， ，弦 的中点为 ，直线 与椭圆
交于点 ， ，求四边形 面积 的取值范围.【变式7-3】已知曲线 的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数 使得⃗AF=λ⃗FB，
曲线C在点A，B处的切线交于点D．
(1)求点D的轨迹方程；
(2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当 时，求四边形ADBE的
面积．
【变式7-4】（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆 ：
（ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，当 ， 斜率均
存在时， ，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于
， 两点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
1．（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为
，点 为椭圆 上任意一点，且 的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与直线 分别交椭圆 于 和 两点，求四边形 的面积．2．（2024·河北·模拟预测）已知 ，平面内动点 满足直线 的斜率之积为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过点 的直线交 的轨迹 于 两点，以 为邻边作平行四边形 （ 为坐标原点），
若 恰为轨迹 上一点，求四边形 的面积.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知 分别是椭圆 的左右焦点，如图，
抛物线 的焦点为F (−c,0)，且与椭圆在第二象限交于点 ，延长 与椭
1
圆交于点 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设 和 的面积分别为 ，求 ．
4．（2024·高三·山东烟台·开学考试）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，斜率分别为
的直线 均过点 ，且分别与 交于 和 （其中 在第一象限）， 分别为
的中点，直线 与 交于点 ， 的角平分线与 交于点 .
(1)求直线 的斜率（用 表示）；
(2)证明： 的面积大于 .5．（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆 ： ，点 （ ）与 上的点之间的距离
的最大值为6．
(1)求点 到 上的点的距离的最小值；
(2)过点 且斜率不为0的直线 交 于 ， 两点（点 在点 的右侧），点 关于 轴的对称点为 ．
①证明：直线 过定点；
②已知 为坐标原点，求 面积的取值范围．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ， ，平面内动点P满足 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线 交C于A、B两点，O为坐标原点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，若 ，求
证直线 过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记 与 的面积分别为 和 ，求 的取值范围.
x2 y2
7．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
为坐标原点，直线 与 交于 两点，点 在第一象限，点 在第四象限且满足直线 与直线 的斜
率之积为 ．当 垂直于 轴时， ．
(1)求 的方程；
(2)若点 为 的左顶点且满足 ，直线 与 交于 ，直线 与 交于
．
①证明： 为定值；
②证明：四边形 的面积是 面积的2倍．8．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为
.上、下顶点分别为 ，且 面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线 与x轴交于点M，直线 、 分别与直线 交
于点N、D，求证： 与 的面积相等.
9．定义：若椭圆 上的两个点 满足 ，则称
为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图， 为椭圆 的“共轭点对”，已知 ，且点 在直线 上，直线 过原点．
(1)求直线 的方程；
(2)已知 是椭圆 上的两点， 为坐标原点，且 ．
（i）求证：线段 被直线 平分；
（ii）若点 在第二象限，直线 与 相交于点 ，点 为 的中点，求 面积的最大值．
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ， ， 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点，设线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
11．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 的距离
之比为 ，记 的轨迹为曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点， ．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： ；
(3)若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂
线，垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
12．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线 的焦点为
点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点， ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC
的中垂线交x轴于点G，若 ， 的面积分别记为 ， ，且 ，点A在第一象限，求点A
的坐标．
13．（2024·天津·二模）设椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为
， ，且 ，离心率为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆交于点 ，与 轴交于点 ，且满足 ，若三角形 （ 为坐标
原点）的面积是三角形 的面积的 倍，求直线 的方程．14．（2024·高三·山东潍坊·开学考试）已知双曲线 的焦距为4，离心率为
分别为 的左､右焦点，两点 都在 上.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)若 且 ，求四个点 所构成的四边形的面积的取值范围.
15．（2024·湖北·一模）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左顶点和上
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程：
(2)设椭圆 的右顶点为 、 是椭圆 上不与顶点重合的动点．
（i）若点 ，点 在椭圆 上且位于 轴下方，直线 交 轴于点 ，设 和 的面积分
别为 ， 若 ，求点 的坐标：
（ii）若直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，求证： 为定值，并求出此定值（其
中 、 分别为直线 和直线 的斜率）．16．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，矩形 中，|AB|=4， ， 分别是矩形四
条边的中点，设 ， ，设直线 与 的交点 在曲线 上.
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 与曲线 交于 ， 两点，点 在第一象限，点 在第四象限，且满足直线 与直线 的斜率
之积为 ，若点 为曲线 的左顶点，且满足 ，直线 与 交于 ，直
线 与 交于 .
①证明： 为定值；
②是否存在常数 ，使得四边形 的面积是 面积的 倍？若存在求出 ，若不存在说明理由.
