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2024 届高三第一次教学质量检测模拟试题（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合 ，然后用补集的定义即可求解
【详解】由 可得 ，解得 ，
因为全集 ，所以 ，
所以
故选：D
2. 若复数 的实部和虚部相等，则实数 的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数实部和虚部的概念及四则运算求解即可.
【详解】由题设 ，
因为复数 的实部和虚部相等，
所以 ，解得 ，
故选：B
3. 已知 、 、 是不重合的直线， 、 是不重合的平面，对于下列命题
①若 ， ，则
② 且 ，则
③ 且 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】④若 、 是异面直线， ， ， 且 ，则
其中真命题的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中线线、线面位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可.
【详解】解：对于①若 ， ，则 与 可能平行也可能异面，故①错误；
对于②，若 ，且 ，则 或 ，故②错误；
对于③，若 ，且 ，则由线面垂直的判定定理得 ，故③正确；
对于④，若 、 是异面直线， ， ， 且 ，
如图，因为 ，所以存在直线 ， 且满足 ，又 ，所以
同理存在直线 ， 且满足 ，又 ，所以 ，
因为 、 是异面直线，所以 与 相交，设 ，
又 ，所以 ，故④正确.
故选：B
4. 斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛 应的用.斐波那契数列 可以用
如下方法定义： .若此数列各项除以4的余数依次构成一个新
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】数列 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ，递推得到数列 ，然后再得到数列 是以6为周
期的周期数列求解.
【详解】因为 ，
所以数列 为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
此数列各项除以4的余数依次构成的数列 为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，0，…
是以6为周期的周期数列，
所以 ，
故选：A
5. 若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，过右焦点且垂
直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的
方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为 ，根据被圆 所截得的弦长为2，利
用弦长公式求得a，b的关系，再根据A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，由右焦点到渐近线
的距离为A，B到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线求解.
【详解】不妨设双曲线 的一条渐近线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】圆 的圆心到渐近线的距离为 ，
因为被圆 所截得的弦长为2，
所以 ，即 ，即 ，
右焦点到渐近线的距离 ，
因为A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，
且右焦点到渐近线的距离为A，B到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线，
所以 ，则 ，
所以双曲线的方程为 ，
故选：C
6. 定义在R上的奇函数 满足 ，且 时， ，则
（ ）
A. B. 1 C. 7 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得 ，然后结合奇偶性，即可利用解析式求出答案.
【详解】 ，
，
又 是奇函数，且 时， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
故选：A.
【点睛】本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简单的指、对数计算，难度不大.
7. 在三棱锥 中， 平面 ， 是边长为3的正三角形， ，则该三棱锥的
外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出 的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，进而得出表面积.
【详解】设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，该三棱锥的外接球的球心为 ，半径为
∵ ， ， ，∴
∴
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦定理求出 的外接圆的半径，结合勾股定理得出
三棱锥的外接球的半径.
8. 函数 满足 ，当 时都有 ，且对任意的 ，
不等式 恒成立．则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】分析得到函数为偶函数，在 单调递增，则对任意的 ，不等式
恒成立，转化为 ， 恒成立，再转化为
，得 ， 恒成立，再分两种情况，得到 的范
围.
【详解】由题得函数 为偶函数，在 单调递增，
则对任意的 ，不等式 恒成立，
则不等式 ， 恒成立，
则 ， 恒成立，
得 ，得 ， 恒成立，
则 且 ，或 且 ， 恒成立，
即当 时， 且 ，或 且 ，
又当 ，有 ， ，
得 .
故选：C.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思
想，综合能力强，难度大.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9. 已知向量 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 存在 ，使得
C. 向量 是与 共线的单位向量 D. 在 上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量关系依次计算判断即可.
【详解】对A，若 ，则 ，则 ，故A错误；
对B，要使 ，则 ，则 ，因为 ，所以 ，故存在 ，使
得 ，故B正确；
对C，因为 ，所以 ，又 ，所以向量 是与
的
共线 单位向量，故C正确；
对D，因为 为单位向量，则 在 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：BCD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若离散型随机变量 的数学期望为 ，方差为 ，则 ，
B. 假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，两个孩子都是女孩的概率是
C. 份不同的礼物分配给甲 乙 丙三人，每人至少分得一份，共有 种不同分法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D. 个数学竞赛名额分配给 所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有 种不同分法
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，利用均值方差的性质即可得到判断；对B，利用列举法即可判断；对C，根据先分组，再
排列即可判断；对D，利用隔板法即可.
【详解】对于A，若离散型随机变量 的数学期望为 ，方差为 ，
则 ， ，A正确；
对于B，假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，
设两个孩子为甲和乙，则两个孩子的性别可能为：①甲为男孩，乙为男孩；②甲为男孩，乙为女孩；
③甲为女孩，乙为男孩；④甲为女孩，乙为女孩，共 种情况，
两个孩子都是女孩只占其中 种情况，故两个孩子都是女孩的概率是 ，B正确；
对于C， 份不同的礼物分成 组的方式只有 ， ， ，所以只有 种情况，
再分配给三人，有 种方式，
最后根据分步乘法计数原理可知，共有 种不同分法，C错误；
对于D， 个数学竞赛名额分配给 所学校，每所学校至少分配一个名额，
采用挡板法可知在9个空格里放置3个空格，共有 种不同分法，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 在一个周期内的图象如图所示，其中图象最
高点、最低点的横坐标分别为 、 ，图象在 轴上的截距为 ．则下列结论正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. 的最小正周期为
B. 的最大值为2
C. 在区间 上单调递增
D. 为偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】
由周期求 ，由五点法作图求出 的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结
论．
【详解】由图知， 的最小正周期 ，则 .
由 ，得 .由 ，得 ，则 ，所以 .
当 时， ，则 单调递增.
因为 ，则 不是偶函数，
故选：BC．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12. 设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 两点，则（ ）
A. 为定值
B. 的周长的取值范围是
C. 当 时， 为直角三角形
D. 当 时， 的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由 为定值以及 的范围判断B；求
出 坐标，由数量积公式得出 ，得出 为直角三角形判断C；求出 坐标，由面
积公式得出 的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为 ，则
所以 为定值，A正确；
的周长为 ，因为 为定值6，
所以 的范围是 ，所以 的周长的范围是 ，B错误；
将 与椭圆方程联立，可解得 ，
又因为 ，∴
所以 为直角三角形，C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将 与椭圆方程联立，解得 ， ，所以 ，D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知数列 各项均为正数，若 ，且 ，则 的通项公式为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】推导出数列 为等比数列，确定该数列 的首项和公比，可求得数列 的通项公式.
【详解】由已知可得 ，所以， ，
所以，数列 是等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，因此， .
故答案为： .
14. 已知有三个条件：① ；② ；③ ，中能成为 的充分条件的是_____ 填序号
【答案】①
【解析】
【分析】根据充分条件的判定一一分析即可.
【详解】①由 可知 ，即 ， 故“ ”是“ ”的充分条件；
②当 时， ；
③当 ， 时，满足 ，有 ；
故②、③不是 的充分条件.所以能成为“ ”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
15. 如图，正方形 、 的边长都是1，而且平面 、 互相垂直，点 在 上移
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】动，点 在 上移动，若 ，则 的长的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示 ，再求 的长的最小值．
【详解】因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 两两垂直.
过点M作 ，垂足分别为G，H，连接 ，易证 .
因为 ，所以
以B为坐标原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则
所以
当 ， 的长最小，且最小值为 ．
故答案为： ．
16. 设函数 是定义在实数集 上的偶函数，且 ，当 时， ，则函
数 在 上所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析 的对称性，将问题转化为 图象交点横坐标之
和，采用数形结合法求解出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 是一个周期为 的周期函数，且关于直线 对称，
令 ，所以 ，
所以 关于直线 对称，
在同一平面直角坐标系中作出 的图象，如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图象可知： 的图象共有 个交点，
其中 个点关于 对称，还有一个点横坐标为 ，
所以交点的横坐标之和为 ，
所以 在 上所有零点之和为 ，
故答案为： .
【点睛】思路点睛：求解函数零点之和的问题，可以转化为求解函数图象交点的横坐标之和，利用数形结
合的思想能高效解答问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积 .
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】分析：（1）由 ，利用正弦定理可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得 ；从而可得结果；（2）由余弦定理可得
可得 ， 所以 .
详解： (1)∵
∴
∴
（2）∵
∴ ∴
点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果
式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，
则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18. 已知 是等比数列，前n项和为 ，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前2n项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 ，解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，分别代入 ，得 ， ；（Ⅱ）先根据等差中项得
， 再 利 用 分 组 求 和 法 求 和 ：
.
试题解析：（Ⅰ）解：设数列 的公比为 ，由已知，有 ，解得 .又由
，知 ，所以 ，得 ，所以 .
（Ⅱ）解：由题意，得 ，即 是首项为
，公差为 的等差数列.
设数列 的前 项和为 ，则
.
【考点】等差数列、等比数列及其前 项和公式
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：
（1）若a＝b±c，且{b }，{c }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a }的前n项和．
n n n n n n
（2）通项公式为 的数列，其中数列{b }，{c }是等比数列或等差数列，可采用分组求
n n
和法求和．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】19. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排
放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决
心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．
新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电
动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 y(单位：万台)关于x(年份)的线
性回归方程为 ＝4.7x－9495.2，且销量y的方差 ，年份x的方差为 ．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动汽
购买电动汽车 总计
车
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人
中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式；
(i)线性回归方程： ，其中 ， ；
(ii)相关系数： ，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
(iii) ，其中n＝a＋b＋c＋d．
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ， 与 线性相关较强.
（2）有 的把握认为购买电动汽车与车主性别有关.
（3）分布列见解析， .
【解析】
【分析】（1）利用相关系数 的求解公式，并转化为 和方差之间的关系，代入计算即可；
（2）直接利用独立性检验公式求出 ，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；
（3）采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出 可能取值0,1,2，3，4，分别求出对应
概率，即可得 的分布列，再结合期望公式，即可求解.
【
小问1详解】
相关系数为
，
所以 ，故 与 线性相关较强.
【小问2详解】
零假设为 ：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于 .
【小问3详解】
11人中，男性车主 人，女性车主 人，
则 的可能取值为0，1，2，3，4，故
， ， ，
， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4
.
20. 如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ， 与平面
所成角为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 面 ，所以 .
因为 是正方形，所以
又 ， 面 ， 面 ，故 平面
（2）因为 两两垂直，建立空间直角坐标系 如图所示.
因为 平面 ，且 与平面 所成角为 ，即 ，
所以 ，由已知 ，可得 ， .
则 ， ， ， ， ，
所以 ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， .
所以 .
因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推
理论证能力和数学运算能力.
21. 已知抛物线 上的点 与焦点 的距离为 ，且点 的纵坐标为 .
（1）求抛物线 的方程和点 的坐标；
（2）若直线 与抛物线 相交于 两点，且 ，证明直线 过定点.
【答案】（1）抛物线 ；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设 ，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得 ，由此可得抛物线方程和
点 坐标；
（2）设 ，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得 ，代入韦
达定理的结论可整理得到 ，代入直线方程可得定点坐标.
【小问1详解】
设 ，则 ，解得： ，
抛物线 ； .
【小问2详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意知：直线 斜率不为零，可设 ， ， ，
由 得： ， ，即 ；
， ；
， ，
又 ， ；
则 （此时 成立），
直线 ，
.
当 时， ， 直线 恒过定点
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思
路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
22. 已知函数 ，且 在点 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围.
【答案】（1）0；（2） .
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）依题意得 ，解方程即可；
（2）原方程化为 ，令 ，求导分析单调性，求值域即可求
的取值范围．
【详解】（1） ， ，
∵函数 在点 处取得极值， ，
即当 时， ，
，解得 ，经检验符合题意；
（2） ， ， .
令 ，则 .
∴当 时， ， 随 的变化情况如下表：
1 2 3
+ 0 -
极大值
计算得 ， ， ， ，
所以 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
