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第10讲 动态平衡问题
平衡中的临界和极值问题
一、 考点精讲练
考点01：动态平衡问题（必备知识+4 例+4 变式+能力提升）
考点02：临界极值问题（必备知识+3 例）
二、 拓展学习（自锁现象和摩擦角问题：必备知识+2 例+2 变式+能力提升）
三、 巩固提升（精选12 道题）
动态平衡就是通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可
视为平衡状态，所以叫动态平衡。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1.图解法
用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，
另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
（1）一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角
三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。
（2）一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小
的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
【例1-1】 (2025·河北石家庄高三期末)如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为1
4
圆的柱状物体A，A 与
墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B 均保持静止。若将A 向左移动少许，下列说法正确的是(
考点一
动态平衡问题
本讲要点
)
A.B 对A 的作用力不变
B.墙对B 的作用力不变
C.地面对A 的摩擦力不变
D.地面对A 的支持力不变
【变式1-1】（多选）（2019·全国I 卷·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑
定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态．现用
水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°．已知M 始终保持静止，则在此过程中
（ ）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
2.解析法:如果物体受到多个力的作用,可进行正交分解,利用解析法,建立平衡方程,根据自变量的变化确
定因变量的变化。
【例1-2】 (2025·河北保定一模)如图，质量为0.2 kg 的小球A 在水平力F 作用下，与四分之一光滑圆弧形
滑块B 一起静止在地面上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g 取10 m/s2。则以下说法正
确的是( )
A.B 对A 的支持力大小为2❑√3 N
B.水平地面对B 的摩擦力方向水平向右
C.增大夹角θ，若A、B 依然保持静止，F 减小
D.增大夹角θ，若A、B 依然保持静止，地面对B 的支持力减小
【变式1-2】（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地
面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，
则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为μmg
cosθ
B．轻绳的合拉力大小为
μmg
cosθ+ μsinθ
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
3.相似三角形法:一个力恒定、另外两个力的方向同时变化,当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形
总相似时用此法。(如表所示)
受力分析
力的矢量三角形
和几何三角形相似
比例
G
ℎ= F N
d
= F
l
G
ℎ= F N
R
= F
l
G
R = F
l = F N
R
【例1-3】 (多选)(2025·江西鹰潭模拟)如图所示，圆心为O、半径为R 的四分之一圆形光滑轨道竖直固定
在水平地面上，在O 点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B 点的距离为h，轻绳的一端系一质量
为m 的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A 点，A 点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。
重力加速度大小为g，则( )
A.若使小球静止在A 点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝mgR
R＋ℎ
B.若使小球静止在A 点，绳对小球的拉力大小FT＝2mgL
R＋ℎ
C.缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小
FT变小
D.缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小
FT先变小后变大
【变式1-3】(2025·山东烟台市龙口市校考)如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有小滑轮的固定
支架，BC 为质量不计的轻杆，杆的一端C 用铰链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质量为m 的重物，
并用轻质钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机上。开始时，杆BC 与AC 的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA 缓
慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC 所产生的弹力( )
A.大小不变
B.逐渐增大
C.先增大后减小
D.先减小后增大
4.力的外接圆法和正弦定理法:一力恒定,另外两力方向均变化,但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题,
可利用力的外接圆法或正弦定理法。
力
的
外
接
圆
法
作出某状态三个力的矢量三角形,根据不同位置判断另外两个力的大小变
化
正
弦
定
理
法
物体受三个共点力作用而处于平衡状态,对表示三个力的矢量组成的封闭
三角形,根据正弦定理可推出F1
sin α = F2
sin β = F3
sin γ ,若F1、α 不变、β(或γ)的变
化导致F2(或F3)变化
【例1-4】某中学为增强学生体魄,组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于
两手之间,其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋
转60°至水平位置。不计一切摩擦,则在转动过程中,下列说法正确的是( )
A.右手对铅球的弹力一直增大
B.右手对铅球的弹力先增大后减小
C.左手对铅球的弹力一直增大
D.左手对铅球的弹力先增大后减小
【变式1-4】(多选)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端
N。初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α>π
2 )。现将重物向右上方缓慢拉起，
并保持夹角α 不变。在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A.MN 上的张力逐渐增大
B.MN 上的张力先增大后减小
C.OM 上的张力逐渐增大
D.OM 上的张力先增大后减小
【解题能力提升】
分析动态平衡问题的流程
受力分析→化动为静→画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形→静中求动
{
定性分析
→
根据矢量三角形边长关系确定矢量的
大小变化
定量计算
→
{
三角函数关系
正弦定理
相似三角形
→找关系求解
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不
出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡
的临界点和极值点。
【例2-1】（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角
不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因
数不能小于（ ）
A．1
2
B．
❑√3
3
C．
❑√2
2
D．
❑√3
2
（2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求
极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
【例2-2】春秋末年，齐国著作《考工记》中记载“马力既竭，輈（zhōu，指车辕）犹能一取焉”，揭示
了一些初步的力学原理。如图甲所示，车辕是马车车身上伸出的两根直木，它是驾在马上拉车的把手。如
考点二
平衡中的临界极值问题
图乙为马拉车时的简化模型，车辕前端距车轴的高度H 约为1m，马拉车的力可视为沿车辕方向，马车的
车轮与地面间的摩擦力大小是其对地面压力的
❑√3
3
倍，若想让马拉车在水平面上匀速前进且尽可能省力，
则车辕的长度约为（ ）
A．❑√2m
B．❑√3m
C．3m
D．2m
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定
最大值与最小值。
【例2-3】如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C、D 两点，A、B 两端被悬挂在水平天花板上，
相距2L。现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加外力F（重力加速
度为g），则下列说法中正确的是（ ）
A．AC 绳的拉力为
❑√3
3 mg
B．CD 绳的拉力为
❑√3
2 mg
C．外力F 的最小值为1
4 mg
D．外力F 的最小值为1
2 mg
自锁现象和摩擦角
1．摩擦角
物体在粗糙平面(斜面)上滑动时，所受滑动摩擦力Ff和支持力FN的合力F 合与FN间的夹角为θ，如图
甲、乙所示，由于tanθ＝＝μ 为常量，所以θ 被称为摩擦角．
图甲 图乙
2．摩擦角的应用
(1)在水平面上，若给物体施加拉力F 使之在水平面上滑动，则力跟水平方向的夹角为θ(跟F 合垂直)
时，拉力F 最小，如图丙．
图丙 图丁 图戊
(2)当所加推力F 与支持力FN反方向间的夹角β≤θ 时，无论推力F 多大，都不能推动物体在平面(斜
面)上运动，这种现象称为摩擦自锁，如图丁、戊．
(3)有摩擦力参与的四力平衡问题可通过合成支持力FN和滑动摩擦力Ff转化为三力平衡问题，然后根
据力的平衡知识求解．
【例3-1】如图所示，倾角为45°的斜面上，放置一质量为m 的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝
❑√3
3
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一个力，该力最
小时大小与方向是( )
拓展学习
A.mgsin 15°，与水平方向夹角为15°，斜向右上
B.mgsin 30°，竖直向上
C.mgsin 75°，沿斜面向上45°
D.mgtan 15°，水平向右
【变式3-1】如图（a），摩擦角的物理意义是：当两接触面间的静摩擦力达到最大值时，静摩擦力f 与支
持面的支持力N 的合力F 与接触面法线间的夹角即为摩擦角φ，可知tan φ = μ。利用摩擦角的知识可以用
来估料，如图（b）所示。物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角φ。若已知物料的摩
擦角φ和高h，动摩擦因数为μ。物料所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。可求出圆锥体的体积为
（ ）
A．π ℎ
3
3 μ
2
B．2π ℎ
3
3 μ
2
C．π ℎ
3
2 μ
2
D．π ℎ
3
6 μ
2
【解题能力提升】
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”
将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F 作用下做匀速直线运
动，改变θ 大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合
力F'方向一定，即“摩擦角”α 满足tan α＝Ff
F N
＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。
3. 自锁现象
自锁现象是一种力学物理现象，如果作用于物体的主动力的合力Q 的作用线在摩擦角之内，则无论这
个力怎样大，总有一个全反力R 与之平衡，物体保持静止；反之，如果主动力的合力Q 的作用线在摩擦角
之外，则无论这个力多么小，物体也不可能保持平衡。这种与力大小无关而与摩擦角有关的平衡条件称为
自锁条件。物体在这种条件下的平衡现象称之自锁现象。
【例3-2】北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，该粮仓由于玉米棒装的不匀称而
发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为❑√3m，木棍与
水平地面动摩擦因数为
❑√3
3
，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为（ ）
A．1.5m
B．❑√3m
C．2m
D．2❑√3m
【变式3-2】某同学做家务时，使用拖把清理地板，如图所示。假设拖把头的质量为1kg，拖把杆的质量不
计，拖把杆与水平地面成53°角。当对拖把头施加一个沿拖把杆向下、大小为10N 的力F1时，恰好能推动
拖把头向前匀速运动。重力加速度g 取10m/s2，sin53° =0.8，cos53° =0.6。
（1）求拖把头与地板间的动摩擦因数μ。
（2）当拖把静止时，对拖把头施加一个沿拖把杆向下的力F2，拖把杆与地面的夹角为θ。当θ增大到某一
值时，无论F2多大，都不能推动拖把头，求此时的tanθ值。（为方便起见，本问可忽略拖把头的重力，且
认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
1．如图，光滑斜面上有一个小球被轻绳拴住，悬挂在天花板上，已知轻绳与竖直方向的夹角为45°，斜面
倾角37°，整个装置处于静止状态。现保持悬点不变，将斜面向左缓慢推动平移一小段距离后，下列说法
正确的是（ ）
巩固提升
A．小球对斜面的压力变小
B．斜面对小球支持力变大
C．轻绳拉小球的拉力变小
D．斜面受到地面的摩擦力变大
2．用绳AO、BO 悬挂一个重物，BO 水平，O 为半圆形支架的圆心，悬点A 和B 在支架上。悬点A 固定不
动，将悬点B 从如图所示位置逐渐移动到C 点的过程中，绳OA 和绳OB 上的拉力的大小变化情况是（
）
A．OA 绳上的拉力逐渐减小
B．OA 绳上的拉力先减小后增大
C．OB 绳上的拉力逐渐增大
D．OB 绳上的拉力先增大后减小
3．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从
图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为
θ = 45°，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大
B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小
C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零
D．地面对大理石半球的支持力变小
4．（多选）图1 是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2 所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，
沿倾角为θ 的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．货物A 对玻璃棚的压力越来越小
B．货物A 对玻璃棚的压力越来越大
C．绳子的拉力越来越大
D．绳子的拉力先减小后增大
5．（2025·山东威海·三模）如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力F，将一根均匀的钢梁AB拉起，
定滑轮位于钢梁A端的正上方，拉起的过程中钢梁绕A端缓慢转动。拉力F的大小（ ）
A．始终不变
B．逐渐增大
C．逐渐减小
D．先增大后减小
6．（2025·山东·二模）黄河铁牛是世界桥梁史上的传世之宝。如图，唐代蒲津浮桥通过两岸的铁牛固定，
铁牛底部的铁柱插入地下。铁牛受到3 个力：其中桥索对铁牛的拉力为F1，铁柱对铁牛的作用力为F2，铁
牛自身重力为G，则（ ）
A．若F1增大，则F2减小
B．F1与F2的合力竖直向上
C．铁柱对铁牛的作用力F2一定沿着铁柱向上
D．若桥索与竖直方向夹角变大，则F1与F2的合力变小
7．图甲为某人发明的自动叉秸秆工具，捆成圆柱形的秸秆从地上被叉起后，处于长、短直杆之间被短直
杆挡住，短直杆焊接在长直杆上，且二者之间夹角小于90°，简化图如图乙所示，不计一切摩擦。若长直
杆由水平逆时针缓慢转至竖直，则下列说法正确的是（ ）
A．长直杆对秸秆的弹力一直增大
B．长直杆对秸秆的弹力先减小后增大
C．短直杆对秸秆的弹力一直增大
D．短直杆对秸秆的弹力先减小后增大
8．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底
边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在
转动过程中（ ）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
9．（多选）质量为M 的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止。当将一质量为m 的物块放在木楔斜面上
时，它正好匀速下滑。如图所示，当用与木楔斜面成α角的力F 拉物块，物块匀速上升（已知木楔在整个
过程中始终静止）。可取sin37° =0.6。下列说法正确的有（ ）
A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75
B．当α =37°时F 有最小值
C．当α =30°时F 有最小值
D．F 的最小值为mgsin 2θ
10．（多选）（2025·福建厦门·二模）如图甲所示，我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底
瓦和一片盖瓦的铺设示意图，三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为37
∘。图丙为截面示意图，
弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接
触点间的距离和瓦的半径都为20cm，盖瓦和底瓦形状相同，厚度不计，质量均为1kg、最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，重力加速度大小g取10 m /s
2，在无扰动的情况下，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅铺设这三片
瓦进行研究，则（ ）
A．底瓦与椽子间的动摩擦因数μ≥3
8
❑√3
B．底瓦与椽子间的动摩擦因数μ≥3
10
❑√3
C．适当增大两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑
D．适当减小两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑
11．（多选）一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m 的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B 两
点，结点恰位于圆环的圆心O 点。已知物体静止时，AO 绳水平，BO 绳与AO 绳的夹角为150°。现使圆环
沿顺时针方向缓慢滚动，在AO 绳由水平转动至竖直的过程中（ ）
A．AO 绳中的拉力一直增大
B．AO 绳中最大拉力为2mg
C．BO 绳中的拉力先减小后增大
D．BO 绳中最小拉力为0
12．小明和小语到机场去为朋友送行，看到有一些旅客斜向上拉着旅行箱走，也有一些旅客斜向下推着旅
行箱走。小刘突然产生了一个想法，他问小赵：若在粗糙水平面上，为使质量为25kg 的行李箱在水平面上
做匀速直线运动，往往可以采用“拉”或“推”两种方式，这两种方式可简化为如图1 的模型，甲受到与
水平方向成30°角的拉力F ₁=100 N ，乙受到与水平方向成30°角的推力F2，g 取10 m/s
2。（结果可用分数
和根号表示）
（1）求行李箱与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ；
（2）求F2的大小；
（3）若此题已知行李箱与水平面间的动摩擦因数为μ₀，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对它作用
一个推力F，如图2 所示，若F 无论为多大也不能推动行李箱，则F 与水平地面间的夹角α 的正切值
（tanα）满足什么关系？（提示：tan α = sin α
cosα
）
